三角函數解題能力試題的優良試題舉例

一、大考試題舉例

下面有關三角函數解題能力試題是選自80 年至 97 年的推薦甄試、聯考、學 科能力測驗、指考等大型考試。試題列舉按大考類型分類且依年度排列如下:

(一)推薦甄試、學科能力測驗三角函數試題

1. 設 f(x)=(sinx+cosx)² +4(sinx+cosx)，則 f(x)的最小值?

[答 案] 2−4 2 [出 處] 84 推甄

2. 如下圖，A, 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路B 上，距離A 點 50 公尺的C點與距離A 點 200 公尺的 D 點，分別測得

°

=

∠ACB 60 ,∠ADB=30°，則A 與 B 的距離為 多少公尺?

[答 案] 50 7 [出 處] 87 推甄

3. 設

0<

θ

<

π

4，且2+ 3為方程式x² −(tan

θ

+cot

θ

)x+1=0的一根，則tanθ=?

[答 案] 2− 3 [出 處] 88 推甄

4. 兩條公路k及m，如果筆直延伸將交會於C處成60°夾角，如圖所示。為銜 接此兩公路，規劃在公路各距C處450公尺的A、 B 兩點間開拓成圓弧形公 路，使k、m分別在A 、 B 與圓弧相切，則此圓弧長多少公尺?

B

A C D

60°

B A

D C [答 案]

4 3

[出 處] 93 學測

9. 設複數z= 1−i；若1+z+z² + +z⁹ =a+bi, 其中 a, b 為實數， 則 a=?

b=?

[答 案] 32,− 1 [出 處] 94 學測

10. 如右圖所示，在ΔABC中，∠BAC的平分線AD 交對邊BC於D；已知BD= 3，

=6

DC ，且AB= AD，則cos∠BAD之值為何?(化成最簡分數) [答 案]

4 3

[出 處] 94 學測

11. 在ΔABC中，M 為BC邊之中點，若AB=3,AC =5，且∠BAC =120°，則

∠BAM

tan =? (化成最簡根式) [答 案] 5 3

[出 處] 96 學測

12. 在ΔABC中，AB=10,AC =9，且

8

cos∠BAC= 3。設點P、Q 分別在邊 AB 、

AC上使得ΔAPQ之面積為ΔABC面積之一半，則PQ 之最小可能值?

[答 案]

2 15

[出 處] 98 學測

(二)聯考社會組、指考數乙三角函數試題

1. 根據氣象預報，某颱風於某日下午 2 時的中心位置在鵝鑾鼻燈塔正南方 300 公里處，暴風半徑為250 公里，以每小時 50 公里的速率朝 ⎡北30°西⎦等速 直線前進。設此颱風的速度方向及暴風半徑都不變，求鵝鑾鼻燈塔在此暴風

圈內前後共計多少小時?

[答 案] 8 [出 處] 80 社

2. 一漁船在湖上等速直線前進。已知上午 9 時 50 分，漁船在觀測點 O 的北方 偏西70° 離 O 點 2 浬處。上午 10 時 10 分，則在觀測點 O 的北方偏東50° ， 離O 點 1 浬處。

(1)求此船的時速。 (2)求這段時間內，漁船離觀測點 O 的最近距離。

[答 案] (1) 3 7浬/時 (2) 7 21

[出 處] 81 社

3. 將半徑為 1 的半圓周 AB 分成 180 等分，設等分點依次為P P P₁, , , ,_{2 3} P₁₇₉， 則 AP_k

k 2 1 179

∑

= ^=?

[答 案] 358 [出 處] 81 社

4. 已知

3 cos 1

sin

θ

−

θ

= ，且sinθ ,cosθ 為2x² + px+q=0的兩個根，則判別

式p² −8q=?

