空間中直線方程式
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(2) 例題 2 x－1 y－2 z－1 求過點 A ( 4，3，1 ) 且包含直線 L： 2 ＝ 1 ＝ 2 之平面方程式。 取直線 L 上一點 B ( 1，2，1 )， 設所求平面法向量為 n n ⊥ AB ＝(－3，－1，0 )， n ⊥ ＝( 2，1，2 )， n // ( (－3，－1，0 ) × ( 2，1，2 )＝ ) ( －2，6，－1 ) 取 n ＝( 2，－6，1 ) 平面方程式為 2 ( x－4 )－6 ( y－3 )＋1 ( z－1 )＝0 2x－6y＋z＋9＝0。 例題 3 x＋1 y－1 z＋3 x＋3 y＋1 z＋4 試求過二平行線 L1： 1 ＝ 2 ＝ 2 ，L2： 1 ＝ 2 ＝ 2 之平面方程 式。 設所求平面的法向量為 n ，又在 L1，L2 上 各取 A (－1，1，－3 )，B (－3，－1，－4 )。 n ⊥ ＝( 1，2，2 ) 且 n ⊥ AB ＝(－2，－2，－1 )， n // ( ( 1，2，2 ) × (－2，－2，－1 )＝ ) ( 2，－3，2 )， 取 n ＝( 2，－3，2 )， 平面方程式為 2 ( x＋1 )－3 ( y－1 )＋2 ( z＋3 )＝0 2x－3y＋2z＋11＝0。 例題 4 x－2 y＋1 z－3 x＋2 y＋14 z－1 設 L1： 4 ＝ －1 ＝ 2 ，L2： 2 ＝ 3 ＝ 1 相交於一點，試求： (1) L1 與 L2 的交點 A 的坐標。 (2) 兩線夾角θ，cosθ的值。 (3) 包含 L，L2 直線的平面方程式。 x＝2＋4t， x＝－2＋2s， (1) 交點 A∈L： y＝－1－t，t∈R，A∈L2： y＝－14＋3s，s∈R z＝3＋2t z＝1＋s x＝2＋4t＝－2＋2s， y＝－1－t＝－14＋3s，由前兩式得 z＝3＋2t＝1＋s， ∴ L， L2 交於一點 ( 6，－2，5 )。. t＝1， 代入第三式檢驗成立 s＝4.
(3) (2) v1 ＝( 4，－1，2 )， v2 ＝ ( 2，3，1 ) v1 ‧ v2 ( 8－3＋2 ) 1 cosθ＝ | v | | v | ＝ ＝ ， 1 2 21 14 6 －1 1 或 。 6 6 (3) 平面 E 的法向量 n // ( v1 × v2 ＝ ) (－7，0，14 )，故可令 E1：x－2z ＝ k， 所以 cosθ＝. 代入 P ( 2，－1，3 ) 或 P2 (－2，－14，1 ) 2－6 ＝－4＝k， ∴ E1：x－2z＝－4。 例題 5 已知 A ( 1，1，1 )，B ( 2，1，－1 )，平面 E：x－2y＋z＋3 ＝ 0，P 在平面 E 上 移動，試求： 使得 PA ＋ PB 為最小之 P 之坐標，並求此最小值。 ① 1－2＋1＋3>0，2－2－1＋3>0. ∴ A，B 在平面 E 之同側。 ←→ ② 設 A 在 E 上之為正射影為 H，故 H 為過 A 且垂直 E 的 AA' 直線上一點， 由於 A ( 1，1，1 )， n ＝( 1，－2，1 )， ←→ 故以 AA' 參數式，假設 H 為 ( 1＋t，1－2t，1＋t )，代入 E 得 1 1 1 ( 1＋t )－2 ( 1－2t )＋( 1＋t )＋3＝0 t＝－ 2 H ( 2 ，2， 2 )， 由中點公式得對稱點為 A' ( 0， 3， 0 ) ③ PA ＋ PB ＝ PA' ＋ PB A'B ， ←→ 當 P 為 A'B 與 E 之交點時， PA ＋ PB 有最小值 A'B ， 由於 A' ( 0，3，0 )， A'B ＝( 2，－2，－1 )， ←→ 故以 A'B 直線參數式，設 P 為 ( 2t，3－2t，－t )， 3 代入 E 得 2t－2 ( 3－2t )＋(－t )＋3＝0 t＝ 5 6 9 3 ∴ P ( 5 ， 5 ，－ 5 ) 時， PA ＋ PB 有最小值 A'B ＝. 22＋(－2 )2＋1 ＝3。. 例題 6 平面族的概念： 設 E1：a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1＝0，E2：a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2＝0，二平面交於 一直線 L，則通過此直線的平面可表示為： k1 ( a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1 )＋k2 ( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 ) ＝0 ( k12＋k22≠0 )。.
