共振腔吸波理論分析

共振腔吸波的部分分為以下討論，平面波的反射及折射、場量與 能量的反射及穿透、單層結構的入射及反射、多層介質特性阻抗之計 算、共振腔吸波、共振腔吸收原理。

2.2-1 平面波的反射及折射

如圖 2.2-1 中所示，在單一界面區隔開的兩介質中，對於一個由 斜角入射的平面波，根據電磁傳播理論，依電磁場極化方向的不同²， 因此我們可以得到在介面上的反射係數r 及穿透係數 t 之關係(電場比)

2 分成垂直極化(perpendicular polarization 又稱 s 極化、E 極化或橫向電波 transverse electric wave 簡 稱 TE wave)，與平行極化(parallel polarization、p 極化、H 極化或橫向磁波 transverse magnetic wave 簡 稱 TM wave)等兩類。

為：

其中，Z 稱為波阻抗(wave impedance)，下標“1”代表介質一，下標

“2”為介質二。

則是材料的介電常數(relative dielectric) TM wave 的反射係數和穿透係數

1

cos cos cos cos

θ

能量= Z EH E

= 2 ，其中

Z

H = E，同樣的根據能量不滅定律以及場量的

反射與穿透係數，可以寫成

2 2 12 1

2

1 12

Z t Zr =

− (2.2-8)

和式(2.2-7)比較，改寫成

2 12 2 1 2

12 ( )

1−r = Z Z t (2.2-9)

可以得到能量係數和場量係數間的關係。

2

r12

R= ， ₁₂² t₁₂t₂₁ Z

Z Z t Z

Z

T Z =

= +

= ₂

2 1

2 1 2

1

) (

4 (2.2-10)

2.2-3 單層結構的入射及反射

θi

A₁ Ai

B₁ B₂

A₂ n1 n2 n3

time l position θ₂

x

圖 2.2-3 三層介質之多重反射與穿透現象示意圖

考慮一個如圖2.2-3 中的三層介質結構(二個界面)，可推導出在經 過多重反射與折射後，其場量總反射係數與穿透係數如式(2.2-11)及

(2.2-12)所示之關係式³： 式，又當第三層介質為理想導體(Perfect conductor)時，在其界面上產 生全反射，也就是反射為r23 = -1；在此，必須特別留意的是，雖然折 射率可以決定材料的吸收量，但是要使得整體的反射能量少，則首要 條件是在式(2.2-11)中的第一項要盡量的小，讓大部分能量能進入第 二層被吸波材料吸收，也就是在第一個介面的反射率要趨近於零。

3 此詳細部分參考[13]〝Pochi Yeh, Optical Waves in Layered Media, 10th ed., Wiley, Singapore, 1991, pp. 86-88〞

2.2-4 多層介質特性阻抗之計算

要達到上一節的目的，也就是要達到阻抗匹配的條件，因此必須知 道要如何計算多層介質的特性阻抗，如圖 2.2-4，其中R 是單獨中間₀ 層介質的特性阻抗，Z 是由第一個介面看過去的特性阻抗，_i Z 是由_L

第二個介面看過去的特性阻抗，因此我們可以在得知每一層的特性阻 抗後以式(2.24-1)計算全部介質的特性阻抗。

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

l R₀

Z_L Zi

圖 2.2-4 多層介質之特性阻抗

l jZ

R

l jR

R Z Z

L L

i β

β tan tan

0

0

0 +

= + (2.2-13)

當Z 趨近無窮大或是零時可得到以下的關係 _L

=0

ZL ⇒Z_is = jR₀tanβ l (2.2-14)

∞

L →

Z ⇒Z_io =−jR₀cotβ l (2.2-15)

當Z_L =0時可以視為短路(short)，因此Z 記為_i Z ，同樣的當_is Z_L =∞ 時視為開路(open)，Z 記為_i Z 。如果中間介質的寬度和波長是 1/4 或_is 1/2 的關係時，則我們可得到以下的關係

