三維有限元素之網格與元素型態

本研究以 ANSYS 有限元素分析軟體進行結構動態分析，分析程序主 要 分 成 三 部 份 ： 前 處 理 （ pre-processor ）、 求 解 （ solver ）、 後 處 理

（post-processor）。於前處理步驟先建立馬達定子模型，選定適合的元素 型態並設定符合真實情況的材料係數﹐在將結構網格化以進行有限元素 法計算，最後設定結構的邊界條件。

定子結構一與定子結構二材料皆選用鋁合金 T-6061（材料參數列於 表 2），三角形定子的三側邊各黏貼三片厚度方向極化的方形壓電陶瓷，

上方為極化方向相反的兩壓電片，下方壓電片的極化方向與上方左側壓 電片同向。數值分析時所用的壓電材料參數列於表 3。壓電材料使用 8 節

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點之三維耦合元素（3-D coupled-field solid）SOLID5，每個節點具有 x、

y、z 三個方向的位移自由度及一個電位自由度。鋁合金的元素型態採用 SOLID45 元素，此元素同為 8 節點之三維元素，每個節點僅有 x、y、z 三個方向的位移自由度。

3.1.1 馬達定子結構一

定子結構一的幾何尺寸如圖 3.1，設計時以三角形定子的厚度 t、水 平孔縫長度 a、水平孔縫與定子下緣距離 b、水平孔縫與定子上緣距離 h 為變動參數，三角形定子的內導角 RI、外導角 RO、水平孔縫高度 RH 為 固定參數且與蔡慶芳[14]的結構三參數相同，

定子結構一之上方兩壓電片長 14（mm）、寬 6.3（mm）、厚度 0.5（mm），

下方單一壓電片長 10（mm）、寬 2.5（mm）、厚度 0.5（mm）。

定子結構一的元素數目共 47,805 個，如圖 3.2 所示。在邊界條件設 定上將定子底端之所有節點的位移自由度設定為零，壓電陶瓷電極部份，

元素上的節點電位差設定為零。

3.1.2 馬達定子結構二

定子結構二的幾何尺寸如圖 3.3，設計時以三角形定子的厚度 t、水 平孔縫長度 a、水平孔縫與定子下緣距離 b、水平孔縫與定子上緣距離 h、

外導角 RO、為變動參數，三角形定子的內導角 RI、水平孔縫高度 RH 為 固定參數。

定子結構二之上方兩壓電片長 12.5（mm）、寬 4.5（mm）、厚度 0.5

（mm），下方單一壓電片長 12.4（mm）、寬 3（mm）、厚度 0.7（mm）。

定子結構二的元素數目共 95,115 個，如圖 3.4 所示。在邊界條件設 定上將定子圓盤基座鎖孔上下面積之所有節點的位移自由度設定為零，

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壓電陶瓷表面電極之節點電位差設定為零。

3.2 模態分析 3.2.1 共振模態辨別

區別三角形定子結構之共振模態是在設計馬達之前一項重要的工作，

三 角 形 超 音 波 馬 達 依 共 振 模 態 對 稱 變 形 情 形 主 要 可 分 為 縱 向 模 態

（ longitudinal mode ）、 扭 轉 模 態 （ torsional mode ） 及 側 向 彎 曲 模 態

（transverse bending mode）。為使定子接觸點與轉子做水平與垂直之相對 移動以形成橢圓形軌跡，選用縱向模態與扭轉模態為雙模態耦合之目標 模態，非對稱變形的振形暫以「其它模態」（other mode）著稱。縱向模 態主要以定子軸向長度的變化情形為判斷依據，扭轉模態則以周向旋轉 的變化情形為判斷依據。表 4 所列為未切水平孔縫時前 20 個模態變化情 形，觀察可知縱向模態為第 10 個模態，共振頻率為 74.218（kHz），扭轉 模態為 4 個模態，共振頻率 39.57（kHz），兩者頻率差距 34.648（kHz），

