理論基礎

一、大學入學考試中心的理論基礎

大學入學考試中心在命題方面，把學生的認知過程分為概念性、程序性與解 題能力等三層面，其測驗目標即為評量這三方面的知能。

(一)概念題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望概念題能測出學生是否有︰

A1︰辨識某概念的正、反例

A2︰利用模型、圖形、符號或公式來表達某概念

A3︰確認概念中基本的數學原理(如︰對稱原理、等量公理) A4︰知道定義的條件或性質

A5︰聯結某概念不同的表現形式 A6︰整合各種概念間的關係

A7︰從不同情境中，辨識與解釋符號所表達的概念 A8︰解釋問題中的條件及所涉及的概念

A9︰能診斷概念的錯誤

(二)程序題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望程序題能測出學生是否有︰

B1：能操作數與符號的運算及估算 B2：能正確選擇適當的程序

B3：能讀圖、查表、製作圖表 B4：能檢驗所用的程序無誤

(三)解題能力題測驗目標

根據大學入學考試中心考試命題手冊，希望解題能力題能測出學生是否有︰

C1：能從情境中辨識數學元素並形成問題 C2：能瞭解條件的充分性與一致性

C3：能應用適當的定義、定理或性質

C4：能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C5：能使用、修改或推廣程序

C6：能運用推理能力

C7：能檢驗結果的合理性與正確性 C8：能使用數學語言表達解題過程

(四)試題難易分配原則

要如何界定一份試卷的難易，大學入學考試中心對學科能力測驗與指定科目 考試之區分如下的表格，本論文之整卷測驗的計分方式與學科能力測驗相同，故 答對率、得分率與題目難度類別的關係，採表一的分析方式來說明。

表一：(學科能力測驗)

難度類別 答對率(得分率)

難 35% 以下

中偏難 30%~45%

中偏易 35%~60%

易 55% 以上

表二：(指定科目考試)

難度類別 答對率

難 15%~25%

中偏難 25%~40%

中偏易 40%~55%

易 55%~75%

二、普通高級中學 98 數學課程綱要

(一)三角函數的施測範圍

根據普通高級中學數學課程綱要中規範三角函數的施測範圍如下：

1.數學「必修」教材第三冊

表：第二學年︰數學III（平面坐標與向量）、4 學分

主題 子題 內容 備注

1. 直 角 三 角 形 的邊角關係

1.1 直角三角形的邊角關係(正 弦、餘弦)、平方關係、餘 角關係

2. 廣 義 角 與 極 坐標

2.1 廣義角的正弦、餘弦、正切 及平方關係與補角關係 2.2 直角坐標與極坐標的變換

2.1 cot, sec, csc 置 於選修數學 3.正弦定理、餘

弦定理 3.1 正弦定理、餘弦定理

4.差角公式 4.1 差角、和角、倍角、半角公 式

4.1 不 含 和 差 化 積、積化和差 公式

一、三角

5.三角測量 5.1 三角函數值表 5.2 平面與立體測量

5.1 可使用電算機 求 出 三 角 函 數值

2.數學「選修」數學甲冊

表：數學甲 I、4 學分

1. 一 般 三 角 函 數的性質與 圖形

1.1 弧度、弧長及扇形面積公式 1.2 倒數關係、商數關係、平方

關係

1.3 三角函數的定義域、值域、

週期性質與圖形

2. 三 角 函 數 的 應用

2.1 波動: 正餘弦的疊合 2.2 圓、橢圓的參數式

2.1 不含不同 週期之三角函 數之疊合

二、三角函數

3. 複 數 的 幾 何 意涵

3.1 複數平面、絕對值、複數的 極式、複數乘法的幾何意 義

3.2 棣美弗定理，複數的 n 次方 根

3.數學選修數學乙冊

表：數學乙 I、3 學分

1.弧度、弧長 1.1 弧度、弧長及扇形面積公式

二、三角函數

2. 一 般 三 角 函 數的性質與 圖形

2.1 倒數關係、商數關係、平方 關係

2.2 三角函數的定義域、值域、

週期性質與圖形

(二)三角函數的測驗目標

1.數學「必修」教材第三冊

根據普通高級中學數學「必修」課程綱要，希望三角函數考題能測驗學生是 否

1. 能了解本章探討一般三角形的邊角關係及其應用。

2. 能了解什麼是極座標。

3. 能了解什麼是廣義角(廣義角度只需談±360°的範圍，向徑在 r≥0的範圍即 可，三角函數在超過360∘的週期意涵留待三角函數章節時再處理)。

4. 能透過參考角與補角關係來處理廣義角三角函數的求值。

5. 能透過特殊角的三角函數的求值。

6. 能熟悉直角坐標與極坐標的變換。

7. 三角形的邊角關係就是正弦與餘弦定理。

8. 能在向量幾何時，正弦定理發展成外積公式，餘弦定理發展成內積公式。

9. 能知道正、餘弦定理有兩種推導方法。

補充說明：

一種是將三角形切割成兩個直角三角形，再透過直角三角形的面積公式及畢 氏定理可分別推得正弦、餘弦定理。另一是用坐標幾何方式來處理，將三角形一 個頂點置於原點，一邊置於x軸，然後再透過面積公式或距離公式來處理。事實 上這兩種方法是等價的。但前者較為根本，後者則較易連結到差角公式與向量幾 何。

