1. 證明：
(1)由「已知條件」或「已確認的性質」推論出結論的過程，稱為證明。
(2)證明的過程常寫成「已知、求證、證明」的格式：
已知：題目給的條件。
求證：題目所要得到的結論。
證明：運用「已知條件」或「已確認的性質」所做的推論過程。
2. 三角形內分比性質：
如右圖，△ABC中，若∠BAC的角平分線與相交於D點，
則：＝：。【課外延伸】
3. 偶數與奇數的表示：
(1) 偶數都可以用2k(其中k是整數)來表示。
(2) 奇數都可以用2k＋1或2k－1(其中k是整數)來表示。
(1) 如圖，若//，，∠ABC＝55°，求∠DEF
＝？
(2) 如圖，若L//M，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝
190°，求∠1＋∠3＝？
(1) 如圖，若//，，∠ABC＝75°，求∠DEF
＝？
(2) 如圖，若L//M，若∠1＋∠4＝65°，求∠2
＋∠3＝？
∠2＋∠3
48 3-1 加強演練
如圖，△ABC中，＝＝13，＝24，
，，則＋＝？
如圖，△ABC中，＝＝10，，，若＋＝，則
△ABC腰上的高＝？
如 圖 ， △ABC 與 △BDE 均 為 正 三 角 形 ， 且
∠AED＝140°，則∠ECD＝？
∠ECD
∠ECD
已知：如圖，△ABC為直角三角形，∠ABC＝
90°，△ABE、△BCD皆為正三角形。
求證：＝。
49 3-1 加強演練
如圖，△ABC為邊長為6的正三角形，D、E兩 點分別在、上，且∠ADE＝60°，＝2，則＝？
如圖，四邊形ABCD為矩形，E、F兩點分別在
、，且∠AEF＝90°，＝4、＝8、＝2，＜，則
＝？
已知：a、b皆為正整數，且a＝2b。
求證：a2＋b2是5的倍數。
已知：a、b皆為正整數，且b＝a－3。
求證：a2－b2是3的倍數。
a2－b2
如圖，△ABC為直角三角形，∠B＝90°，＝
7，＝25，且平分∠BAC，則＝？
如圖，平分∠BAC，：＝5：3，且＝2x＋1，＝
3x＋2，則x＝？
3-1 加強演練 50
一、選擇題：(每題8分，共40分)
( ) 1. 如圖，，，且＝，＝，若要
證明△ADF △CBE，則須利用何種全等性質？
(A) SSS (B) SAS
(C) AAS (D) RHS
( ) 2. 有三張紙牌，紙牌上分別標示著4、5、6，若將3張紙牌以任意方式排列，可得到6個不同
的三位數，則這6個三位數中有幾個是4的倍數？
(A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
( ) 3. 如圖，L//M，四邊形ABCD為平行四邊形，∠1＝30°，則∠2＝？
(A) 10° (B) 20°
(C) 30° (D) 40°
( ) 4. 如圖，梯形ABCD中，為梯形兩腰中點的連線段，＝7，＝3，
則＝？【課外延伸】
(A) 4 (B) 6
(C) 8 (D) 10
( ) 5.若k是正整數，則(2k－3)2－4k2必是多少的倍數？
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 6
二、填充題：(每格8分，共40分)
1. 如圖，△ABC中，、分別平分∠ABC與∠ACB，且//，
則：
(1) 若＝10，則＋＝ 。
(2) 若＝8，＝10，＝15，則△ADE周長為 。
2. 如圖，△ABC中，垂直平分，若＝48公分，＝25公分，
＝5公分，則：
(1) ＝ 公分。
(2) △ABC面積為 平方公分。
3. 如圖，正方形ABCD的兩對角線、交於O點，若∠EOF＝90°， 且＝10，則四邊形OEDF面積為 平方單位。
三、計算題：(共20分)
1. 如圖，矩形ABCD中，沿著摺疊，使得與重合，若∠ABE＝34°，則∠EFG＝？
51 3-1 加強演練
