二、「數學解題」與「數學建模」的關聯性
第 一 題 的 設 計 在 於 引 導 學 生 利 用 關 鍵 的 「 折 舊 率 」 、 「 折 舊 額 」 概 念，先 計 算 出「 每 年 的 固 定 折 舊 率 」，再 透 過 一 年 一 年 的 的 折 舊 額 計 算 來 檢 驗 所 求 之 固 定 折 舊 率 的 正 確 性，利 用 這 個 求 得 的 固 定 折 舊 率 來 建 立 折 舊 額 之 數 學 關 係 式 的 一 般 式，亦 即 建 立 數 學 模 型，由 此 數 學 模 型 尋 求 符 合 第 一 題 之 情 境 條 件 的 折 舊 額 數 學 關 係 式（ 數 學 模 型 ），
此 即 為 所 求 。
上 述 的 數 學 建 模 歷 程 中 所 涉 及 的 解 題 策 略 運 用 有：猜 測、反 駁 、 舉 例 說 明、嘗 試 錯 誤、使 用 平 均 數 與 等 差、等 比 的 概 念 等。根 據 之 前 解 題 歷 程 中 的 數 學 建 模 分 析，以 下 將 甲、乙、丙 在 第 一 題 中 的 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 作 對 照，圖 二 呈 現 整 個 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 的 各 階 段 對 照 ：
觀點 數學解題歷程 數學建模發展
各階段的對照
R A E V(×)
A E V(○)
E V(×)
A PI V(○)
PI(一般式)
PI(答案)
S1 S2 S3 S4 S5(×)
S2 S3 S4 S5(○)
S3 S5 S4
S2 S3 S5(○)
S3(一般式)
S3(答案)
修正 2 次 2 次
圖二 數學解題歷程與數學建模情形的各階段對照
由 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 的 各 階 段 對 照 圖 二 發 現：讀 題 (R) 階 段 必 須 注 意 到 題 目 的 所 有 條 件，瞭 解 題 意、明 確 目 標；這 對 照 到 數 學 建 模 的 對 真 實 世 界 作 觀 察 (S1)，對 一 個 真 實 世 界 的 情 境 進 行 觀 察 與 紀 錄，目 的 是 要 尋 求 對 這 些 觀 察 與 紀 錄 的 理 解，以 及 對 未 來 的 行 為 作 預 測 。 分 析 (A)階 段 則 是 要 完 全 地 明 瞭 題 目 ， 實 際 問 題 可 能 被 簡 化 ，
精 煉
精 緻 修 正
修 正 修 正
修 正 精 煉
精 緻
或 者 以 適 當 的 觀 點 來 重 新 描 述 問 題；此 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 形 成 真 實 模 型 (S2)，重 點 在 於 要 確 認 和 收 集 那 些 在 該 問 題 中 被 考 慮 為 基 礎 的 概 念，此 步 驟 涉 及 形 成 可 靠 的 確 認 界 定、理 想 化 和 近 似 之 描 述，其 參 照 的 依 據 就 如 同 是 要 去 建 構 一 個 真 實 的 模 型 一 樣 。 探 索 (E)階 段 在 於 尋 求 相 關 資 訊 ， 能 夠 合 併 成 分 析 -計 畫 -執 行 的 程 序 ， 在 這 期 間 解 題 者 可 能 發 現 許 多 的 捷 思 策 略 ； 而 計 畫 -執 行 (PI) 階 段 關 心 的 是 計 畫 的 結 構、計 畫 執 行 的 程 序，以 及 過 程 中 對 計 畫 的 回 顧、監 控 與 評 估；這 二 個 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 建 立 數 學 模 型 (S3)，個 人 透 過 對 真 實 模 型 的 觀 察 ， 將 其 中 的 真 實 數 量 和 程 序 以 數 學 的 符 號 和 關 係（ 集 合 、 函 數 、 方 程 式 等 ）來 表 達 整 個 情 境，亦 即，將 該 真 實 模 型 轉 變 成 一 個 數 學 模 型。