解題能力試題的開發 - 高中數學三角函數解題能力試題的研究

大考中心在「指定科目考試數學考科」和「學科能力測驗數學考科」上，設定的測驗目標是對測驗考生是否具有下列所指出的解題能力:

C1:能從情境中辨識數學元素並形成問題 C2:能瞭解條件的充分性與一致性

C3:能應用適當的定義、定理或性質

C4:能使用相關的數學知識或策略轉換問題 C5:能使用、修改或推廣程序

C6:能運用推理能力

C7:能檢驗結果的合理性與正確性 C8:能使用數學語言表達解題過程

因此本論文對於解題能力的試題，遵循上述之原則，以九八課程綱要為編排主軸，參酌九五暫綱及八八課綱及各版本教科書與坊間之參考書、講義、各類競賽等試題進行選題修題或自行開發，由此編製而成。針對學生的評量施測時，無法只對解題能力試題作施測，故與嘉徽老師之概念性試題及森游老師之程序性試題合而為一份試題，選取三所高中，每所三個班級，以每節課50 分鐘的施測時間實施。在本節中本論文節錄出解題能力試題，每題附上「答案」、「答對率」

(多選題為「得分率」)與「說明」，以供參考。

難題。與下一題作比較，可得知當題目所扯到的三角形個數較多，或跟平常比較不熟悉的圖案時，對學生的困難度就會提高許多，但由答對率的數據來看，對解題能力試題的設計而言仍是不錯的結果。

3. 如右圖，在ΔABC中，AC⊥BC，CD⊥ AB，已知AD=1, BD=3，求tan A。

[答案] 3 [答對率] 66%

[說明] 跟上題相較之下，本題的答對率非常高，超乎預期(依個人十幾年的任教經驗，可明顯比較得知國中的幾何訓練，自從都是選擇題的國中基本學力測驗開始後，就不如以往)。訪問數位學生，她們表示本題圖案是國中常見的，這個圖所呈現的相似關係以前常做，且有多種的解法如下: (1)有同學說由直角三角形的母子性質(CD² = AD⋅CD)，就直接

可得知CD，而這樣tan A就知道了，這類同學的數學能力是屬於較優

者，要不然就是國中時被訓練得數學性質都已公式化了。(2)有同學令 x

CD= ，由ΔCAD~ΔBCD得知兩三角形邊長的比例關係後，即可求出CD，進而求得tanA。(3)有同學令CD=x，接下由三個商高定理求出CD，進而求得tan A。由以上可知，國中的數學能力堆疊的多寡，

對這道問題的作答情形有很大的影響，雖然由答對率使得此題的難度類別呈現的是易的結果，但該題讓同學有多元的方法解決此題，這也是設計解題能力試題最好的呈現之一。

4. 如右圖，ABCD是面積為9 正方形，在各邊上取一點EFGH 也形成一正方形，且EFGH 的面積為的5。已知BE> AE (1)試求AE 。 (2)試求tan∠BFE之值。

A B

F E

G C H D

[答案] (1)1 (2)2 [答對率] (1)89% (2)85%

[說明] 本題之數據及問法的設計經教授及小組成員討論修改後呈現(原來的數據較不好且直接求tan∠BFE)，本題的答對率比上題更高，原本猜想同學是否因直觀猜測AE =1,BE=2可滿足該題設計的數據，但實際訪問數位學生之後，學生很輕易地利用四個三角形的全等關係及商高定理做出答案。此道問題本來就不難，若要測驗學生的解題能力或許應該去掉第(1)個小題的問法，讓學生自行思考從何下手。

B. 廣義角三角函數

1. 如右圖，四邊形ABCD為一正方形，EF ⊥FG,∠CEF =θ，已知EF =a, FG b= ，下列選項何者可以表示此正方形的邊長?