為達成模態耦合目的，勢必將縱向模態的共振頻率調降並與扭轉模態的 共振頻率接近至相差 50Hz 以內，在致動時才能同時激發兩組共振模態。

3.2.2 模態隔離與模態耦合

雙模態耦合是以特定的共振頻率同時激發出馬達結構雙模態振動，

驅動馬達轉子轉動。模態隔離則是為了避免激振出雙耦合模態鄰近的共 振模態，影響定子的振形與接觸點的振幅，造成馬達性能與控制性降低。

故探討完幾何尺寸對於特定模態的影響，並依據此設計準則，找出馬達 定子得最佳化參數，定子結構一與定子結構二的接觸點皆設置於三角形 定子的三頂點上緣。

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分別下降 2.676（kHz）與 2.59（kHz），其他模態的共振頻率下降幅度較 縱向模小，下降約 2.155（kHz）。

接著調整三角型厚度 t，由 2（mm）上升至 3（mm）時，其結果如 圖 3.7 所示，縱向模態與扭轉模態之共振頻率約在 t= 2.5（mm）處有一 交點，且一直到 3（mm）時兩模態之共振頻率仍保持差距在 1.697（kHz）

內。其他模態的共振頻率上升幅度則遠大於縱向模態與扭轉模態，此現 象有助於共振頻率隔離之效果。

最後調整水平孔縫長度 a，數值模擬結果如圖 3.8 所示，隨著長度 由 11（mm）增加至 15（mm），扭轉模態與縱向模態之共振頻率間距減 小，約在 a=12（mm）與 a=13（mm）之間有一交點，一直到 a=15（mm）

時，兩模態之共振頻率仍保持差距在 0.718（kHz）內，有良好的模態耦 合。其他模態之共振頻率則上升，增加與縱向模態及扭轉模態之共振頻

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疊加的耦合模態圖如圖 3.10 所示。

3.2.2.2 定子結構二幾何尺寸對於特定模態共振頻率的影響與選定之參數 定子結構二邊長設為 40（mm），先探討三角型厚度 t 的影響，圖 3.11 所示為隨厚度由 1.7（mm）增至 2.5（mm）的結果。縱向模態之共振頻 率與其他模態之共振頻率約在 t= 2（mm）處有一交點，隨著厚度的增加，

其他模態的共振頻率上升幅度大於扭轉模態。同時，縱向模態的共振頻 率逐漸接近扭轉模態的共振頻率，惟兩者的最小差距仍有 6.542（kHz）

左右。此趨勢雖有助於共振頻率耦合之效果，但是定子厚度過厚會降低 定子接觸點變形量，影響馬達效能，故不宜將厚度調整於過厚。

圖 3.12 所示為水平孔縫與定子上緣距離 h 對於不同模態共振頻率的 影響，隨著 h 值增加，縱向模態的共振頻率增加，扭轉模態的共振頻率 則降低，其他模態的共振頻率亦下降，但下降幅度較扭轉模態的共振頻 率小。

由調整水平孔縫與定子下緣距離 b 之頻率變化結果如圖 3.13 所示，

距離由 2（mm）增加至 4（mm），縱向模態與扭轉模態之共振頻率均緩 慢下降，分別下降 1.258（kHz）與 1.669（kHz）。隨著 b 值的增加，其他 模態的共振頻率下降幅度較扭轉模態快，下降約 1.76（kHz）。

接著調整外導角 RO 值，對於共振頻率值的影響如圖 3.14 所示，縱 向模態、扭轉模態與其他模態之共振頻率皆隨著 RO 值的增加而緩慢增 加，其他模態與扭轉模態之共振頻率差值亦隨著 RO 值的增加而緩慢拉 大，對於模態隔離的實現幫助不大。

圖 3.15 顯示調整水平孔縫長度 a 影響共振頻率的數值結果，長度 a 由 11（mm）增加時，其他模態與縱向模態之共振頻率差距減小，約在 a=12（mm）與 a=12.5（mm）之間有一交點，隨著長度增至 13.5（mm）

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時兩模態之共振頻率差距拉至 6.355（kHz）內，有良好的模態隔離。隨 著水平孔縫長度 a 增加，縱向模態及扭轉模態之共振頻率逐漸逼近，且 相交於 13.5（mm）與 14（mm）之間。

定子結構二如圖 3.16 所示，最後所選用之尺寸為長度 H=10.8（mm）、

管壁厚度 t=2.5（mm）、壁內導角 RI=3.5（mm）、外導角 RO=3.5（mm）、

橫向孔縫長度 a=13.78（mm）、橫向孔縫寬度 HC=3（mm）、水平孔縫與 定子上緣距離 h=5.8（mm）、水平孔縫與定子下緣距離 b=2（mm），兩組 模態疊加的耦合模態圖如圖 3.17 所示。