一階 LGM 樣本資料相關時序圖

首先觀察模擬樣本資料之時序圖 4.1，由該圖粗略可每一個受測者呈線性成長趨勢，

又當我們僅考慮固定效果而誤差設為 i.i.d 時(即 TOEP(1))，則圖 4.2 為隨機效果之誤差仍 具線性成長之趨勢(見附錄 A-2 式(A.2.2))；又若同時考量固定效果與隨機效果，且 Level-1 ECM 設為 TOEP(1)，則圖 4.3 之 level-1 誤差之時序圖，粗略可看出各期誤差變異並不相 同，表示仍有些結構可補捉。

圖 4.1 300 個受測者之線性成長趨勢線(不含 level-1 ECM(TOEP(1)))

圖 4.2 300 個受測者之隨機效果成長趨勢線(含 level-1 ECM(TOEP(1)))

72

圖 4.3 300 個受測者 ECM 為 TOEP(1)時，殘差時序圖

4.2.5 一階 LGM ECM 穩態性檢定

其次依據圖 3.3 level-1ECM 鑑定流程圖，第一階段為穩態性檢定共有三種方式，如 第三章 3.5 節所示，在 PROC MIXED (HLM 方法)採用概似比檢定，而 PROC CALIS (SEM 方法)，可採用卡方差異性檢定及 SIMTESTS statement。

4.2.5.1 一階 LGM 概似比檢定穩態性

利 用 式 (3.6)

[ 2 ln −

L_R

(

θ₀

| )] [ 2 ln

y

− −

L_U

( | )] ~

θ y χ_Δ²_df ， 其 中

L

_U( | )

θ y

表 示 ECM 為 UN(非穩態)下之 LGM 的概似函數可得到 2 ln−

L

_U( | )

θ y

=7795.6；

L

_R(

θ

₀| )

y

係 ECM 為 TOEP (穩態)下之 LGM 的概似函數而可得到 2 ln−

L

_R( | )

θ y

=7849.0，故

− 2 ln

λ=53.4、

Δdf =6 (見式(3.7)說明)。因此，χ_{Δ =}²_{df 6}

=

−2 ln

L

_R − −( 2 ln

L

_U)= 7849−7795.6 = 53.4 ， p

< .0001)，表示拒絕 ECM 穩態結構。其中 PROC MIXED 指令為 REPEATED statement 之 TYPE=TOEP，另外 TYEP=UN 可分別找到−2* Log Likelihood statistics 之值，並利用 SAS PROBCHI function 計算檢定之 p-value ，其結果如表 4.3 所示，SAS 程式見[附錄 B-2]。

4.2.5.2 一階 LGM 卡方差異性檢定穩態性

由第三章 3.5.2.1 卡方差異性檢定，先求出在 ECM 為 UN 條件下 LGM 模型之配適 值及卡方值 (

N

− ×1)

F UN

_ML( )=

χ

²(

UN

)=5.170，另外當 ECM 為 TOEP 條件下 LGM 模型 之配適值及卡方值 (

N

− ×1)

F

_ML(TOEP)=

χ

²(TOEP)=58.411，檢視兩者卡方差異仍為卡方 分配，而自由度為兩者自由度之差(Δ = )，因此

df

6 χ_{Δ =}²_{df 6}

= χ

²(TOEP) −

χ

²(UN) = 58.411−5.17 = 53.241 其 p < .0001，故拒絕 ECM 為穩態結構，其結果如表 4.3 所示，SAS

73

程式見[附錄 B-2]。

4.2.5.3 一階 LGM SIMTESTS 檢定穩態性

由第三章 3.5.2.2 PROC CALIS 本身內定 SIMTESTS statement 指令，其檢定穩態之虛 無假設為 SIMTESTS statement，其中 STD 及 COV statements 指令同 4.1.2 TOEPH 章節，另式(4.4) 虛無假設之 SIMTESTS statement 程式指令如下:

***************************************************************************;

SIMTESTS ERR_STATIONARY_TEST = [VAREQ_1 VAREQ_2 VAREQ_3

COVLag1EQ_1 COVLag1EQ_2 COVLag2EQ];