一、選擇題：(每題5分，共20分)
( ) 1.在△ABC和△DEF中，若＝，＝，且 B＝E，則此兩三角形的關係為下列何者？
(A) 全等 (B) 不全等
(C) 不一定全等 (D) 條件不足，無法判斷
( ) 2.如右圖，若L // M，則△AOB和下列哪個三角形相似？
(A) △BOC (B) △DOE (C) △DOF (D) △FOE
( ) 3.如右圖，ABCD為正方形，若＝，則下列推論何者錯誤？
(A) △ADF△DCE (B) △ADF～△DGF (C) △AGD～△DGF (D) △AGE～△DGF
( ) 4.如右圖，四邊形ABCD是正方形，△BCE是正三角形，則AED＝？
(A) 75°
(B) 140°
(C) 150°
(D) 160°
二、填充題：(每格6分，共54分)
1. 如右圖，⊥L，⊥L，BAC＝90°，＝，若＝3，
＝4，則＝ ，＝ ，＝ 。
2. 菱形兩條對角線長的比為3：4，且其面積為24平方公分，則菱形的周長 為 公分。
3. 如下圖(一)，平分∠ABC，＝，＞，∠BAD＝112°，則∠C＝ 度。
4. 如 下 圖(二)， 等 腰 △ABC 中 ， ＝ ＝12， 平 分 ∠ABC， 且//， 若 ＝5， 則 △ADE 的 周 長 為
。
5. 如下圖(三)，、分別平分∠ABC與∠ACD，若∠A＝70°，則∠E＝ 度。
6. 如 下 圖(四)， 正 方 形 ABCD 與 正 方 形 CEFG 中 ， 若 ∠1＝35°， ∠2＝25°， 則 ∠3＝
、∠4＝ 。
圖(一) 圖(二) 圖(三) 圖(四)
3-1 實力評量 52
三、計算題：(共26分)
1. 如右圖，△ABC為正三角形，且＝＝，求證△DEF為正三角形。(9分)
∴
2. 已知：＝，＝。
求證：⊥。(9分)
3. 已知：a是任意一個偶數，b是任意一個奇數。
求證：ab是偶數。(8分)
53 3-1 實力評量
3-1 證明與推理
一、選擇題：(每題10分，共30分)
( )01. △ABC 中 ， ＝ ， 平 分 ∠ABC， 平 分 ∠ACB， 則 可 根 據 何 種 全 等 性 質 證 得 △BCE
△CBD？
(A) SSS (B) RHS (C) ASA(D) AAS
( )02. 已知直角三角形的三邊長為12、a、b(a、b為正整數)，且b為斜邊，則(a＋b)必為下列哪
一個數的因數？
(A) 216 (B) 192 (C) 168 (D) 144
( )03. 關於奇數、偶數的判別，下列何者正確？
(A) 偶數與奇數的和是偶數 (B) 任意兩個偶數的和是偶數 (C) 任意兩個奇數的和是奇數 (D) 奇數與偶數的積是奇數 二、填充題：(每格10分，共50分)
1. 已知：如右圖，//，且交於E點，＝。
求證：＝。
證明：在△ACE和△BDE中，
∠ ＝∠EBD ( 角相等)
∵ ∠ACE＝∠ ( 角相等) ＝ (已知)
1. ∴△ACE △BDE ( 全等性質)，
故＝。
三、綜合題：(每題10分，共20分)
01. 有5、6、7、8、9五個數字，若由其中任選3個數字相乘，共有10種不同的乘積，則這10個數字中
會有幾個奇數？
02. 若a是正整數，且a被4除後餘2，則a是偶數還是奇數？為什麼？
3-1 實力評量 54
1. 外心：
(1)外心是三角形三邊中垂線的交點，同時也是三角形外接圓的圓心。
(2)外心到三角形的三頂點等距離。
2. 內心：
(1)內心為三角形三內角角平分線的交點，同時也是三角形內切圓的圓心。
(2)內心到三角形的三邊等距離。
(3)三角形面積＝ ×三角形周長×三角形內切圓半徑。
(4)直角三角形中，內切圓半徑＝ ×(兩股和－斜邊長)。
3. 重心：
(1)重心為三角形三中線的交點。
(2)重心到一頂點的距離等於過該頂點之中線長的 。
(3)三角形的重心與三頂點的連線段將此三角形的面積三等分。