(1)asinθ +bcosθ (2)asinθ −bcosθ (3)acos

θ

−bsin

θ

(4)acos

θ

+bsin

θ

(5)asin

θ

+btan

θ

。

[答案] (2) [答對率] 28%

[說明] 本題是改自 93 年指定考科數學乙的題目，另外此題也與前面「銳角三角函數及其關係」的第2 題相仿，但不因前面做過稍類似(其實學生一點感覺也沒有，不會覺得類似)而有較佳的成績表現，其得分率兩題差不多，題中之

θ

為鈍角，對學生而言，要將圖中三角形之解題的關鍵角度用

θ

表示，其複雜性增加許多，而且也不少學生對廣義角中三角函數的互補、互餘關係不夠熟悉，因此學生的表現不如想像的好。

2. 若

θ

之終邊落在第二象限，則 3

θ

之終邊可能落在那裡?

(1)第一象限 (2)第二象限 (3)第三象限 (4)第四象限 (5) x 軸上。

b a

B D

θ

[答案] (1)(2)(4) [得分率] 40%

[說明] 本題非隸屬開發試題，仿間參考書籍常可見到，亦是學校老師常考的問題，因為該題可強化學生對同界角的表達，而並非直觀認為第二象限是介於90°與180°之間，由學生的得分率可顯示此道試題是一道不錯的解題能力試題，學生對廣義角的數學知識仍認識不夠徹底，因為如此，所以學生三角函數的表現，大大差於之前單元的表現，因為之前的單元「銳角三角函數及其關係」以國中學過的兩三角形的全等、

相似等性質及商高定理就足以應付，但高中的三角真正的可說是自「廣義角三角函數」才開始。學習三角函數的不佳現象(成績不好、挫折感變大) 自此開始，因此教師授此單元時，宜選擇較好的試題，花多一些的時間，增加學生學習的效能。

3. 設cos

θ

=0,

2 ) 1

cos(

θ

α

= ，且0° ≤ <

θ

360°,0° ≤ <

α

360°，則

α

的可能角度為下列何者?

(1)30° (2)60° (3)90° (4)150° (5)210° 。 [答案] (1)(4)(5)

[得分率] 14%

[說明] 由上題的說明當中，可知同學對此單元的學習結果不佳。同學若要能駕馭這個單元，必須掌握學習此單元的幾個要點: (1)清楚知道廣義角三角函數的定義。(2)熟悉廣義角當中的三角函數之特殊角與值的互化關係。(3)廣義角中三角函數的互補、互餘關係。因本題又涉及兩個未知的角度且需要討論(分

θ

= 90°及

θ

= 270°之情形)，困難度當然增加，

由得分率顯示此題為難題，能答對的學生應該是真的把此單元學得很清楚，由此題再推廣變化(例如將已知條件的cos

θ

=0改成sin

θ

=0)，

則更可徹底呈現上述學習「廣義角三角函數」這個單元的三個要點，

此題是一道值得玩味再三的題目。

4. 如下圖，小思、小維兩人分別A 點、 B 點出發( A 點在0°位置，B 點在90°位置)，依逆時針方向跑圓形操場，若小思與小維的速度比是5:2 (即在同時間內，若小思跑了5°，則小維跑了2 )，試求 °

(1)第一次小思追上小維是在多少度的位置上。

(2)第五次小思追上小維是在第幾象限的位置上。

[答案] (1)150 (2)1 [答對率] (1)45% (2)19%

[說明] 第(1)小題由答對率可知其為中偏易試題，而第(2)小題則為難題，有關

“速度--距離--時間＂的追趕問題是從小學時代就有介紹的(更具代表性的是時鐘之長短針的追趕問題)，但很多小朋友都覺得不容易懂。訪問數位第(1)小題答對而第(2)小題答錯的學生，呈現兩種結果，一種是說由大概的感覺(估算)就可以知道答案；另一種就是由以前學過追趕問題的觀念得到的，但呈現的想法有兩類，其一是以假設小思每秒可追5°−2°=3°的想法，則需要90°÷3°=30(秒)方可追上，因此會在

° 30 150

5 的地方追上；而其二是利用代數方程解之如下，設t 秒後 追上，由題意可得5°×t=90°+2°×t⇒t =30故得5°×30=150°。而皆答對的同學，就是仿上面的觀念再多出360°×4去解罷了(實際上學生是說下一次追上就是多一個360°，再下一次追上再多一個360°，如此一一推論解出)，雖然學生沒有列出同界角觀念的式子(老師心中理想的式子)5°⋅t =90°+360°⋅k+2°⋅t解之，不過有如上一一推論解出的想法解出也很不錯了，建議題目再設計第(3)小題，將追上的次數一下子增加很大(情境變成在跑馬拉松)，即例如問第二十次追上會在哪裡，