VAREQ_1=VARE1–VARE2;

VAREQ_2=VARE1–VARE3;

VAREQ_3=VARE1–VARE4;

COVLag1EQ_1=COVE1E2–COVE2E3;

COVLag1EQ_2=COVE1E2–COVE3E4;

COVLag2EQ=COVE1E3–COVE2E4;

***************************************************************************;

此處 VAREQ_1, VAREQ_2,及 VAREQ_3 表示各期誤差變異數(

1

74

由上可知上述三種檢定方式均可獲得相同結論:圖 2.3 一階 LGM level-1ECM 為非 穩態結構。

4.2.6 一階 LGM SCDT 鑑定 ECM

依據圖 3.3 流程圖中第一階段，已檢視 level-1 ECM 為非穩態，而在第二階段，則 係在非穩態的族群中，依照第三章 3.7 所述找尋 ECM 之順序，並利用 SCDT 鑑定合適的 ECM。首先，以最簡單之 TOEPH(1)開始，採用 SEM 方法(PROC CALIS)檢視 TOEPH(1) 與M_S=UN(飽和 ECM)兩個結構所對應之下，兩模型配適的卡方值差異為 25.789 且 df = 6，可計算得 p < .0001 為顯著，表示 TOEPH(1)不合適(inappropriate)；或是以 HLM 方法 (PROC MIXED)檢視 TOEPH(1)與M_S=UN 兩個結構所對應之下，採用概似比方法獲得

2 ln

λ

−

=25.9 且 df = 6，可計算得 p < .0001 為顯著，仍表示 TOEPH(1)不合適。換言之，

不論以 SEM 或 HLM 方法檢定所獲得結論：TOEPH(1)皆不合適，SAS 程式見[附錄 B-2]。

其次選擇比 TOEPH(1)較少限制式 (less constrained)之 TOEPH(2)當作M_T，再與 MS=UN 兩個結構所對應之下，兩模型配適的卡方值之差為 13.771 且 df =5 可計算得 p

= .017 為顯著，表示 TOEPH(2)仍不合適；或者是以概似比方法得到

− 2 ln

λ=14.8 且 df = 5 可得 p = .011 為顯著，仍表示 TOEPH(2)不合適，其結果如表 4.3 所示，SAS 程式見[附 錄 B-2]。

再次更新選擇比 TOEPH(2)較少限制式之 CSH 當作M_T，再與M_S=UN 兩個結構所 對應之下，兩模型配適的卡方值之差為 13.206 且 df =5 可得 p = .022 為顯著，表示 CSH 仍為不合適結構；或者是概似比

− 2 ln

λ=13.2 且 df = 5 可得 p = .0221 為顯著，仍表示 CSH 不合適，其結果如表 4.3 所示，SAS 程式見[附錄 B-2]。

再次更新比 CSH 較少限制式之 ARH(1)當作M_T再與M_S=UN 兩個結構所對應之下，

兩模型配適的卡方值之差為 5.906 且 df =5 可計算得 p = .315 為不顯著，表示 ARH(1) 為合適之 ECM；或者是以概似比方法得到

− 2 ln

λ=5.9 且 df = 5 可計算得 p = .0221 為不 顯著，仍表示 ARH(1)合適之 ECM。

最後，再檢視 ARH(1)是否比 TOEPH(1)是否有顯著改善，在兩個結構對應之下可得 卡方差異為 19.884 且 df = 1 可計算得 p < .0001 為顯著差異；同時當 ECM 為 TOEPH(1) 時，則對應模型配適度卡方值為 30.960 且 df =7 可計算得 p=0.0002 為顯著，即模型配適 度為不合適；但當 ECM 為 ARH(1)時，則對應模型配適度卡方值為 11.076 且 df =6 可計 算得 p=0.086 為不顯著，即模型配適度為合適，SAS 程式見[附錄 B-2]。

另從 PROC MIXED (HLM 方法)可獲得，當 ECM 為 ARH(1) 時，其模型配適度一

75

些指標： 2LL− , BIC 及 AIC 均為最小；顯然地，以 SEM 或 HLM 兩種方法 level-1 ECM 均以 ARH(1)為較合適。另外在 level-1 ECM 為 ARH(1)之下，表 4.2 中