(4)三角形的三中線將此三角形的面積六等分。
4. 多邊形的外接圓與外心：若一個多邊形的每個頂點都剛好在同一個圓上，則此多邊形稱為 此圓的圓內接多邊形，這個圓稱為此多邊形的外接圓，圓心稱為此多邊形的外心。【課外延 伸】
5. 多邊形的內切圓與內心：若一個多邊形的內部有一個圓，且多邊形每邊都與此圓相切，則 此多邊形稱為這個圓的圓外切多邊形，這個圓稱為此多邊形的內切圓，圓心稱為此多邊形 的內心。【課外延伸】
6. 正多邊形都有外心與內心，且外心與內心是同一點。【課外延伸】
7. 正多邊形的對稱軸：【課外延伸】
(1)若一正多邊形邊數是奇數時，其對稱軸是各邊的中垂線，同時也是各內角的角平分線。
(2)若一正多邊形邊數是偶數時，其對稱軸是各邊的中垂線或各內角的角平分線。
如圖，O點為等腰△ABC的外心，＝，
垂 直 平 分 ， 已 知 ＝10， ＝12， 求 ：(1) ＝ ？ (2) ＝？
如圖，O點為等腰△ABC的外心，＝，
⊥於 D點 ， 已 知 ＝15， ＝12， 求 ：(1) ＝ ？ (2) ＝？
如圖，圓O為△ABC的內切圓，為上的高，已 知＝14，＝10，＝12，△ABC面積＝24，求圓 O半徑為何？
如 圖 ， △ABC 中 ， 已 知 ＝25， ＝17， ＝
26，△ABC面積＝204，求△ABC內切圓面積
＝？
55 3-2 加強演練
如圖，G點為△ABC的重心，＝12，
＝15，＝9，若延長中線
至K，使＝，
連接。則：
(1) ＝？ (2)△ABC面積＝？
如圖，G點為直角△ABC兩中線 的交點，∠ACB＝90°，＝30，＝
18，且四邊形BDCG為平行四邊
形，求：
(1) 四邊形BDCG面積＝？
(2) G點到的距離＝？
如 圖 ， 圓 內 接 五 邊 形
ABCDE中，、的中垂線交於
F點，若＝4，＝4，＝6，則 F點到距離為多少？
如圖，圓內接四邊形ABCD 中，、的中垂線交於E點，
若此圓半徑等於5，＝8，則 E點到的距離為多少？
如圖，四邊形ABCD內部有一圓，且四邊形 ABCD每邊都與此圓相切，∠A與∠B的角平 分 線 交 於 E 點 ， 若 ＝ 6 ， ∠ BAD ＝
如圖，五邊形ABCDE內部有一內切圓，∠A 與∠B的角平分線交於F 點，若此圓面積為
25π，且＝6，則△ABF面積＝？
3-2 加強演練 56
60°，∠ABC＝120°，則此圓半徑＝？
如圖，設一正方形ABCD邊長為4，求此正方 形內切圓及外接圓所圍的環狀區域面積。
如圖，設一正五邊形ABCDE邊長為6，設此正 五邊形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，
則R2－r2＝？
如圖為一正八邊形，試畫出此正八邊形所有的 對稱軸。
如圖為一正五邊形，試畫出此正五邊形所有的 對稱軸。
57 3-2 加強演練
一、選擇題：(每題8分，共40分)
( ) 1. 下列關於三角形內心的敘述何者錯誤？
(A) 內心就是三角形三內角角平分線的交點
(B) 等腰三角形的頂角愈小，則其頂點離內心愈遠
(C) 若△ABC的內心為I點，則＝＝
(D) 若三角形的內心與外心在同一直線上，則此三角形必為等腰三角形
( ) 2. 由尺規作圖得知正三角形的外心、內心、重心均在同一點，則正三角形的外接圓的半徑是
其內切圓半徑的多少倍？
(A) 2 (B) 4
(C) (D)
( ) 3. 在△ABC中，∠ACB＝30°，∠ABC＝110°，O點為外心，則∠AOC＝？
(A) 60° (B) 80°
(C) 110° (D) 140°
( ) 4. 在△ABC中，I點為其內心，且∠A＝80°，則∠BIC＝？
(A) 140° (B) 130°
(C) 100° (D) 90°
( ) 5. 直角△ABC中，∠C＝90°，G點為重心，若＝15，則＝？
(A) 5 (B) 7.5
