HLM 與 SEM 概似函數比較

三、 ECM 鑑定之研究方法

3.4 HLM 與 SEM 概似函數比較

在一階LGM分別以PROC CALIS及PROC MIXED估計，本研究均以最大概似方法進行參數估計，如第二章2.4 參數估計方法所述式(2.45)及式(2.48)，雖兩者概似函數並不

相同，且估計過程演算方法也不同，但其估計結果相當接近(Rovine & Molenaar, 2000)。

1 1

( ) ln | ( ) | ln | | tr[( ( )] [ ( )] ( )[ ( )]

FML θ

=

Σ θ

−

+

SΣ θ⁻

+ −

y μ

θ ′

Σ θ y μ θ⁻

− + 常數

(2.45)

1 1 1

ML : ln( , | , , ) log | | log 2

2 2 2

N π

′ −

= − − −

G R y X W V r V r

(2.48)

圖3.2 多變量資料與單變量資料結構

3.5 Level-1 ECM 穩態性檢定

依據第2 章表 2.3，可先將 ECM 依穩態性與否進序檢定而加以分類。因此，接下來要解決問題是如何檢定穩態，計有三種檢定方式：其一為在PROC MIXED (HLM) 可用概似比檢定(likelihood ratio test, LRT)，另二者為在 PROC CALIS (SEM)可使用，分別為卡方差異性檢定(Chi-square difference test, CDT)及 SAS 本身提供的 SIMTESTS statement 採聯合檢定(simultaneously or joint test)，分別詳述於下：

3.5.1 概似比檢定 ECM 穩態性

42 TOEP 巢套於(nested within) UN。亦即 UN 加入適當的限制式可以得到 TOEP，如以 T=4 為例，即為式(3.7)及式(3.8)可知 UN 加入 6 個限制式可簡化為 TOEP。又因 PROC MIXED

43 因此，檢定穩態時，若採用SIMTESTS statement 時，則需依照上式之關係式撰寫程式。

又因SIMTESTS 是採卡方檢定，若卡方檢定結果不顯著，表示 ECM 為穩態獲得支持。

3.5.3 二階 LGM 之 ECM 獨立性檢定

47 Blozis, 2006; Bollen & Curran, 2006, p. 249; Preacher et al., 2008, p. 63; Sayer & Cumsille, 2001)，此時，可以分別獨立考量各個問項測量誤差是否穩態。針對問項誤差 1 之 ECM

換言之，針對問項誤差3 之 ECM 而言，其穩態條件之虛無假設H 為： ₀

31 32 31 33 31 34

32 31 33 32 32 31 34 33

33 31 34 32

2 2 2 2 2 2

0, 0, 0,

: 0, 0,

H

ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε ε ε ε ε

ε ε ε ε

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

⎧ − = − = − =

⎪⎪ − = − =

⎨⎪ − =

⎪⎩

(3.23)

3.5.4.1 卡方差異方法檢定 ECM 穩態性

由於三個問項誤差為獨立，因此，卡方差異檢定可分別個別比較每個問項 level-1 ECM 在 UN 及 TOEP 兩個不同特定模式是否有差異，據以推論 ECM 之穩態性。例如以第一個問項ECM 為例，其中一個模式之 ECM 為式(3.18) UN(非穩態)，而另一個模式之 ECM 為式(3.18) TOEP(穩態)，可分別找到 UN 及 TOEP 兩個不同 ECM 特定模型設定之下，兩個模型配適卡方值，而兩者卡方值相減及其自由度差( dfΔ ) (兩者自由度差，為式 (3.19)限制式個數為 6)，可計算卡方差機率值(p_r

>

χ_Δ²_df )，若兩個模型卡方差異檢定不顯著，則表示第一個問項ECM 為穩態。

同理，就第二個問項ECM 而言，其中一個模式之 ECM 設為式(3.20)為 UN(非穩態)，

而另一個模式之ECM 設為式(3.20) TOEP(穩態)，可分別找到 UN 及 TOEP 兩個不同 ECM 特定模型設定之下，两個模型配適卡方值，而將兩者卡方值相減及其自由度差( dfΔ ) (兩者自由度差，為式(3.21)限制式個數為 6) ，可計算卡方差機率值(p_r

