(二)進一步研究的建議 - 高一學生在解題歷程中的數學建模之分析

針對進一步研究，從研究樣本、研究方法與研究變項等提出建議：

1.研究樣本

本研究僅以三位高一學生為研究對象，且傾向於數學能力較佳的同質性成員組合，故研究結果無法推論至其他學生在解題歷程中的數學建模表現。又解題歷程中影響數學建模發展的經驗是否會因研究對象的年級、性別與成就而有所不同？未來可增加樣本數或改變小組成員的組合來進行研究。

2.研究方法

本研究發現各題在解題歷程中之數學建模發展具有相似的關聯性，藉助二項研究工具（即 Schoenfeld 的解題原案巨觀分析架構與 Maki 和 Thompson 的數學建模五步驟）來簡化與清楚的呈現在解題歷程中之數學解題與數學建模的相關性，如對照表二。由於這是「數學解題」（比較屬於個人層面）與「數學建模」（屬於社會互動層面）之相關性的初步研究，未來的研究可以將「數學解題」與「數學建模」在各階段與各步驟的對照情形更加細分，使得在解題歷程中的數學建模分析更精緻，對數學解題能力與數學建模能力的培養將能提供更有成效的理論依據與研究結果。

3.研究變項

本研究以指數函數單元的問題進行研究，不同單元的問題是否會影響解題歷程中的數學建模發展，以及其經驗與技巧的遷移是否會因不同單元的問題而有差異，未來可以針對不同單元的問題加以研究。

本研究僅針對解題歷程中的數學建模發展、「數學解題」與「數學建模」的關聯性，以及在解題歷程中影響數學建模發展的經驗作討論，至於其他方面，例如，教師如何設計數學建模的課程內容？如何選擇符合數學建模的問題來進行解題與評量？評估學生數學建模能力的標準依據為何？學生接受解題之數學建模的教學後，在學習成效上的影響又如何？上述議題可作為日後解題歷程中的數學建模發展教學與研究之基礎。

誌謝：本研究感謝施羿如老師的共同參與。因施羿如 (2005)在其論文中是著重於探討高一學生數學建模的歷程，乃參酌 Burghes 和 Wood(1980)、姜啟源 (1992)與葉其孝 (1998)等人的觀點來作為數學建模歷程的階段區分；而本研究旨在分析高一學生於解題歷程中的數學建模發展，對於解題歷程中之解題行為與數學建模發展的階段區分是根據 Schoenfeld 的解題原案巨觀分析架構，以及 Maki 和 Thompson 的數學建模五步驟。因此，本研究從不同的向度作分析，所得的研究結果與施老師的研究是彼此獨立的。

附錄

解題歷程中的數學建模評量工具及難度、鑑別度

◎解題歷程中的數學建模評量工具

1. 某牌手機一支原值 10000 元，耐用 4 年後，剩餘價值 1296 元，假設每年折舊率相同，

試計算手機每年的折舊額？並建立出折舊額的數學關係式？

[註：(折舊額)＝(年初淨值)－(年末淨值)]

2. 某信託投資公司，考慮投資 1600 萬元建造一座飯店，經預測該飯店建成後，每年年底可獲利 600 萬元，假設銀行每年複利計息，年利率 10％，試問三年內能否把全部投資收回？試預測若需要在三年內收回全部投資，每年至少應收益多少萬元？（結果保留一位小數）

3. 某企業年初投入資金 1000 萬元，經過生產和經營，每年資金增長率為 50%，但到每年年底要扣除消費基金若干萬元，再將餘下的資金投入再生產和經營。為實現經過 5 年並扣除當年的消費基金後，資金總額為 2000 萬元的目標，試算出每年扣除的消費基金是多少萬元（精確到萬元）？

4. 科學家對放射性金屬元素”鉛－214”的樣本作分析，並測量它的質量隨時間而蛻變，紀錄表如下：

時間(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 質量(仟克) 3.127 3.047 2.969 2.894 2.820 2.748 2.678 2.609

設

f t

( )_n 表示經過時間

t

_n（分），”鉛－214”的質量，試回答下列問題：

(1) ”鉛－214”質量的蛻變率為多少？

(2) 試預測”鉛－214”質量與時間的數學關係式？

(3) 請估算第 10 分 15 秒”鉛－214”的質量約多少？

5. 遼東半島普蘭店附近的泥炭層中發掘出古蓮子，至今大部分還能發芽開花，這些古蓮子是多少年以前的遺物呢？人們早發現放射性物質的衰變現象，要測定古物的年代可用”碳 -14”(記作：¹⁴

C

)來確定有機物的年代。一旦動植物死亡後，就停止了新陳代謝，無法與外界環境相互作用(例如：呼吸)獲得¹⁴

C

^{，且原有的}¹⁴

C

會自動衰變。已知物質的衰減符合指數規律：

C t

( )=

C e

₀⋅ ⁻^rt，其中

t

表示衰減的時間(年)，

C

₀ 表示放射性物質的原始質量，

C t

( )表示經衰減了

t

_{(年)後尚存的質量，}

e

≒2.72 是個特殊常數。為了計算衰減的年代，給定該物質質量衰減一半的時間，稱為該物質的半衰期，而¹⁴

C

的半衰期約是 5570 年，由此可確定係數。現測得出土的古蓮子中¹⁴

C

的殘餘量，占原量的 91.7%，試推算古蓮子的生活年代約幾年前？（取整數）[已知 ln2≒0.693，ln0.917≒－0.0866]

◎解題歷程中的數學建模評量工具難度及鑑別度

題號 1 2 3 4 5 難度 0.563 0.425 0.319 0.281 0.569 鑑別度 0.875 0.711 0.900 0.422 0.895

在文檔中高一學生在解題歷程中的數學建模之分析 (頁 36-39)