4, 270◦ < α < 360◦ , 求 cosα
2, sin α 2 =?
10. cos θ = 1
3, θ 為銳角, 求 sin 2θ, cos 2θ =?
11. 已知 sin θ− cos θ = 1
5 , 求 sin 2θ 的值?
12. 已知 sin α = 1
4, 且 π
2 < α < π , 求 sin α 2 =?
13. 已知 π
4 < θ < π
2, 且 sin 2θ = 5
13, 試求 sin θ, cos θ =?
14. 試化簡 cos θ− cos 3θ
sin 3θ− sin θ = tan α 則 α =? (用 θ 表示)
15. 設 f (x) = 3 sin2x + cos x− 1 , 0 ≤ x < 2π , 試求 f(x) 的最大值與最小值?
及其相對應的 x 值?
1.5 三角測量
視線: 觀測者眼睛與目標物的連線。
仰角: 往上仰看目標物的視線與水平線的夾角。
俯角: 往下俯看目標物的視線與水平線的夾角。
三角函數值的查表: 若無法直接查得則利用倒數關係、 餘角關係、 內插法求其三角函數 值。
表 1-5: 部分三角函數值表
角度 sin cos tan
18◦00′ .3090 .9511 .3249 ... ... ... ... 23◦00′ .3907 .9205 .4245 23◦10′ .3934 .9194 .4279 23◦20′ .3961 .9182 .4314 23◦30′ .3987 .9171 .4348 23◦40′ .4014 .9159 .4383 23◦50′ .4041 .9147 .4417 24◦00′ .4067 .9135 .4452
... ... ... ...
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.5 三角測量 · 內差法求三角函數近似值:
已知兩角度的三角函數值, 若欲求介於此兩角度之間的三角函數值, 則利用線性比 例, 度數差的比值= 函數值差的比值。 即 ∆θ′
∆θ = ∆y′
∆y 。
例: 查表已知 sin 23◦40′ = 0.4014, sin 23◦50′ = 0.4041 則利用內插法求 sin 23◦46′ 由 ∆θ′
∆θ = ∆y′
∆y 可得 23◦46′− 23◦40′
23◦50′− 23◦40′ = y − 0.4014
0.4041− 0.4014 ⇒ 6
10 = ∆y′
0.0027 ⇒ ∆y′ = 0.00162 故 sin 23◦46′ ≈ 0.4014 + 0.00162 = 0.40302 表 1-5: 三角函數內插法
θ sin θ
⌈ ⌈ 23◦40′ 0.4014 ⌉ ⌉
∆x′ ∆y′
∆x ⌊ 23◦46′ sin 23◦46′ ⌋ ∆y
⌊ 23◦50′ 0.4041 ⌋
三角測量幾何問題的一些步驟要領:
1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。
2. 直角三角形的邊角關係: 可利用畢氏定理、 三角函數的基本關係運用。
3. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函 數及其性質解決問題。
將包含已知邊長 (角度) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出; 再仔細 觀察這些三角形有何上列公式 (定理) 可運用。
角平分線性質:
△ 的角平分線與底邊的交點到其底邊的兩頂點距離比等於其兩腰的邊長比。(內外 角平分線皆然)
△ABC , 若 AD 平分 ∠A 且交直線 BC 於 D 點, 則 BD : CD = AB : AC
圖 1-5: 角平分線性質: mb = nc
中線定理:
平行四邊形的對角線平方和=2×(兩鄰邊平方和)
△ABC 中,M 為 BC 邊的中點, 則 AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2) 投影定理: ∆ABC 中, a = b cos C + c cos B
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https://sites.google.com/site/hysh4math 1.5 三角測量 · 精選範例
例題1 某人在操場 A 點測得旗桿桿頂 P 點的仰角為 30◦ , 朝旗桿直線走10公尺至 B 點 後, 再測得桿頂 P 的仰角為 45◦。 試問他繼續再往旗桿直線走多遠後? 再測得桿 頂 P 點的仰角為 60◦ [Ans: 10√
3
3 公尺]
例題2 在離地面50公尺高的燈塔塔頂測出遠方漁船的俯角為 30◦ , 求觀測人員與漁船之 間的距離? [Ans:100 公尺]
例題3 某人在距離塔底的地面上 A 點, 測得與塔頂的仰角為 45◦ , 由 A 點面對塔底直線 後退16公尺 B 點, 測得與塔頂仰角為 30◦ , 問此塔的高度為? 公尺 [Ans:8(√
3 + 1)]
例題4 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45◦ , 俯視塔北 60◦ 東一點, 俯角為 30◦ , 且 A,B 兩點相距100公尺, 求此塔高? [Ans:100公尺]
例題5 一測量員在一山的正南方山腳下 A 點, 測出山的仰角為 60◦, 若測量員向東方移 動300公尺到達 B 點, 測得山頂的仰角為 30◦, 求此山的高度? [Ans: 75√
6 公尺]
例題6 一人於山麓測得山頂的仰角為 45◦ , 由此山麓循 30◦ 斜坡上行200公尺, 再測得 山頂的仰角為 75◦ , 求此山的高度?(sin 15◦ =
√6−√ 2
4 ) [Ans:200公尺]
習題1-5 三角測量
1. 空警隊在直升機上發現: 地面上正東方俯角 45◦ 的 A 處有火警, 而其正南方俯角 30◦ 的 B 處有消防隊。 若此直升機的高度為2400公尺, 試求地面 A,B 兩地的距 離?