>

χ_Δ²_df )，若兩個模型卡方差異檢定不顯著，則表示第二個問項ECM 為穩態。

最後，就第三個問項ECM 而言，其中一個模式之 ECM 設為式(3.22)為 UN(非穩態)，

而另一個模式之ECM 設為式(3.22) TOEP(穩態)，可分別找到 UN 及 TOEP 兩個不同 ECM 特定模型設定之下，两個模型配適卡方值，而將兩者卡方值相減及其自由度差( dfΔ ) (兩者自由度差，為式(3.23)限制式個數為 6) ，可計算卡方差機率值(p_r

>

χ_Δ²_df )，若兩個模型卡方差異檢定不顯著，則表示第三個問項ECM 為穩態。

3.5.4.2 SIMETESTS 方法檢定穩態性

另一種檢定三個問項測量誤差為穩態之方法為 SIMTESTS，虛無假設即為式(3.19)、

式(3.21)及式(3.23)，因三個問項之測量誤差為獨立，可個別檢定各問項之測量誤差，若卡方檢定結果沒有差異，則表示問項測量誤差間為穩態。

另一種檢定弱因素不變性，採用PROC CALIS 內定 SIMTESTS statement，檢定弱因素不變性之虛無假設是將式(3.24)修正為式(3.25)

表2.3 穩態 ECM 族群及非穩態 ECM 族群中優先選擇那一個 ECM，並且所選擇 ECM 是否合適是為本單元所要探討之方法。

3.7.1 ECM 選擇準則

Hedeker and Mermelstein (2007)指出若 ECM 有實質的理論基礎者，則依理論選擇 ECM 結構；然而 Kwok et al. (2007) 指出在心理學理論很少清楚提供設定特定的 ECM 之基礎，例如當誤差的變異數隨著時間而變化時( Hedeker & Mermelstein, 2007)，則 ECM 可用TOEPH(1)。Sivo and Fan (2008)說明自我相關是一種麻煩的事情，因其常發生在序列觀察的資料，誤差也較少的理論所興趣。Grimm and Widaman (2010)指出若成長模型誤設為較簡單的成長趨勢線，則會產生複雜level-1 ECM。因而，理論上建議當 LGM 有可解釋性參數且能補捉較好成長趨勢線，則會使得level-1 ECM 變成很簡單；換言之，

正確設定成長趨勢線導致獲得簡單的ECM；因而，以最簡單線性成長趨勢線尋找 “最適”

(optimal)ECM 是不值得的。上述告訴我們有理論為基礎之 ECM 者則以理論為主。若沒有實質理論基礎，基本上仍採用探索性。Grimm and Widaman (2010)指出模型簡單或精簡(simplicity or parsimony)是模型期望性質，正如 Browne and du Toit (1991) 指出用太多參數去滿足模型配適度可能導致參數不易解釋。因此，垃圾參數(wastebasket parameters) 應該避免。例如當兩個模型之配適度沒有存在顯著性差異時，則優選考量較簡單模型 (Littell et al., 2006, p. 184; Wolfinger, 1996)。又當 ECM 與資料特性不一致時，則優先排除不適ECM (Littell et al., 2006, p.177)，例如 TOEP(1)與 TOEPH(1)，則不適用於存在有顯著誤差共變異數之資料；又如 ARMA 族群則適用於穩態等期間資料。因此，本文依參數精簡度(parsimony)、限制式強弱及解釋能力(interpretability)以達成模型配適度(model fit)而建立有系統性之選擇順序。首先，我們定義 M_T表示暫時性選定之ECM，則 M_T之選擇順序標準，依據限制條件程度(見附錄 A-3.1)而定，例如若兩個 M_T之 ECM 具有不同參數個數時，則以較少參數，依參數精簡原則為最優先選擇之 ECM；.若兩個 M_T之 ECM 具有相同參數個數但限制式不同，則以較制式較多者為優先選擇之 ECM；若兩個 M_T之ECM 參數個數及限制式個數相同，則以限制式較弱程度者，限制式較強者為優先選擇之ECM。例如當 T=4 時，AR(1), CS, TOEP(2)及 MA(1)均為 2 個參數的 ECM 之穩

52 Liang, & Zeger, 2002, p. 82; Littell et al., 2006, p.175; Tsay, 2005, p. 89)，因而 ARMA 族群似乎是較合適，又以 AR(1)最常被使用(Littell et al., 2006, p.175)，且 AR(1)模式精簡 (parsimony)又可反映相關程度隨時間呈現指數方式遞減之性質。似乎反映 CS 比 AR(1) 較強限制結構；因此，CS 比 AR(1)優先被選定 ECM。