[答 案]

3 4

[出 處] 82 社

5. ΔABC中，∠ABC =60°,∠ABC的角平分線交AC於D 。已知AB=6,

10

　　15 30 10

D

C B

A

E

α^'

α β^'

β

9. 包裝七根半徑皆為l 的圓柱，其截面如圖所示，試問外圖粗黑線條的長度。

[答 案] 12+2

π

[出 處] 90 社

10. 如下圖所示，一個大的正八角星的頂點為周圍八個全等的小正八角星中心，

相鄰的兩個小八角星有一個共同的頂點。觀察圖中虛線部分，設小八角星頂 點C 到其中心 A 的距離為 a，大八角星頂點 A

到其中心O 的距離為 b。試問 a : b 的比值。

[答 案] 2 2 2

−

[出 處] 90 數乙

11. 如圖所示的立體示意圖，線段AC垂直於過D、C、E 這三點的平面。設 10

AB BC= = ,DC=15,CE=30,∠CDB=α,∠BDA= ,

β

∠CEB=α′, BEA

β

^′

∠ = 。試問下列何者為真? (1)

α β

= (2)

α α β

= ^′+ ^′ (3)α =2α′ (4) 3

α β

+ > (5)

π

6

α β

′+ ′<

π

[答 案] (2) [出 處] 92 數乙

12. 某機場基於飛航安全考量，限制機場附近建築物從機場中心地面到建築物頂 樓的仰角不得超過8°。某建築公司打算在離機場中心3公里且地表高度和機 場中心一樣高的地方蓋一棟平均每樓層高5公尺的大樓。在符合機場的限制 規定下，該大樓在地面以上最多可以蓋層樓。［參考數據： sin8° 0.1392, ≒ cos8° 0.9903, tan8° 0.1405 ≒ ≒ ］

[答 案] 84 [出 處] 95 數乙

(三)聯考自然組、指考數甲三角函數試題

1. 考慮函數 f(x)=cos2x+4sin² x−cosx−2 (a) 解方程式 f(x)=0。

(b) 在 0≤ x ≤2π 的條件下，解不等式 f(x)>0。 [答 案] (a)x= n ± or x=(2n−1) ,n∈Z

2

π π

3

π

(b)

π π π

≠

<

< x ,x 3 5 3

[出 處] 84 自

2. 已知四邊形ABCD 中，AB=16,BC =25,CD=15,∠ABC及∠BCD皆為銳

角，而 25

sin∠ABC= 24,

5

sin∠BCD= 4。(1)求BD 之長 (2)求 AD 之長。

[答 案] (1) 20 (2) 12 [出 處] 86 自

3. 某恆星系統中有甲、乙兩行星。假設兩者公轉軌道在同一平面上，且為以恆 星為圓心的同心圓。某時，甲行星在恆星與乙行星之間而成一直線。今在該 平面上設定一坐標系如圖。已知兩行星皆以逆時針方向

運行，且公轉之週期比為2：7。試問下一次甲行星再度 在恆星與乙行星之間而成一直線時，應該是下面哪一種 狀況？

[答 案] (D)(E)

(B) 行星在第二象限

(A) 行星在第一象限 (C) 行星在第三象限

(D) 行星在第四象限 (E) 行星在正x 軸上

[出 處] 89 自

4. 某人在 O 點測量到遠處有一物作等速直線運動。開始時該物位置在 P 點，

一分鐘後，其位置在Q 點，且∠POQ=90°。再過一分鐘後，該物位置在R 點，且∠QOR=30°。請以最簡分數表示tan (² ∠OPQ)。

[答 案] ³ 4 [出 處] 91 數甲

5. 設a>0，令A(a)表示 x 軸、y 軸、直線x a= 與函數y= +2 sinx的圖形所圍 成的面積。下列選項有哪些是正確的? (1) (A a+2 )

π

=A a( )恆成立 (2) (2 ) 2 ( )A

π

= A

π

(3) (4 ) 2 (2 )A

π

= A

π

(4) (3 )A

π

−A(2 )

π

>A(2 )

π

−A( )

π

。 [答 案] (3)(4)

[出 處] 93 數甲

6. 以O表坐標平面的原點。給定一點A(4,3)，而點 B(x,0)在正 x 軸上變動。若l(x) 表AB長，則ΔOAB中兩邊長比值

( ) x

l x 的最大值。(化成最簡分數) [答 案] (3)(4)

[出 處] 95 數甲

7. 設 cos² sin²

7 7

z₌ π ₊i π

，試問複數1−z的絕對值為以下哪一選項?

