PDF 學科能力測驗模擬試題 數學科

答 案

第壹部分：選擇題

1. 1 2. 5 3. 3 4. 4 5. 3 6. 5 7. 5 8. 5 9. 3 10. 12345

11. 1245 12. 12 13. 12345 14. 145 15. 12345 16. 123 17. 12345

第貳部分：選填題

18. 6 19. 4 20. 3 21. 2 22. 1 23. 2 24. 0

解 析

第壹部分：選擇題 1.

^答案

1

解析 令OF ＝x， OH ＝7－x，

由 OA ²＝ OB ²  3²＋x²＝4²＋( 7－x ) ²， 解得x＝4，

代入 OA ²＝25，即外接圓的面積＝25π，

選(1)。

2.

^答案

5

解析 (2) log ⁴ x³y

＝1

4 log x³y

＝1

4 ( log x＋log x＋log x＋log y )

＝ 3a＋b 4 ，

(1)(3)(4)可用同(2)之方法解說，故(1)(2)(3)(4) 是正確的。

(5) log ⁴ ( 2x ) ( 2y ) ＝1

4 log［( 2x ) ( 2y )］

＝log 2＋log x＋log 2＋log y 4

＝ a＋b＋2 log 2

4 不會等於 2a＋2b

4 ，

故錯誤。

選(5)。

3.

^答案

3

解析 如右圖，

由R向x軸做垂線，

設垂足為H， PQ ＝ QR ， RH 平行 QO，

故 HO＝ OP ＝1，

∠POR＝120°，

故∠HOR＝60°，

HO＝1，則 RH ＝ 3 ， PR ＝ 7 ，

故sin∠OPQ＝sin∠HPR＝ 3

7 ＝ 21 7 ， 選(3)。

4.

^答案

4

解析 設點數和是3的倍數的機率為p，則它的分母 是重複排列數4×4×4＝64。

被3除餘1的集合為{ 1 , 4 }，

被3除餘2的集合為{ 2 }，

被3除餘0的集合為{ 3 }，

學 科 能 力 測 驗 模 擬 試 題 數學科

則投擲出來的3個數其點數和是3的倍數時，

這3個數的集合可以是

{ 1 , 2 , 3 }，{ 2 , 3 , 4 }，{ 1 , 1 , 4 }，

{ 1 , 4 , 4 }，{ 1 , 1 , 1 }，{ 2 , 2 , 2 }，

{ 3 , 3 , 3 }，{ 4 , 4 , 4 }，

其中{ 1 , 2 , 3 }，{ 2 , 3 , 4 }各有3!＝6 ( 個 ) 排列，

{ 1 , 1 , 4 }，{ 1 , 4 , 4 }各有 3!

2! ＝3 ( 個 ) 排列，

{ 1 , 1 , 1 }，{ 2 , 2 , 2 }，{ 3 , 3 , 3 }，

{ 4 , 4 , 4 }各有1個排列，

則共有22個排列，故p＝22 64 ， 選(4)。

5.

^答案

3

解析 在沒有電腦可用的情況下，只能憑著觀察，

若不是零相關 ( 例如：點根據x軸的平行線對 稱或根據y軸的平行線對稱等 )，只要是五個 點的分布愈接近一條斜率不為零的直線，則 相關係數絕對值就愈大。選(3)。

藉由Geogebra可計算得到各散佈圖五個點的

相關係數為(1) 0.521；(2) 0.314；(3) 0.976；

(4) －0.63；(5) －0.913。

6.

^答案

5

解析 建立轉移矩陣M＝

 



 



9

10 2

10 1 10

8 10

，

經過一星期後

 



 

9



10 2 10 1 10

8 10

  

 

5



6 1 6

＝

  

 

47



60 13 60 經過二星期後

 



 



9 10 2

10 1 10

8 10

  

 



47 60

13 60

＝

  

 



449 600

151 600 經過了一段很長的時間，大池塘的魚數逐漸 減少，小池塘的魚數逐漸增加，直到大池塘

游出的10％的魚會跟由小池塘游入的20％的

魚數相當，從此即達穩定狀態。假設那個時 候大池塘的魚數占的比率為x，小池塘的魚數 占的比率為1－x，

由

 

 

0.9 0.2 0.1 0.8

 

 

x 1－x ＝

 