(C) 8 (D) 10
二、填充題：(每格8分，共40分)
1. 如圖，D、E兩點分別為、之中點，若＝2x－4，＝10－x，
＝x－2，則x＝ ；＝ 。
2. G點為正△ABC的重心，、、為中線，若＝12，則：
(1) ＋＋＝ 。
(2) △AGE面積＝ 平方單位。
3. △ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，I點為內心，若△AIC面積為5平方單位，則△BIC面積＝
平方單位。
三、計算題：(共20分)
1. 在坐標平面上有A(－2 , 6)、B(－2 ,－2)、C(4 ,－2)三點，若O點為△ABC的外心，求O點的坐 標為何？
3-2 加強演練 58
一、選擇題：(每題4分，共20分)
( ) 1.右圖是由三條道路圍成的三角形小鎮 ABC，若要在小鎮中建一道
路救援中心，使其到三條道路之距離皆相等，則此救援中心應建在 三角形小鎮的何處？
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( ) 2.右圖為一三角形公園，頂點A、B、C為三個出入口，今要在公園內
建造公廁，使其到三個出入口的距離都相等，則公廁應建在三角形 公園的何處？
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( ) 3.有一塊均勻的三角形木板，若想要在板上穿一條線，使它水平懸在
空中，則此線應穿在三角木板上的什麼位置？
(A) 內心 (B) 外心 (C) 重心 (D) 不一定
( ) 4.如右圖，正△ABC的三中線、、交於G點，且其邊長為4公分，則
△AFG的面積為多少？
(A) (B)
(C) 2 (D) 4
( ) 5.如右圖，直角△ABC中，∠ABC＝90°，O點為外心，G點為重心，
若＝30公分，則＝？
(A) 3公分 (B) 5公分 (C) 10公分 (D) 15公分
二、填充題：(每格5分，共50分)
1. I點為△ABC的內心，(1) 若∠BAC＝120°，則∠BIC＝ 度。
(2) 若∠BIC＝120°，則∠BAC＝ 度。
2. △ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，I點為內心，則△AIB面積：△BIC面積：△CIA面積＝
。
3. △ABC為正三角形，O點為外心，若＝4，則△ABC之周長為 。 4. △ABC中，∠A：∠B：∠C＝5：6：7，則外心O會落在△ABC的 。 5.如右圖，D、E兩點分別為、的中點，與相交於F點，若
△BDF的面積是8平方公分，則△ACD的面積為 平方公分。
6. 如右圖(一)，G點為△ABC的重心，∠ABC＝90°，若＝8，＝6，則△AGB的面積為 。
7. 如右圖(二)，正三角形ABC中，平分∠BAC，為 的中垂線，、交於O點，＝3，則：
(1) ＝ 。
(2) 外接圓與內切圓之面積比為 。
(3) △ABC的面積為 平方單位。
59 3-2 實力評量
圖(一) 圖(二)
三、計算題：(每題10分，共30分)
1. 如右圖，△ABC中，I 點為內心，⊥，⊥，⊥。
已知△ABC的面積為60平方公分，求：
(1) 若＝3公分，則△ABC的周長為多少公分？(5分)
(2) 若5＝6，2＝3，則△AIB面積：△BIC面積：△CIA面積＝？(5分)
2. 如右圖，△ABC中，＝＝15，上的中線＝12，
O點為外心，則和分別為多少？
3. 如右圖，直角△ABC中，∠C＝90°，若＝10公分，＝8公分，
則△ABC的重心G到三邊距離的和為多少公分？
3-2 實力評量 60
3-2 三角形的外心、內心與重心
一、選擇題：(每題10分，共30分)
( )01. 若O點為△ABC的外心，＝5x－3，＝－2x＋11，則＝？