2. 小山丘上有建一寶塔, 此塔高20公尺, 若從地面上 A 點測得塔底的仰角為 45◦, 塔 頂的仰角為 60◦, 問此山丘的高度為?
3. 一梯子靠在牆上, 梯長6公尺, 已知梯子與地面成 30◦ 的傾斜角, 求牆腳到梯子上 端的高度?
4. 有一人在塔的正東方 A 處, 測得塔頂的仰角 60◦ , 他走到塔的正西方 B 處, 再測 得塔頂仰角為 45◦ , 若 A,B 兩地相距200公尺, 試求塔高?
5. 在平地地面上 A 測出山頂的仰角為 30◦ , 再朝山的方向前進500公尺處 B, 測出 山頂的仰角為 45◦, 求此山的高度?
6. 自塔的正西方一點 A, 測得塔頂仰角為 45◦ , 在塔的南 60◦ 西一點 B, 測得塔頂 仰角為 30◦ 若 A,B 兩點相距40公尺, 試求塔高?
7. 今有 A,B 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 AC = 100 m,BC = 150 m, ∠ACB = 60◦ , 試求 AB 的長度?
8. 甲, 乙兩人相距500公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂 點仰角 45◦ , 而乙在建物東偏南 30◦ , 測出建物頂點仰角 30◦ , 求建物的高度?
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9. 某人在一塔的正西方 A 點, 測得塔頂仰角為 60◦ , 在 A 點正南方 B 點, 測得塔 頂仰角為 30◦ , 已知此塔高為150公尺 , 求 A,B 兩點距離? 公尺
10. 一船以固定速率向東37◦南航行, 於上午10時, 測得燈塔方位為東23◦北, 至下午2 時, 測得燈塔方位為北23◦ , 此時船與燈塔距離為 40√
3 公里, 求此船的速率?
11. 已知 cos θ = 0.9163 , 利用查表及內插法求銳角 θ 度數的近似值?
12. 利用查表及內插法求 sin 66◦42′ 的近似值?
第 2 章 直線與圓
2.1 直線方程式及其圖形 直線的斜率:
直線與 x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 m = ∆y
∆x = y2 − y1 x2 − x1
= tan θ
x y
y = ax + b
∆x
∆y
直線斜率大小的比較:
1. θ < 90◦ : 正斜率 (左下右上形的直線)。
2. θ > 90◦ : 負斜率 (左上右下形的直線) 3. θ = 0◦ : − 水平線斜率為0
4. θ = 90◦ : | 鉛直線斜率為無窮大或負無窮大 (無斜率)。
5. 直線往順時針旋轉斜率變小, 往逆時針旋轉變大。(未經過鉛直線時) 直線方程式:
1. 一般式:ax + by = c , 其斜率 m = −a
b, (b6= 0)
2. 點斜式:y − b = m(x − a) 表直線經過點(a, b),及直線斜率為m 3. 兩點式:y − y1
x− x1
= y2 − y1
x2 − x1
表直線經過兩點(x1, y1), (x2, y2) 。 4. 斜截式:y = mx + k 表直線斜率為m, 與 y 軸截距為 k 。 5. 截距式:x
a + y
b = 1 表直線與 x 軸,y 軸的截距分別為 a,b 。 6. 向量參數式: n x = x0 + bt
y = y0 − at , t ∈ R 表直線方向 (b, −a), 過點 (x0, y0) 7. 共交點的直線簇 : L 過 L1, L2 的交點, 則直線 L 方程式為
L : L1 + kL2 = 0 , k ∈ R
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 直線方程式及其圖形 · 直線的平行與垂直: 兩斜截式直線 L1 : y1 = m1x + k1, L2 : y2 = m2x + k2
互相平行: 則 m1 = m2, k1 6= k2
互相垂直: m1m2 = −1
或直線一般式, 互相平行:n ax + by + c1 = 0 ax + by + c2 = 0 互相垂直:n ax + by + c1 = 0
bx− ay + c2 = 0 平面上A,B,C 三點共線:
1. 任兩點的斜率相等:mAB = mAC 2. 任兩點的向量成比例: −⇀
AB = t−⇀
AC
3. △ABC 面積為0 :a∆ABC = 0 ,(代入面積公式, 其值為0) 二元一次方程組的幾何意義:
兩直線方程式 L1 : a1x + b1y + c1 = 0, L2 : a2x + b2y + c2 = 0 , 聯立方程組 n a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0 , b1b2 6= 0
1. a1b2 6= a2b1 時, 方程組恰一解, 此時 L1 與 L2 相交一點。(相容方程組) 2. a1b2 = a2b1, b1c2 6= b2c1時, 方程組無解, 此時L1與L2互相平行。(矛盾方程
組)
3. a1b2 = a2b1, b1c2 = b2c1時, 方程組無窮多解, 此時L1與L2重合。(相依方程 組)
點對稱: 若P,Q 兩點的中點為 M 點, 則稱 P,Q 兩點對稱於 M 點。
線對稱: 若A,B 兩點對稱於直線 L, 則稱 L 為 A、B 兩點的對稱軸。 此時 L 為 AB 的 中垂線。
L 上一點到 A、B 兩點 (L 同側) 的距離和, 當B, B′ 對稱於 L 時, 使得 AP + BP = AB′ 為 min
點 M P
Q P′
Q′
A B
L
L A
P
B
B′ 精選範例
例題1 如圖: 若直線 AB,BC,CD,DE,EA 的斜率分別為 m1, m2, m3, m4, m5 , 比較其斜
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率的大小? [Ans:m2 > m3 > m4 > m5 > m1]
x y
A(−3, 2)
B(0,−5) C(3, 2)
D(−3, −2) E(3,−2)
例題2 求過點 P (−3, 2) 分別與直線 L : x − 2y = 5 平行及垂直的直線方程式?
