第八章 二維有限差分法數值計算模擬
8.3 二維有限差分計算例子
一、空心波導計算(驗證吸波邊界條件) 上下邊界使用電牆
由於吸波理論沒有精確的理論存在，所以使用有限差分法對複雜 結構作數值計算，對於以上的討論推導有限差分式、邊界值處理的近
似方法是否正確，以下面的例子作驗證，一個波長約放20點，上下 邊界使用電牆。
由於介質為均勻介質，以物理直觀得到的場量一定會是由左向右 傳遞的行進波(乘時間項e )jwt ，將計算的場形實部和虛部如圖 8-8和圖 8-9，圖 8-7為場量顏色的尺度，最大值為紅色最小值為藍色，由場形 和波傳遞的結果可知此理論是正確的。
將計算的反射係數和穿透係數前 5 個模態絕對值如下，基模態的 穿透係數為 1，能量幾乎通過，基模態的反射係數誤差在千分之 1， 此例子是假設基模態入射，由於有限差分本身就是近似解，所得到的 是可接受的誤差。
圖 8-7 場量顏色尺度 使用參數
介質為空氣，入射波長λ =3×10−2
計算寛度(x 方向)L_x=5λ、長度(z 方向)L_z =5λ 入射波為垂直正向入射，計算點數大小100×100
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-8 空心波導上下邊界電牆場形實部圖
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-9 空心波導上下邊界電牆場形虛部圖
反射係數前五個模態絕對值
0.0012、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000 穿透係數前五個模態絕對值
1.0000、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000
入射場量取歸一化對 x 方向位置截面圖如圖 8-10，位置中間場量 最大兩端最小，最大值為0.1414。數值計算結果對x中間位置場形剖 面圖(z方向)如圖 8-11，z 方向場量為正弦波的形式，場量的最大值為 0.1414最小值為-0.1413，和入射場量的值差不多，沒有能量的損失。
計算長度(z方向)為5個波長，由圖 8-11得以證証。
X 方向位置
場量
圖 8-10 入射場量取歸一化對x方向位置截面圖
Z 方向位置
場量
圖 8-11 計算結果x中間位置場形剖面圖
二、空心波導計算 上下邊界使用磁牆
將計算的場形實部和虛部如圖 8-12和圖 8-13，得到的結果是由左 向右傳遞的行進波(乘時間項e )jwt 。
將計算的反射係數和穿透係數前 5 個模態絕對值如下，基模態的 穿透係數為 1，能量幾乎通過，基模態的反射係數誤差在千分之 1， 由於上下邊界磁牆令的基模態是平面波的形式ψ0 = 1 Lx，由數值結
使用參數
介質為空氣，入射波長λ =3×10−2
計算寛度(x 方向)L_x=5λ、長度(z 方向)L_z =5λ 入射波為垂直正向入射，計算點數大小100×100 一個波長約20 點，上下邊界為磁牆
果 可 以 得 證 是 平 面 波 的 形 式 ， 上 下 邊 界 電 牆 基 模 態 基 底 為
Lx x Lx
x π
φ1( )= 2 sin ，基底形式和數值結果是類似的在上下邊界場量
會為零、中間位置為最大，上下邊界兩種邊界牆-電牆和磁牆得到的 結果和理論是符合的。
反射係數前五個模態絕對值
0.0019、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000 穿透係數前五個模態絕對值
1.0000、0.0000、0.0000、0.0000、0.0000
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-12 空心波導上下邊界磁牆場形實部圖
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-13 空心波導上下邊界磁牆場形虛部圖
