國立新營高中
99
課綱 數學科
自我
學習要點、 習題手冊
範圍
:
數學第三冊
三角
學、 直線與圓、 平面向量
高
二
:
班
號
學
生
:
指
導 教 師
:
鄭國順
老師
參考版本
:
南一
,
翰林
,
龍騰 版
新營高中
鄭國順 編
版本修訂
:2012
年
7
月
23
日
目
次
1
三角
1
1.1
直角三角形的邊角關係
. . . .
1
1.2
廣義角與極坐標
. . . .
4
1.3
正弦、 餘弦定理與面積公式
. . . .
8
1.4
差角公式
. . . .
11
1.5
三角測量
. . . .
14
2
直線與圓
17
2.1
直線方程式及其圖形
. . . .
17
2.2
線性規劃
. . . .
21
2.3
圓與直線關係
. . . .
26
3
平面向量
30
3.1
平面向量的運算
. . . .
30
3.2
平面向量的內積
. . . .
35
3.3
平面上的直線
. . . .
39
3.4
面積與二階行列式
. . . .
41
4
習題參考答案
46
4.1
第一章
. . . .
46
4.2
第二章
. . . .
48
4.3
第三章
. . . .
49
https://sites.google.com/site/hysh4math ·
第
1
章
三角
1.1 直角三角形的邊角關係 三角函數定義: 直角三角形中; 對應角的對邊, 鄰邊, 斜邊的比值關係。 ∠A 的對應邊 a = BC,∠B 的對應邊 b = AC,∠C 的對應邊 c = AB 正弦函數: sin θ = a c = 對邊 斜邊 餘弦函數: cos θ = b c = 鄰邊 斜邊 正切函數: tan θ = a b = 對邊 鄰邊 A B C ±×Ãä ¾FÃä ¹ïÃä 三角函數的幾何意義: 單位圓(半徑為1) 中 sin θ = P Q OP = P Q cos θ = OQ OP = OQ tan θ = ST , sec θ = OS O P Q S T(1,0) 銳角特別角 30◦ − 45◦− 60◦ 三角函數的取值: θ 30◦ 45◦ 60◦ sin θ 1 2 √ 2 2 √ 3 2 cos θ √ 3 2 √ 2 2 1 2 tan θ √ 3 3 1 √ 3 sin cos tan cot sec csc 1 圖 1-1: 三角函數的基本恆等關係圖 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 直角三角形的邊角關係 ·
三角函數基本關係
平方關係: sin2θ + cos2θ = 1, tan2θ + 1 = sec2θ, 1 + cot2θ = csc2θ
倒數關係: sin θ csc θ = 1, tan θ cot θ = 1, cos θ sec θ = 1
商數關係: 正六邊形任一頂點三角函數值為其相鄰兩頂點三角函數值乘積。
tan θ = sin θ
cos θ , cot θ =
cos θ
sin θ , tan θ = sin θ sec θ , sec θ = tan θ csc θ
csc θ sec θ tan θ sin θ cos θ cot θ 1 餘角關係: ∠A +∠B = 90◦
則 sin A = cos B, cos A = sin B , tan A = cot B, sec A = csc B 正弦、 餘弦與正切的增減:
銳角正弦函數遞增、 餘弦函數遞減、 正切函數遞增。
sin θ cos θ tan θ
ր ց ր 精選範例 例題1 設 θ 為銳角, 且 sin θ = 2 3 , 利用作圖法求 θ 的cos θ,tan θ 三角函數值? [Ans:cos θ = √ 5 3 , tan θ = 2√5 5 ] 例題2 △ABC 中,∠C = 90◦ , 且 AC = 15, tan A = 1 3 , 求 BC 與 AB 長? [Ans:BC = 5, AB = 5√10]
例題3 利用作圖法求 tan 22.5◦ =? [Ans: tan 22.5◦ = √2− 1]
例題4 設 θ 為銳角, 且 cos θ = k , 試利用作圖法, 以 k 表示 tan θ 的值? [Ans: tan θ =
√
1− k2
k ]
例題5 設 θ 為銳角, 且 sin θ = k , 試利用恆等關係, 以 k 表示 cos θ 及 tan θ 的值? [Ans: cos θ = p1− k2; tan θ = √ k
1− k2]
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.1 直角三角形的邊角關係 ·
例題6 設 θ 為銳角, 且 sin θ + cos θ = 4
3 , 求 sin θ cos θ =? [Ans: 7 18 ] 例題7 設 θ 為銳角, 且 tan θ = √ 2 2 , 利用三角函數基本關係求 sin θ, cos θ 的值? [Ans: sin θ = √1 3, cos θ = √ 6 3 ] 例題8 化簡 sin θ 1 + cos θ − 1− cos θ sin θ =? [Ans:0] 習題1-1 直角三角形的邊角關係 1. 求下列各式的值:
(a) (1 + sin 30◦+ sin 45◦)(1− cos 45◦+ cos 60◦) =? (b) tan 30◦tan 60◦ − tan 45◦cos 60◦ =?
