圓定義: 動點 P (x, y) 到一固定點 O(h, k) , 距離為定值 r 。
q
(x− h)2 + (y − k)2 = r , 圓心 O(h,k), 半徑為 r
O
P (x, y)
圓的標準式:
C : (x− h)2 + (y− k)2 = r2 , 圓心 O(h,k), 半徑為 r
圓的一般式: (不共線三點恰可決定一圓) C : x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ,(無 xy 項),r2 = 1
4(d2 + e2 − 4f)
1. d2 + e2 − 4f > 0 , 為一圓, 且圓心為 (−d 2,−e
2) 的圓。
2. d2 + e2 − 4f = 0 , 為一點 (−d 2,−e
2)。
3. d2 + e2 − 4f < 0 , 圖形為 (虛圓) 空集合。
圓的直徑式: 以 P (x1, y1), Q(x2, y2) 為直徑兩端點的圓 C : (x− x1)(x− x2) + (y− y1)(y− y2) = 0 圓的參數式:
圓 C : (x − h)2 + (y− k)2 = r2 參數式為 n x = h + r cos θ
y = k + r sin θ , 0 ≤ θ < 2π 圓簇: 若圓C1, C2, C3 有共交點, 則圓方程式 C3 : C1 + kC2 = 0, k ∈ R
圓 C 與點 P (x0, y0) 的關係:
1. P 點在圓外: OP > r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 > r2, 且當 ←→
OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。
2. P 點在圓上: OP = r, 即(x0 − h)2+ (y0 − k)2 = r2
3. P 點在圓內: OP < r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 < r2, 且當 ←→
OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。
B O
A P
B OP A
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 圓與直線 L 相交情形:
(交點個數: 由代入消去法有幾組解決定)(或由圓心到直線的距離與半徑大小決定)。
1. 不相交 (相離): d(O, L) > r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ < 0 ) 2. 相交一點 (切線): d(O, L) = r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ = 0 ) 3. 相交兩點 (割線): d(O, L) < r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ > 0 )
O
O O
D(O,L)> r D(O,L)= r D(O,L)< r
L L L
圖 2-3: 圓與直線相交情形
圓上的點與直線 L 的最近最遠距離:
過圓心 O 與直線 L 垂直之直線交圓 C 於 A,B 兩點時, 分別為最近點與最遠點。
最近距離為d(O, L) − r, 利用內分點公式可求出其最近點坐標。
最遠距離為d(O, L) + r, 利用外分點公式可求出其最遠點坐標。
圓的切線方程式:
過切點 P 的切線恰一條 (可代入公式); 過圓外點 P 的切線有兩條 (設點斜式)。
1. 利用 d(O, L) = r
2. 解直線 L 與圓 C 的聯立方程組, 恰有一交點。(代入消去法, 可得一元二次方 程式恰一解; ∆ = 0 )
過圓周上點 P (x0, y0) 的切線公式:
x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0 + x
2 y ⇒ y0 + y f ⇒ f 2
代換圓 C 方程式, 可得其切線方程式 L O
P(x0, y0)
過圓外一點 P (x0, y0):
x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0 + x
2 y ⇒ y0 + y f ⇒ f 2
代換圓 C 方程式, 可得其極線方程式 (過 P 點的兩切線之切點
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的連線)
P(x0, y0) O 極線
切線段長:
圓外一點 P (x0, y0), 切線段長 q
OP2 − r2 = q
x20+ y02 + dx0 + ey0 + f 圓羃定理:
若 P T 是切線段, 且過 P 點的割線交圓於 A,B 兩點, 則P T2 = P A· P B 過圓心的線 L, 若垂直弦AB必平分此弦 (−⇀
L ·−⇀
AB = 0) 精選範例
例題1 已知一圓弧的弦長為14公尺, 弦中點距圓弧垂直高為4公尺, 求此圓的半徑長? 公 尺 [Ans:33
8 ]
例題2 求以 O(2,−3) 為圓心, 且過點 P (5, 1) 的圓方程式。 並判別 Q(3, 4) 在圓內、 圓 外還是圓上。 [Ans:C : (x− 2)2 + (y + 3)2 = 25,Q 在圓外部]
例題3 求過三點 P (1, 1), Q(1,−1), R(−2, 1) 的圓方程式? [Ans:x2+y2+x−3 = 0]
例題4 點 P 為圓 C : x2 + y2 = 4 上的任一點, 求 P 到 A(6, 0) 的連線段 PA 中點 M 所形成圖形的方程式? [Ans:(x− 3)2 + y2 = 1]
例題5 若 P (a, b) 為圓 C : x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0 上的點, 求 a2 + (b − 1)2 的最 大值? [Ans:9]
例題6 求圓 C : x2+y2 = 5 與直線 L : x−y+1 = 0 的相交點? [Ans:(1, 2), (−2, −1)]
例題7 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : x− y + k = 0 與圓 C : x2 + y2 = 2 的相交情 形? [Ans:
( −2 < k < 2 , 相交兩點 k = ±2 , 相交一點 k > 2, k < −2 , 不相交 ]
例題8 求過點 P (−1, 2) 且與圓 C : (x − 3)2+ (y − 2)2 = 8 相切的直線方程式?