 

x 1－x

 0.9x＋0.2( 1－x )＝x

0.1x＋0.8( 1－x )＝1－x，得x＝2

3 。

故 (1) 經過一星期後，大池塘應有

1200×47

60 ＝940 ( 條 ) 鰱魚。

(2) 經過二星期後，小池塘應有

1200×15.1

60 ＝302 ( 條 ) 鰱魚。

(3) 經過一段時間，小池塘由200條逐漸增

加到1200×1

3 ＝400 ( 條 )，不可能會有 550條鰱魚。

(4) 經過一段時間，大池塘由1000條逐漸

減少到1200×2

3 ＝800 ( 條 )，也不可能 有650條鰱魚。

其實不管當初大池塘、小池塘的魚有多少，

只要總數是1200，在轉移矩陣 M＝

 

 

0.9 0.2

0.1 0.8 游入游出的規則下，經過了

一段很長的時間，最後的結果大池塘會有800 條鰱魚，小池塘會有400條鰱魚。

選(5)。

7.

^答案

5

解析

(i) 觀察上圖，P ( x , y )＝mx－y的斜率m ( x

的係數 ) 應該是正數，

如此目標函數直線愈往右邊移動，目標函 數值愈大，愈往左邊移動，

目標函數值愈小，才會使得在D ( 3 , 2 ) 是產生最大值的唯一點，

在B ( 0 , 2 ) 是產生最小值的唯一點。

(ii) P (x , y )＝mx－y的斜率m ( x的係數 ) 要 比 AD 的斜率1還要大，

否則不會使得在D ( 3 , 2) 是產生最大值的 唯一點，故(5) m＞1成立。

選(5)。

8.

^答案

5

解析 把y＝8代入y²＝16x得到 交點坐標為 ( 4 , 8 )，

由雙曲線的定義與觀察 右邊的圖形，

PF2 － PF1

＝2a＝2 ( 2 10 －2 2 )

≈ 2 ( 3.496 )，

故最接近a的數是(5) 3.5。

如果由

  

⁶⁴

a²－ 16 b²＝1

a²＋b²＝16 解a，那就要花很多 計算時間。

故選(5)。

9.

^答案

3

解析 因為K是D以 AB 為軸的對稱點，

M是D以 AC 為軸的對稱點，

∠KAM＝2∠BAC， AM＝ AK ＝12，

KM＝2．12．sin∠BAC，

，

，

令∠BAD＝α，∠CAD＝β，

sin∠BAC＝sin(α＋β)

＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝3

5 ．12 13 ＋4

5 ． 5 13 ＝56

65 ，

△ABC的Fagnano數

＝ KM＝2．12．sin∠BAC ＝24．56

65 ＝ 1344

65 ，故(3)正確。

如果由△KAM，用餘弦定理解 KM，將浪費 許多計算的時間。

選(3)。

10.

^答案

12345

解析

(1) OA．OB可能大於0，當∠AOB是銳角。

(2) OA．OB可能小於0，當∠AOB是鈍角。

(3) OA．OB可能等於0，當∠AOB是直角。

(4) 平面E與平面F交角的度量有兩個：

一個銳角，一個鈍角或兩個都是直角。

(5) 點P ( 1 , 2 , 1 ) 到平面F的距離是 5 17 。 選(1)(2)(3)(4)(5)。

11.

^答案

1245

解析 (1) a＞b是根據指數函數的圖形判斷。

(2) B點坐標是 ( logb k , k )，

當b^x＝k，兩邊取對數即可得到

x．log b＝log k，x＝log k

log b ＝logb k。

(3) r＝loga b，是錯誤的，說明如下。

(4) r＝logb a，兩矩形的高相同，故 r＝logb k

loga k ＝ log k log b

log k log a

＝log a

log b ＝logb a。

(5) 1 OE ＋ 1

OF ＝logk ab，因為 1

OE ＝ 1

loga k ＝logk a，

1

OF ＝ 1

logb k ＝logk b，

則 1 OE ＋ 1

OF ＝logk a＋logk b＝logk ab 選(1)(2)(4)(5)。

12.

^答案

12

解析 智傑身高179公分，只要投籃命中率六成

以上一定選上，現在遴選沒上不是身高的 問題，一定是投籃命中率未達六成，

選(1)(2)。

13.

