第二章 理論基礎與模式建立
2.1 降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式簡介
對於一般地震或豪雨所引發之坡地崩塌，大多以淺層崩塌為主，在評 估淺層崩塌之可能性時，利用無限邊坡穩定性分析理論所建立之邊坡穩定 分析模式，已廣泛地被採用。無限邊坡穩定性分析乃假設坡地之破壞面平 行於坡面，且崩塌深度遠小於坡地之縱向長度與寬度，如圖2.1所示，並依 據莫爾庫侖破壞準則為基礎，以力平衡概念計算安全係數，作為判別土壤 是否發生破壞之依據，為一種簡易邊坡穩定分析方法。
邊坡破壞之標準可定義為對系統的載重(loading，S)超過系統阻抗能力 (Resistance，R)，應用於無限邊坡穩定分析時，土層重力所產生之剪應力 與土壤剪力強度(抗剪強度)，分別代表上述之載重與系統阻抗能力，當土 層中某一臨界面其抗剪強度降低至小於剪應力，或其剪應力增加至大於抗 剪強度，即產生邊坡斜面之滑動破壞。因此土壤抗剪強度與重力所產生剪 應力之比值，也就是安全係數(FS)，其值小於1時即代表坡地發生崩塌。利 用莫爾庫侖理論所發展之無限邊坡穩定分析，配合時變壓力水頭之計算即 可估計降雨入滲是否引發崩塌。安全係數計算方式可表示如下：
tan ( , ) tan
= - +
tan sin cos sin cos
φ ψ γ φ
α γsat αw α γsat α α
Z t c
FS Z Z (2.1)
其中FS 為安全係數；t為時間(T)； Z 為垂向深度(L)； ( , )ψ Z t 為第t時 刻位於地表下方Z公尺處之壓力水頭(pressure head)(L)；φ為土壤內摩擦角 (friction angle)；c為土壤凝聚力(cohesion) (ML-1T-2)；α為坡度(slope
angle)；γw與γsat則分別代表地下水與飽和土壤之單位重(unit weight) (ML-2
(0, ) cos2
ψ α
∂ = − +
∂ t I KZ sat
Z if (0, )ψ t ≤0 and t T< (2.5) d
(0, ) 0
ψ t = if ψ(0, )t >0 and t T< d (2.6)
(0, ) cos2
ψ α
∂ =
∂ t
Z if t T> d (2.7)
其中IZ為降雨強度(rainfall intensity) (LT-1)；Td為降雨延時(rainfall duration) (T)。
在數值方法上，Tsai and Yang (2006)利用有限元素法求解式(2.2)。計算 步驟如圖2.2所示，首先假設降雨完全入滲，也就是入滲能力大於降雨強 度，利用式(2.5)計算壓力水頭分佈，若地表面之壓力水頭小於或等於零
( (0, )ψ t ≤0)，表示完全入滲之假設正確並計算下一個時距；然而若地表面
之壓力水頭大於零( (0, )ψ t >0)，表示產生窪蓄現象(ponding)，即入滲能力 小於降雨強度，在不考慮窪蓄造成漫地流(overland flow)水深影響下，改變 地表邊界條件，令地表面之壓力水頭為零，如式(2.6)所示，再進行壓力水 頭分佈之計算。
2.2 坡地淺崩塌風險評估模式建立 2.2.1 地質參數統計特性分析
由2.1節「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」之簡介可知，吾人必須 考慮之地質參數包含有飽和水力傳導係數(Ksat)、C0、土壤飽和單位重 (γsat)、凝聚力(c)與摩擦角(φ)等，因此風險評估模式建立之第一步即在分析 上述五項地質參數之統計特性。本論文將依據過去之相關研究整理歸納地 質參數之統計特性，茲詳述如下。
(1) 飽和水力傳導係數
依據Gelhar (1993)與Fetter (1994)之研究，飽和水力傳導係數之機率密 度函數可近似於對數常態分佈(log-normal)，且在不同土壤下，其平均值與 標準差差異甚大，例如砂土(sand)、粉土(silt)與黏土(clay)之飽和水力傳導 係數平均值分別約為10-5~10-7 m/sec、10-6~10-8 m/sec與10-8~10-11 m/sec，而 對數飽和水力傳導係數標準差之變化範圍則廣達0.4~2.6。
(2) C0
依據Iverson (2000)中對於坡地崩塌分析之應用案例設定，C0與飽和水
力傳導係數為正比之關係，然而當飽和水力傳導係數增加2個數量級(order) 時，C0則僅增加約2倍之大小，因此相較於飽和水力傳導係數，C0之變異 程度極小而可加以忽略。
(3) 土壤飽和單位重、凝聚力與摩擦角
依據過去坡地崩塌研究之相關文獻，表2.1與表2.2為本論文所整理歸納 土壤飽和單位重、凝聚力與摩擦角之統計特性資料。由表2.2可知凝聚力在 三者中具有較大之變異係數(Coefficient Of Variation, COV)，且最大可達 0.9；土壤飽和單位重相對而言雖然具有較小之變異係數，但最大亦有 0.1。
在機率密度函數型態方面，由表2.1可知凝聚力與摩擦角可合理假設為 具有常態分佈之特質，本論文進一步假設土壤飽和單位重亦為常態分佈。
(4) 地質參數相關性
Chowdhury and Xu(1993)、Christian et al. (1994)與Husein Malkawi et al.