4 / ) 1 2

( − λ

= n

l ，βl = n(2 −1)π /2 ⇒Z_i = R₀² Z_L (2.2-16) 2

λ/ n

l= ，βl=nπ (n=1, 2, 3…) ⇒Z_i = Z_L (2.2-17) 由以上推導可以設計出阻抗匹配的條件⁴，也就是Z 和第 I 層介質_i 的特性阻抗相等，此時將沒有反射的發生，因此我們可以選擇第Ⅱ層 介質厚度為波長的1/4 倍，特性阻抗R₀ = Z_LZ_i 達到阻抗匹配。但是

以此種方法達成的無反射和頻率及角度有強烈的相依關係，因此只要 不是在此角度及頻率入射，其反射都將會急速上升。

2.2-5 共振腔吸波

n1 n2 n3 n1 n2 n3

圖(2.2-5a) 圖(2.2-5c)

n1 n2 n3

圖(2.2-5b) 金屬 金屬

薄膜

圖 2.2-5 各種不同共振腔吸波方式

由前幾節的分析，考慮以各種不同的共振腔來進行吸波的理論分 析及研究，在這裡提出三種不同的結構來加以討論，圖(2.2-5a)是最 普通的三層結構，由前面的分析得知，只要找到適當介質調整厚度以 達到阻抗匹配的條件便可以達到無反射的條件，圖(2.2-5b)便是較實

4 阻抗匹配法參考〝附錄 A 阻抗匹配法〞

際的情況，最後一層介質是金屬，同樣的是要選擇適當的介質材料以 達到阻抗匹配，同時材料需要具有吸波特性，才能確實的將波完全吸 收。另外可如圖(2.2-5c)在第一層介面加上薄膜，令電磁波滯留在吸 收層中，以便有更多能量衰減的機會。如以被覆高導電性材質(如金 屬)來加強反射，但厚度必須小於膚層深度(skin depth)，如此才能有電 磁波穿透過此薄膜，並在後段形成振盪，而增加傳播路徑，同時增加 吸收效果、減低反射。或者可以利用多層介質堆疊變化來代替金屬

層，使各層介質間傳播常數有β_i = β_i−1β_i+1之特性且介質厚度為四分 之一波長時(即阻抗匹配)，反射將為零，尤其是當材料具吸收性時，

便符合完美接合層(Perfectly Matched Layers, PML)理論的精神。

n

1

n

₂

1

l

良導體

x

圖 2.2-6 共振腔第一層介面入射反射示意

將圖(2.2-5b) 以圖 2.2-6 重新表示，對圖 2.2-6 結構作分析，根據 前面推導三層介質的反射公式，我們作以下的化簡；由於第三層是良 導體，因此Z₃ =0⇒r₂₃ =−1。根據式(2.2-11)作以下的推導

nl jk

nl jk

e r

e r r

0 0

2 21

2 12

1 ⁻

−

+

= − (2.2-21)

因此只要

+

對於吸波材料，主要利用兩種方式加強吸收的效果，第一直接增 加介質index 的虛部，使得衰減係數變大，自然能量便會被材料吸收。

第二利用散射增加波的傳播路徑，如圖 2.3-1，走的路徑變長了，被 材料吸收的能量自然也跟著增加。

I

圖 2.3-1 散射傳播路徑示意圖

(a) 平面：純反射 (b) 粗糙面：散射 (c) 粒子：散射 圖 2.3-2 反射及散射示意圖

無論散射或者是反射，光都是遵從著史奈爾定律在移動著，也就 是入射角等於反射角，因此，一旦入射的平面不再是光滑均勻的，自 然的各種方向的反射波就會出現而造成散射，而對於任一物體，其散 射效果通常是以散射截面積(Scattering cross sectionσ_s)表示。對於散 射截面積以下式表示，

π ω ω σ ω

σ

σ_s ⁼

∫

π _d d ⁼

∫

π f u u d ^{= t}

∫

4π p u u d

2 ' 4

'

4 ( , )

) 4 , (

i

s s s

S

a d H

∫

E ^{× ⋅}

= ⁰Re(¹₂ ^*)

(2.3-1)