入射場量取歸一化對 x 方向位置截面圖如圖 8-14，位置中間場量 最大兩端最小，最大值為 0.1。數值計算結果 x 中間位置場形剖面圖 如圖 8-15，z 方向截面場量為正弦波的形式，場量的最大值為 0.1 最 小值為-0.1，和入射場量的值差不多。
X 方向位置
場量
圖 8-14 入射場量取歸一化對x方向位置截面圖
Z 方向位置
場量
圖 8-15 計算結果x中間位置場形剖面圖
三、摻雜單一圓磁粉計算
由上例可證明吸波邊界處理和有限差分的作法是正確的；底下的 例子計算在基材中加入一個圓磁粉，基材加虛部，以物理直觀可知會
有電磁波的吸收，使用介電常數εr 損耗角正切為 0.05，上下邊界使 用電場，計算的場形實部和虛部如圖8-16 和圖 8-17。
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-16 摻雜單一圓磁粉上下邊界電牆場形實部圖 使用參數
基材參數εr1 =10−0.5j，µr1 =1，磁粉參數εr2 =1，µr2 =1000 入射波長λ =3×10−2
計算區域寛度(x 方向)L_x =5λ、長度(z 方向)L_z =5λ 使用圓形磁粉放在計算區域中心，而且使用半徑大小為λ 5 入射波為由左向右垂直正向入射，計算點數為200×200的大小
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-17 摻雜單一圓磁粉上下邊界電牆場形虛部圖
在圓磁粉的左邊和上下可看到散射的現象，在圓磁粉左側可看到 入射和散射合成的駐波，在磁粉的右側可看到波傳遞(乘時間項e )。 jwt
上 下 邊 界 使 用 電 牆 傳 播 常 數 在 高 階 模 態 為 遞 減 波(evanescent wave)，以計算使用的參數在第 32 個模態為遞減波，上下邊界使用磁 牆在第 33 個模態為遞減波，將上下邊界磁牆和上下邊界電牆計算的 反射係數和穿透係數前35 個模態畫出如圖 8-18 和圖 8-19，藍色 x 是 上下邊界電牆，紅色o 是上下邊界磁牆。可看到基材加了虛部後產生 較小的反射，最大反射基模態產生也只有0.03，換算成能量的 DB loss 為-15.23，也就是若是增加基材虛部相對的吸收也會增加，可逹到設 計上的需求。
模態 反
射 係 數
圖 8-18 摻雜單一圓磁粉上下邊界電牆、磁牆反射係數圖
模態 穿
透 係 數
圖 8-19 摻雜單一圓磁粉上下邊界電牆、磁牆穿透係數圖
四、摻雜兩個楕圓磁粉計算
此例子為在基材中加入兩個楕圓磁粉，基材加虛部，觀察能量在 計算區域的傳遞，上下邊界使用磁牆，計算的場形實部和虛部如圖
8-20 和圖 8-21。
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-20 摻雜兩個楕圓磁粉上下邊界磁牆場形實部圖 使用參數
基材參數εr1 =10−0.5j，µr1 =1，磁粉參數εr2 =1，µr2 =1000 入射波長λ =3×10−2
計算區域寛度(x 方向)L_x =5λ、長度(z 方向)L_z =5λ
兩個楕圓磁粉長軸(z 方向)大小為2λ 5、短軸(x 方向)大小為 5λ ， 楕圓磁粉分放在計算區域的(x 方向)2L_x/3和L_ x/3、(z 方向) 在中心
入射波為由左向右垂直正向入射，計算點數為200×200的大小
Z 方向，傳播方向 Ｘ
方 向
圖 8-21 摻雜兩個楕圓磁粉上下邊界磁牆場形虛部圖
分別計算上下邊界電牆和磁牆，將計算的反射係數和穿透係數前 35 個模態畫出如圖 8-22 和圖 8-23，藍色 x 是上下邊界電牆，紅色 o 是上下邊界磁牆。
模態 反
射 係 數
圖 8-22 摻雜兩個楕圓磁粉上下邊界電牆、磁牆反射係數圖
模態 穿
透 係 數
圖 8-23 摻雜兩個楕圓磁粉上下邊界電牆、磁牆場穿透係數圖