(2000)皆指出土壤摩擦角、凝聚力與單位重彼此間之相關性相當微小而可
加以忽略；Chen et al. (2007)指出凝聚力和摩擦角雖與地下水位有關，但在 地質參數間相關性資料缺乏之情形下，可合理將其視為互相獨立
(independent)。故本論文假設飽和水力傳導係數、C0、土壤飽和單位重、
凝聚力與摩擦角間彼此互相獨立而無相關性存在。
2.2.2 地質參數敏感度分析
在前小節地質參數統計特性分析中吾人假設C0之不確定性可加以忽 略，因此本節將藉由敏感度分析之技巧，探討飽和水力傳導係數、土壤飽 和單位重、凝聚力與摩擦角之變化對安全係數之影響程度，以決定風險評 估模式建立過程中必須考慮不確定性之地質參數。依據分析方法之不同，
敏感度分析可分為局部(local)與整體(global)之架構，茲詳述如下。
局部敏感度分析
局部敏感度分析又可稱為單因子(one-way)敏感度分析，其分析方法為 一次改變一項地質參數之值並分別計算安全係數，以探討單一地質參數改 變對安全係數之影響，當考慮N項地質參數時，其數學式可表示如下：
1, 2,...,
n
n
FS FS n N
x
Δ =∂ =
∂ x (2.8)
其中xn表示第n項地質參數；ΔFSn表示因xn之變化而造成之安全係數改 變量，因此由式(2.8)可知局部敏感度分析之方法簡單直觀，但分析結果僅 代表xn之改變範圍內，安全係數之線性變化量，較缺乏對輸入參數完整值 域之分析。
整體敏感度分析
整體敏感度分析係對N項地質參數XN×1 (XN×1 = [X1,…,XN]T，T為轉置符 號)，在其所有可能變化範圍內，重複進行隨機取樣後再分別計算安全係 數，並利用線性回歸之技巧建立地質參數與安全係數之簡單關係式，據此 判斷各地質參數之敏感度。其詳細步驟為：
(1) 地質參數取樣：依據2.2.1小節地質參數統計特性分析成果，對飽和水力 傳導係數、土壤飽和單位重、凝聚力與摩擦角等四項地質參數隨機取樣 K組之參數值，可得到一隨機變數之矩陣XN×K。本論文採用拉丁超立方 取樣法(Latin Hypercubic Sampling，LHS) (McKay, 1988)作為取樣之方 法，由於LHS具有以較少取樣次數達到取樣不偏移(unbiased)之特質，
McKay et al. (2000)提出其特別適合作為模式輸入參數取樣之工具。LHS 取樣方法詳述於附錄中。
(2) 安全係數計算：利用「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」配合步驟(1) 所取樣之K組隨機地質參數，計算相對應之K個安全係數值，可以矩陣 形式表示為FS1×K = [FS1, FS2,…, FSK]。
(3) 地質參數正規化(standardize)與安全係數中央化(centralize)：步驟(1)與步 驟(2)所獲得之K組地質參數與安全係數值因具有不同之單位與範圍，需
其中Sn為第n項標準化後地質參數之回歸係數，代表當第n項標準化後 地質參數改變一單位標準差時，對中央化後安全係數造成之改變量，因此 S又可稱為敏感度係數，當其絕對值越大，則安全係數對第n項參數之變化 越敏感。
藉由敏感度分析吾人可歸納安全係數對飽和水力傳導係數、土壤飽和 單位重、凝聚力與摩擦角等之變化皆相當敏感(分析結果詳見3.1節)。
2.2.3 一階二次矩法
工程應用上常以作業函數 f (performance function)作為可靠度分析之依 據，而作業函數一般可定義為
f = − (2.12) R S
或 R
f = (2.13) S
其中R與S分別代表系統阻抗能力與承受載重。本論文採用式(2.13)之定 義，則作業函數 f 即為安全係數FS之計算式(式(2.1))，且邊坡穩定可靠度 αRE可由以下方程式表示：
[ ]
1 1
RE r r
P R P FS
α = ⎡⎢⎣S ≥ =⎤⎥⎦ ≥ (2.14) 其中，Pr[]代表機率。