(c) cos 60◦cos 30◦ − sin 60◦sin 30◦ =?
(d) sin210◦ + sin225◦ + sin265◦ + sin280◦=?
2. 若 θ 為銳角, 且 sin θ = 5
13 求 cos θ 及 tan θ 的值? 3. 若 θ 為銳角, 且 cos θ = 2
3 , 求 sin θ 及 tan θ 的值?
4. 三個大小相同的正方形並排如圖: 求 tan θ1+tan θ2+tan θ3 的值?
θ1 θ2 θ3
5. 設銳角 △ABC 的三頂點 A,B,C, 所對的邊長分別為 a, b, c ,AH 為高, 則 (a) AH 長為? (1) b sin B (2) c sin C (3) b sin C (4) c sin B (5) a sin A (b) △ABC 的面積可表為 (1) 1 2ac sin B (2) 1 2ab sin C (3) 1 2c 2sin C (4) 1 2ac sin B (5) 1 2abc sin A 6. 設 0◦ < θ < 90◦ 且 sin θ − cos θ = 1 5, 試求下列各值? (1) sin θ cos θ =? (2) cos θ + sin θ =? 7. 設 0◦ < θ < 90◦ 且 cos θ + sin θ = 6 5, 試求下列各值? (1) sin θ cos θ = ? (2) cos θ− sin θ =? 8. 若 ∠A,∠B 互餘, 且 cos A = 5 13, 求 csc B 之值? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 廣義角與極坐標 ·
9. 設 θ 為銳角, 且 tan θ = k , 試以 k 表示 sin θ 及 cos θ 的值? 10. 化簡求 (sin 51◦ + sin 39◦)2+ (sin 51◦ − sin 39◦)2 值?
11. 比較大小關係?
(a) sin 50◦ sin 60◦ (b) cos 50◦ sin 60◦ (c) cos 50◦ cos 60◦ (d) cos 30◦ sin 30◦
(e) a = sin 20◦, b = cos 20◦, c = tan 20◦
12. 設 θ 為銳角, 且方程式 5x2 − 7x + k = 0 的兩根為 sin θ, cos θ, 求下列各值? (a) sin θ + cos θ
(b) sin θ cos θ (c) k (d) sin3θ + cos3θ 1.2 廣義角與極坐標 廣義角: 由起始邊依逆時針方向旋轉至終邊的角為正向角, 順時針方向旋轉出的角為負角。 有正負方向, 不限0◦ 到 180◦ 之間的有向角, 稱為廣義角。 終邊 始邊 正向角 始邊 終邊 負向角 標準位置角A與參考角 θ : 廣義角的頂點在原點, 且始邊在 x軸的正向, 稱為標準角。 設 A 是標準位置角, 則 A 的終邊與 x 軸所夾的銳角 θ , 稱為 A 的參考角。 1. 若 A 為第一象限角 (終邊在第一象限的標準角), 則參考角 θ = A 2. 若 A 為第二象限角 (終邊在第二象限的標準角), 則參考角 θ = 180◦ − A 3. 若 A 為第三象限角 (終邊在第三象限的標準角), 則參考角 θ = A− 180◦ 4. 若 A 為第四象限角 (終邊在第四象限的標準角), 則參考角 θ = 360◦ − A x y O P (x, y) A θ 標準角A與參考角 θ 關係 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 廣義角與極坐標 · 同界角(共同的始邊與終邊): 兩個標準位置角θ1 與 θ2 具有相同的終邊。 θ1 與 θ2 同界角 ⇔ θ1 = θ2 ± k × 360◦, k ∈ Z 廣義角三角函數定義: θ 終邊上, 任一點 P (x, y), r = OP = px2 + y2 定義: sin θ = y r, cos θ = x r, tan θ = y x, x6= 0 x y −1 − 1 2 1 2 1 −1 −1 2 1 2 1 O P (x, y) θ 三角函數與坐標關係 x y −1 −1 2 1 2 1 −1 −1 2 1 2 1 A (all) S (sin) T (tan) C (cos) 廣義三角函數值四個象限角的 正負: C-A-S-T 正值 三角函數值的正負號: 表 1-2: 四個象限角下, 三角函數值的正負號 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin θ = y r + + − − cos θ = x r + − − + tan θ = x y + − + − cot θ = y x + − + − sec θ = r x + − − + csc θ = r y + + − − 特別角函數值: θ 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ sin θ 0 1 2 √ 2 2 √ 3 2 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 cos θ 1 √ 3 2 √ 2 2 1 2 0 −1 2 −√2 2 −√3 2 −1 tan θ 0 √ 3 3 1 √ 3 無意義 −√3 −1 − √ 3 3 0
| sin θ| ≤ 1,| cos θ| ≤ 1,tan θ ∈ R,cot θ ∈ R, | sec θ| ≥ 1,|cscθ| ≥ 1 |secθ| > | tan θ| > | sin θ|
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 廣義角與極坐標 ·
三角函數的四個象限角函數值:
1. sin(90◦+ θ) = cos θ , cos(90◦ + θ) = − sin θ 2. sin(180◦ + θ) = − sin θ , cos(180◦+ θ) = − cos θ 3. sin(270◦ + θ) = − cos θ , cos(270◦+ θ) = sin θ
三角函數化簡公式 −→ 旋轉木馬記憶法: sin -sin cos -cos tan
-cot -sin sin
cos -cos csc -csc sec -sec sin cos 圖 1-2: 三角函數化簡公式: 旋轉木馬記憶法 1. 由該函數位於哪一輪輻為起始點。 2. 以 90◦ 為單位旋轉一輪輻, 正向角為逆時針旋轉, 負向角為順時針旋轉。 3. 最後旋轉終點位置即為該函數化簡值。 三角函數的同值不同角度關係:
sin θ = sin(180◦− θ); cos θ = cos(−θ)
tan θ = tan(180◦ + θ); cot θ = cot(180◦ + θ)
x y O P(x, y) Pθ+90◦(−y, x) Pθ+180◦(−x, −y) Pθ+270◦(y,−x) θ θ 角與 θ + 90◦, θ + 180◦, θ + 270◦ 坐標關係 三角函數值異號與角度關係:
sin(−θ) = − sin θ; cos(180◦− θ) = − cos θ
tan(180◦ − θ) = − tan θ; cot(180◦ − θ) = − cot θ sec(180◦ + θ) = − sec θ; csc(180◦ + θ) = − csc θ
1. 餘角關係 ∠A +∠B = 90◦ : sin A = cos B, sin B = cos A 2. 補角關係 ∠A +∠B = 180◦: sin A = sin B, cos A + cos B = 0 3. 周角關係 ∠A +∠B = 360◦ : sin A + sin B = 0, cos A = cos B
4. 反向角關係 ∠A = 180◦+∠B : sin A + sin B = 0, cos A + cos B = 0 (相 反數關係)
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.2 廣義角與極坐標 · 已知 θ 角的一三角函數值求其他三角函數值方法: 1. 作圖法。 2. 坐標法。 3. 基本關係法。 4. 銳角化作圖修正法。 極坐標 : [r, θ] ≡ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) 若射線 −→OP 與極軸 (水平射線) 的夾角為 θ ,OP = r , 則 P 點的極坐標為 [r, θ] , 而直角坐標為 (x, y) = (r cos θ, r sin θ), 其中 OP = px2 + y2 180◦ 0◦ 270◦ 90◦ O P [r, θ] ≡ (x, y) = (r cos θ, r sin θ) r θ 極坐標與平面坐標 精選範例 例題1 求下列廣義角的同界角 θ, 使 0◦ ≤ θ < 360◦, A = 1000◦, B = −200◦ [Ans:θA = 280◦, θB = 160◦]
例題2 求下列三角函數 sin 150◦, cos 210◦, tan(−60◦) 的值? Ans: 1 2,− √ 3 2 ,− √ 3