Γ , Γ

_{0 w},

Θ 及

_ε Ψ_ζη各 參數以 PROC CALIS 及 PROC MIXED 估計及檢定結果彙整於表 4.4，兩者所對應參數估 計結果很接近。PROC MIXED 對

Θ 之參數推論，僅提供

_ε

Θ 主對角線之變異數有推論結

_ε 果，但其餘共變異數參數只提供估計值；但 PROC CALIS 對

Θ 均有提供各參數之估計

_ε 及檢定，且提供模型配適度之推論指標(卡方檢定)。顯然地，以 SEM 方法在模型配適度 及參數的推論提供較多之訊息。最後，當 ECM 為 ARH(1)正確設定時，則最後殘差圖展 現於圖 4.4，由該圖可看出已沒有特殊結構，其結果如表 4.4，SAS 程式見[附錄 B-2]。

表 4.3 ECM 穩態性及二階 LGM 獨立性、穩態性及弱因素不變性檢定

步 驟

ECM 結構

PROC CALIS (SEM) PROC MIXED (HLM)

卡方差異性檢定 SIMTESTS 概似比檢定

χ

2 df Δ

χ

² Δdf P_r > Δχ_Δ²_df df

χ

² Pr>χdf² −2ln L 2ln−

λ

dfΔ P_r >

χ

_Δ²_df

一階 LGM穩態性檢定

0 UN 5.170 1 -- -- -- 6 859.50 <0.0001 7795.6

53.4 6 <0.0001 1 TOEP 58.411 7 53.24 6 <0.0001 -- -- -- 7849.0

Singer and Willett (2003) 資料

0 UN 2.053 1 -- -- -- 6 3.302 0.770 1262.1

2.3 6 0.890 1 TOEP 4.231 7 2.178 6 0.903 -- -- -- 1264.4

二階 LGM 誤差獨立性檢定

0 UN 44.441 31 -- -- -- -- -- -- -- --

1 TOEP 69.979 79 24.538 -- -- -- -- -- -- -- --

二階 LGM 誤差穩態性檢定

0 UN 73.529 85 -- -- -- 6 3.037 0.840 -- -- -- -- 1(

ε

₁) TOEP 76.424 91 2.894 6 0.822 - -- -- -- -- -- -- 0 UN 73.529 85 -- -- -- 6 4.153 0.656 -- -- -- -- 1(

ε

₂) TOEP 77.524 91 3.995 6 0.677 - -- -- -- -- -- -- 0 UN 73.529 85 -- -- -- 6 4.326 0.633 -- -- -- -- 1(

ε

₃) TOEP 77.958 91 4.428 6 0.619 - -- -- -- -- -- --

二階 LGM 弱因素不變性檢定

0 負荷不等 68.979 79 -- -- -- 6 4.581 0.599 -- -- -- -- 1 負荷相等 73.529 85 4.551 6 0.603 - -- -- -- -- -- --

76

圖 4.4 ECM 為 ARH(1)時殘差時序圖

4.3 一階 LGM ECM 鑑定之實證資料

其次再以 Singer and Willett (2003,ch7)之資料為例說明 ECM 鑑定流程，表 4.5 資料 共有 35 個受測者，分別四個等距的時間點之觀察值，且每個受測者皆可獲得四期之觀 察值，故總共有 140 個觀測值，全部觀察值之資料時序圖，如圖 4.5 所示，由該圖可觀 察到每個受測者在初始狀態(如 wave=1)其值有所差異，且受測者彼此間四期變動斜率亦 不盡相同，但卻呈現線性成長之趨勢。在 level-2 含有一個連續之預測變數(COG)，其中 心化為(CCOG_i

