示範教材的舉例

一、正弦與餘弦定理

既然我們要探討三角函數的一些性質，那就脫離不開三角形，同學都知道任 一個三角形皆由三個邊和三個角所構成，到底邊和角之間有什麼關聯性呢？本單 元所要介紹的正弦定理與餘弦定理，和國中所學過的「畢氏定理」及「三角形的 邊角關係」有著密切的連結性，並可處理其他的三角形問題，更可以應用在日常 的測量問題上。

1.正弦定理

如圖所示，我們想開鑿連接山丘兩端城市A, 之間的隧道，並測得此隧道的B 直線距離AB，若我們從 A 城市走了 10 公里到觀測

站C處，而且已測知∠BAC=75°,∠ACB=60°，由 這些數據，我們是否能計算出此隧道的長度呢?

我們先從國中所熟悉的三角形面積及所學過的三角函數，看看之間是否有何關聯 性？在計算三角形面積時，同學最常使用的公式為

三角形面積 1

= × (底×高) 2

將這個公式搭配之前學過的三角函數，會有不同的計算方法。在ΔABC中，若AB 邊上的高為CD，如下圖所示，我們根據∠ 為銳角、直角與鈍角三種情形來討A 論:

60°

75°

C

A B

10 km

從上圖知道，無論哪種三角形，其高CD皆可以表示成bsinA，因此三角形面積

∵ 1

如此，我們便可以計算出連接兩城市之間隧道的長度了。

解: ∠B=180°−∠A−∠B=60° 由正弦定理知

= °

° sin45 10 60

sin

AB ⇒

2 2 10 2

3 = AB

即得 AB=5 6

又由 10 2

2 2 10 45

2 sin = =

= AC°

R ，

得ΔABC的外接圓半徑R=5 2

例3.在ΔABC中，∠A=75°, ∠B=45°, AC =10，求AB 的長度與ΔABC的 外接圓半徑。

隨堂練習

在ΔABC中，AB=2, AC=2 2, ∠C =60°，求∠ 的角度與B ΔABC的外接 圓半徑。

2.餘弦定理

我們從觀測站C測得到兩城市所張開的角度為

θ

，在測得到兩城市的距離分別為 a與b，我們把問題敘述如下：

(3)如圖所示，由觀測點C測得BC為a公里，

AC為b公里，∠ACB=θ ，求連接山丘兩 端的城市之間的隧道AB 的長。

可以仿上例之圖形，若將120°改為

θ

度時，來探討其作法。

解：過A 點作BC的垂直線，交BC的延長線於D 點，

∵∠ACB=

θ

，∴∠ACD=180° −

θ

。 AD AC= sin(180° −

θ

)=bsin

θ

CD AC= cos(180° −

θ

)= −bcos

θ

BD BC CD a b= + = − cos

θ

由畢氏定理知AB² =(a b− cos )

θ

²+( sin )b

θ

²

=a²−2abcos

θ

+b²cos²

θ

+b²sin²

θ

=a²+b²−2abcos

θ

由前例的測量數據代入，確實可以求得答案。我們感興趣的是，如果三角形為銳 角三角形，所推導出來的結果是否和上式相同呢？如果是，我們已知三角形的二 邊邊長及其夾角，是否可求得第三邊呢？底下所介紹的餘弦定理將可解決這些問 題。

證明：在ΔABC中，若AB 高為CD，考慮∠ 的下列的三種情形： A 餘弦定理

若a b 和, c分別表ΔABC三內角∠ ∠ 和A B, ∠C的對邊長，則

2 2 2 2 cos a =b + −c bc A

2 2 2 2 cos b =c +a − ca B

2 2 2 2 cos

c =a +b − ab C

θ a

b

B A

D C

故BC =7

習題

5. 如圖，試問ΔABD與ΔACD的面積比和下列哪些選項一樣？

(1)BD CD: (2)AB AC:

(3)ABsin

α

:AC sin

β

(4)ABcos

α

: AC cos

β

(5)ABtan

α

: AC tan

β

。

B、程序題

6. 如圖，ABCD是邊長為2 的正方形，ΔBCE為一正三角形，求AE 的長。

7. 在ΔABC中，已知AB=8, ∠ =A 120°，且ΔABC之面積為12 3，求AC長。

8. 在ΔABC中，∠A=30°, BC =6公分，求ΔABC的外接圓半徑。

9. 在ΔABC中，BC=a,CA=b,AB=c，已知∠C =120°且a² +b² −c² =−8，求 ΔABC的面積。

C、解題能力題

10. 如下圖，三角形ABC之三邊長為AB=5, BC=6, CA=7，若四邊形ABDE , ACFG皆為正方形，求EG。

A

B D ^C

α β

A

B C

E D

1 2 A

B P

S T

Q

A C B D

P

11. 有大小兩圓相交於 A , B 兩點，如右圖，過 B 有一線段CD交大圓於C，交小 圓於D ，且∠ACD=45°, ∠ADC=60°，求大圓與

小圓之面積比。

12. 如下圖，已知∠PAQ=60°，AB 平分 PAQ∠ ，並以P , Q 為圓心，並分別以 1 及 2 為半徑畫兩半圓，若兩半圓皆與 AB 相切，且切點分別為S, T ，

(1)求 AP 的長 (2)求 PQ 的長

13. 兩張大小相同的紙，各折出 7 個大小相同的矩形，且其寬度為 1 公分(BC=1 公分)，放置如右圖，使頂點 A 重合，P 與另一張紙之折線重疊(點 P 落在CD 上)，則 (1)求cos∠PAC (2)求 BP 。

答案

1.(3) 2.(3) 3.(2)(4) 4.(2)(4) 5.(1)(3) 6. 13 7. 6 8. 6 9. 12 10. 4 7 11.

2

3 12.(1) 2 (2) 2 3 13.(1)5

7 (2) 5

A

C ^45° B ^60°D

二、複數的極式

在談複數的極式這節之前，我們先看看右圖，若有 一隻狗(O 點)，想吃主人走中的一塊肉(P 點)，請問這隻 狗必須以仰角多少度(θ =?)從地面往上跳；又OP=? 1.複數的極式

我們可將每個複數x yi+ （x y 為實數）與坐標為, ( , )x y 的點有一一對應。例如：複數−4+3i就對應於點

) 3 ,

(−4 ，而x軸上的點(2,0) 就代表複數2 0+ =i 2。對於 一 個 非 零 複 數 z x yi= + （ x y 為 實 數 ） 對 應 於 點,

( , )

P x y ，令r OP= ，

θ

為以x軸的正向為始邊，OP為 終邊的有向角。此時x r= cos

θ

,y r= sin

θ

，則

(1) z x yi= + = r(cos

θ

+isin

θ

)，其中r(cos

θ

+isin

θ

)稱為複數z 的極式 (2)r OP= = x²+y² = +x yi = z 稱為z 的絕對值

(3)

θ

稱為複數z 的輻角。

若0≤ <θ 2π ，則稱θ 為複數 z 的主輻角，並以 Arg(z)表示。

一個非零複數的輻角有很多，但是它的主輻角 只有一個。例如：若複數z= − +1 3i，則 (1) z 在複數平面的對應點為P(−1, 3) (2) z 的絕對值為 z = (−1)² +( 3)² =2 (3) z 的輻角有 2 2 2

, 2 , , 2 ,

3 3 3

π

−

π π π

+

π

（2 3

π

的同界角都是）

(4) z 的主輻角 Arg(z)=

3 2

π

（唯一）

P(-1,3) O

P

1 公尺

3 公尺

θ

)

解: (1)r= z = x² +y² = (−4)² +(3)² =5

(2) 5

cos = = −4 r

θ

x

(3) 5

sin = = 3 r

θ

y

(4)z=−4+3i在複數平面對應的點為P(−4,3) 故得

θ

在第二象限

2.複數的乘除

你知道嗎? 前面我們學習了複數如何化成極式，那這樣到底有什麼好處呢?

且看看下面的例子:

(1)設z₁ = 2+ 2i, z i 2 1 2

3

2 = + ，若z=z₁⋅z₂，求複數的z 的極式?