其中 f(u,u^')是散射振福，p(u,u^' )是相位函數，u是入射接受角，u^' 是散射角。如圖2.3-3

u u‘

圖 2.3-3 散射示意圖

2 1

σ

t

/σ

g

σ

_a

/σ

_g

Size/λ

圖 2.3-4 總截面積σ_t與吸收截面積σ_a對幾何截面積σ_g之歸一化曲線 另外我們可將總截面積σ_t與吸收截面積σ_a對幾何截面積σ_g之間 的關係畫成如圖2.3-4，因此當





≈

⇒ ≈

>>

g a

g

size t

σ σ

σ σ

λ

2

1 (2.3-2)







≈

+ ′′

′ −

⇒ ≈

<

''

2 2

4[( 1) ]

) ( 1

r g

a

r r

g s

size size

size

λ ε σ

σ

ε λ ε

σ σ

λ ^(2.3-3)

因此當散射中心與波長相當時，會有最大散射效果。由於吸收材料的 吸收能力和電磁波在其材料內部走得距離有一定的關係，因此必須考 慮光走的距離也就是光行程，將光行程以下式表示，

tL

nσ ρ

τ = (2.3-4)

其中ρ_n為體積粒子密度，L 為傳播層厚度。由於質量是個定值，因此，

const.

4 ³3 =

⋅ r

n π

ρ





<

→

×

>

→

∝ ×

∴ π λ λ

λ σ π

ρ r r r r

r r

r _{n t} r

, )

( 1

, 1 1

4 4

3 2 3

(2.3-5)

其中r 為粒子半徑，將上式結果可以畫成如圖 2.3-5

λ r ρ

_n

σ

_t

圖 2.3-5 ρ_nσ_t對粒子半徑r之關係圖

針對金屬背板(全反射)光行程，由於是走來回路徑，所以距離 L 乘2，又 size∼λ 時，散射截面積＝幾何截面積＝A，因此代入(2.3-4) 可得到

AL

L _n

t

nσ ρ

ρ

τ = ⋅2=2 (2.3-6) 以鋁箔(密度＝3g/cm )為散射粒子，且摻雜密度為 0.027³ kg/M ，粒子² 厚度d＝10mm，傳播層厚度 L＝2mm

) fraction (volume

005 . 0

) g/cm 7 . 2 ( ) 2 . 0 kg/(M 027

. 0

( ^{2 3}

=

⋅

= mm

V_Al

(2.3-7)

針對單層散射結構考慮一次散射之情形則

2 2 . 10 0 10

005 . 2 0 2

4 × =

× ×

=

×

⋅ ×

×

=

−

L d A

A V_Al τ

(2.3-8)

dB10loge^−τ ≈−8.7

又因為V_AlL/d =1，所以可知實際製作上以25%的覆蓋率則需分成4 層，因此會引進多重散射，導致更大的散射截面積，而有更佳的效果。

第三章 吸波材料混合公式(Mixing formula)

對於一個一維理想的三層介質中，如圖 3-1 所示，假設電磁波由 左邊的空氣射入第二層的複合材料中，第三層可以是全反射材質，用 以模擬實際產品應用之情形，也可以是空氣，以完整分析瞭解材料特

空氣

Ⅰ Ⅱ Ⅲ

I R

圖 3-1 一維三層介質模型

性；由此模型，當我們考慮在第一種情況下，並假設複合材料的介電 常 數ε₁ =7 、 導 磁 係 數 µ₁ =3 ， 損 耗 角 正 切 分 別 為 tanδ_e =0.4與

3 . 0

tanδ_m = ，複材的厚度為 3mm⁵，觀察頻率由 5G到 30G 的頻段，

得到其吸收效果如圖3-2所示。

由圖可知，特定之參數會使得特定頻率擁有最小的反射率，我們 冀望之吸收特性便可由參數的調整，透過數值的模擬計算得到，雖然 一維模型還不足以表現出全部的區域，但是可以由一維為基礎，進而 推廣到二維和三維，找到最佳的數值方法以達成我們要的目標。在正