=

COG COG_i

−

)。因此，該筆資料以線性成長模型配適之。另該資料之架 構對映到圖 2.3 時，W

=

CCOG。

4.3.1 一階 LGM ECM 穩態性檢定

根據圖 3.3 level-1 ECM 鑑定之流程，第一階段為穩態性檢定，其結果彙整於表 4.3，

以卡方異性檢定為χ_df²₌₆

= χ

²(TOEP) −

χ

²(UN) = 4.2311 − 2.053 = 2.178 可計算得 p

= .903；或以 SIMTESTS 可得χ_df²₌₆

=

3.302 可計算得 p = .77，或汲概似比檢定得

2 ln

λ

− =

−2 ln

L

_R− −( 2 ln

L

_U)= 1264.4−1262.1 = 2.3 其 p = .89。因此，不論以 SEM 方法 或 HLM 方法檢定之結果均獲得 ECM 為穩態結構，其結果彙整於表 4.3，SAS 程式見[附 錄 B-3]。

77

78

= .485 為不顯著，表示 TOEP(1)為合適之 ECM；或是以 HLM 方法(PROC MIXED) 檢視 TOEP(1)與M_S=TOEP 兩個結構所對應之下，概似比方法得到

− 2 ln

λ=2.5 且 df = 6 可計 算得 p = .475 為不顯著，表示 TOEP(1)為合適。換言之，不論以 SEM 或 HLM 方法檢定 獲得 TOEP(1)均合適。因此，level-1 ECM 為 TOEP(1)時，整個模型配適度為χ_df²₌₁₀= 6.68 其 p = .755，表示利用線性 LGM 且 level-1 ECM 為 TOEP(1)配適該筆資料很合適。同時，

不論以 PROC CALIS 或 PROC MIXED 整個模型參數估計結果很相近，並將結果彙整於 表 4.6。並將殘差時序圖繪製於圖 4.6，由該圖大致上可觀察各期誤差間已沒有特定結構，

SAS 程式見[附錄 B-3]。

圖 4.5 35 個受測者實證資料線性成長趨勢線(Singer and Willett,2003, p244)

圖 4.6 35 個受測者實證資料 level-1 殘差時序圖

79

表4.5. Singer and Willett’s (2003, Ch7) 實證資料

ID

OPP1 OPP2 OPP3 OPP4 COG

COG COG_i

−

1 205 217 268 302 137 23.5429

2 219 243 279 302 123 9.5429

3 142 212 250 289 129 15.5429 4 206 230 248 273 125 11.5429

5 190 220 229 220 81 –32.4570

6 165 205 207 263 110 –3.4571

7 170 182 214 268 99 –14.4571

8 96 131 159 213 113 –0.4571

9 138 156 197 200 104 –9.4571

10 216 252 274 298 96 –17.4571

11 180 225 215 249 125 11.5429

12 97 136 168 222 115 1.5429 13 145 161 151 177 109 –4.4571 14 195 184 209 213 95 –18.4571 15 162 138 204 195 118 4.5429 16 119 148 164 208 120 6.5429 17 144 166 236 261 118 4.5429 18 107 165 193 262 115 1.5429 19 167 201 233 216 120 6.5429 20 156 156 197 246 118 4.5429 21 165 228 279 290 126 12.5429 22 197 181 185 217 121 7.5429 23 206 209 230 255 108 –5.4571 24 182 196 217 199 104 –9.4571 25 174 198 229 236 118 4.5429 26 199 238 253 282 104 –9.4571 27 160 178 189 229 124 10.5429 28 184 231 260 292 130 16.5429 29 174 194 189 188 87 –26.4571 30 215 226 257 310 131 17.5429 31 147 188 197 232 109 –4.4571 32 127 172 222 273 115 1.5429 33 165 217 230 286 104 –9.4571 34 76 139 150 214 110 –3.4571 35 166 197 203 233 110 –3.4571

註:在第一層次共有35個人、每個人在4個等距時點均可得到觀察值(OPP1~ OPP4)，在第二層次含 有一個連續之預測變數(COG)

80 有相關性存在(see, e.g., Blozis, 2006; Bollen & Curran, 2006, p. 249; Preacher et al., 2008, p.

