數學B 考科

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(1)111 學年度學科能力測驗全真模擬試題(C 卷). 數學 B 考科測驗範圍：高中數學一、二年級數學 B 作答注意事項 考試時間：100 分鐘作答方式：將答案填入卷末之答案欄中。 ※此份試題本為模擬學科能力測驗之測驗形式，作答方式仍以實際學測之測驗形式為準。選擇（填）題計分方式： ˙單選題：每題有 n 個選項，其中只有一個是正確或最適當的選項。各題答對者，得該題的分數；答錯、未作答或劃記多於一個選項者，該題以零分計算。 ˙多選題：每題有 n 個選項，其中至少有一個是正確的選項。各題之選項獨立判定，所有選項均答對者，得該題全部的分數；答錯 k 個選項者， n  2k 的分數；但得分低於零分或所有選項均未作答者，該題以得該題 n 零分計算。 ˙選填題每題有 n 個空格，須全部答對才給分，答錯不倒扣。 ※請聽從指示後才翻頁作答. 版權所有請勿翻印.

(2) 第壹部分、選擇（填）題（占 85 分）. 一、單選題（占 35 分）說明：第 1 題至第 7 題，每題 5 分。 (. )1. 考慮 n 為正整數，且 1  n  30 ，則  . n （弧度）有幾個角在第三象限內？ 4. (1)3 (2)6 (3)7 (4)15 (5)16 答案： (2) 1 1 解析：因為弧度   57.3  14.325 4 4 n 所以弧度在第三象限角  n  13, ⋯ , 18 共六個 4 故選(2) (. )2. 眼睛之所以叫做「靈魂之窗」，是因為即使周遭瞬間變暗，人的眼睛仍然能漸漸適應環境。當光強度由 1000Td 瞬間降至 10Td，過 t 秒後人所能接受的光強度為 I (t ) ；其中 I (t )  10  990  a 5t （ a 為大於 1 的常數）。當光強度由 1000Td 瞬間降至 10Td 後，人接受光的強度為 21Td 時，需要花費 s 秒，則 s 的值為何？（光的強度單位為 Td）. (1). 1  2 log 3 5log a. (2). 1  3log 3 5log a. (3). 2  log 3 5log a. (4). 2  2log 3 log a. (5). 2  3log 3 5log a. 答案： (1) 解析： I ( s )  21  10  990  a 5s  21  990  a 5 s  11  a 5 s   log a 5 s  log. 1 90. 1   log 90 90.  5s log a  (log10  log 32 )  s . 1  2 log 3 5log a. 故選(1). (. )3. 同時投擲兩公正骰子，其點數和為 a ，點數積為 b ，試求 a  b 為偶數的機率。 (1). 1 36. (2). 1 12. (3). 5 36. (4). 7 36. (5). 1 4. 答案： (5) 解析：∵ a  b 為偶數，∴ a 、 b 為奇數，或 a 、 b 為偶數若 a 、 b 為奇數，則矛盾若 a 、 b 為偶數，則兩骰子皆擲出偶數點且兩骰子皆擲出偶數點的情況，共 9 種，故機率為 2. 9 1  ，故選(5) 36 4.