例題3 若 θ 為標準位置角, 其終邊上一點 P (−2, −1) , 求 sin θ, cos θ, tan θ 的值? [A:sin θ = − √ 5 5 , cos θ = −2√5 5 , tan θ = 1 2] 例題4 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 3 5 , 求 cos θ 與 tan θ 的值? [Ans: cos θ = −4 5, tan θ = − 3 4]
例題5 求 cos 10◦ + cos 20◦ + cos 30◦ +· · · + cos 160◦ + cos 170◦ =? [Ans:0] 例題6 若 θ 是第三象限角, 且滿足 cos θ− sin θ = 1
3 , 求 sin θ cos θ 與 sin θ + cos θ 的 值? [Ans: sin θ cos θ = 4
9 , sin θ + cos θ = − √ 17 3 ] 例題7 已知直角坐標為 P (2, 2√3, O(3√2,−3√2) , 求 P, Q 兩點的極坐標為何? [Ans:P [4, 60◦] , Q[6, 315◦]] 習題1-2 廣義角與極坐標 1. 設 0◦ < θ ≤ 360◦, 若 6θ 和 θ 是同界角, 試求 θ 的值? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 正弦、 餘弦定理與面積公式 · 2. 試以銳角的三角函數表示 tan(−190◦) =?, sin(−510◦) =? 3. 已知 cos θ = −3 5 , 且 θ 為第二象限角, 求 sin θ, tan θ 三角函數值? 4. 已知 sin θ = −3 5 , 且 θ 為第四象限角, 求 cos θ,sin(θ + 180 ◦),tan(−θ) 三角函 數值? 5. 已知 θ 為銳角且 tan θ = 2, 求 sin(180◦− θ) 的值? 6. 已知 θ 角的頂點為原點, 始邊落在 X 軸的正向上, 終邊通過點 P (2,−3) , 試求 sin θ, cos θ, tan θ 三角函數值?
7. 若 tan θ = 4 3 求
3 sin θ + 2 cos θ
2 sin θ + 3 cos θ =? (用一一代入法嗎? 分子分母同除以cos θ) 8. 化簡 sin(90◦+ θ) cos(90◦+ θ)− sin(180◦ − θ) cos(180◦ − θ) =?
9. 設 cos(−100◦) = 1
a, 試求 tan 80
◦ =? (用a表示)
10. 設△ABC 為一直角三角形,BCDE 是以 BC 為一邊向外作出的正方形, 若 BC = 5, AC = 4, AB = 3 試求 cos∠ACD =?, ∆ACD 面積為?
11. 化簡 180 X x=1 cos x◦ =?; 360 X y=1 sin y◦ =? 12. 已知 P 點的極坐標為 [4, 120◦] , 求 P 點的直角坐標為何? 13. 已知 Q 點的直角坐標為 (−2, −2) , 求 Q 點的極坐標為何? 14. 設 θ 為第二象限角且 cos θ+sin θ = 1
5, 試求下列各值? (1)sin θ cos θ=? (2)cos θ− sin θ =? 1.3 正弦、 餘弦定理與面積公式 三角形面積: a△ABC = 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 1 2bc sin A 正弦定理: △ABC 與 △A′BC 中, ∠A = ∠A′,sin A = a
2R △ 三邊長比等於其三內角的正弦比, 且比值為其外接圓的直徑。 a sin A = b sin B = c sin C = 2R 餘弦定理 : a2 = BC2 = (b− c cos A)2 + (0− c sin A)2 △ 第三邊平方=兩鄰邊平方和 −2×鄰邊乘積×餘弦值。 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.3 正弦、 餘弦定理與面積公式 ·
1. a2 = b2 + c2 − 2bc cos A , 或 cos A = b
2 + c2 − a2
2bc 2. b2 = a2 + c2 − 2ac cos B , 或 cos B = a
2 + c2 − b2
2ac 3. c2 = a2 + b2 − 2ab cos C , 或 cos C = a