至此，我們依據限制式之強弱程度，在穩態ECM 選擇順序為 MA(1), CS, 及 AR(1)。

此外，MA(q)及 TOEP(q+1)是相同配適度且亦無對 ECM 特殊解釋效果，因而 TOEP(q+1) 不再納入ECM 選擇過程中之候選者。因此，若 ECM 為穩態結構則 SCDT 過程挑選順序為 TOEP(1), MA(1), CS, AR(1), MA(2), ARMA(1,1), AR(2), MA(3), ARMA(1,2), ARMA(2,1), AR(3), …, 及 AR(T–1)。而若 ECM 為非穩態結構則 SCDT 過程挑選順序為 TOEPH(1), TOEPH(2), CSH, ARH(1), TOEPH(3), …, TOEPH(T), UN(2), …, 及 UN(T)；且各種非穩態結構均為UN(T)在一些限制條件下即可獲得之 ECM 均巢套於 UN(T) ( nested

達成模型配適度(model fit)、精簡度(parsimony)及解釋能力(interpretability)。在此，我們改編Anderson and Gerbing (1988)所提 SCDT (sequential chi-square difference test)進行篩選M_T之 ECM。依據上述篩選順序選擇 M_T之ECM 與飽和 M_S之 ECM 進行卡方差異檢定，若模型配適度沒有差異，則以較簡單ECM。而最簡單之穩態結構 ECM 為 TOEP(1)，

最簡單之非穩態結構ECM 為 TOEPH(1)。在每一個步驟，均循序以卡方差異性檢定目前選定暫時性ECM (temporary structure, MT)與飽和結構(saturated structure, M_S，穩態為 TOEP，非穩態為 UN)是否有顯著差異，假如有顯著差異表示目前所選擇之 ECM 較飽和 M_S模式配適度不好，依序選擇較少限制M_T，並再與M_S比較卡方差異性檢定是否有差異，直到所選擇新的M_T 與M_S 之卡方差異性檢定沒有差異，則終止再次找尋下一個 M_T ，並以當前所選定M_T當成最終 ECM。其中 M_T是巢套於M_S ( M_T nested within M_S)，亦即 M_T係由一些限制條件加諸在M_S所獲得(見[附註 A-3.1]，同時表示出參數的個數及由飽和結構簡化到對映各種ECM 時限制式的個數)。至於 SCDT 均可應用於 PROC MIXED(惟二階 LGM 仍不可)及 PROC CALIS，其中 SEM 係以卡方差異檢定，而 HLM 則以概似比檢定(仍為卡方差異檢定)，如同穩態性檢定方式，則不再贅述。

TOEP(q) (Toeplitz with q bands,

q = 1,…,T):

CSH (heterogeneous CS):

[ 1( ) 1( )],

TOEPH (heterogeneous Toeplitz):

| |

57 Toeplitz with q bands,

q = 1, …,T):

3.8 鑑定一階 ECM 之準則

綜合前兩節，本文提供鑑定一階 ECM 之準則(guideline)，如圖 3.3 所述，共兩個檢定步驟分別為:

(Stationary?) ? 穩態

ECM ^T

更新較少限制式

M

之

ECM

接受

為最後

T S

?

=

No

No =TOEP(1)

M_T

配適

Yes 開始

Yes

=TOEPH(1)

配適

結束

圖3.3 Level-1 ECM 鑑別之流程

其中 MS表示飽和模式 ECM 結構，當穩態時則為 TOEP，當非穩態時則為 UN；MT 表示一個暫時選定ECM 結構，而 MT更新依序為:

穩態結構:

TOEP(1)→MA(1)→CS→AR(1)→MA(2)→ ARMA(1,1)→AR(2)→MA(3)→ ARMA(1, 2)→ARMA(2,1)→AR(3)→ ⋅ ⋅ ⋅ → AR(

T

− ; 1)

非穩態結構:

TOEPH(1)→TOEPH(2)→CSH→ARH(1)→ TOEPH(3)→ ⋅ ⋅ ⋅ → TOEPH( )

T

→ UN(2)→ ⋅ ⋅ ⋅ → UN( )