(1) 2sin 7

π (2) sin² 7

π (3) 2 sin² 7

π (4) 2(1 cos² ) 7

− π

(5) 1 cos² 7

− π 。

[答 案] (1) [出 處] 96 數甲

8. 在與水平面成10°的東西向山坡上，鉛直（即與水平面垂直）立起一根旗竿。

當陽光從正西方以俯角60°平行投射在山坡上時，旗竿的影子長為11 公尺，

如下圖所示（其中箭頭表示陽光投射的方向，而粗黑線段表示旗竿的影子）。 試問旗竿的長度最接近以下哪一選項?

(1) 19.1 公尺 (2) 19.8 公尺 (3) 20.7 公尺 (4) 21.1 公尺 (5) 21.7 公尺。

參考數值：sin10°≈ 0.174，sin20 ° ≈ 0.342，

cos10°≈ 0.985，cos20° ≈ 0.940，

3≈ 1.732。

[答 案] (3) [出 處] 97 數甲

二、教科書試題舉例

目前國內所使用之教科書，有龍騰、翰林、南一、三民、全華、泰宇、康熙 等七家出版社，本論文因篇幅關係，以九五課程暫時綱要所列之章節安排次序，

每一單元列出二題較為適切的程序題，以供研究參考，並做為教師教學及評量命 題時之依據。但因九九課程綱要課程章節有所更動，本論文將不列入「和、差與

積互化」。

A.銳角三角函數

1. 如圖，矩形ABCD中，AB =3, BD , BE 三等分 B∠ ，求 BDEΔ 的周長。

[答 案] 6+4 3 [出 處] 龍騰版

2. 在四邊形ABCD中，AB=4 ,CD=4 2,AD=8,∠A=60°,∠D=45°，求此四 邊形的面積。

[答 案] 12+4 3

[出 處] 泰宇版 _{60° 45°}

A B

D C

3. 試利用右圖求出tan15°的值 [答 案] 2− 3

[出 處] 六版本(全華版無)

B.三角函數的基本關係

1. 設θ 為銳角，已知方程式x² +(tan

θ

+cot

θ

)x−1=0有一根為 5− ，試求下2 列各式的值: (1) tanθ +cotθ (2)sinθ⋅cosθ (3)sinθ +cosθ

[答 案] (1) 4 (2) 4 1 (3)

2 6

[出 處] 南一版；龍騰版

C.簡易測量與三角函數值表

1. 如圖，矩形ABCD中，AB= 3,BC =1。若將此矩形放在距離為 2的兩平行 線L₁, L₂之間，且使A,C分別落在

L2, L₁上，則θ 角為幾度?

[答 案] 15° [出 處] 龍騰版

2. 一長 10 公尺的電線桿受颱風影響而傾斜，位於傾斜方向 20 公尺處測出頂端 的仰角是30°，求電線桿傾斜的角度。

[答 案] 30° [出 處] 全華版

D.廣義角三角函數

1. 有一天假日下午，阿榮到某遊樂場乘坐摩天輪，如圖，摩天輪的基座 AB 的高 度為3 公尺，軸心為O點，半徑為15 公尺，而此摩天輪每旋轉一圈需六分鐘。

° 56

86°

° 30

阿榮在A 點乘坐，當摩天輪依逆時針方向旋轉 16 分的 時間後，突然停電，此時阿榮的位置正好在C點上，

求阿榮所在位置離地面的高度約多少公尺?

[答 案] 25.5公尺(註:原題旋轉 15 分 36 秒) [出 處] 南一版

2. 如右圖之圓形操場，小啟在 A 點、小榮在 B 點同時出發，各一逆時針、順時 針方向繞著操場跑，若小啟與小榮之速度比為3:2，

則他們出發後第五度相遇時會在哪一象限?

[答 案] 第三象限 [出 處] 翰林版

E.正弦定理與餘弦定理

1. 草原上有甲、乙、丙三戶人家，乙在甲的正東方，丙在乙 的東86°北，甲在丙的西56°南，而甲和乙相距500 公尺。今 想在草原上打一口井，為公平起見，此口井必須與三戶人家等 距離，試求此口井與任一戶人家的距離。

[答 案] 500 公尺 [出 處] 泰宇版

2. 已知A ,,B C三村莊彼此的距離AB =3,BC=8,CA=7。今在D 處成立一所郵局，

使三村莊到D 的距離都相等

(1)ΔABC中，∠ 為幾度? (2)求 D 到三頂點的距離。 B [答 案] (1)60° (2)