2 + b2 − c2 2ab O A B C A' a 2R A B C (b,0) b a ( c cosA ,c sinA) c 圖 1-3: 正餘弦公式的推導圖 由三角形邊長判別內角為銳角、 直角或鈍角: 餘弦定理的推廣 1. 若 ∠A 為直角 (cos A = 0) ⇔ a2 = b2 + c2 2. 若 ∠A 為銳角 (cos A > 0) ⇔ a2 < b2 + c2 3. 若 ∠A 為直角 (cos A < 0) ⇔ a2 > b2 + c2
正餘弦定理求三角測量問題: AAS, ASA, SSA ⇒ 正弦定理求出其餘的邊長及角度。 SAS, SSS, SSA⇒ 餘弦定理求出其餘的邊長及角度。(已知角的對邊當第三邊) SSA 型的三角形 (不一定會全等 △) 可能有兩種不同的三角形甚或無解。 三角形面積公式: a△ABC = 1 2底 × 高 = 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 1 2bc sin A (海龍公式) = q s(s− a)(s − b)(s − c) , s = 1 2(a + b + c) a△ABC = r內 · s = abc 4R外 = 1 2 q |−⇀AB|2|−⇀AC|2 − (−⇀AB ·−⇀AC)2 精選範例 順伯的窩
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例題1 △ABC 中, 已知 AB = 4,AC = 6,∠A = 60◦ 求 △ABC 的面積? [Ans:6√3] 例題2 △ABC 中,∠A = 45◦,∠B = 30◦, AB = √6 +√2 , 求其他兩邊長與 △ABC
的外接圓半徑?(ASA) [Ans:AC = 2, BC = 2√2, R = 2]
例題3 △ABC 中,∠A = 45◦,∠B = 30◦, BC = 8 , 求其他兩邊長及 △ABC 的外接 圓半徑?(AAS) [Ans:AC = 4√2, AB = 4 + 4√3, R = 4√2]
例題4 △ABC 中,∠A = 45◦, AB = 3, BC =√6 , 求∠B 及∠C? (SSA) [Ans:∠B = 75◦,∠C = 60◦ 或 ∠B = 15◦,∠C = 120◦] 例題5 △ABC 中, 三對應邊分別為 a, b, c, 已知 a = 13, c = 15,∠A = 60◦ , 求邊長 b =? [Ans:b = 7, 8] 例題6 △ABC 中, 已知 AB = 7, AC = 3, BC = 5, 求 ∠C 的角度?(SSS) [Ans:∠C = 120◦] 例題7 △ABC 中, 已知 AB = 5, AC = 8,∠A = 60◦ , 求邊長 BC = ?(SAS) [Ans:a = 7] 例題8 已知 △ABC 的三邊長, BC = a, AC = b, AB = c 且滿足 c2 = a2 + b2 + ab 求此 △ABC 的最大角度數? [Ans:∠C = 120◦] 習題1-3 正弦、 餘弦定理與面積公式 1. △ABC 中, ∠A :∠B : ∠C = 1 : 4 : 1 , 求此對應邊的邊長比 a : b : c 2. △ABC 中, a = 24,∠B = 75◦,∠C = 45◦ , 求此 △ 外接圓半徑 R 及 c 長? 3. △ABC 中, ∠A = 30◦,∠C = 45◦, BC = √2 , 求 AC 及 △ABC 的外接圓半 徑? 4. △ABC 中, AB = 4, AC = 5,∠A = 60◦, 求 BC =? 5. △ABC 中, AC = 13, BC = 8,∠B = 120◦ , 試求 AB =? 6. △ABC 中, AB = 8, BC = 5,∠A = 30◦, 求 AC =? 7. △ABC 中, AB = 15, BC = 13, AC = 7, 求 ∠A ?
8. 設 △ABC 的三邊長比 a : b : c = 2 : 3 : 4 , 求 cos A, cos B, cos C 之值? 9. ∆ABC 中, 設 ∠A = 60◦,∠B = 45◦, 試求 AB : BC : AC =? 10. △ABC 中, 已知 AB = 3,BD = 3,CD = 5, 如圖, 求 AD 的長? B A C D 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 差角公式 ·
11. △ABC 中, 設 cos A = −1
2, AC = 10, AB = 6 , 試求 ∆ABC 的面積? 12. △ABC 中, 設 AB = 10,BC = 9,CA = 17 , 試求 △ABC 的面積?