這樣子可刺激較優秀的學生，將一一的推論，發展出歸納一般化的 A B

結果，以同界角觀念解出。

C. 正餘弦定理

1. 如下圖，三角形ABC之三邊長為AB=5, BC =6, CA=7，若四邊形ABDE , ACFG皆為正方形，求EG。

[答案] 4 7 [答對率] 29%

[說明] 本題在坊間的參考書籍、講義應該都可以見到，算是一道很普遍的試題，若教師有補充過，答對率應該會很高，但是由學生的答對率裹可知教師應該未補充說明過，因此更可顯示出學生思考解題能力的欠缺

，或沒有培養好解題的思路，嚴格來説這道題目的想法並不難。以個人的經驗分享以下的教學分析，相信學生可以表現得更好，並且大都可進一步應對不同圖形的類似題。欲找EG，而跟EG有關的三角形為 ΔAEG，但已知資訊(條件)是ΔABC的三個邊長，所以必須思考這兩個三角形的關係，發現∠EAG與∠BAC互為補角關係，再利用餘弦定理即可解之。此道試題的題型是很適合拓展學生的思路，教師與學生可多多參考，並藉此題的解析想法培養更棒的教學法與解題能力。

2. 有大小兩圓相交於A , B 兩點，如右圖，過 B 有一線段CD交大圓於C，交小圓於D ，且∠ACD=45°, ∠ADC =60°，求大圓與小圓之面積比。

[答案]

2 3

[答對率] 39%

[說明] 單一個圓來測學生正弦定理的觀念，學生只要

會定理公式，選擇正確的程序操作就可快速的做出來了，但是只要題目的問法轉個彎(外接圓半徑的關係與圓面積的關係)，且又多一個圓，

C ⁴⁵^° B ⁶⁰^°D

1 2 A

B P

S T

A C B D

P 試題的困難度對學生而言，就增加非常多了，因此所呈現的答對率會低些，本題的思考方式與上題相仿，學生對這類的問題可多多整合比較，一定可以會有更加的學習效能。

3. 如右圖，已知∠PAQ=60°，AB 平分 PAQ∠ ，並以P , Q 為圓心，並分別以 1 及2 為半徑畫兩半圓，若兩半圓皆與 AB 相切，且切點分別為S, T ， (1)求AP 的長。

(2)求 PQ 的長。

[答案] (1) 2 (2)2 3 [答對率] (1)93% (2)32%

[說明] 經過教授與小組成員的討論後，原本想多佈下第(1)第小題後，學生應該可以同理將AQ 找出來，而再對ΔAPQ以餘弦定理解得PQ。我們發 現由答對率結果顯示出此題對同學而言仍不能輕易解出，爲更清楚了解第(1)第小題的引導有否差別，未來可挑選能力相當的幾個班級，分別給與直接求PQ，或先求 AP 的引導後再求 PQ，或先求 AP 再求 AQ

的引導最後再求PQ ，看看求 PQ 的長的答對率是否會有層次的差異，

這樣就可對學生或試題再做進一步的研究分析。

4. 兩張大小相同的紙，各折出 7 個大小相同的矩形，且其寬度為 1 公分(BC=1 公分)，放置如右圖，使頂點 A 重合， P 與另一張紙之折線重疊(點 P 落在CD 上)，則

(1)求cos∠PAC。 (2)求BP 。

[答案] (1)5

7 (2) 5

60°

C D

A B

E [答對率] (1)73% (2)74%

[說明] 從第(1)小題的答對率可看出，對程度較差的學生，即使很簡單的只是定義的問題，還是有不會的，另一方面也可能是圖形比單純的三角形複雜一點點。原本預計學生可以第(1)小題做出來的結果，對ΔABP利用餘弦定理將BP 求出，但有不少同學對ΔACP及ΔABP用商高定理而求出。從學生的分享做法當中，可發現兩三角形有共同的高的問題(如

在文檔中高中數學三角函數解題能力試題的研究 (頁 55-75)