隨堂練習

將下列各複數化為極式？

i z = 3− )

1

( ₁ (2)z₂ = 1− +i (3)z₃ = 1 (4)z₄ =3i

隨堂練習 若 15 8

17 17

z= + i，且由查表知 15 cos 28

° =17 , 8 sin 28

° =17，則下列何者為z 的極 式之表示式？

(1)z=cos 28° +isin 28° (2)z=cos

θ

+isin

θ

，其中 15 8 cos ,sin

17 17

θ

=

θ

= 例2.設複數z=−4+3i的極式為r(cos

θ

+isin

θ

)，若0≤ <

θ

2

π

，求 (1) r (2)cosθ (3)sinθ (4)θ 在第幾象限。

(2)設z₁ =−1+ 3i, z₂ = 1+i，若

(2)

( )

的差。

解: 由 )

由數學歸納法，可以得到

隨堂練習

設z₁ =3(cos12°+isin12°)，z₂ =6(cos78°+isin78°)， )

45 sin 45

(cos

3 =2 °+i °

z ，若

2 4 3 3 1

z z z ⋅

=a+bi，求數對( ba, )=?

實軸 虛軸

O

(1) (2)

實軸 虛軸

O 實軸

虛軸

O

(3)

(4)

實軸 虛軸

O

(5)

實軸 虛軸

O

實軸 虛軸

O

習題

A、概念題

1. 在複數平面上，將複數cos1+isin1對應的點，以順時針旋轉 2 弧度，則所對應的複數為下列何者？

(1)cos3+isin3 (2)−cos1−isin1 (3)cos1−isin1 (4)cos3−isin3 (4)−cos1+isin1。

2. 在複數平面上，若z=cosθ +isinθ ,

6 3

π

≤ ≤ ，且

θ π

z 點在複數平面上所畫出的圖形如右圖所示，則z³ 所畫出的圖形為下列哪個圖形(哪段弧)？

3. 如圖，一矩形ABCD，其中心點為原點O，若A 點所對應的複數為z a bi= + ， 則下列哪些選項可表示D 點座標？

(1)a bi− (2)− +a bi (3) z (4) z− (5) ^a2+b2

(

^{cos(− +}

^θ

^{) isin(−}

^θ

⁾

)

虛軸

A( z ) B

C D

O ^{θ 實軸}

P( z )

實軸 虛軸

O ^10°

2 A 4. 如圖，OP=2，且∠AOP= °10 ，下列哪些選項是z 的極式？

(1) cos(( 10 )− ° +isin( 10 ))− ° (2) 2(cos10° +isin10 )° (3) 2(cos( 10 )− ° +isin( 10 ))− ° (4) 2(cos350° +isin 350 )° (5) 2(cos( 370 )− ° +isin( 370 ))− °

B、程序題

5. 設複數 z 的主幅角是 6 5

π

，而實部為−2 3，則z 的虛部的值？

6. 若複數 z 與−2 3+2i之積為 3+i，求z 的主輻角？

7. 複數z=(a i+ )²的主幅角為 2 3

π

，則實數a的值？

C、挑戰題

8. 設 2 2

cos sin 12

π

i 12

π

ω

= + ，則下列各數值那一個為最大?

(1)|

ω

+2| (2)|

ω

³+ | (3)|2

ω

⁵+ | (4)|2

ω

⁸+ | (5)|2

ω

¹⁰+ |。 2

9. 複數平面上在單位圓上有一正六邊形，此圓的圓心 為原點O，如圖所示，則下列敘述何者正確？

(1)x⁶ = 的根為1 z₀, z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ (2)z₂ =cos(120° +isin120 )°

(3)z₂ =( )z₂ ⁸ (4)z₄ =z₂(cos120° +isin120 )°

(5)z₄ =z₁(cos 60° +isin 60 )° ³

10. 設方程式x⁶ =1的六個根為1, 1− ,

ω

₁,

ω

₂,

ω

₃,

ω

₄。設

ω

₁,

ω

₂,

ω

₃,

ω

₄的主幅角依 序為

θ

₁,

θ

₂,

θ

₃,

θ

₄，且

θ

₁<

θ

₂ <

θ

₃ <

θ

₄，求(

ω

₂ +

ω

₃)−(

ω

₁+

ω

₄)之值？

z0

z1

z2

z3

z4 z₅

實軸 虛軸

O

11. 已知O為原點，Z₁,Z₂,Z 是複數，若₃ Z₁ =1,Z₂ =2 (cos 75Z₁ ° +isin 75 )° ,

3 4 (cos( 45 )1 sin( 45 )) Z = Z − ° +i − °

(1)若Z 的主幅角為₁ 30°，則Z 的主幅角為多少度? ₃ (2)求O,Z₂,Z 在複數平面上所圍成的三角形面積的值? ₃

答案:

1.(3) 2.(3) 3.(1)(3)(5) 4.(3)(4)(5) 5.2 6.4 3

π

7. 1− 8.(1)

9.(1)(2)(3)(4)(5) 10. 2− 11.(1)345° (2) 2 3

參考文獻

中文部份

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George Polya（2000）。數學與猜想（李心煽、王日爽、李志堯譯）。台北市：九 章出版社。

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胡炳生（民88）。數學解題思維方法。台北市：九章出版社。

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林福來、陳冒海、陳順宇、陳創義、邱顯義、徐正梅、許清土、葉善雲、林信安

（民96）。高級中學數學第二冊。台南市：南一書局企業股份有限公司。

林福來、陳冒海、陳順宇、陳創義、邱顯義、徐正梅、許清土、葉善雲、林信安

（民96）。高級中學數學第二冊教師手冊。台南市：南一書局企業股份有限公司。

許志農、黃森山、許婉青、陳清風、謝銘峰、曾政清（民96）。高級中學數學第 二冊。台北縣：龍騰文化事業股份有限公司。

李虎雄、陳昭地、黃登源、李政貴、林礽堂、儲啟政、朱亮儒、柯明忠、陳嘯虎、

張敏雪、游經祥（民96）。高級中學數學第二冊。台北縣：康熙文化事業股份有 限公司。

余文卿（民96）。高級中學數學第二冊。台南市：翰林出版事業股份有限公司 楊壬孝（民96）。高級中學數學第二冊。台北縣：全華圖書股份有限公司。

張淑珠、李正、蕭守仁、黃呈明、陳勝雄、王勝輝（民96）。高級中學數學第 二冊。台北縣：泰宇出版股份有限公司。

楊維哲、蔡秋穎、黃溪松、沈振南、沈燈賢、林嘉宏、林明欽、蔡哲淵（民96）。

高級中學數學第二冊。台北市：三民出版股份有限公司。

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英文部分

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Andy Liu（2001）.Hungarian Program Book III（pp.111~112）. Washington：The Mathematical Association of America

Anderson & Krathwohl（n.d.）（2001）.A Taxonomy for Learning,Teaching,and Assessing.（chapter4）

Michael O.J.Thomas（2002）.Versatile Learning of Mathematics.The University of Auckland

附錄

附錄一、銳角的三角函數

單元:銳角的三角函數 班級：____ 座號：____ 姓名：________________

一、單選題: 16%(每題 8 分，答錯不倒扣)

( )1.如圖所示，埃及金字塔是底為正方形，四個側面為全等等腰三角形的四 角錐，書中定義：

金字塔的「塞克特」=金字塔正方形之邊長的一半

金字塔的高度 (即FG AF )。

若古夫金字塔的每個側面與底面的夾角約為53°(即∠AGF)，則古夫金字 塔的「塞克特」為

(1)sin 37° (2)cos 37° (3)tan37°

(4)cot37° (5)sec37°。

( )2.天文學家巴塔尼曾經研究過日晷問題，如圖所示，若竹竿長h，在太陽 光下的投影長為s，太陽光與地面的夾角為θ ，則下列哪一個選項可以 表示三者的關係？

(1)s=hsin

θ

(2)s=hcot

θ

(3)s h= tan

θ

(4)s h= csc

θ

(5)s h= sec

θ

。

二、多選題: 24% (每題 8 分，錯 1 個選項給 4 分，錯 2 個選項以上得 0 分) ( )3.下列哪個選項與tan 20°一樣？

(1)cot 20° (2) 1

cot 20° (3)cot 70°

(4) 1

cot 70° (5)sin 20 cos 20

°

°。

A

B

C D

E

F ^G

s

h

θ

6 7

11 12

C B

D A E

D. 如右圖，ΔABC中，AD ⊥BC，已知AB=25,

5 sinB= 3,

17

sinC=15，則BC＝ 。

E. 如右圖，在ΔABC中，已知∠BAC=90°，AC =15、

=17

BC ，且

5

sin∠CAE= 3，求DE = 。

F. 如右圖，在ΔABC中，AC⊥BC，CD⊥ AB，已知

=1

AD ，BD=3，求tanA= 。

四、計算題: 12%

如下圖，ABCD是面積為9 正方形，在各邊上取一點EFGH 也形成一正方形，

且EFGH 的面積為的5。已知BE> AE， (1)試求 AE = 。(6 分)