(3) (. )4. 在空間坐標系中，已知一地球儀的球心在 O (0, 0, 0) ，地軸北極在 (0, 0,8) ， 0 經線通過 (8,0, 0)。已知 P 點位於地球儀上東經 135、北緯 60，試求 P 點的空間直角坐標。 (1) ( 2 2, 4 3, 2 2). (2) ( 2 2, 2 2, 4 3). (4) ( 2 3, 2 2, 2 2). (5) ( 2 2, 2 2, 2 3). (3) ( 4 3, 2 2, 2 2). 答案： (2) 解析： P 點的 x 坐標為 8cos 60 cos135  2 2 y 坐標為 8cos 60 sin135  2 2. z 坐標為 8sin 60  4 3 故選(2). (. ABC 中， AB  5 、 AC  2 、 BAC  60 ，且 AP  x AB y AC , x  0, y  0,. )5.. x  y  1 ，若所有 P 點所成之圖形為 S ，則下列敘述何者正確？. (1) S 為一直線 (2) S 為射線 (3) P 不在 BC 上 (4) S 的長為 7. (5) S 的長為 19. 答案： (5) 解析：如圖， AP  x AB  (1  x ) AC.  AP  AC  x( AB  AC )  CA AP  x(CA AB)  CP  x CB, 0  x  1 ∴ P 之軌跡為 BC. BC  52  22  2  5  2  cos 60  19 ，故選(5). (. )6. 坐標平面上，O 為原點， 為第三象限角， P ( 6, x) 為  終邊上一點，且 OP  61 ，試求 tan  之值。. (1). 1 2. (2). 6 5. (3) . 6 5. (4). 5 6. (5) . 5 6. 答案： (4) 解析： OP  61  36  x 2  x 2  25  x  5 （正不合，因為  為第三象限角） 5 ∴ P ( 6, 5)  tan   ，故選(4) 6. 3.

(4) (. )7. 利用反方陣解矩陣方程式的方法運用在密碼學中，首先用矩陣將英文字母編碼，例 0 0   2 0 1 2  如： a 以   表之， b 以   表之，♣♣， z 以   表之，而單字 box 以  表 1 2 6 2 5 4         之，餘類推。今為了保密將某英文單字以矩陣 A 表示並加密後再傳出，方法如下： 1 2  1 2  選取兩個二階方陣 B   與C     ，計算 ( B  2C ) A 後，再傳出，假設收 1 3  3 4 .  8 13 14  到的內容為矩陣   ，則原單字為何？  20 32 35 (1)cat (2)cow (3)dog (4)pig (5)fox 答案： (3) 1 2   2 4  3 2  解析： B  2C      1 3  6 8   7 5  3 2  8 13 14   A    7 5   20 32 35 1.  3 2   8 13 14   5 2   8 13 14   0 1 0   A          dog  7 5   20 32 35  7 3   20 32 35  4 5 7  故選(3). 二、多選題（占 30 分）說明：第 8 題至第 13 題，每題 5 分。 (. )8. 化簡下列根式，試選出正確的選項。 (1) 10  15  5 5. (2) 4b 2  2b. (4) (2  5)2  2  5. (5). 4a 6a  6 3. 答案： (3)(5) 解析： (1) ： 10  15  2  5  3  5  5 6. (2) ： 4b 2  (2b) 2  2b  2 b (3)： ( 17  4) 2  17  4  17  4 (4) ： (2  5) 2  2  5  5  2 4a  6 故選(3)(5) (5)：. 2a 6a  3 3. 4. (3) ( 17  4)2  17  4.

(5) (. )9、某次數學測驗後，老師看到成績過低，決定採取補救措施，老師要學生訂正考卷，若訂正都正確，就給予訂正分數 100 分，並將原始分數與 100 分相加除以. 2 作為實得分數。假設每位同學訂正都完全正確，試選出正確的選項。 (1)若甲生的原始分數大於乙生的原始分數，則甲生的實得分數也大於乙生的實得分數. (2)若丙生的原始分數恰為全班原始分數的中位數，則丙生的實得分數亦為全班實得分數的中位數. (3)實得分數之算術平均數比原始分數的算術平均數的一半多 50 分 (4)實得分數之標準差是原始分數的標準差的一半 (5)若甲生的原始分數比丙生多 10 分，則甲生的實得分數比乙生多 8 分答案： (1)(2)(3)(4) 解析：設原始成績為 X ，補救後成績為 Y . X  100 X   50 2 2. (1)(2)(3) 1 (4)：  y   x 2 (5) ：甲生比乙生實得分數應多得 5 分. 故選(1)(2)(3)(4). (. )10. ( x  y )n 的展開式中，若第 7 項係數最大，試選出 n 的可能值。. (1)11 (2)12 (3)13 (4)14 (5)15 答案： (1)(2)(3) 解析：考慮以下三種情形： (1)若 ( x  y )n 展開式中，第 7 項係數最大，即 C6n 最大  n  12 (2)若 ( x  y )n 展開式中，第 6 項與第 7 項係數相等且最大，即 C5n  C6n  n  11 (3)若 ( x  y )n 展開式中，第 7 項與第 8 項係數相等且最大，即 C6n  C7n  n  13 故選(1)(2)(3). 5.