(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8
( )02. 若I點為△ABC的內心，＝5，＝7，＝9，則下列何者的面積最大？
(A) △AIC (B) △AIB (C) △BIC (D) 三者一樣大
( )03. △ABC的三中線、、相交於G點，其中＝8，＝9，＝2，則下列何者錯誤？
(A) ＝12 (B) ＝6
(C) ＝3 (D) ＋＋＝27
二、填充題：(每格10分，共50分)0
01. 如右圖，△ABC中，、分別為∠BAC、∠ABC的角平分線，
若∠C＝52°，則∠APB＝ 度。
2. 若O點為△ABC的外心，∠A＝60°，∠C＝70°，則∠AOC＝
度。
03. 若I點為△ABC的內心，∠A＝60°，∠C＝70°，則∠AIC＝
度。
4. 如右圖，若G點為△ABC的重心，＝，且△AGF的面積為4，
則四邊形AHBG的面積 ，△ABC的面積＝ 。 三、計算題：(每題10分，共20分)
01. △ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，若O為外心，且＋＋＝24公分，則△ABC的面積為多少平 方公分？
02. △ABC中，、、為三中線，且G為重心，＝12公分，＝20公分，＝36公分，則三中線長之和 為多少公分？
61 3-2 實力評量
第 3 章 幾何與證明
一、選擇題：(每題5分，共30分)
( )01. 如右圖，四邊形ABCD為正方形，＝＝＝，
若＝5，＝10，則四邊形EFGH的面積＝？
(A) 50 (B) 100
(C) 125 (D) 150
( )02. 若a為奇數，則下列敘述何者正確？
(A) 5a＋2為奇數
(B) a＋7為奇數
(C) 2a－1為偶數 (D) a2為偶數
( )03. 如右圖，△ABC中，∠BAC＝90°，⊥，若＝3，
＝4，＝2，則＝？
(A) (B)
(C) (D)
( )04. 已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，若＝10，則△ABC的外接圓面積為何？
(A) 25π (B) 100π
(C) 25π (D) 100π
( )05. 若O點為△ABC的外心，且∠BOC＝100°，則∠A＝？
(A) 50° (B) 130°
(C) 50°或130° (D) 160°
( )06. 在△ABC中，∠A＝80°，且I點為△ABC的內心，則∠BIC＝？
(A) 120° (B) 130°
(C) 140° (D) 160°
3-2 練習卷 62
二、填充題：(每格5分，共40分)
01. △ABC中，∠C＝90°，O為的中點，若＝8，則＝ 公分。
02. 如右圖，圓O分別與△ABC的三邊相切於D、E、F三點，若＝7，
＝8，＝9，則＋＋＝ 。
03. 若O點為△ABC的外心，＝3x－1，＝x＋5，則x＝ ，
＝ 。
04. △ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，若＝10，則△ABC的內切圓半徑＝ 。 05. 如右圖，△ABC的三中線、、相交於G點，若＝12，
＝18，＝15，則＋＋＝ 。
06. 若△ABC中，I為△ABC的內心，且∠C＝∠B＝∠A，則∠BIC＝ 度。
07. 若△ABC中，O為△ABC的外心，∠A＋∠C＝73°，則∠AOC＝ 度。
三、綜合題：(每題10分，共30分)
01. 已知：如右圖，△ABC與△BPQ皆為正三角形，P在上。
求證：＝。
02. 如右圖，在四邊形ABCD中，若∠ABC＝∠ACD，＝16、＝12、
＝18、＝24，則＝？
03. 若一圓O為△ABC之內切圓，P、Q、R分別為切點。若＝7公分，＝10公分，＝15公分，且
＝3公分，則△ABC的面積為多少平方公分？
63 第3章 練習卷