3 7

[出 處] 龍騰版

小啟 小榮

A B

° 240

24 F.基本三角測量

1. 想測量出一高空氣球底端的高度，在地面上三定點A,B,C分別測出氣球底端 的仰角都是60°，又∠CAB=30°且BC=200公尺，求氣球的高度。

[答 案] 200 3 [出 處] 翰林版

2. 有一艘郵輪往正東方向航行，在北15°東發現燈塔A，在北60°東發現燈塔B。

郵輪繼續航行30 公里後，再測得燈塔A 在北30°西，燈塔B 在正北方。求燈 塔A 與 B 的距離。

[答 案] 5 30 [出 處] 龍騰版

3. P ,,Q R為一條筆直且水平的公路上的三點，且PQ= QR=20公尺，設公路旁 有一大型的廣告看板，今有一駕車行駛在公路，由P ,,Q R觀測看板的頂端A 所 得之仰角分別為30°,45°,60°，如右圖，設A 在地面上的垂足點為 B 且AB=x 公尺。

(1)試以x表BP , BQ , BR (2)求廣告看板的高度。

[答 案] (1) 3 ,x x, x 3

1 (2)10 6公尺

[出 處] 全華版

G.三角函數的性質與應用

1. 把一半徑是 24 公分，圓心角是240°的扇形摺成一正圓錐面，求錐面的底半徑 與高度。

[答 案] 半徑16(公分), 高度8 5(公分) [出 處] 全華版

P Q

R A

B

2. 某鞦韆的拉繩長 3 公尺，靜止時踩板離地面0.5公尺。小華盪此鞦韆時, 鞦韆 踩板在最高處離地面2 公尺（左右對稱），求此鞦韆所盪過的圓弧長為多少公 尺?

[答 案] 2π (公尺) [出 處] 龍騰版

H.和角公式

1. 在ΔABC中，若

13 sinA= 5 且

5

cosB=−3，試求a:b:c。

[答 案] 25:52:33 [出 處] 泰宇版

2. 如下圖，有一足球場寬 63 公尺，球門寬 7 公尺，某足球員沿邊界帶球突破，

在距底線35 公尺處起腳射門。設此時足球對球門所張的角為θ，求tanθ 的值。

[答 案]

9 1

[出 處] 龍騰版

I.倍角、半角公式

1. 求在0< <x π 的範圍內，y=sinx與y=sin 2x兩圖形的交點坐標。

[答 案] ) 2 , 3 (

π

3 [出 處] 龍騰版

2. 如下圖所示，在山壁上鑿出一隧道形狀的倉庫，上沿為圓弧 AD ，其所在圓的 圓心為BC的中點O，半徑為10 公尺，AB 與CD均垂直於BC，且AB CD= =5 公尺。今有一矩形箱子欲放入隧道形倉庫裡，試問:這矩形箱子的正面面積最 大值為多少平方公尺?

A B

O

P Q

R S [答 案] 100(平方公尺)

[出 處] 龍騰版

J.正弦、餘弦函數之疊合

1. 扇形OAB之中心角∠AOB=60°，OA= OB=1，若P為弧AB上異於A, B之動點，

作矩形PQRS，如右圖，試求矩形PQRS的最大面積。

[答 案]

6 3

[出 處] 泰宇版

2. 如下圖，矩形ABCD的四個頂點分別在矩形PQRS 的四個邊上。若AB=3

=7

BC ，且AB 與 AQ 的夾角為α ，則當α 為多少度時，矩形 PQRS 的周長最大。

[答 案] α = 45°，20 2 [出 處] 龍騰版

K.複數的極試

1. 在坐標平面上，已知正方形ABCD的兩頂點A(0,0),B(3,2)且C點在第一象 限，試求頂點C,D 的坐標。

[答 案] C(1,5), D (-2,3) [出 處] 南一版

2. 已知 2 2 cos sin

5 5

z

π

i

π

= + ，求^{365 95 96 97 365}

95

z z

z z z

k

k = + + + +

∑

=

的值。

[答 案] 1 [出 處] 龍騰版

第參章三角函數試題的開發研究與測試結果

在文檔中 高中數學三角函數解題能力試題的研究 (頁 41-55)