電磁波吸波材料使用正向分析問題和逆向設計問題，正向分析問 題(forward problems)：使用已知電磁材料參數的數值計算，分析不同 複合材料之組合對電磁波之散射、穿透、反射與吸收等現象的影響，
對寬頻、廣角度的特性研究。逆向設計問題(inverse problems)：對設 計所需要的參數設定例如頻寛範圍、角度範圍…等，透過最佳化搜 尋，找出最佳化參數，設計出最佳的吸波複合材料。
在此程式使用的模型如圖 4-1，電磁波由空氣入射，最後一層為金 屬層，其中最佳化匹配層可計算一層(含空氣、金屬則是三種介質)、 二層和三層的搜尋最佳化程式，每個最佳化匹配層可找出的5個最佳 化參數，介電常數εr和介電常數損耗角正切(loss tangent)、導磁係數 μr和導磁係數損耗角正切(loss tangent)、和介質寛度，若是最佳化匹 配層為一層，最佳化參數有 5 個，若是二層，最佳化參數有 10 個，
依此類推。
空氣 金屬
最佳化匹配層
圖 4-1 一維吸波材料最佳化設計模型圖
程式的使用方法：(1)先定好計算的參數TE、TM wave 或是角度，而
且先令最佳化匹配層的層數，例如是一層或三層，(2)設定目標函數 (objective function)，例如搜尋最小的反射能量，為了設定搜尋最佳化 參數時離開搜尋，設定參數可以有容許誤差值、遞迴次數，(3)搜尋最 佳化參數，在設定的範圍內計算最佳化參數，搜尋最佳化參數必須有 加限制，加限制的最佳化搜尋例如介質常數εr計算由2-4，導磁係數 μr計算由 6-8，搜尋最佳化參數之前必須設定起始值(initial value)， 由起始值開始找最佳化參數。
解多層介質的作法使用阻抗匹配法(impedance matching)8，反射係 數如式(4-1)，其中Z為波阻抗，當然空間中的電磁波會有各個方向入 射，示意圖如圖 4-2，而且會有多個頻率，由阻抗匹配法的作法是求 出反射係數，若是要得到各個角度反射能量和各個頻率的反射能量，
必須要將每個頻率和角度的反射係數作積分，反射能量的式子如式 (4-2)，由式子可知反射能量ER和角度、TE、TM wave 有關係，由於
0 1
0 1
Z Z
Z r Z
in in
+
= − (4-1)
∫∫
+= r r df θ dθ
ER ( TE 2 TM 2) sin (4-2)
入射波有多個角度入射，所以必須各個角度作積分，而電磁波傳播時 TE、TM wave 出現都可有可能的，所以各別求出 TE、TM wave 的反
8 詳細參考〝附錄 A 阻抗匹配法〞
最佳化設計層 θ
圖 4-2 表面入射波示意圖
射係數再取其平均，對每種可能產生的結果都必須要討論，結果才會 接近實際的現象。
4.1 最佳化程式說明
在程式中分為(1)搜尋最佳化程式使用 matlab 的最佳化工具箱 (Optimization Toolbox)中的指令 optimset 和 fmincon，(2)計算 TE 和TM wave 的反射能量的部份，函數名稱為 rawac。在計算反射能 量 的 程 式 中 可 設 定 的 參 數 有 掃 描 頻 率 範 圍 和 頻 率 權 值(weight factor)、角度範圍和角度權值，還有頻率和角度的掃描點數，計算點 數則影響精準度，但是使用變數多則會使用較多的記憶體；搜尋最佳 化程式中必須設定目標函數(objective function)，設定搜尋參數的最小 誤差、最小容許值和遞迴次數。
計算TE 和 TM wave 的反射能量程式 程式 rawac
語法：
[Er, rse, rsm, freqs, Aglincs, wfs, was]=rawac(X) 參數：
輸入變數
X
輸入變數X 是最佳化匹配層最重要的參數，大小為 1
×5N 的向量，N=1,2,…，N 為層數，最佳化匹配層每一 層為1×5 的向量，二層則必須為 1×10，每一層參數依序 為介電常數εr、導磁係數μr、介電常數的loss tangent 和導磁係數的loss tangent，和介質寛度
輸出變數 Er 平均的反射能量
rse TE wave 的反射係數，為角度和頻率的函數 rsm TM wave 的反射係數，為角度和頻率的函數 freqs 頻率的向量
Aglincs 入射角度的向量，單位為度(degree) wfs 頻率權值因子向量
was 角度權值因子向量
搜尋最佳化程式使用matlab 中 Optimization Toolbox 的指令 optimset和 fmincon，以下就各別討論功能及用法：
(1) optimset：建立或編輯 options 參數結構
語法：
options =
optimset(’param1’,value1,’param2’,value2,…) 參數：
參數名稱 功能
TolFun 函數終止的容許值(最小值) TolX 變數終止的容許值
Display
四種顯示模式(1)’off’：顯示沒有輸出(2)’iter’：每作一次 遞 迴 顯 示 一 次 輸 出 (3)’final’ ： 只 顯 示 最 後 輸 出 (4)’notify’：只顯示輸出在如果函數沒有收斂時
Maxit 遞迴允許的最大次數
e.x.