81

63; Sayer & Cumsille, 2001)，且均設為 AR(1)，而整個模型母體參數如表 4.7 所示，以供 模擬資料時使用。 (Blozis,2006; Sayer & Cumislle, 2002)，及第三章 3.5.3.2 說明 LGM 弱因素不變性定義為 每個問項在不同期的因素負荷均相同，又因第一個問項因素負荷設為 1 的固定常數，故 弱因素不變性僅需檢定第二個問項及第三個問項在不同期之因素負荷均相等，其虛無假

82 均相等，可使用 LINCON statement，其指令如下:

***************************************************************************;

LINCON

LY21F1=LY22F2, LY21F1=LY23F3, LY21F3=LY24F4, LY31F1=LY32F2, LY31F1=LY33F3, LY31F3=LY34F4;

***************************************************************************;

λ

)均設相等。LY31F1, LY32F2, LY33F3 及 LY34F4 表示第三個問項在 四期之因素負荷 (

另一種檢定弱因素不變性之方法，採用 PROC CALIS 內定 SIMTESTS statement，是 同時檢定式(3.25) 六個函數皆為 0，其虛無假設如式(3.25)：

SIMTESTS WEAK_INVARIANCE_TEST = [LOADEQ_1 LOADEQ_2 LOADEQ_3 LOADEQ_4 LOADEQ_5 LOADEQ_6];

LOADEQ_1= LY21F1–LY22F2;

LOADEQ_2= LY21F1–LY23F3;

83

LOADEQ_3= LY21F1–LY24F4;

LOADEQ_4= LY31F1–LY32F2;

LOADEQ_5= LY31F1–LY33F3;

LOADEQ_6= LY31F1–LY34F4;

***************************************************************************;

上述程式指令 ‘LOADEQ_1–LOADEQ_6’六個函數，在 SIMTESTS statement 同了時以 WEAK_INVARIANCE_TEST 為名稱，置於 SIMTESTS statement。檢定結果

χ

_df²₌₆= 4.581 經計算可得

p = .599 為不顯著，表示弱因素不變性獲得支持，結果彙整於表 4.3，SAS

程式見[附錄 B-5]。

4.4.5 二階 LGM ECM 穩態性檢定

二階 LGM 之 level-1ECM 經由獨立性檢定及弱因素負荷不變性檢定，均獲支持。下一個 步驟則依據圖 3.3 ECM 鑑定流程圖，共有兩個階段分別為：第一階段為穩態性檢定、第 二個階段 SCDT 鑑定 ECM。而就穩態性檢定而言，在 PROC CALIS 可採用卡方差異性 檢定及 SIMTESTS 兩種檢定方法。

4.4.5.1 二階 LGM 卡方差異性檢定穩態性

第三章 3.5.4.1 單元已說明以卡方差異性檢定各問項誤差之穩態性，如以第一個問項 ECM 為例，其中一個模式之 ECM 為式(3.18) UN(非穩態結構)，而另一個模式之 ECM 為 式(3.18) TOEP(穩態結構)。可分別找到兩個模型在不同 ECM 設定之下，整個模型配適 卡方值，兩者卡方值差及其自由度差( dfΔ ) (兩者自由度差，為式(3.18)限制式個數為 6)，

可計算卡方差機率值(p_r

>

χ_Δ²_df )；若兩個模型卡方差異檢定不顯著，則表示第一個問項 ECM 為穩態結構。類似地，第二、三個問項亦可仿照第一個問項獲得卡方差異檢定結果。

最後，可獲得

ε

₁,

ε

₂及

ε

₃之卡方差異值分別為

χ

_df²₌₆ =2.895, 3.995 及 4.428 其對應 p

= .822, .677 及.619 ，表示沒有顯著差異。換言之，

ε

₁,

ε

₂及

ε

₃之 ECM 皆為穩態結構，

結果彙整於表 4.3，SAS 程式見[附錄 B-5]。

4.4.5.2 二階 LGM SIMTESTS 檢定穩態性

另一種檢定三個問項測量誤差

ε

₁,

ε

₂及

ε

₃為穩態性之方法，已於第三章 3.5.4.1 單元 中介紹 SIMTESTS，該檢定之虛無假設分別為式(3.19)、式(3.21)及式(3.23)，因三個問項 之測量誤差均為獨立，故可個別檢定各問項測量誤差的穩態性；若卡方檢定結果沒有差 異，則表示問項測量誤差間為穩態。其 SAS 程式類似一階 LGM 如式(4.4)方式，故不再