(4) 設 f1 ( x，y )＝ a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1，f2 ( x，y )＝ a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 很容易可以證明交線 L 上的點都會在平面 k1 f2 ( x，y )＋k2 f2 ( x，y )＝0，其中 k12＋k22≠0 設平面 E 通過交線 L，再 E 上取一點 A ( x0，y0，z0 )，且 A 不在 L 上， 取 k1＝f2 ( x0，y0 )，k2＝－f1 ( x0，y0 ) 考慮平面 f2 ( x0，y0 )‧( a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1 )－f1 ( x0，y0 )‧( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 ) ＝0 (＊) 很明顯會通過 L 上的兩點 B，C，故 (＊) 所代表的平面會通過 A，B， C 三點，因為通過不共線三點 A，B，C 的平面只有一個，即為平面 E。 因此平面 E 的方程式為 f2 ( x0，y0 )‧( a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1 )－f1 ( x0，y0 )‧( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 ) ＝0。 k1 ( a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1 )＋k2 ( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 )＝0 代表兩平面 E1：a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1＝0，E2：a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2＝0 交線 L 的平面， 當 k1＝0，代表平面 E2，當 k2＝0，代表平面 E1。 當 k1≠0 時，可以將 k1 ( a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1 )＋k2 ( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 ) ＝0 化成 a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1＋k ( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 )＝0 的型式， k2 其中 k＝ k 。 1. 我們可以得到以下的結論： a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1＝0， 通過直線 L： a x＋b y＋c z＝d ＝0，的平面 2. 2. 2. 2. ( 除了平面 a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2＝0 之外 ) 可以表成 a1 x＋b1 y＋c1 z＋d1＋k ( a2 x＋b2 y＋c2 z＋d2 )＝0 的型式。 例題 7 平面 E 包含 2x＋y－4＝0 與 y＋2z＝0 之交線且 (1) 通過點 ( 2，－1，1 ) 時，平面 E 的方程式。 (2) 垂直於平面 3x＋2y－3z－6＝0 時，平面 E 的方程式。 (1) 可令所求平面為 2x＋y－4＋k ( y＋2z )＝0， 平面過 ( 2，－1，1 ) 4－1－4＋k (－1＋2 )＝0 k＝1， 平面方程式為 x＋y＋z－2＝0。 (2) 可令所求平面為 2x＋y－4＋k ( y＋2z )＝0， 法向量為 n ＝( 2，k＋1，2k )， ( 2，k＋1，2k )‧( 3，2，－3 )＝0 k＝2， 平面方程式為 2x＋3y＋4z＝4。. (＊).
(5) 例題 8 x－4 y＋5 x－4 y＋5 z z L1： 1 ＝ 2 ＝ －3 ，L2： 3 ＝ －1 ＝ 2 (1) L1 與 L2 的交點坐標。 (2) L1，L2 二線交角平分線之方程式。 (1) 根據比例式可以得知交點為 ( 4，－5，0 )。 (2) 設 v1 ＝( 1，2，－3 )， v2 ＝( 3，－1，2 )， 分別代表 L1，L2 方向向量， 因為| v1 |＝| v2 | 且 v1 ‧ v2 <0，如右圖， 可以得知 v1 ＋ v2 、 v1 － v2 分別可以做為 L1，L2 二線交角平分線之方向向量。 故可以得到 L1，L2 二線交角平分線之方程式為 x－4 y＋5 x－4 y＋5 z z ＝ ＝ 或 ＝ ＝ 4 1 －1 2 －3 5。.
(6)
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