三、在解題歷程中影響個案之數學建模的經驗
「 數 學 解 題 」與「 數 學 建 模 」具 有 相 關 性 ， 但 兩 者 的 焦 點 不 同 ， 前 者 比 較 常 著 重 於 研 究 個 案 所 使 用 的 解 題 策 略，而 後 者 主 要 是 研 究 數 學 建 模 的 教 學 方 式 對 學 生 的 數 學 學 習 成 就 是 有 幫 助 的 。 Lange(1996) 指 出 數 學 的 應 用、數 學 建 模 和 數 學 解 題 的 進 行，對 於 發 展 學 生 的 一 般 能 力 和 態 度 是 合 適 的，特 別 是 試 探 能 力、創 造 力 和 解 題 能 力；但 是 關 於 在 解 題 歷 程 中 影 響 個 案 之 數 學 建 模 的 經 驗 這 方 面 的 研 究 則 較 為 少 見 。
在 解 題 歷 程 中 影 響 個 案 之 數 學 建 模 的 經 驗，研 究 者 就 觀 察 到 的 現 象 ， 發 現 有 二 種 經 驗 ： (一 )建 模 者 的 解 題 經 驗 ； (二 )建 模 者 之 間 的 解 題 互 動 經 驗 。 經 由 原 案 分 析 與 晤 談 加 以 確 認 ， 茲 分 別 敘 述 如 下 ：
(一)建模者的解題經驗
由 個 案 在 解 題 歷 程 中 的 數 學 建 模 情 形，研 究 發 現：數 學 建 模 的 成 功 與 否 在 於 數 學 建 模 各 步 驟 的 順 暢，包 括 1.對 真 實 世 界 的 問 題 能 充 分 地 瞭 解 題 意；2.在 形 成 真 實 模 型 的 分 析 時 要 能 掌 握 問 題 的 關 鍵 概 念 所 在；3.建 立 數 學 模 型 時 要 能 利 用 所 學 的 數 學 知 識 和 技 能，並 且 能 與 過
去 的 解 題 經 驗 作 聯 結，預 測 解 題 策 略 的 可 行 性；4.使 用 數 學 理 論 來 檢 視 此 數 學 模 型，也 就 是 以 數 學 語 言 來 解 釋 和 識 別 出 與 該 數 學 模 型 之 間 的 關 係；5.在 該 數 學 模 型 與 真 實 世 界 之 問 題 情 境 作 比 較 時，對 於 兩 者 之 間 的 關 係，或 者 其 他 的 預 測 結 果，能 夠 進 行 解 釋 與 評 估，對 於 錯 誤 與 矛 盾 之 處 ， 能 夠 具 備 覺 察 與 反 駁 的 能 力 。 進一步說明如下：
1.對 真 實 世 界 的 問 題 能 充 分 地 瞭 解 題 意。此 階 段 是 有 效 的 建 模 者 若 對 題 意 不 明 瞭 或 不 清 楚 時 會 尋 求 同 伴 或 教 師 的 協 助，而 同 伴 能 以 真 實 生 活 的 事 件 來 進 行 說 明 ， 幫 助 提 示 下 一 個 分 析 階 段 的 方 向（ 如 下 的 第 一 題 原 案 與 第 三 題 原 案 ）； 反 之 ， 若 不 能 對 題 意 真 正 地 瞭 解 會 望 文 生 義，以 自 己 的 想 法 作 詮 釋 則 常 常 導 致 接 下 來 的 錯 誤 分 析 與 列 式
（ 如 下 的 第 五 題 原 案 ） 。
（第一題原案）
3.丙：什麼是折舊率呀？我覺得我的國文程度太差。
4.乙：我也是。
5.甲：折舊率就是譬如說：有一個東西，用過一年後若折舊率 10％的話，所剩餘的 是原本的 90％，也就是 100 元只剩 90 元，折舊額是 10 元。
（第三題原案）
3.乙：題目在說什麼？
4.丙：我們的國文能力果然太差。
5.甲：題目是說，將消費基金當成是收稅，每年增加 50％後，再收一筆錢。例如：
原本 1000 元，先賺 50％，變成 1500 元，收 100 元，剩下 1400 元，再賺 50
％變成 2100 元，再收 100 元，一直這樣下去。
（第五題原案）
12.丙：是這樣嗎？
11140
(2.72) r 0.917
x − = x。
13.甲：你怎麼知道－11140？
14.丙：題目不是說半衰期是 5570 年，所以全衰期乘以 2 就是呀！