應用一階二次矩法於邊坡穩定可靠度分析可概分為兩大步驟，分別為 (1)安全係數統計特性計算；以及(2)可靠度指標β (reliability index)計算。以 下將詳述此二步驟之理論與計算方法。
(1) 安全係數統計特性計算
響，則FS可表示為：
( ) f(X XN)
f
FS = X = 1,…, (2.15)
將FS以泰勒級數(Tayler series)在點x0展開可得如下方程式：
( )
式(2.17)為線性方程式，因此依據線性組合(linear combination)原理，若 展開點x0為μN×1 (μ = [μ1,…, μN]T，μn為第n項地質參數之平均值)，則FS之期 望值(expectation)與變異數(variance)可表示為：
[ ] ∑
( )須考慮飽和水力傳導係數、土壤飽和單位重、凝聚力與摩擦角等地質參數
sat sat
Z t c
Var Var Var
Var Var
sin cos Var
sat Z ψ
[ ] ( [ ] )
Var Var
sat
sat sat sat sat
sat sat
g K K g K K
根據 Yarahmadi Bafghiz and Verdel (2005)之研究，安全係數之機率密度 函數型態近似為常態分佈，因此邊坡穩定可靠度αRE可表示為：
式中Φ代表標準常態分佈之累積機率密度函數。
綜上所述，使用一階二次矩法分析邊坡可靠度時之計算流程如圖 2.3 所示，首先利用飽和水力傳導係數之平均值與標準差，由式(2.24)及式 (2.25)計算壓力水頭期望值與標準差，配合其他各項地質參數之平均值與 標準差，由式(2.22)及式(2.23)計算安全係數之期望值與標準差。接著即可 由式(2.27)計算可靠度指標，進而由式(2.28)得到可靠度，可靠度越大則邊 坡危險程度越小。
2.3 小結
藉由本章所建立之坡地淺崩塌風險評估模式，使用者可藉此評估大範 圍之邊坡可靠度，以下整理模式使用所需之設定條件及執行步驟：
(1) 建立模擬網格點並設定地形地文資料，如坡度、土層厚度、初始地下水 位、C0。
(2) 設定降雨條件，如總雨量、降雨延時及降雨組體圖。
(3) 設定具不確定性地質參數之統計特性，如平均值與變異數。
(4) 利用「降雨引發坡地淺崩塌定率評估模式」計算壓力水頭之期望值與變 異數。
(5) 利用FOSM以各項參數及壓力水頭之平均值與變異數，計算安全係數之 平均值與變異數。
(6) 由安全係數之平均值與變異數計算可靠度。
(7) 重複步驟(4)~(6)至範圍內每個格網點之可靠度均計算完成。
第三章 風險評估模式測試
第二章已詳述本論文所發展坡地淺崩塌風險評估模式之理論基礎與建 立方法，本章將利用虛擬之案例進行地質參數敏感度分析以及風險模式之 測試，以評估模式建立過程中不確定性參數選擇、安全係數常態分佈假設 與一階二次矩法之合理性。
3.1 地質參數敏感度分析
依據 2.2.1 小節地質參數統計特性分析成果，飽和水力傳導係數、凝 聚力、摩擦角與土壤飽和單位重為具有較高不確定性之地質參數，本節將 藉由敏感度分析探討上述四個參數對安全係數之影響程度。
3.1.1 案例設定與地質參數選用
給定一個底部堅實且不透水之均勻砂土層，假設土層底端為滑動區塊 的滑動面，土層坡度(α )為 38°，厚度(d )為 3 公尺，地下水位(LZ d )位於地Z 表下方 2 公尺處，C0則參考 Iverson (2000)之研究設定為 0.1，設計參數如 表 3.1 所示。為簡化複雜之氣候變化對雨量、延時及雨型之影響，陳弘恩
給定一個底部堅實且不透水之均勻砂土層，假設土層底端為滑動區塊 的滑動面，土層坡度(α )為 38°，厚度(d )為 3 公尺，地下水位(LZ d )位於地Z 表下方 2 公尺處，C0則參考 Iverson (2000)之研究設定為 0.1，設計參數如 表 3.1 所示。為簡化複雜之氣候變化對雨量、延時及雨型之影響，陳弘恩