驗 證 (V)階 段 的 本 質 是 明 顯 的，包 括 回 顧、解 釋 整 個 解 答，檢 查 、 驗 證 答 案 的 正 確 性 等 ； 此 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 解 釋 數 學 模 型 (S4) 和 與 真 實 世 界 作 比 較 (S5)， 解 釋 數 學 模 型 (S4)是 要 對 這 個 被 轉 成 數 學 語 言 的 數 學 系 統 模 型 作 解 釋，能 夠 產 生 新 的 訊 息，也 就 是 能 夠 解 釋 、 識 別 出 在 已 知 的 數 學 結 果 和 這 個 數 學 系 統 模 型 之 間 的 關 係；與 真 實 世 界 作 比 較 (S5) 是 把 在 數 學 運 作 基 礎 上 的 預 測 結 果 與 真 實 世 界 作 比 較，這 最 理 想 的 狀 況 是，透 過 此 數 學 模 型 都 可 以 對 實 際 情 境 中 的 事 件 作 出 解 釋，而 透 過 實 驗 其 他 的 預 測 結 果 到 後 來 也 可 以 被 證 實；如 果 不 是 這 樣 的 話，那 建 模 者 就 必 須 再 次 檢 驗 該 建 模 程 序 中 的 每 一 個 步 驟 ， 透 過 一 次 又 一 次 的 重 複 與 精 煉 建 模 的 程 序，一 直 到 某 一 個 可 被 接 受 的 數 學 模 型 被 發 現 方 可 停 止 。
此 外 ， 甲 、 乙 、 丙 在 第 二 、 三 、 四 、 五 題 中 的 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 也 呈 現 類 似 的 對 照 情 形 ， 如 下 圖 三 ：
解題歷程 R →A→ E→V(○) →E →V(○) → E→V(×) →PI(答案) 2 建模發展 S1→S2→S3→S4→S5(○)→S3→S4→S5(○)→S4→S3→S5(×)→S3(答案)
解題歷程 R →A→ E→V →E →V(×) →E→PI(有不同答案)→PI(確認答案) 3 建模發展 S1→S2→S3→S4(×)→S5(×)→S3→S4(×)→S3(有不同答案) →S3(確認答案)
解題歷程 (1)R →A→ E→V(×) →E →V(×)→A →E →V(×)→ E→ V(○)→PI(答案)→
(2)PI(一般式)→PI(答案)
4 建模發展 (1)S1→S2→S3→S5(×)→S3→S5(×)→S2→S3→S5(×)→S3→S5(○)→S3(答案)→
(2)S3(一般式)→S3
解題歷程 R →E→V(×) →A →E →V(○)→E→ V(○)→E →PI(一般式)→PI(答案) 5 建模發展 S1→S3→S5(×)→S2→S3→S5 →S3→S4(○)→S3→S3(一般式)→S3(答案) 圖三 甲、乙、丙在第二、三、四、五題中的數學解題歷程與數學建模發展的各階段對照
從 各 題 的 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 之 關 聯 性 的 對 照 討 論，發 現 各 題 的 對 照 結 果 具 有 相 似 性 ， 以 本 研 究 的 二 項 研 究 工 具 （ 即 Shoenfeld(1985)的 解 題 原 案 巨 觀 分 析 架 構 與 Maki 和 Thompson (1973) 的 數 學 建 模 五 步 驟 ） 來 合 併 呈 現 其 中 的 對 照 ， 如 下 表 二 ：
表二 Shoenfeld 的解題原案巨觀分析架構與 Maki 和 Thompson 的數學建模五步驟
Shoenfeld 的解題原案巨觀分析架構 Maki 和 Thompson 的數學建模五步驟
＊讀題(R)：包括開始的讀題，讀題後的沉默及重
是 一 致 的 ， 強 調 數 學 是 由 人 類 創 造 生 產 的 ， 並 且 從 實 踐 經 驗 中 來 培 育，總 是 在 成 長 與 改 變 中 開 放 來 進 行 修 正 與 挑 戰，而 且 主 張 真 理 是 依 賴 於 「 藉 由 推 測 與 批 判 、 證 明 與 反 駁 的 邏 輯 等 來 進 行 猜 測 」 的 。
「 數 學 建 模 」與「 擬 經 驗 論 」的 本 質 是 相 同 的 ， 都 是 針 對 問 題 ， 找 尋 具 有 高 度 解 釋 力 和 啟 發 力 的 數 學 模 型，再 以 最 嚴 密 的 方 式 加 以 驗 證，看 看 能 不 能 予 以 反 駁。在 這 整 個 數 學 建 模 的 過 程 中，成 功 的 主 要 關 鍵 是 大 膽 而 且 富 於 想 像 力 與 創 造 力 的 猜 測 與 嘗 試 ， 以 及 問 題 的 轉 換，並 且 由 問 題 中 之 情 境 或 已 知 條 件 來 進 行 嚴 格 的 驗 證，其 根 本 內 涵 即 是 數 學 問 題 的 解 決 是「 不 斷 地 一 次 又 一 次 的 修 正 與 精 煉 」的 數 學 建 模 歷 程 。 因 此 ， 數 學 課 室 的 情 境 ， 以「 做 數 學 實 驗 」的 方 式 讓 學 生 在 一 定 程 度 上 進 行 實 驗 -發 現 -證 明 (否 證 )的 數 學 建 模 程 序 ， 對 於 學 生 改 善 數 學 學 習 成 效 與 增 進 數 學 問 題 的 解 決 能 力 是 有 幫 助 的 ， 值 得 考 慮 的 。