課綱的設計是用前者處理銳角三角形的邊角關係，以後者處理鈍角三角形的 邊角關係。以使學生能夠學到兩種處理方法。最後一般三角形的邊角關係談海龍 公式，它是正弦與餘弦定理結合的應用。

10. 能了解什麼是海隆公式。

11. 能了解什麼是差角公式。

12. 能了解差角公式是計算兩線或兩向量交角的核心公式。

13. 能了解和角、倍角、半角公式。

14. 能應用於三角函數的求值與三角測量。

15. 能透過平面與立體的三角測量，讓學生學會三角的應用。

補充說明：三角測量應注意測量的策略與實用性，不宜出太困難的問題。

2.數學「選修」數學甲、乙冊

16. 能了解一般三角函數的性質與圖形。

17. 能了解 弧度、弧長及扇形面積公式。

18. 能了解三角函數的倒數關係、商數關係、平方關係。

19. 能了解三角函數的定義域、值域、週期性質與圖形，包括六種三角函數。

20. 能由cos²

θ

+sin²

θ

= 以及倒數關係及商數關係推導出1 1 tan+ ²

θ

=sec²

θ

21. 認識Asin

(

ω⋅ +t θ0

)

，A 為振幅、

ω

⋅ + 為相角的物理意涵。 t

θ

₀

22. 正餘弦的疊合：透過和角公式，同週期正餘弦函數之合成。

23. 如acos

( )

ωt +bsin

( )

ωt = Asin

(

ω θt+ 0

)

。 24. 能了解圓、橢圓的參數式。

25. 能了解複數平面、絕對值、複數的極式、複數乘法的幾何意義。

26. 能了解棣美弗定理，複數的 n 次方根。

補充說明：複數的n 次方根的僅談根的求法，以及複數的等比級數，

如1+

ω

+

ω

² + +

ω

ⁿ⁻¹，不宜做根的變形之級數問題，

如 _n

ω ω

ω

+ + −

+ −

− 1

1 1

1 1

1

2 。

三、解題能力試題的探討

(一) 命題方向

解題能力是指考生能運用推理分析、使用數學語言表達解題過程，並能綜合 所學過的觀念，使用相關的數學知識或策略轉換問題等。「指定科目考試數學考 科」和「學科能力測驗數學考科」在測驗目標和難度上有所不同。「學科能力測 驗數學考科」主要是測驗高中階段學生的基本概念，以及使用這些概念來解題的 能力。「指定科目考試數學考科」則是要進一步評量考生解題時的閱讀、表達、

推理論證以及連結能力。定位上，指定科目考試是比學科能力測驗較進階的測 驗。解題能力試題的難度往往較高，對學測數學而言，是佔比率較少的部分，但 對數學甲及數學乙來說，卻是重要的一環。

(二) 內容特色

數學的命題方式，大略可分為概念題、推理題、情境題及啟發性試題等，而 這當中的推理題、情境題及啟發性試題的設計，大都是可直接呈現測驗目標中的 解題能力，了解這些命題的理念，有助於解題能力試題的選題、修題與開發，而 能更進一步地達到測驗目標。以下將就各類分別介紹如下:

1.推理題

推理題的基本理念是從測驗目標中的解題能力來發展。它可以分為非引導式 試題、引導式試題及偵錯題三類：

(1)非引導式試題：基本上是給出假設，求證結論的傳統式證明題。

(2)引導式試題：將一完整證明的數個關鍵步驟由淺入深各自成一小題。考 生可先回答幾題，再根據前面的結果來解答後面的問題。

(3)偵錯題：對某一問題提出證明，過程中隱藏一些學生易犯的錯誤，要求

學生將過程中的錯誤找出並說明理由。(此項與程序題有很大的相關性) 2.情境題

數學試題往往可與其他學科或生活情境結合，用以評量考生連結的能力。例 如取社會現象中很流行的「大哥大收費」為情境、或是取自然現象中的地震為情 境的試題等等。

3.啟發性試題

試題中提供某種定義、規律或解決某一問題的想法，評量考生對所提供資料 是否瞭解，以及能否進一步以類比、一般化、歸納，或應用不同的數學模型及表 徵解決相關的問題。

在文檔中 高中數學三角函數解題能力試題的研究 (頁 33-41)