高一學生在解題歷程中的數學建模之分析

The analysis of the first-grade senior high

students’ mathematical modeling in problem

solving process: an example of exponent function

Ming-Hui Wang* Shian Leou Jeng-Fung Hung

Abstract

The main purpose of this research is to analyze the development of mathematical modeling and the related affective experiences of the first-grade senior high students in problem solving process. This research adopts the qualitative method. The subjects are three first-grade senior high students in Kaohsiung. They are from a homogenous cooperative problem solving group. This research adopts case study method and analyzes the protocol of the mathematical modeling in problem solving process by the technique of thinking aloud and interviews. The main findings and results are as follows:

The students in this case follow a fixed pattern in the development of mathematical modeling in problem solving process.

The mathematical problem solving and the mathematical modeling in problem solving process are corelated.

The related affective experiences in problem solving process are the individual problem solving experiences and the experiences in interactive problem solving process of the students in this case.

Keyword: problem, mathematical problem solving, mathematical modeling

* Ming-Hui Wang: A doctoral Student in Science Education Graduate School in National Kaohsiung Normal University

(A math teacher in National Kaohsiung Normal University Affiliated Senior High School)

Shian Leou: A professor in math department and vice principal in National Kaohsiung Normal University

壹、前言

一、研究動機

近 年 來，中 學 數 學 教 育 逐 漸 強 調「 問 題 解 決 」與「 數 學 建 模 教 學 」。 美 國 數 學 教 師 協 會 (National Council of Teachers of Mathematics, NCTM)在 1989 年 的 「 中 小 學 數 學 課 程 及 評 量 標 準 」 文 件 中 ， 對 各 年 級 數 學 課 程 都 列 出 了 問 題 解 決 的 能 力 標 準 ， 並 且 強 調 以 「 數 學 建 模 」 來 作 為 問 題 解 決 的 一 個 側 面 的 重 要 性；其 中 提 到 的 這 些 目 標 蘊 涵：1. 學 生 應 該 被 放 置 於 為 數 眾 多 的 和 各 種 相 互 關 聯 的 經 驗 中，這 些 經 驗 鼓 勵 學 生 去 評 價 數 學 的 進 取 精 神，發 展 數 學 的 心 智 習 慣，以 及 理 解 與 欣 賞 數 學 在 人 類 的 事 件 中 所 扮 演 的 角 色 ； 2. 應 該 鼓 勵 學 生 去 探 究 、 猜 測，甚 至 去 形 成 與 修 正 錯 誤，使 得 他 們 面 對 解 決 複 雜 的 問 題 時 能 夠 獲 得 在 能 力 上 的 自 信 心 ； 3.學 生 應 該 會 閱 讀 、 寫 作 ， 以 及 討 論 數 學 ； 4. 有 關 一 個 推 測 的 有 效 性，學 生 應 該 能 夠 進 行 推 測、測 試，並 且 建 立 一 些 論 證 。

真 實 世 界 真 實 模 型 結 論 預 測 數 學 模 型 理 想 化 近 似 的 描 述 數 學 理 論 和 技 術 抽 象 化 符 號 的 表 達 比 較

圖一 數學建模歷程的縮略表示(Maki & Thompson, 1973)