T

步驟

1：穩態性檢定

穩態性檢定方式本文採用三種方法，在一階 LGM 分別有卡方差異檢定、PROC CALIS 內定 SIMTESTS 之聯合檢定及概似比檢定，前二者供 PROC CALIS (SEM)使用、

最後者供 PROC MIXED (HLM)使用。在二階 LGM 僅 PROC CALIS 方法可使用。

步驟

2：SCDT 方法鑑定 ECM

依據前一單ECM 之限制式多寡及其限制式強弱關係選擇 ECM 並以 SCDT 依序檢定找出合適 ECM。當 ECM 檢定穩態性檢定之後，則下一步合適 ECM，首先選擇限制最多(或最簡單)ECM。而最簡單之穩態結構 ECM 為 TOEP(1)，最簡單之非穩態結構 ECM 為TOEPH(1)，在每一個步驟，均循序以卡方差異性檢定(sequential chi-square difference test, SCDT)檢視目前選定暫時性 MT 之 ECM 與飽和結構 M_S之ECM (穩態為 TOEP，非穩態為UN)是否有顯著差異，假如有顯著差異表示目前所選擇之 ECM 較飽和 M_S模式配適度不好，依序選擇較少限制M_T，並依序再與M_S比較卡方差異性檢定是否有差異，直到所選擇新的M_T與M_S之卡方差異性檢定沒有差異，則終止再次找尋下一個M_T，並以當前所選定M_T當成最終ECM。

3.9 本論文研究流程

為具體展現本研究所提出方法，將以第二章圖 2.3(一階 LGM)及圖 2.4(二階 LGM) 為例，分別以模擬及實際資料並輔以PROC CALIS(SEM)及 PROC MIXED(HLM)兩種方法進行示範操作。整個資料分析流程如圖3.4 所示，以供第四章 ECM 之實例操作示範。

ECM :

2 : SCDT ECM 選擇流程

步驟穩態性檢定

步驟鑑定

SEM 方法模擬一組 , 多變量常態分配資料

檢視資料時序圖,粗略瞭解特性

ECM PROC 在 CALIS 之建構

(SEM), (HLM)

多變量結構資料轉換為

單變量結構資料

開始

結束

註:其中在二階 LGM 時於 ECM 選擇流程步驟 1 之前先行檢定各問項之獨立性圖3.4 第四章 ECM 鑑定之實例示範流程

61 三章所述在 PROC CALIS 是採用 STD, COV 及 PARAMETERS 三個 statements 即可定義 ECM 結構。本單元將舉二個 ECM 例子說明之，其一例為穩態 ARAM(1,1)，另一為非穩 態 TOEPH 且 T = 4 個時點(t =1,2,3,4)為例，其它穩態 ECM 如：AR(1)、MA(1)、AR(2)、

MA(2)及非穩態 ECM 如：ARH(1)、UN 等之 PROC CALIS 程式，則分別展現於表 4.1。

4.1.1 ARMA(1,1) 之 ECM 在 PROC CALIS 程式說明

依 Box, Jenkins, and Reinsel (1994, p.77)時間序列書中定義 Level-1 誤差為 ARMA(1,1) 過程，即

ε

_t =

φ ε

₁ _t₋₁+ −

ν θν

_t ₁ _t₋₁，其中

φ

₁表示自我迴歸參數，

θ

₁表示移動平均參數，及

ν

_t是 i.i.d 干擾過程(disturbance process)。其意義即為在時間 t 的 level-1 誤差，能被前一期誤差 及前一期干優項所解釋，若以第二章圖 2.3 且 T=4 為例，則 level-1 之 ECM 為

***************************************************************************;

STD

E1=VARE, E2=VARE, E3=VARE, E4=VARE, D0=VARD0, D1=VARD1;

COV

E1 E2=COV_lag1, E2 E3=COV_lag1, E3 E4=COV_lag1, E1 E3=COV_lag2, E2 E4=COV_lag2,

E1 E4=COV_lag3, D0 D1=COVD0D1;

***************************************************************************;

在 STD statement 之 VARE 表示 level-1，四期誤差

ε

₁–

ε

₄(以 E1–E4 表示)的變異數均相同為

σ

_ε²。VARD0 及 VARD1 表示圖 2.3 之 level-2 成長因素構念誤差

ηα

ζ

及

ηβ

ζ

(以

D0 及 D1 表示)之變異數(即 ²

ζηα

σ

及 ²

ζηβ

σ

)。

在 COV statement 之 COV_lag1 及 COV_lag2 分別表示期差 1 期相同共變異數(即

1 2

( , )