13. 圓內接四邊形ABCD, AB = 3, BC = 2, CD = 3,∠ABC = 120◦, 試求 AD 之值? 14. 圓內接四邊形ABCD, AB = 4,BC = 5,CD = 4,DA = 4 , 試求對角線 AC 長 度? 15. 平行四邊形 ABCD,AB = 5, AD = 4,∠A = 60◦ , 求兩對角線 AC, BD 長? 16. 已知 △ABC 的三邊長為3,4,5, 求此 △ABC 的內切圓半徑 r?
17. 試證: ∆ABC 中, sin A + sin B > sin C [hint: 正弦定理]
1.4 差角公式 餘弦的差角公式: △ABC 中, 餘弦定理 a2 = BC2 = b2+ c2− 2bc cos(θ2− θ1) = B、C 兩點距離 公式。 A B C ( ccos ,csin ) b a c 1 11 1 ( bcos ,bsin )2 2 2 正餘弦的和角、 差角公式:
1. cos(A− B) = cos A cos B + sin A sin B 2. cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B 3. sin(A− B) = sin A cos B − cos A sin B 4. sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
正切的和角、 差角公式: tan A, tan B, tan(A± B) 均有意義時, 利用 tan θ = sin θ cos θ tan(A + B) = tan A + tan B
1− tan A · tan B ,tan(A− B) =
tan A− tan B 1 + tan A· tan B
若已知兩角度 α, β 的三角函數值, 則由 α, β 任意整數倍相加減的三角函數值可利用 和差角公式求出其值。
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 差角公式 ·
倍角、 三倍角公式:
1. cos 2θ = cos(θ + θ) = cos2θ− sin2θ = 2 cos2θ− 1 = 1 − 2 sin2θ 2. sin 2θ = sin(θ + θ) = 2 sin θ cos θ
3. cos 3θ = 4 cos3θ − 3 cos θ 4. sin 3θ = −4 sin3θ + 3 sin θ 5. tan 2θ = 2 tan θ 1− tan2θ 半角公式: cosθ 2 = ± r 1 + cos θ 2 , sin θ 2 = ± r 1− cos θ 2 (± 號可由 θ 2 之象限角其三角函數值來判定) 同界角的 n 倍與 1 n 倍: θ ≡ θ + 2kπ, k ∈ Z 與 θ 同界角之整數倍後仍為同界角。 nθ ≡ nθ + 2kπ, k ∈ Z , 均為同界角。 但其 1 n 倍角, 有 n 個不同角度。 θ n = θ + 2kπ n , k = 0, 1,· · · , (n − 1) , 有 n 個 非同界角的不同角度。 三角函數求值問題: 1. 同一 θ 角, 求其餘三角函數值。(在銳角下畢氏定理求出斜邊、 鄰邊、 對邊比; 再由 θ 象限角決定三角函數值正負)。
(坐標法: (x, y) = (r cos θ, r sin θ), r = px2 + y2, tan θ = y
x ) 2. 同一三角函數下, 求其倍角、 半角、 和角、 差角的三角函數值。(利用倍角、 半 角、 和角、 差角公式代入) 3. 不同三角函數、 不同角度下, 求三角函數值。(先化成同一函數或化成同角度; 再依上述1,2項方法求值) 精選範例
例題1 求 cos 48◦cos 12◦ − sin 48◦sin 12◦ 的值? [Ans:1 2] 例題2 設 α, β 分別為第二、 三象限角且滿足 sin α = 3 5, cos β = − 5 13 求 sin(α + β) 與 cos(α + β) 值; 並藉此判斷出 α + β 是第幾象限角? [Ans:33/65,56/65,I] 例題3 已知 tan θ1 = 1 3, tan θ2 = −2, 且 0 < θ1 < 90 ◦, 90◦ < θ 2 < 180◦ 求 tan(θ1 + θ2) 之值? 又 θ1 + θ2 =? [Ans: −1, 3π 4 ] 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.4 差角公式 · 例題4 已知 θ 為第三象限角且 cos θ = − 5 13 , 求 cos(θ + π 6)=? [Ans: −5√3 + 12 26 ] 例題5 在 △ABC 中, 已知 cos A = 3 5, cos B = 12 13 , 求三角形的三邊長比 AB : BC : AC =? [Ans: 63 : 52 : 25] 例題6 已知平面坐標上 O 為原點,B 點在第一象限且 A(3, 1),∠AOB = 60◦, OB = 2√10 求點 B 坐標? [Ans:B(3−√3, 1 + 3√3)] 例題7 已知 △ABC 中,cos A = 3