(6) )11. 天花板上有一圓錐形燈罩的吊燈，燈罩的軸線與母線夾角為 30 ，且軸線與地面垂直。當開燈時，突有一地震來襲，此吊燈開始擺動，但其軸線與地面之銳夾角始終不小於 30 ，如圖所示。試選出此時光源照在地面所形成之光影，其邊界可能出現哪種曲線或曲線的部分圖形。 (1)一直線 (2)圓 (3)橢圓 (4)拋物線 (5)雙曲線答案： (2)(3)(4). (. 解析：當地面與軸線垂直，光影邊界為一圓；當地面與軸線不垂直，且不與任一條母線平行，光影邊界為一橢圓；當地面與軸線不垂直，且只與某一條母線平行（軸線與地面之銳夾角為 30 ），光影邊界為一拋物線故選(2)(3)(4). (. )12. 統計 NBA 球星小皇帝詹姆斯近五場上場時間與得分數如下：上場時間 X. 30. 36. 32. 40. 27. 得分 Y. 18 26 25 31 20 試選出正確的選項。 (1)詹姆斯這五場的平均上場時間為 33 (2)詹姆斯這五場的平均得分數為 25 (3)詹姆斯這五場上場時間的標準差小於 4 12 84 x 13 13 (5)若下場比賽教練讓詹姆斯上場 33 分鐘，預測詹姆斯可以超過 25 分. (4)根據此五場比賽得到 Y 對 X 的迴歸直線為 y . 答案： (1)(4) 1 1 解析： (1)(2) ：  x  (30  36  32  40  27)  33 、  y  (18  26  25  31  20)  24 5 5 5.  (x   ) i. (3) ：  x . x. i 1. 5. 5.  ( x   )( y i. (4)：. x. i.  y ) . i 1. 5.  (x   ) i. (3)2  32  (1)2  7 2  (6) 2 104    20.8  16  4 5 5. 2. (3)  (6)  3  2  (1) 1  7  7  (6)  (4) 96 12   (3) 2  32  (1)2  7 2  (6)2 104 13. x. i 1. 12 12 84 ( x  33)  y  x  13 13 13 12 84 (5) ：令 x  33 代入迴歸直線可得 y   33   24  25 13 13 故選(1)(4)  y  24 . 6.

(7) (. )13. 好歡樂模型公司有 R 、 B 兩臺模型上色機，其上色錯誤的機率分別為 0.2、 0.5，兩臺一起使用時，至少有一臺會上色錯誤的機率為 0.6。上色的順序可配置成 R 在前 B 在後（ RB ）或 B 在前 R 在後（ BR ）；如兩臺皆上色錯誤則模型為失敗品無法出售。試選出正確的選項。 (1)兩臺模型上色機的配置互不影響 (2) RB 、 BR 兩種配置方式模型為失敗品的機率大小為 RB  BR (3)已知 R 上色錯誤，則 RB 、 BR 兩種配置方式，模型為失敗品的機率大小為 RB  BR (4) BR 的配置方式模型會有瑕疵但非失敗品的機率是 0.5. (5) BR 配置下，有 100 隻模型要上色，在 B 上色完全錯誤的情況下可以出售的模型有 50 隻答案： (1)(4) 解析：由題目可知 P ( R )  0.2 、 P ( B )  0.5 、 P ( R ∪ B )  0.6 (1)：∵ P ( R ∪ B)  P ( R )  P ( B )  P ( R ∩ B )  失敗品的機率為 P ( R ∩ B)  0.2  0.5  0.6  0.1 P ( R )  P ( B )  0.2  0.5  0.1  P ( R ∩ B ) 所以兩臺模型上色機的配置互不影響 (2) ：失敗品為兩臺機器都要上色錯誤，故 RB  BR (3) ：承(1)，兩臺模型上色機的配置互不影響已知 R 上色錯誤，則只要 B 上色錯誤就會是失敗品故為失敗品的機率 RB  BR  0.5 (4)：有瑕疵但非失敗品的機率  至少有一臺上色錯誤  兩臺皆上色錯誤  0.6  0.1  0.5 (5) ：失敗品會有 0.2 100  20 ，可以出售的模型有 100  20  80 隻故選(1)(4). 三、選填題（占 20 分）說明：第 14 至 17 題，每題 5 分。 14. 於今年初存入銀行 100 萬元，年利率 8%，半年為一期，複利計算，則至少需________ 期，本利和才會超過 300 萬元。（ log1.04  0.0170 、 log 3  0.4771 ）答案： 29 解析：年利率 8%，半年為一期，則一期利率為 4% 設至少需 n 期則 100(1  4%)n  300  1.04n  3  log1.04 n  log 3.  0.0170n  0.4771  n . 0.4771  28.06 0.0170.  取 n  29 ，故至少需 29 期. 7.

