一階二次矩法合理性探討

本小節將比較一階二次矩法與蒙地卡羅模擬所計算之安全係數期望 值、標準差以及可靠度，以測試一階二次矩法應用於邊坡穩定分析之合理 性。

表 3.5 至表 3.7 所示分別為蒙地卡羅模擬與一階二次矩法在第 20 小時 所計算之安全係數期望值、標準差與邊坡穩定可靠度，而圖 3.21 至 3.23 則代表其相對誤差。其中一階二次矩法分為 U-FOSM 與 M-FOSM 兩種不 同之計算結果。

(1) 安全係數期望值

由表 3.5 可知，對於安全係數期望值來說，由 U-FOSM 計算之值小於 蒙地卡羅模擬值，且兩者差異隨參數不確定性提高而增加，其原因在於 U-FOSM 之計算結果不隨參數不確定性而改變(詳見 3.2.4 節之討論)，但蒙地 卡羅模擬所計算之安全係數期望值則會隨參數不確定性提高而增大(因凝 聚力取樣資料必須經過前處理，詳見 3.2.2 節之討論)；相同的道理，由於

M-FOSM 計算時有對凝聚力之平均值與標準差進行修正，因此其安全係數

期望值之計算結果較接近蒙地卡羅模擬。然即使 U-FOSM之計算結果與蒙 地卡羅模擬差異較 M-FOSM 來的大，最大相對誤差亦僅約為-2.5%，由此

吾人可歸納一階二次矩法確實適用於計算安全係數之期望值。

(2) 安全係數標準差

由表 3.6可知，無論是 U-FOSM或 M-FOSM所計算之安全係數標準差 皆較蒙地卡羅模擬小，即發生低估之現象，其原因在於一階二次矩法忽略 了安全係數計算式(式 2.1)之泰勒展開式中二次以上之高階項。接著觀察圖 3.22，圖中顯示隨著參數不確定性提高，U-FOSM 與蒙地卡羅模擬之相對 誤差則逐步降低，其原因係由以下兩點現象所造成：(a)U-FOSM 計算之安 全係數標準差小於蒙地卡羅模擬值；以及(b)蒙地卡羅模擬時，因凝聚力經 由前處理後其標準差將小於原始設定值，如 3.2.2(2)節所述，若不確定性 提高則減少的越多，同時也使得安全係數之標準差變小。因此，在蒙地卡 羅模擬之標準差均大於一階二次矩法之計算值時，若蒙地卡羅之標準差減 少量較多，則與一階二次矩法之間差距較小。

(3) 邊坡穩定可靠度

由 3.2.5節之探討可知，安全係數可合理假設為具有常態分佈之型態，

因此風險評估模式計算可靠度之合理性取決於一階二次矩法估算安全係數 期望值與標準差之正確性。依據機率之特性，在安全係數期望值大於 1 之 情形下，降低安全係數期望值會導致可靠度之減小，而降低安全係數標準 差則會導致可靠度之增加，因此比較圖 3.21 至圖 3.23 即可發現，在參數 不確定性較低之案例中，U-FOSM 所計算期望值之相對誤差極低，而標準 差小於蒙地卡羅模擬所得且相對誤差較大，導致 U-FOSM計算之可靠度有 過高之現象；然隨著參數不確定性提高，U-FOSM 所計算期望值之相對誤 差增加，而標準差之相對誤差則減小，因此 U-FOSM計算之可靠度逐步接 近蒙地卡羅模擬之結果。

依據上述之討論，U-FOSM 所計算可靠度之相對誤差最大亦不會超過

7%(低度不確定性案例)，且具有參數不確定性增加則相對誤差越小之現 象，由此測試案例可展現本論文應用一階二次矩法建立風險評估模式之合 理性，且在應用模式時並不需要修正凝聚力之平均值與標準差。