5 使用參數參考[4]〝袁杰, 王榮國, 李穎慧, 張義, 王彪, “多層吸波材料的計算机輔助优化設

計”, 哈爾演工程大學學報, 2002, 4, vol. 21, No. 2, pp. 51-54〞

頻率

反射係數

DB 耗 損

圖 3-2 一維吸收特性模擬圖

向分析找出滿足需求之設計參數後，便需要逆向設計(inverse problems) 複材的配方，也就是材料的選擇與複合之雜質濃度比例的調整了。

電磁波吸波材料需要µ_r和ε_r很大，以便使折射率n= µ_rε_r 變大，

相對的能將材料內的波長壓得很小，使得入射的電磁波可以在其中振 盪增加損耗減少反射，如圖3-3所示：

圖 3-3 電磁波來回振盪示意圖

同時在空氣與吸波材料的介面上，若電磁波傳播阻抗不匹配，也會產

生反射，要求低電磁波的反射，須要達到阻抗匹配，或是相對阻抗差 很小，使得吸波材料的特性阻抗Z = µ ε =Z₀ µ_r ε_r 與入射介質Z₀ 一樣，就可以達到阻抗匹配，所以當µ_r和ε_r很接近時，將有助於減少 電磁波的反射。

結論先前結果，理想吸波材料必須符合以下的條件：

1. μ_r、ε_r 均大而且要接近：(1)折率射大：由於厚度的限制，要將 波長壓得很小，增加傳遞的距離，須要ε_r和μ_r很大，而波長與 n 成反比n= µ_rε_r ；(2)特性阻抗匹配：相對空氣特性阻抗差要小，

降低空氣與吸波材料介面的反射，特性阻抗Z =Z₀ µ_r ε_r ，所以當

µr和ε_r很接近時，將有助於減少電磁波的反射。

2. ε_r^′′、µ_r^′′足夠大：由式子ε_r′′=σ ωε₀ 可知若是ε_r′′大，σ導電率會大，

可產生感應電流，讓電磁波在傳遞也在耗損能量，使之反射回去空 氣曾前吸收到逹到的目標，而µ_r′′產生的磁滯現象感應出相對的磁 場，以增加能量的損耗。

3. 厚度適當：利用共振吸波的原理，選取適當的厚度，以逹共振的 效果，在吸波材料層中的耗損和入射的能量平衡，耗損的能量由入 射的能量補充，以逹到無反射。

電磁波吸波材料有單一物質的形式存在嗎？為了逹到三種吸波機 制，目前還沒有一種物質同時擁有大的µ_r、µ_r′′和ε_r、ε_r^′′，所以提出

以介電質吸收材料為基材，並摻雜磁粉粒子的複合吸波材料，並使厚 度符合共振腔條件以增加吸波效能，如圖3-4所示：

金屬 空氣

吸波複合材料

圖 3-4 吸波複合材料剖面圖

對於等效材料是否是等於等效折射率？在何種條件等效是成立的 呢？我們對於這種問題很有興趣，電磁波對Mixing formula的討論有 很多相關的論文，在此使用Maxwell-Garnett mixing formula求得的等 效的介電常數⁶。

複合材料的等效介電常數ε_e由Maxwell-Garnett mixing formula得 知如式(3-1)

fy fy

e −

= + 1

2 1 ε1

ε ，

1 2

1 2

2ε ε

ε ε

+

= −

y (3-1)

由電磁互易原理(Duality principle)⁷得知電場和磁場有相互的關係，絕 對介電常數和絕對導磁係數有相互的關係如式(3-2)和(3-3)，所以由互

6 詳細部分參考[14]“Ishimaru Akira, Electromagnetic Wave Propagation on, Radiation, and Scattering. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1991. P212-215”

7 詳細部分參考[14]“Ishimaru Akira, Electromagnetic Wave Propagation on, Radiation, and

7 詳細部分參考[14]“Ishimaru Akira, Electromagnetic Wave Propagation on, Radiation, and

在文檔中 寛頻電磁波吸波材料設計與數值模擬 (頁 16-0)