5 , tan B = 7 , 求 sin C =? [Ans: √
2 2 ]
例題8 求 sin 22.5◦, tan 22.5◦ 的值? Ans: sin 22.5◦ = p 2−√2 2 , tan 22.5 ◦ = √2− 1 例題9 若 θ 是第二象限角, 且 sin θ = 3 5 , 求 sin 2θ 與 cos 2θ 的值? [Ans: sin 2θ = −24 25 , cos 2θ = 7 25 ] 例題10 已知 π < θ < 3π 2 且 cos θ = − 3 5 , 試求 sin θ 2 與 cos θ 2 值? [Ans:sinθ 2 = 2√5 5 , cos θ 2 = − √ 5 5 ]
例題11 求函數 f (x) = cos 2x− 8 cos x 的最大值與最小值? [Ans:9,-7] 習題1-4 差角公式
1. 求 sin 17◦cos 47◦ − cos 17◦sin 47◦ =? 2. 設 α, β 均為銳角, 且 sin α = 4 5, cos β = 5 13, 求 sin(α+β) =? 及 cos(α−β) =? 3. 設 θ 為第二象限角且 sin θ = 4 5 , 求 cos(θ + π 3) 的值? 4. 已知 tan α = 1, tan(α− β) = 2 , 求 tan β 值?
5. 設 α, β 均為銳角, 且 tan α = √3, tan β = √ 3 3 , 試求 tan(α− β) =? 6. △ABC 中, cos A = 4 5, cos B = 12 13,試求cos C之值? 7. 設 90◦, θ < 180◦ , 且 sin θ = 4
5 , 求 sin 2θ, cos 2θ 及 tan 2θ 的值? 8. 利用倍角公式化簡求 sin 20◦sin 40◦sin 80◦ 值為何?
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.5 三角測量 · 9. tan α = −3 4, 270 ◦ < α < 360◦ , 求 cosα 2, sin α 2 =? 10. cos θ = 1 3, θ 為銳角, 求 sin 2θ, cos 2θ =? 11. 已知 sin θ− cos θ = 1 5 , 求 sin 2θ 的值? 12. 已知 sin α = 1 4, 且 π 2 < α < π , 求 sin α 2 =? 13. 已知 π 4 < θ < π 2, 且 sin 2θ = 5 13, 試求 sin θ, cos θ =? 14. 試化簡 cos θ− cos 3θ
sin 3θ− sin θ = tan α 則 α =? (用 θ 表示)
15. 設 f (x) = 3 sin2x + cos x− 1 , 0 ≤ x < 2π , 試求 f(x) 的最大值與最小值? 及其相對應的 x 值? 1.5 三角測量 視線: 觀測者眼睛與目標物的連線。 仰角: 往上仰看目標物的視線與水平線的夾角。 俯角: 往下俯看目標物的視線與水平線的夾角。 三角函數值的查表: 若無法直接查得則利用倒數關係、 餘角關係、 內插法求其三角函數 值。 表 1-5: 部分三角函數值表
角度 sin cos tan 18◦00′ .3090 .9511 .3249 .. . ... ... ... 23◦00′ .3907 .9205 .4245 23◦10′ .3934 .9194 .4279 23◦20′ .3961 .9182 .4314 23◦30′ .3987 .9171 .4348 23◦40′ .4014 .9159 .4383 23◦50′ .4041 .9147 .4417 24◦00′ .4067 .9135 .4452 .. . ... ... ... 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.5 三角測量 · 內差法求三角函數近似值: 已知兩角度的三角函數值, 若欲求介於此兩角度之間的三角函數值, 則利用線性比 例, 度數差的比值= 函數值差的比值。 即 ∆θ′ ∆θ = ∆y′ ∆y 。