^答案

12345

解析 把長方體的頂點及稜線AE 的分點坐標化：

A ( 4 , 0 , 0 )，B ( 4 , 4 , 0 )，C ( 0 , 4 , 0 )，

D ( 0 , 0 , 0 )，E ( 4 , 0 , 6 )，F ( 4 , 4 , 6 )，

G ( 0 , 4 , 6 )，H ( 0 , 0 , 6 )，K ( 4 , 0 , 4 )，

M ( 4 , 0 , 2 )，

KH＝( －4 , 0 , 2 )，KF＝( 0 , 4 , 2 )，

KH．KF＝4，

cos∠HKF ＝ 4

20 ． 20 ＝1 5 ； MH＝( －4 , 0 , 4 )，MF＝( 0 , 4 , 4 )，

MH．MF＝16，

cos∠HMF ＝ 16

32 ． 32 ＝1 2 ； AH＝( －4 , 0 , 6 )，AF＝( 0 , 4 , 6 )，

AH．AF=36，

cos∠HAF ＝ 36

52 ． 52 ＝ 9

13 ≈ 0.6923。

(1) 銳角角度愈大餘弦值愈小，故 cos∠HKF＜cos∠HMF＜cos∠HAF。

(2) cos∠HAF ≈ 0.6923最接近cos 45° ≈ 0.707，

故三個等腰△的頂角以∠HAF最接近45 度。

(3) △HMF是正三角形，其面積為

3

4 ( 4 2 )²＝8 3 。

(4) KH＝( －4 , 0 , 2 )，KF＝( 0 , 4 , 2 )，

KH×KF＝( －8 , 8 , －16 )，

故可設平面方程式為x－y＋2z＝k，

通過 ( 0 , 0 , 6 )，得k＝12，

故△HKF所在的平面方程式是 x－y＋2z＝12。

(5) MH＝( －4 , 0 , 4 )，MF＝( 0 , 4 , 4 )，

MH×MF＝( －16 , 16 , －16 )，

故可設△HMF所在的平面方程式為 x－y＋z＝m，通過 ( 0 , 0 , 6 )，得m＝6，

故△HMF所在的平面方程式是x－y＋z＝6。

兩個平面的法向量分別為 ( 1 , －1 , 2 )、

( 1 , －1 , 1 )

 cosθ＝ 4

6 ． 3 ＝ 2 2 3 ， 故sinθ＝1

3 ，

即△HKF所在的平面與△HMF所在的平面

所夾的二面角為θ，則sinθ＝1

3 。 選(1)(2)(3)(4)(5)。

。

x 1 2 3 4 5 6 f (x) 負 正 正 負 負 正

14.

^答案

145

解析

^{(1) 正確：bn＝2an＝2a1＋( n－1 ) d＝2a1．( 2d )n－1}

是首項2^a1且公比2^d的等比數列。

(2) 錯誤：若數列〈an〉的公差d＞0，則數列

〈bn〉的公比2^d＞1。

(3) 錯誤：若數列〈an〉的公差d＜0，則數列

〈bn〉的公比0＜2^d＜１。

(4) 數列〈an〉的首項a1＝1，公差d＝1 2 ， 要使bn＞4096

 b_n＝2^an＝2^{a1＋( n－1 ) d}＝2^a1．( 2^d )^n－1

＝2．( 2 )^n－1＞4096，

( 2 )^n－1＞2048，2

n－1

2 ＞2¹¹， n－1

2 ＞11，n＞23，n ≥ 24，正確。

(5) a1＝1，公差d＝1 2 ，若



i＝1 n

ai＝22  1＋1＋( n－1 )．1 2

2 ．n＝22

解得n＝8，代入等比級數的求和公式

2［1－( 2 )⁸］

1－ 2 ＝30 ( 1＋ 2 )，

正確。

選(1)(4)(5)。

15.

^答案

12345

^解析

由勘根定理

(1) 方程式f (x)＝0在 ( 1 , 2 )、( 3 , 4 )、( 5 , 6 ) 各有1個正實根，

正確。

(2) 觀察三次函數y＝f (x) 的圖形與表格，

在區間( 1 , 2 )、( 5 , 6 ) 是遞增，正確。

(3) 觀察三次函數y＝f (x) 的圖形與表格，在

區間( 3 , 4 ) 是遞減的，正確。

(4) ( x－1 ) ( x－3 ) ( x－5 ) 用 ( x－1 ) ( x－3 ) 來除，餘式為0，

( x－2 ) ( x－4 ) ( x－6 ) 用 ( x－1 ) ( x－3 ) 來除，餘式為9x－24，

故函數f (x) 用 ( x－1 ) ( x－3 ) 來除，

餘式為9x－24，正確。

(5) 把y＝( x－1 ) ( x－3 ) ( x－5 ) 的圖形往右

平移一單位，可得

y＝( x－2 ) ( x－4 ) ( x－6 ) 的圖形，正確 選(1)(2)(3)(4)(5)。

16.