Options = optimset(’TolFun’,1.e-7,’TolX’,1.e-7,
’Display’,’iter’,’Maxit’,1000);
此例子是設定目標函數終止的容許值為 10-7 次方，變數終止的容許 值為10-7 次方，再每作遞迴時顯示，遞迴次數為 1000 次。
(2) fmincon：加限制非線性多變數函數中找最小值；min f(x)
x 遵守
1) C(x)≤0 ； 2) Ceq(x)=0 ； 3) A⋅x≤b ； 4) Aeq ⋅x=beq ； 5) ub
x
lb≤ ≤ 。 其中 x、b、b 、lb 和 ub 為向量，A 和eq A 是矩陣，eq
Ｃ(x)和C (x)是具有傳回向量值的函數，而且 f(x)是具有傳回純量eq
值的函數，f(x)、Ｃ(x)和Ｃeq(x)可以是非線性函數。
語法：
[x, fval, exitflag] =
fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options) 輸出變數
參數名稱 功能
x 在限制條件下，函數fun 的計算得的最佳化值 x Fval 在最佳化值x 的值下，目標函數 fun 的值
exitflag
離開最佳化搜尋的狀態。
>0，函數收斂到解 x
0，遞迴次數無法使函數收斂到最佳化值
<0，函數無法收斂到解 x
e.x. 1
對二層匹配層作最佳化搜尋，使用全部的厚度限制為2mm [Xopt2, Er2, exitflag2]=
fmincon('rawac',X0,A2,b,[],[],X1,X2,[],Options);
函數名稱為’rawac’，此函數輸入變數為 1×10 的向量，依序為介電 常數εr、導磁係數μr、介電常數的損耗角正切和導磁係數的損耗角 正切，最後為介質寛度。
X0為起始值使用，由起始值開始搜尋，由於有二層介質，所以 x0 為大小為 1×10 的向量
對寛度的限制為2mm，使用限制的條件A⋅x≤b，以下的程式碼 A2
和 b 為對寛度的限制，其中ε =εr − jεi，µ = µr − jµi，
=
2 2 2
2 2
2 2 1
1 1
1 1
1 1
d x d
r i
r i
r r
r i
r i
r r
µ µ
ε ε
µ ε
µ µ
ε ε
µ ε
，
[
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1]
2=
A ，b=[2]，A2⋅x≤b=2，程式碼 如下。
在此例子沒有使用Aeq ⋅x=beq和非線性的條件，變數 Aeq、beq和
nonlcon使用空集合符號[ ]略過。
使用的變數加邊界lb和ub，名稱為x1和x2，對應變數x1為下邊界，
x2為上邊界。
A0=[0,0,0,0,1]; A2=[A0, A0]; b=[2];
X02=[7 3 30 5 1];
X0=[X02, X02];
其中的 options 為建立目標函數。
e.x. 2
對函數 f(x)=−x1x2x3找最小值x，起始點x=[10; 10; 10] 並且遵守限 制0≤x1 +2x2 +2x3 ≤72
作此問題首先在M-檔案定義計算數值 x 且具有傳回純量值 f 的函數
重寫對x 小於等於的限制 0
2 2 2 3
1 + x + x ≤
x
72 2
2 2 3
1+ x + x ≤
x
當兩個限制是線性，以矩陣表示公式的不等式
− − −
= 1 2 2
2 2
A 1
= 72 b 0
提供起始點並且使用最佳化 x0=[10; 10; 10]
[ x, fval ] = fmincon( @myfun, x0, A, b ) 在66 次的函數計算，得解
Xmin=[ 1, 1, 0, 0, dmin];
Xmax=[10, 3, 30, 5, dmax];
dtotal=2; dmin=0.5; dmax=dtotal-dmin*(Nlayers-1);
X1=[Xmin, Xmin]; X2=[Xmax, Xmax];
function f = myfun(x) f = -x(1) * x(2) * x(3);
函數值為
和線性不等式限制 <= 0 求的值
4.2 計算最佳化例子
以下要計算最佳化搜尋的例子，以下的最佳化搜尋例子中使用共 同程式的部分擷取如下，其中厚度(dtotal)預設為 2mm，最小厚度 (dmin)為 0.5mm，而且輸入限制參數下限(Xmin)上限(Xmax)，若是 不設定參數限制，則會產生介電常數εr、導磁係數μr的虛部和介質 寛部會很大結果，所以在最佳化搜尋時都會加上限制。
A*x-b = -72 0
favl = -3.4560e+03 x = 24.000
12.000 12.000
計算最佳化匹配層為一層的例子
使用掃描角度θ =0~600，掃描頻率f = 8-12 GHz，全部介質厚度 為2mm，執行完共同執行的程式部份，再執行以下的範例程式