(8) 15. 一直圓錐如圖所示，直徑 BC  4 、 AB  12 、 AD  6 ，若一隻螞蟻由 C 沿曲線繞錐面一周到 D ，則最短路徑長為________，又此圓錐之表面積為________。答案： 6 3 ; 24 解析：. 4  12   .  3. 2 1 BD  62  122  2  6 12 cos 60  62 (1  4  4  )  BD  6 3 2. 1  A  122   24 2 3. 16. 過 P  4,5  對圓 C : ( x  3)2  ( y  2)2  1 所作之切線方程式為_______________________。答案： 4 x  3 y  1 或 x  4 解析：. Q (3, 2) 、 r  1 ，令切線 L : y  5  m( x  4)  mx  y  5  4m  0. d (Q, L)  r . 3m  2  5  4m. m 1 2.  1  3  m  m 2  1  m 2  6 m  9  m2  1. 4 4  L : y  5  ( x  4)  3 y  15  4 x  16 3 3  4 x  3 y  1 或 x  4 （鉛直）  6m  8  m . 8.

(9) 17. 小彭友在走樓梯，第一次走 1 階，第二次走 2 階，♣♣，以此類推，共走 40 次。若小彭友從一樓開始走，先往上走，途中轉向 2 次，最終回到一樓，則小彭友最晚在第_____ 次後，需要作第一次轉向。答案： 10 解析：僅轉向兩次，則移動方向是上→下→上，且最終回到一樓表示向上爬與向下走樓梯的階數相同而階數總和為 1  2  3  ⋯  40 . 41 40 820  820 ，故向上共爬了  410 階 2 2. 假設第 k 次到第 m 次走樓梯的方向為向下，則向下共走了 (m  n)(n  m  1)  410  (m  n)(n  m  1)  820 2 m  n  41 m  11 因為 m 、 n 都是整數，且 1  m  n  40 ，取   n  m  1  20 n  30 m  (m  1)  (m  2)  ⋯  n . 故小彭友在第 10 次後需要作第一次轉向. 第貳部分、混合題或非選擇題（占 15 分）說明：本部分共有 1 題組，每一子題配分標於題末。限在標示題號作答區內作答。非選擇題請由左而右橫式書寫，作答時必須寫出計算過程或理由，否則將酌予扣分。第 18 至 19 題為題組跳繩可以一個或多個人同時跳一條繩子，在全世界許多地方都會舉行跳繩比賽。但其並非只適合比賽或消遣，如同慢跑或騎自行車一樣，是對身體循環系統運作有益的運動。根據國民健康署網站提供的資料：跳繩（慢，100 下 / 分）消耗熱量為 8.4（大卡 / 公斤體重 / 小時）、跳繩（快，150 下 / 分）消耗熱量為 12.6（大卡 / 公斤體重 / 小時）、慢跑（8 公里 / 時）消耗熱量為 8.2（大卡 / 公斤體重 / 小時）、快跑（12 公里 / 時）消耗熱量為 12.7（大卡 / 公斤體重 / 小時）、騎自行車（一般，10 公里 / 時）消耗熱量為 4（大卡 / 公斤體重 / 小時）、騎自行車（快，20 公里 / 時）消耗熱量為 8.4（大卡 / 公斤體重 / 小時），可看出跳繩消耗的熱量不輸慢跑，甚至更勝於騎自行車。同時，跳繩運動簡單，較不受天氣與場地之限制，又可避免跑步產生的膝蓋損傷，因為跳躍及落地時所產生的衝力可同時分散於雙腳。由於跳繩對身體有許多好處，因此它成為很多運動員必做的運動。而學習正確的跳繩方法比其他運動項目容易。因此，跳繩是適合大部份人進行的運動。. 9.