^答案

123

^解析 我們先觀察坐標平均線x＝μx，y＝μy， 再觀察相關係數公式

r＝



i＝1 6

( x－μx ) ( y－μy )



i＝1 6

( x－μx )²



i＝1 6

( y－μy )²

。

(1) 觀察下面兩個圖及相關係數公式的變化，

它把點以直線x＝μx作線對稱，

只是把相關係數公式分子的x－μx 變號，

其餘不變，故(1) r2＝－r1正確。

r1 r2

(2) 觀察下面兩個圖及相關係數公式的變化，

它是把點以坐標平均線的坐標系作45度 線的對稱，只是把分子與分母的 ( x－μx )、( y－μy ) 交換，

其餘不變，故(2) r3＝r1正確。

r1 r3

(3) r4是把r1以直線y＝μy作線對稱，使得

相關係數公式分子的 y－μy 變號，

故(3) r4＝－r1正確。

r1 r4

(4) 如下圖 r5，

是把相關係數公式的所有 x－μx 改為 2x－2μx，

分子與分母的2可消掉，即r5＝r1， 故(4) r5＝2r1錯誤。

r1 r5

(5) 由(2) r3＝r1正確，故(5) r3＝－r1錯誤。

選(1)(2)(3)。

17.

^答案

12345

解析 由上圖觀察

(1) 若輪胎半徑不夠高，汽車底盤最先碰到的 是地面的尖點即為A點。

(2) 假設剛開始時汽車底盤不會碰地，當輪胎 半徑逐漸減少時，前後輪連心線上的中點

。

，

會最先碰到地面。

(3) 已知斜坡的斜角為θ，即tanθ＝3

4 ，當輪

胎半徑逐漸減少，使得前後輪連心線上的 一點開始碰到地面時 ( 如下圖 )，

前後輪連心線與斜坡所夾銳角為 θ 2 ，

由tanθ＝3

4 ＝

2 tan θ 2 1－tan²θ

2

 tan θ 2 ＝1

3 。

(4) 由(3)可求得sin θ 2 ＝ 1

10 。

(5) 輪胎半徑至少需要的高度＝1.5×sin θ

2 ， 則底盤高度 ( 輪胎半徑 )

＝3 2 × 1

10 ＝ 3 10

20 ≈ 0.4743 ( 公尺 )，則 至少要48公分。

選(1)(2)(3)(4)(5)。

第貳部分：選填題 A.

^答案

643

解析 圖(一)：a1＝6

圖(二)：a2＝6＋9

圖(三)：a3＝6＋9＋4＝6＋( 9＋4 )×3－1 2 圖(四)：a4＝6＋9＋4＋9

圖(五)：a5＝6＋9＋4＋9＋4 ＝6＋( 9＋4 )× 5－1

2

由上述可知，在奇數圖的部分，可以歸納為 an＝6＋( 9＋4 )×n－1

2 ，

故圖(九十九)：a99＝6＋( 9＋4 )×99－1 2 ＝643。

B.

^答案

21

解析 假設原來放射性碘的數量是N0，a是每天的蛻 變率，經過8天後數量變成N0．a⁸。

由N0．a⁸＝1

2 N0， x天後數量變成 1 6 N0， N0．a^x＝1

6 N0，得到聯立方程式



 

^a8＝ ₂ ¹

a^x＝1 6

， 上下兩式兩邊取對數



8 log a ≈－0.3010

x log a ≈－0.3010－0.4771 ，

上下兩式左右各自相除得8

x ≈ 0.3010 0.7781 ，得到 x ≈ 20.68，最小正整數的x是21，

故至少要過21天後，放射性元素的數量會由 N0變成 N0

6 。

C.

^答案

20

解析 每位同學的水果有4種選法，23位同學，由 重複排列，共有4²³種選法。

令x＝4²³，則log x＝23．log 4 ≈13.846，

即x ≈10^13.846＝10^0.846×10¹³， 由log 2 ≈ 0.3010，亦即2 ≈ 10^0.3010。

log 3≈ 0.4771，亦即3 ≈ 10^0.4771。

log 4＝2 log 2 ≈ 0.6020，亦即4 ≈ 10^0.6020。 log 5＝1－log 2 ≈ 0.6990，亦即5 ≈ 10^0.6990。 log 6＝log 2＋log 3 ≈ 0.7781，

亦即6 ≈ 10^0.7781。

log 7 ≈ 0.8451，亦即7 ≈ 10^0.8451。

log 8＝3 log 2 ≈ 0.9030，亦即8 ≈ 10^0.9030。 由上面可以看出10^0.846 ≈ 7.…，即科學記號的 a＝7.…，n＝13，故 i＋n＝7＋13＝20。

( 由maple算得 4²³＝70368744177664 )