或 者 以 適 當 的 觀 點 來 重 新 描 述 問 題；此 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 形 成 真 實 模 型 (S2)，重 點 在 於 要 確 認 和 收 集 那 些 在 該 問 題 中 被 考 慮 為 基 礎 的 概 念，此 步 驟 涉 及 形 成 可 靠 的 確 認 界 定、理 想 化 和 近 似 之 描 述，其 參 照 的 依 據 就 如 同 是 要 去 建 構 一 個 真 實 的 模 型 一 樣 。 探 索 (E)階 段 在 於 尋 求 相 關 資 訊 ， 能 夠 合 併 成 分 析 -計 畫 -執 行 的 程 序 ， 在 這 期 間 解 題 者 可 能 發 現 許 多 的 捷 思 策 略 ； 而 計 畫 -執 行 (PI) 階 段 關 心 的 是 計 畫 的 結 構、計 畫 執 行 的 程 序，以 及 過 程 中 對 計 畫 的 回 顧、監 控 與 評 估；這 二 個 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 建 立 數 學 模 型 (S3)，個 人 透 過 對 真 實 模 型 的 觀 察 ， 將 其 中 的 真 實 數 量 和 程 序 以 數 學 的 符 號 和 關 係（ 集 合 、 函 數 、 方 程 式 等 ）來 表 達 整 個 情 境，亦 即，將 該 真 實 模 型 轉 變 成 一 個 數 學 模 型。驗 證 (V)階 段 的 本 質 是 明 顯 的，包 括 回 顧、解 釋 整 個 解 答，檢 查 、 驗 證 答 案 的 正 確 性 等 ； 此 階 段 對 照 到 數 學 建 模 的 解 釋 數 學 模 型 (S4) 和 與 真 實 世 界 作 比 較 (S5)， 解 釋 數 學 模 型 (S4)是 要 對 這 個 被 轉 成 數 學 語 言 的 數 學 系 統 模 型 作 解 釋，能 夠 產 生 新 的 訊 息，也 就 是 能 夠 解 釋 、 識 別 出 在 已 知 的 數 學 結 果 和 這 個 數 學 系 統 模 型 之 間 的 關 係；與 真 實 世 界 作 比 較 (S5) 是 把 在 數 學 運 作 基 礎 上 的 預 測 結 果 與 真 實 世 界 作 比 較，這 最 理 想 的 狀 況 是，透 過 此 數 學 模 型 都 可 以 對 實 際 情 境 中 的 事 件 作 出 解 釋，而 透 過 實 驗 其 他 的 預 測 結 果 到 後 來 也 可 以 被 證 實；如 果 不 是 這 樣 的 話，那 建 模 者 就 必 須 再 次 檢 驗 該 建 模 程 序 中 的 每 一 個 步 驟 ， 透 過 一 次 又 一 次 的 重 複 與 精 煉 建 模 的 程 序，一 直 到 某 一 個 可 被 接 受 的 數 學 模 型 被 發 現 方 可 停 止 。 此 外 ， 甲 、 乙 、 丙 在 第 二 、 三 、 四 、 五 題 中 的 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 也 呈 現 類 似 的 對 照 情 形 ， 如 下 圖 三 ：

解題歷程 R →A→ E→V(○) →E →V(○) → E→V(×) →PI(答案) 2

建模發展 S1→S2→S3→S4→S5(○)→S3→S4→S5(○)→S4→S3→S5(×)→S3(答案)

解題歷程 R →A→ E→V →E →V(×) →E→PI(有不同答案)→PI(確認答案)

3

建模發展 S1→S2→S3→S4(×)→S5(×)→S3→S4(×)→S3(有不同答案) →S3(確認答案)

解題歷程 (1)R →A→ E→V(×) →E →V(×)→A →E →V(×)→ E→ V(○)→PI(答案)→

(2)PI(一般式)→PI(答案) 4

建模發展 (1)S1→S2→S3→S5(×)→S3→S5(×)→S2→S3→S5(×)→S3→S5(○)→S3(答案)→ (2)S3(一般式)→S3

解題歷程 R →E→V(×) →A →E →V(○)→E→ V(○)→E →PI(一般式)→PI(答案)

5

從 各 題 的 數 學 解 題 歷 程 與 數 學 建 模 發 展 之 關 聯 性 的 對 照 討 論，發 現 各 題 的 對 照 結 果 具 有 相 似 性 ， 以 本 研 究 的 二 項 研 究 工 具 （ 即 Shoenfeld(1985)的 解 題 原 案 巨 觀 分 析 架 構 與 Maki 和 Thompson (1973) 的 數 學 建 模 五 步 驟 ） 來 合 併 呈 現 其 中 的 對 照 ， 如 下 表 二 ：

表二 Shoenfeld 的解題原案巨觀分析架構與 Maki 和 Thompson 的數學建模五步驟

伍、結論與建議

參 考 文 獻

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