(10) 18. 跳繩時，繩子甩到最高處時的形狀可視為二次函數的一部分。如圖所示，正在拿繩子的小華和小明之間的距離為 4 m，握住繩子的手距地面均為 1 m，小白和小花分別站在距小明拿繩子的手水平距離為 1 m 與 2.5 m 處，繩子甩到最高點時剛好通過他們的頭頂。已知小白的身高是 150 cm，則小花的身高為何？（單選題，7 分） (1)150 (2)155.5 (3)162.5 (4)166 (5)166.5 cm 答案： (3) 解析：設 f ( x)  ax 2  bx  c ，且 (1, 1) 、 (0,1.5) 、 (3,1) 在其上. a  b  c  1  a  b  0.5  ∴ c  1.5   8a  4b  0  b  2a 9a  3b  c  1 9a  3b  0.5  1 1  a   、b  6 3 1 1 3 ∴ f ( x)   x 2  x  6 3 2 f (1.5)  0.375  0.5  1.5  1.625 （m），故選(3). 19. 某一減重班共有 40 名學員，其中有 15 人喜歡跳繩，有 30 人喜歡慢跑，有 10 人兩種運動都喜歡。試將以上資料用列連表表示，並求出若從中任意抽出一人，且此人喜歡跳繩，則他不喜歡慢跑的機率。（非選擇題，8 分）答案：題幹中的資訊，可用列連表表示如下：跳繩. 喜歡跳繩. 不喜歡跳繩. 合計. 喜歡慢跑. 10. 20. 30. 不喜歡慢跑. 5. 5. 10. 合計. 15. 25. 40. 慢跑. 所求機率為. n(喜歡跳繩 ∩ 不喜歡慢跑) 5 1   n(喜歡跳繩) 15 3. 10.

(11) 答案卷第壹部分：選擇題（占 85 分）一、單選題（占 35 分） 1. 2. 2. 1. 3. 5. 4. 10. 123. 2. 5. 5. 6. 4. 7. 二、多選題（占 30 分） 8. 35. 9. 1234. 11 234. 12 14. 13 14. 三、選填題（占 20 分）. 14. 29. 15. 6 3 ; 24. 16 4 x  3 y  1 或 x  4 17. 11. 10. 3.

(12) 第貳部分：混合題（占 15 分）作. 答. 區. 題號. 注意：1.應依據題號順序，於作答區內作答。2.除另有規定外，書寫時應由左至右橫式書寫。3.作答須清晰，如難以辨識時，恐將影響成績評閱並傷及權益。4.不得於作答區書寫姓名、應試號碼或無關之文字、圖案符號等。. 18. (3). 題幹中的資訊，可用列連表表示如下：跳繩. 喜歡跳繩. 不喜歡跳繩. 合計. 喜歡慢跑. 10. 20. 30. 不喜歡慢跑. 5. 5. 10. 合計. 15. 25. 40. 慢跑. 所求機率為. n(喜歡跳繩 ∩ 不喜歡慢跑) 5 1   15 3 n(喜歡跳繩). 19. 12.

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