得到的最佳化參數依序為，介電常數εr、導磁係數μr、介電常數的 損耗角正切和導磁係數的損耗角正切，最後為介質寛度，損耗角正切 的單位為度(degree)，
得到的反射能量如圖4-3，將得到的 TE、TM wave 的反射係數對角度 和頻率積分，最小的反射能量為0.0534。
Nlayers=1; X0=X01; A1=A0; X1=Xmin; X2=Xmax;
[Xopt1, Er1, exitflag1]=
fmincon('rawac',X0,A1,b,[],[],X1,X2,[],Options);
[Er1, rse1, rsm1]=rawac(Xopt1);
Nlayers=1; dtotal=2; dmin=0.5;
dmax=dtotal-dmin*(Nlayers-1);
Xmin=[ 1, 1, 0, 0, dmin];
Xmax=[10, 3, 30, 5, dmax];
X02=[7 3 30 5 2]; % Initial guess of good point eps1=7; mu1=1; lte1=10; ltm1=5; d1=.6;
X01=[eps1,mu1,lte1,ltm1,d1];
[Er1, rse1, rsm1, freqs, Aglincs, wfs, was]=rawac(X01);
A0=[0,0,0,0,1]; b=[2];
Options=optimset('TolFun',1.e-7, 'TolX',1.e-7, ...
'Display','iter','Maxit',200,'MaxFunEvals',2500);
6.6718 3.0000 30.0000 5.0000 2.0000
頻率
反射能量
圖 4-3 最佳化匹配層一層的反射係數圖
計算最佳化匹配層為二層的例子
使用掃描角度θ =0~600，掃描頻率f = 8-18 GHz，全部介質厚度 為2mm，每層介質最小厚度為 0.5mm，執行完共同執行的程式部份，
再執行以下的範例程式
得到的最佳化參數依序為，介電常數εr、導磁係數μr、介電常數的 損耗角正切和導磁係數的損耗角正切，損耗角正切單位為度，最後為 介質寛度，第一層的參數為第一行，第二層的參數為第二行，
Nlayers=2; X02=[7 3 30 5 1]; X0=[X02, X02]; A2=[A0, A0];
X1=[Xmin, Xmin]; X2=[Xmax, Xmax];
[Xopt2, Er2, exitflag2]=
fmincon('rawac',X0,A2,b,[],[],X1,X2,[],Options);
[Er2, rse2, rsm2]=rawac(Xopt2); Xos2=reshape(Xopt2,5,2)'
得到的頻率對反射能量如圖4-4，將 TE、TM wave 的反射係數對角度 和頻率積分，最小反射能量為0.0646。
頻率
反射能量
圖 4-4 最佳化匹配層二層的反射係數圖
計算最佳化匹配層為三層的例子
使用掃描角度θ =0~300，掃描頻率f = 8-12 GHz，全部介質厚度 為2.5mm，執行完共同要執行的程式部份，再執行以下的範例程式
得到的最佳化參數如下，第一層的參數為第一行，第二層的參數為第 X30=[7 3 30 5 2/3]; X0=[X30, X30, X30];
Nlayers=3; A3=[A0, A0, A0];
X1=[Xmin, Xmin, Xmin]; X2=[Xmax, Xmax, Xmax];
[Xopt3, Er3, exitflag3]=
fmincon('rawac',X0,A3,b,[],[],X1,X2,[],Options);
[Er3, rse3, rsm3]=rawac(Xopt3); Xos3=reshape(Xopt3,5,3)' 10.0000 3.0000 30.0000 5.0000 0.9181
4.8126 3.0000 30.0000 5.0000 1.0819
二行，第三層的參數為第三行，
得到的反射能量如圖4-5，將 TE、TM wave 的反射係數對角度和頻率 積分，最小反射能量為0.0402。
頻率
反射能量
圖 4-5 最佳化匹配層三層的反射係數圖
得到以上的結果可以得知，加了限制之後得到的最佳化數值介電 常數εr和導磁係數μr的虛部會到逹限制的最大，由於虛部是電磁波 傳播的消耗，寛度也會到限制值的最大，寛度增加會增加波傳播的路 徑，所以計算得到的數值都是合乎物理意義，當然以現有的材料作最 佳化。
8.6632 3.0000 30.0000 5.0000 0.5000 10.0000 3.0000 30.0000 5.0000 0.5453 5.8361 3.0000 30.0000 5.0000 0.9547