[Ans: x− y + 3 = 0, x + y − 1 = 0]
例題9 求通過圓 C : x2 + y2 = 5 上一點 P (1, 2) 的切線方程式? [Ans:x + 2y = 5]
例題10 過點 P (3,−1) 的直線且與圓 C : x2 + y2 = 5 相切, 求切點坐標? 並求其切線段 長 l ? [Ans:(2, 1), (1,−2); l = √
5]
習題2-3 圓與直線關係
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 1. 求圓方程式 x2 + y2 − 3x + 5y − 14 = 0, 的圓心及半徑?
2. 求圓心在 (5,−2) 且過 (−1, 5) 的圓方程式?
3. 求過三點 (5, 3), (6, 2), (3,−1) 之圓方程式?
4. 已知平面上點A(0, 0), B(3, 1), C(−3, 3) 求三角形 ABC 的外接圓方程式?
5. 已知三角形由三直線 y = 0, 3x− 2y + 3 = 0, x + y = 4 所圍成, 則其外接圓之 直徑為?
6. 一圓方程式為 x2+ y2 − 8x + 4y − 5 = 0, 考慮此圓任意兩條互相垂直的切線的 交點, 所有這種交點所形成圓形的方程式為?
7. 設二元二次方程式 x2 + y2 + 2(m + 1)x− 2my + 3m2 − 2 = 0 的圖形為一圓, 求 (1) 實數 m 的範圍? (2) 此圓的最大面積?
8. 就 k 值, 討論方程式 x2 + y2 + 2x− 4y − 3 + 2k = 0 的圖形?
9. 求參數式中 n x = h + 2 cos θ
y = k + 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π
3 所表示的弧長?
10. 求在圓 x2 + y2 − x − 6 = 0 的內部及圓上共有幾個格子點 (x、y 坐標均為整數 的點)?
11. 就直線 L : x− y + k = 0 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍?
(a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割
(c) 直線 L 與圓 C 不相交
12. 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx + 2 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形?
13. 已知直線 L : kx− y − k − 1 = 0 , 圓 C : x2+ y2− 4x − 2y + 1 = 0 , 問 k 為 何值時, 使直線與圓交兩點, 相切, 不相交?
14. 求通過點 (1, 2) 且與 x 軸,y 軸均相切的圓方程式 (兩解)?
15. 求過點 P (4, 2) 且與 (x− 1)2 + (y + 2)2 = 25 相切的直線方程式?
16. 已知 x, y 均為實數, 且 x2 + y2 ≤ 2 , 試求 2x − y 的最大值 M 與最小值 m ? 17. 求過圓 x2 + y2 + 2x− 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點, 且切於 y 軸
的圓方程式?
18. 求下列切線方程式:
(1) 圓 x2 + y2 = 34 在點 (−3, 5) 處的切線
(2) 圓 x2 + y2 + 2x− y − 17 = 0 在 (3, −1) 處的切線 (3) 過點 (−4, 4) 且與圓 x2 + y2 − 6x − 6y − 7 = 0 相切
19. 圓 x2 + y2 = 9 與過點 (1, 2) 之直線相交於二點, 求其弦長之最大值與最小值?
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20. 求直線 L : 12x− 5y + 5 = 0 與圓 C : x2+ y2− 4x + 4y − 8 = 0 相交所截出 的弦線段長?
21. 兩圓 C1 : x2 + y2 + 3x + 4y + 1 = 0, C2 : x2 + y2 + x − 3y = 0 相交於 A,B 兩點, 則直線 ←→
AB 的方程式為何?