84

85

86

同、期差為一期之自我共變異數相同、期差為二期之自我共變異數也相同。因此， STD 及 COV statements 指令程式如下：

*************************************************************************;

STD

EY11−EY14=4*VARE1, EY21−EY24=4*VARE2, EY31−EY34=4*VARE3, EX1=VAREX1, EX2=VAREX2, EX3=VAREX3,

EZF1=VARZF1, EZF2=VARZF2, EZF3=VARZF3, EZF4=VARZF4, EZF5=VARE_Intercept, EZF6=VARE_Slope, EZF7=VARZF7;

COV

/* for the first-level measurement errors associated with indicator 1 */

EY11 EY12=COV1_lag1, EY12 EY13=COV1_lag1, EY13 EY14=COV1_lag1, EY11 EY13=COV1_lag2, EY12 EY14=COV1_lag2, EY11 EY14=COV1_lag3,

/* for the first-level measurement errors associated with indicator 2 */

EY21 EY22=COV2_lag1, EY22 EY23=COV2_lag1, EY23 EY24=COV2_lag1, EY21 EY23=COV2_lag2, EY22 EY24=COV2_lag2, EY21 EY24=COV2_lag3,

/* for the first-level measurement errors associated with indicator 3 */

EY31 EY32=COV3_lag1, EY32 EY33=COV3_lag1, EY33 EY34=COV3_lag1, EY31 EY33=COV3_lag2, EY32 EY34=COV3_lag2, EY31 EY34=COV3_lag3,

/* for the second-level errors associated with growth factors */

EZF5 EZF6=CZF5ZF6;

*************************************************************************;

上式之 VARE1, VARE2 及 VARE3 分別表示各相同問項在不同期有相同誤差變異數，

即 1

2

σ 為ε

ε

₁₁−

ε

₁₄(程式命名為 EY11−EY14)之共同變異數。

2

2

σ 為ε

ε

₂₁−

ε

₂₄(程式命名為 EY21−EY24) 之共同變異數。

2

2

σ 為ε

ε

₃₁−

ε

₃₄(程式命名為 EY31−EY34) 之共同變異數。

VAREX1−VAREX3 分 別 代 表

δ δ

₁− ₃ ( 程 式 命 名 為 EX1−EX3) 之 變 異 數 。

87

VARZF1−VARZF4 分 別 代 表

1 4

F F

ζ

−

ζ

( 程 式 命 名 為 EZF1-EZF4) 之 變 異 數 。

VARE_Intercept, VARE_Slope 及 CZF5ZF6 分別代表二階成長因素誤差

ηα

ζ

及

ηβ

ζ

(程式命 名為 EZF5 及 EZF6)的變異數及共變異數。VARZF7 代表第二階成長構念的預測因子

ξ

(程式命名為 EZF7) 之變異數。COV1_lag1, COV1_lag2 及 COV1_lag3 分別表示第一 個誤差(

ε

₁)

ε

₁₁−

ε

₁₄在四期中，期差為 1, 2 及 3 期之自我共變異數。同理 COV2_lag1, COV2_lag2 及 COV2_lag3 分別表示第二個誤差(

ε

₂)

ε

₂₁−

ε

₂₄在四期中，期差為 1, 2 及 3

ζ

(程式命 名為 EZF5 及 EZF6)的變異數及共變異數。VARZF7 代表第二階成長構念的預測因子

ξ

(程式命名為 EZF7) 之變異數。COV1_lag1, COV1_lag2 及 COV1_lag3 分別表示第一 個誤差(

ε

₁)

ε

₁₁−

ε

₁₄在四期中，期差為 1, 2 及 3 期之自我共變異數。同理 COV2_lag1, COV2_lag2 及 COV2_lag3 分別表示第二個誤差(

ε

₂)

ε

₂₁−

ε

₂₄在四期中，期差為 1, 2 及 3

在文檔中 成長模型第一層次誤差共變異結構之鑑定準則 (頁 87-0)