Cov ε ε

Cov

( ,

ε ε

₂ ₃)及

Cov

( ,

ε ε

₃ ₄))及期差 2 期之相同共變異數(如

1 3

( , )

Cov ε ε

Cov

( ,

ε ε

₂ ₄))均相同。而 COV_lag3 表示期差 3 期之共變異數(即

Cov

( ,

ε ε

₁ ₄))。

CD0D1 表示成長因素構念誤差之共變異數(即

ηα ηβ

σζ ζ )。參數

ρ

₁及

φ

₁均未在 LINEQS, STD, COV 出現之參數，此時利用 PARAMETERS statement 引進兩額外參數，此兩個額外參數，分別建立式(4.1)參數

φ

₁及

ρ

₁在各期差共變異數之關係，其程式如下：

***************************************************************************;

PARAMETERS PHI1 RHO1;

COV_lag1=RHO1*VARE;

COV_lag2=PHI1* COV_lag1; /* i.e., COV_lag2=PHI1*RHO1* VARE; */

COV_lag3=PHI1* COV_lag2; /* i.e., COV_lag3=(PHI1**2)*RHO1*VARE; */

***************************************************************************;

63 式語法為 COV_lag3=PHI1* COV_lag2; /* i.e., COV_lag3=(PHI1**2)*RHO1*VARE; */。

而限制式 |

φ

₁| 1< 則以 BOUNDS statement 陳述，其程式如下：

E1=VARE1, E2=VARE2, E3=VARE3, E4=VARE4, D0=VARD0, D1=VARD1;

COV

E1 E2=COVE1E2, E1 E3=COVE1E3, E1 E4=COVE1E4, E2 E3=COVE2E3, E2 E4=COVE2E4, E3 E4=COVE3E4,

D0 D1=COVD0D1;

***************************************************************************;

程式中 VARE1–VARE4 分別表示 level-1 四個誤差

ε

₁,

ε

₂,

ε

₃及

ε

₄之變異數， VARD0 及 VARD1 則分別為 level-2 誤差

ζ

_η_α及

ζ

_η_β 之變異數。COVE1E2–COVE3E4 分別反應 level-1 誤差間彼此自我共變異數，COVD0D1 反應 level-2 自我共變異數的估計。因為誤差

ε

_t 及

ε

t_′之共變異數為

ε

t_′之共變異數為

在文檔中成長模型第一層次誤差共變異結構之鑑定準則 (頁 56-0)

三、 ECM 鑑定之研究方法

3.4 HLM 與 SEM 概似函數比較

( ) ln | ( ) | ln | | tr[( ( )] [ ( )] ( )[ ( )]

=

−

+

+ −

θ ′

− + 常數

N π

G R y X W V r V r

3.5 Level-1 ECM 穩態性檢定

3.5.1 概似比檢定 ECM 穩態性

3.5.3 二階 LGM 之 ECM 獨立性檢定

H

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ

σ σ

3.5.4.1 卡方差異方法檢定 ECM 穩態性

>

>

>

3.5.4.2 SIMETESTS 方法檢定穩態性

3.7.1 ECM 選擇準則

q = 1,…,T):

[ 1( ) 1( )],

q = 1, …,T):

3.8 鑑定一階 ECM 之準則

(Stationary?) ? 穩態

M

ECM

接受

為最後

?

=

No

No =TOEP(1)

配適

Yes 開始

Yes

=TOEPH(1)

配適

結束

T

T

T

1：穩態性檢定

2：SCDT 方法鑑定 ECM

3.9 本論文研究流程

SEM 方法 模擬一組 , 多變量常態分配資料

ECM PROC 在 CALIS 之建構

開始

結束

4.1.1 ARMA(1,1) 之 ECM 在 PROC CALIS 程式說明

ε

φ ε

ν θν

φ

θ

ν

ε

ε

σ

ζ

ζ

σ

σ

Cov ε ε

Cov

ε ε

Cov

ε ε

Cov ε ε

Cov

ε ε

Cov

ε ε

ρ

φ

SEM 方法模擬一組 , 多變量常態分配資料