第 3 章 平面向量
3.1 平面向量的運算
向量: 包含方向與大小兩種意義(有方向的量)。
由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 −⇀
AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的 長度稱為有向線段 −⇀
AB 的長度, 以 |−⇀
AB| 表示。
零向量: 始點與終點重合的向量, 記為 −⇀
0 , 其大小為0, 方向可視為任意方向。
始點A
終點B
向量
單位向量 −⇀u
|−⇀u | : 長度為1單位的向量。
(不同的向量雖然方向不同, 但長度為1單位)。
O
−⇀ae
−⇀a
O
−u⇀e
向量坐標上表示法: 坐標平面上任意一個向量 −⇀v , 將始點平移至原點, 終點坐標為 (a, b) 時, 則 −⇀v = (a, b)
若平面上 A, B 兩點坐標為 (a1, a2), (b1, b2) 則由起點 A 到終點 B 的方向與大小, 記為 −⇀
AB = (b1 − a1, b2 − a2)。 AB 長度 = −⇀
AB = q
(b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 向量的加減法: 可利用平行四邊形法或坐標法。
向量坐標的加減法: −⇀a ±−⇀
b = (x1±x2, y1±y2)
B C
A D
−⇀AD=−⇀BC
−⇀AB=−⇀DC
B C
C′ A
D
D′
−⇀AB+−⇀AD=−⇀AC
−⇀AB−−⇀AD=−−⇀
AC′ =−⇀DB
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O A
P
O
A P
內分點公式:
若 P 是AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀
OP = n−⇀
OA + m−⇀
OB m + n =
(na1 + mb1
m + n ,na2 + mb2
m + n )
O
A P B
向量解題應用:
1. 平行向量 (與係數積有關): 若 −⇀a //−⇀
b , 則 −⇀a = t−⇀ b 2. 若 −⇀
OP =−⇀
OA + t−⇀
OB, t ∈ R 則 P點必位於過 A 點平行 OB 的直線上。
3. 單位向量: −⇀ea = −⇀a
|−⇀a | = (cos θ, sin θ) = ( x
px2 + y2, y px2 + y2) 4. A, B, C三點共線
(a) A, B, C三點共線 ⇔ −⇀
AB = k−⇀
AC , k ∈ R
(b) A, B, C三點共線⇔ ∃α, β ∈ R, α + β = 1,使得 −⇀
OC = α−⇀
OA + β−⇀
OB (c) A, B, C 坐標在同一直線方程式 y = ax + b 上
(d) 斜率 mAB = mAC (e) △ABC 面積為0
5. 內分點公式: 若 P 是AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀
OP = n−⇀
OA + m−⇀
OB m + n
6. 外分點公式: 若 P 是AB的外分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀
OP = n−⇀
OA− m−⇀
OB n− m
7. 正 N 邊形的外接圓圓心 O, 則 O 到所有頂點向量和為 −⇀
0 , (zn = 1 的根之 和為0)
精選範例
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B C
A
D E
P
例題8 在坐標平面上 △ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上, 且 AQ = 2QC , 已知 −⇀
P A = (4, 3),−⇀
P Q = (1, 5) 則 −⇀
BC = ( , ) ? [Ans: (−1, 12)]
例題9 設 A(2, 1), B(−2, −1), C(4, 2) 為平面坐標上的三點, 求−⇀
AB,−⇀
BC =?且問 A、B、C 三點是否共線? [Ans:−⇀
AB = (−4, −2),−⇀
BC = (6, 3) ,yes]
例題10 坐標平面上, 點 P 是 A(6,−3), B(−4, 2) 兩點連線段上的點, 且 P A : P B = 2 : 3 , 求 P 點坐標? [Ans:P (2,−1)]
習題3-1 平面向量的運算 1. 設 −⇀
AB = (3,−5), A(1, 3), 則 B 點坐標為?
2. 設 −⇀a = (2x− 1, 3),−⇀
b = (1− 3x, −1) , 若 −⇀a //−⇀
b , 則 x =?
3. 已知 ABCD 為平行四邊形, 且坐標為 A(2, 1), B(−3, 2), C(−1, 3) , 求 D 點坐 標?
4. 若 −⇀
AB = (6, 1),−⇀
BC = (a, b),−⇀
CD = (−2, −3), 且 −⇀
BC//−⇀
DA , 則 a, b 之關係 式為?
5. 平面上三點 A(1, 3), B(4, 2), C(−1, 1) 求向量 −⇀
AB 及−⇀
BC ? 又若 ABCD 為一 平行四邊形, 求 D 點坐標?
6. 設 G 是 ∆ABC 的重心, 試證 −⇀
AG = 1 3(−⇀
AB +−⇀
AC) 7. 平面上兩向量 −⇀a ,−⇀
b 滿足 |−⇀a | = 1, |−⇀
b | = 2, |−⇀a +−⇀
b | = √
7, 則 −⇀a 與 −⇀ b 之 夾角 θ =?
8. 直線 −⇀
AB 上有一點 P, 滿足 AP : BP = 8 : 3 試以 −⇀
OA,−⇀
OB 表示 −⇀
OP 9. 設 A,B,O 不共線,P 在 AB 線段上,P A : P B = 3 : 4, 且 −⇀
OP = x−⇀
OA + y−⇀
則 x =?, y =? OB ,
10. 設 ABCDE 為正五邊形, 問以 A、B、C、D、E 為始點與終點所決定之相異向量 (含 零向量) 共有幾個?
11. −⇀u , −⇀v 為平面上兩非零向量, 若 |−⇀u + −⇀v | = |−⇀u − −⇀v | 則 −⇀u , −⇀v 的夾角為何?
12. 設 −⇀a = (1, 1),−⇀
b = (7, 1) , 求平分 −⇀a 、−⇀
b 夾角的單位向量?
13. 試證明: 三角形兩腰中點的連線段必平行底邊且其長度為 1
2 底邊。
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