(2)試求tan( BFE∠ )之值= 。(6 分)

A

F E

B

G C H D 13 14

15

17

18

A B

C

D 16

附錄二、廣義角的三角函數

單元:廣義角的三角函數 班級：____ 座號：____ 姓名：________________

一、單選題: 14%(每題 7 分，答錯不倒扣)

( )1. 設 ( , )P x y 在第二象限，O 為原點，若OP與x 軸正向的夾角為

θ

且 2

OP= ，則P 點的x座標與下列何者相等 ?

(1) cos(180° −

θ

) (2) 2cos(180° −

θ

) (3) cosθ (4) 2 cos

θ

(5) 2sin(180° − 。

θ

)

( )2. 如右圖，四邊形ABCD為一正方形，EF ⊥FG,∠CEF =θ，已知 EF =a,FG b= ，下列選項何者可以表示此正方形的邊長？

(1)asinθ +bcosθ (2)asinθ −bcosθ (3)acos

θ

−bsin

θ

(4)acos

θ

+bsin

θ

(5)asin

θ

+btan

θ

。

二、多選題: 54% (每題 6 分，錯 1 個選項給 3 分，錯 2 個選項以上得 0 分) ( )3. 甲乙兩人從 A 點出發跑圓形操場，若甲跑了操場3¹

4圈，乙在甲後方 操場的¹

2圈處，如圖所示，則乙跑了幾圈 ? (1)³

4圈 (2)1³

4圈 (3)2³ 4圈 (4)3³

4圈 (5)4³

4圈 。

( )4. P 與 Q 兩點在以原點O為圓心之單位圓上，若P 點座標為 (cos

θ

，sin

θ

)， Q 點座標為(−cos

θ

，−sin

θ

)，則 P 繞著 原點順時針方向旋轉多少度才會和Q 點重合 ?

(1)−

θ

(2)180° (3)180° +

θ

(4)540° (5)270° 。 A

甲

乙

b a

B D

G

A

C θ

F

E

( )5. 若

θ

為廣義角，則下列敘述何者正確 ?

(1)90°為270°的同界角 (2)若α ,

β

互為同界角，則sin

α

=sin

β

(3)cos 2009° =cos( 2009 )− ° (4)若tan

θ

<0，則cos

θ

<0

(5)若sin

θ

>0且tan

θ

<0，則

θ

為第二象限角。

( )6. 若sin

θ

<0，cos

θ

<0，則下列敘述何者正確 ?

(1)

θ

是第三象限角 (2)tan

θ

>0 (3) sin(

θ

+720 ) 0° <

(4) cos(

θ

+450 ) 0° > (5) cos(− > 。

θ

) 0

( )7. 如附圖所示，P ( – 4 , 3 ) 為廣義角θ 的終邊上一點，選出正確的 選項 ?

(1) 3

sin

θ

= (2)5 4

cos

θ

= 5 (3) 3

cot

θ

= (4)4 3

tan

θ

= − 4 (5) 4

sec

θ

=−5。

( )8. 下列哪些三角函數值為 1。

(1)sin 90° (2)sin 270° (3)cos 360° (4) sin( 90 )− ° (5) cos( 180 )− ° 。

( )9. 已知 4

tan

θ

= ，且3 sinθ <0，選出正確的選項？

(1) 4

sin

θ

= − (2)5 3

cos

θ

= − (3)5 4 sin(180 )

θ

5

° − =

(4) 4

tan( 630 )

θ

3

− ° − = − (5) 4 cos(360 )

θ

5

° − = − 。

( )10. 若

θ

之終邊落在第二象限，則

( )10. 若

θ

之終邊落在第二象限，則

在文檔中 高中數學三角函數解題能力試題的研究 (頁 80-130)