[Ans: x− 2y + 7 = 0; 2x + y + 4 = 0 ]
例題3 坐標平面上,A(4,−3), B(−1, 4), C(a, 11) 三點共線, 求 a 值? [Ans: a = −6]
例題4 設點 P (3, 1) , 直線 L : x + 2y = 0 , 求過 P 點且與直線 L 平行的直線方程式 M ? 及過 P 點且與直線 L 垂直的直線方程式 N ? [Ans: M : x + 2y− 5 = 0, N : 2x− y − 5 = 0
例題5 若 A(4, 2), B(−2, 6) 求 AB 的垂直平分線方程式? [Ans:3x − 2y = −5]
例題6 一直線過 P (5, 2) 及兩直線 L1 : x + 2y− 5 = 0, L2 : 3x + y − 5 = 0 的交點 Q, 求 P、Q 直線方程式? [Ans:y = 2]
例題7 求點 P (3, 1) 關於直線 L : x + 2y = 0 的對稱點坐標? [Ans:A′(1,−3)]
習題2-1 直線方程式及其圖形
1. 如圖: 比較五邊形 ABCDE 的5個邊的斜率大小?
x y
D E
A B
C
2. 求下列直線方程式:
(a) 過兩點 P (−4, 3), Q(2, −3) 的直線 (b) 過點 P (2, 3) 且斜率為 3的直線?
(c) 直線與 X 軸的截距為-4, 與 Y 軸的截距為-2 (d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 3) 的直線
3. 回答下列條件問題:
(a) 求斜率為3且 y 截距為1的直線方程式 (b) 求直線 x
2 + y
3 = 1 的斜率?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 直線方程式及其圖形 · (c) 求直線 3x− 2y − 4 = 0 的斜率與 y 軸截距?
(d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 6) 的直線與坐標軸圍成的三角形面積?
4. 設 A(−4, 2), B(7, 6) 為平面坐標上的兩點, 且點 P 為直線 ←→
AB 上一點, 若 AP : BP = 3 : 2, 求點 P 坐標?
5. 如圖中, 直線 L1, L2, L3, L4 的 斜率分別為 m1, m2, m3, m4 試將斜率按大小排 序?
L L
L
L 1
2
3
4
X Y
6. 已知三點 A(3,−2), B(−1, −5), C(a, −2a + 1) 共線, 則 a =?
7. 求過點 (4, 3) 且與直線 L : 3x− 2y + 6 = 0 平行, 的直線方程式?
8. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y + 4m − 2 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為?
又若 A(−2, 8), B(6, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍?
9. 設 △ABC 為坐標平面上的正三角形, 其中 A(0, 0), B(−1,√
3) , 試求C點坐標 為?
10. 在平面上有三直線 L1 : x + 3y− 1 = 0, L2 : 2x + ky + 1 = 0, L3 : x− y + 3 = 0 共交點, 則實數 k =?
11. 已知直線 L 過點 (−1, 6) 且 L 在兩軸上之截距乘積為1, 求 L 之方程式?
12. 設直線通過點 (4, 1) 且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1, 求 L 的直線方程式?
13. 兩直線 L1 : ax− 6y = 5a − 3, L2 : 2x + (a + 7)y = 29− 7a, (1) 若 L1⊥L2 時,a 值 =? (2) 又若 L1//L2 時,a 值=?
14. 設點 P (4,−2), 直線 L : x − 2y + 2 = 0, 求以 L 為對稱軸時, 點 P 的對稱坐 標?
15. 已知一點 P (2, 1), 及直線 L : x + y − 1 = 0 , 試求點 P 到直線 L 的垂足點坐 標?
16. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y − m + 6 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為?
又若 A(0, 2), B(4, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍?
17. 平面坐標上, 直線 L : y = 3x + k 與 A(0, 2), B(4, 5) 為兩端點的線段 AB 相 交, 求 k 值的範圍?
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