2.在 形 成 真 實 模 型 的 分 析 時 要 能 掌 握 問 題 的 關 鍵 概 念 所 在。當 在 瞭 解 真 實 情 境 的 題 意 後 如 果 未 能 有 明 顯 的 進 展，或 者 當 把 所 建 立 的 數 學 模 型 與 真 實 世 界 之 問 題 情 境 作 比 較 時 發 現 有 錯 誤 、 矛 盾， 則 需 要 進 入 分 析 階 段，有 效 的 建 模 者 會 選 擇 適 當 的 關 鍵 概 念 來 簡 化 或 重 新 描 述 問 題 ， 幫 助 考 慮 何 種 理 論 、 定 理 或 策 略 較 適 當 ， 面 對 錯 誤 或 矛 盾 之 處 ， 分 析 其 中 的 關 鍵 概 念 、 關 係 或 規 律 ， 可 以 修 正 解 題 方 向 ， 促 成 接 下 來 能 夠 成 功 地 建 立 數 學 模 型 （ 如 下 的 第 一 題 晤 談 ） ； 反 之 ， 若 無 法 掌 握 問 題 的 關 鍵 概 念 作 正 確 的 解 題 策 略 判 斷 或 者 修 正，則 可
能 導 致 無 效 的 分 析， 使 得 下 一 個 數 學 建 模 階 段 窒 礙 難 行（ 如 下 的 第 一 題 原 案 ， 乙 不 能 釐 清 折 舊 率 與 剩 餘 價 值 的 不 同 ） 。
（第一題晤談）
R：甲，為什麼你在一開始讀題後即刻說明折舊率，而且在每次得到的數學關係式 被反駁掉時，就馬上回到對折舊率的分析？
甲：一開始是因為乙、丙在讀完題目後就問了，同學不知道什麼是折舊率，我只是 告訴他們而已。至於每次不對後就馬上回到對折舊率的分析，那是因為我想到 折舊率的另一種反面涵意就是剩餘價值呀，而題目的已知條件是四年後剩餘價 值是 1696 元，這才讓我想到利用折舊率轉換成剩餘價值來列式的，後來真的對 了耶！【甲說話神情愉悅，很有成就感】
（第一題原案）
14.乙：先設折舊率
x
呀！【乙在甲、丙的想法提示下突然有新想法】15.甲：對呀。
16.乙：所以 10000(1 )−x4，對嗎？【乙列式寫出「設折舊率
x
，10000(1 )−x4」；同時，乙很 沒自信地詢問甲、丙是否正確】17.甲：可是，不是算折舊額嗎？這是剩餘價值呀！
18.丙：對呀！
19.乙：跟他拼了！【乙得不到甲、丙的肯定也暫時停止操作】
3.建 立 數 學 模 型 時 要 能 利 用 所 學 的 數 學 知 識 和 技 能，並 且 能 與 過 去 的 解 題 經 驗 作 聯 結 ， 預 測 解 題 策 略 的 可 行 性 。 有 效 率 的 建 模 者 會 將 過 去 解 題 時 之 相 似 題 目 的 經 驗 遷 移 至 解 決 新 問 題 的 應 用，並 且 運 用 數 學 的 理 論 知 識 和 技 能 來 進 行 求 解 數 學 模 型 ， 判 斷 解 題 行 為 的 正 確 性 ， 在 修 正 或 精 煉 後 可 以 獲 得 符 合 的 數 學 關 係 式（ 如 下 的 第 二 題 原 案 ）； 反 之 ， 若 不 能 將 過 去 的 解 題 經 驗 遷 移 至 新 問 題 的 應 用 ， 或 者 是 基 本 的 數 學 知 識 和 技 能 不 足 的 話，則 在 預 測 解 題 策 略 的 可 行 性 上 可 能 就 會 是 無 效 率 的 ， 要 求 得 符 合 題 意 的 數 學 關 係 式 更 是 困 難（ 如 下 的 第 二 題 晤 談 ） 。
（第二題原案）
6.甲：1600 (1.1)× 3。【甲列式寫出「1600 (1.1)× 3」】
7.乙：可是這不是獲利而已嗎？
8.甲：沒有，因為投資 1600 萬元，所以要用複利計算。這就跟銀行借錢的道理一樣，
開始時借了 1600 萬元，這筆錢三年後，共滾了三次利息。
【甲對乙說明的同時，並以作圖來輔助 】
9.丙：喔~對！【丙聽完甲的解釋後，自己就列式寫出「600×1.13+600×1.12+600×1.1」】
10.甲：
600 1.1× 2+600 1.1 600× + 【甲列式寫出「600 1.1× 2+600 1.1 600× + 」】
11.丙：為何加 600 呀！
1 6 0 0 一 次 二 次 三 次 * * * *
1600
（第一題晤談）
34.甲：應該就是這一個了！