例: 查表已知 sin 23◦40′ = 0.4014, sin 23◦50′ = 0.4041 則利用內插法求 sin 23◦46′ 由 ∆θ′ ∆θ = ∆y′ ∆y 可得 23◦46′− 23◦40′ 23◦50′− 23◦40′ = y − 0.4014 0.4041− 0.4014 ⇒ 6 10 = ∆y′ 0.0027 ⇒ ∆y ′ = 0.00162 故 sin 23◦46′ ≈ 0.4014 + 0.00162 = 0.40302 表 1-5: 三角函數內插法 θ sin θ ⌈ ⌈ 23◦40′ 0.4014 ⌉ ⌉ ∆x′ ∆y′ ∆x ⌊ 23◦46′ sin 23◦46′ ⌋ ∆y ⌊ 23◦50′ 0.4041 ⌋ 三角測量幾何問題的一些步驟要領: 1. 將測量的對象轉化為特定三角形的邊長、 角度或相關量。 2. 直角三角形的邊角關係: 可利用畢氏定理、 三角函數的基本關係運用。 3. 幾何測量, 作圖利用正弦, 餘弦定理, 畢氏定理, 三角形面積公式, 配合三角函 數及其性質解決問題。 將包含已知邊長 (角度) 的三角形列出, 包含欲求邊長的三角形列出; 再仔細 觀察這些三角形有何上列公式 (定理) 可運用。 角平分線性質: △ 的角平分線與底邊的交點到其底邊的兩頂點距離比等於其兩腰的邊長比。(內外 角平分線皆然) △ABC , 若 AD 平分 ∠A 且交直線 BC 於 D 點, 則 BD : CD = AB : AC 圖 1-5: 角平分線性質: mb = nc 中線定理: 平行四邊形的對角線平方和=2×(兩鄰邊平方和) △ABC 中,M 為 BC 邊的中點, 則 AB2 + AC2 = 2(AM2 + BM2) 投影定理: ∆ABC 中, a = b cos C + c cos B
https://sites.google.com/site/hysh4math 1.5 三角測量 · 精選範例 例題1 某人在操場 A 點測得旗桿桿頂 P 點的仰角為 30◦ , 朝旗桿直線走10公尺至 B 點 後, 再測得桿頂 P 的仰角為 45◦。 試問他繼續再往旗桿直線走多遠後? 再測得桿 頂 P 點的仰角為 60◦ [Ans: 10 √ 3 3 公尺] 例題2 在離地面50公尺高的燈塔塔頂測出遠方漁船的俯角為 30◦ , 求觀測人員與漁船之 間的距離? [Ans:100 公尺] 例題3 某人在距離塔底的地面上 A 點, 測得與塔頂的仰角為 45◦ , 由 A 點面對塔底直線 後退16公尺 B 點, 測得與塔頂仰角為 30◦ , 問此塔的高度為? 公尺 [Ans:8(√3 + 1)] 例題4 一人自塔頂俯視塔正東方一點 A, 俯角為 45◦ , 俯視塔北 60◦ 東一點, 俯角為 30◦ , 且 A,B 兩點相距100公尺, 求此塔高? [Ans:100公尺] 例題5 一測量員在一山的正南方山腳下 A 點, 測出山的仰角為 60◦, 若測量員向東方移 動300公尺到達 B 點, 測得山頂的仰角為 30◦, 求此山的高度? [Ans: 75√6 公尺] 例題6 一人於山麓測得山頂的仰角為 45◦ , 由此山麓循 30◦ 斜坡上行200公尺, 再測得 山頂的仰角為 75◦ , 求此山的高度?(sin 15◦ = √ 6−√2 4 ) [Ans:200公尺] 習題1-5 三角測量 1. 空警隊在直升機上發現: 地面上正東方俯角 45◦ 的 A 處有火警, 而其正南方俯角 30◦ 的 B 處有消防隊。 若此直升機的高度為2400公尺, 試求地面 A,B 兩地的距 離? 2. 小山丘上有建一寶塔, 此塔高20公尺, 若從地面上 A 點測得塔底的仰角為 45◦, 塔 頂的仰角為 60◦, 問此山丘的高度為? 3. 一梯子靠在牆上, 梯長6公尺, 已知梯子與地面成 30◦ 的傾斜角, 求牆腳到梯子上 端的高度? 4. 有一人在塔的正東方 A 處, 測得塔頂的仰角 60◦ , 他走到塔的正西方 B 處, 再測 得塔頂仰角為 45◦ , 若 A,B 兩地相距200公尺, 試求塔高? 5. 在平地地面上 A 測出山頂的仰角為 30◦ , 再朝山的方向前進500公尺處 B, 測出 山頂的仰角為 45◦, 求此山的高度? 6. 自塔的正西方一點 A, 測得塔頂仰角為 45◦ , 在塔的南 60◦ 西一點 B, 測得塔頂 仰角為 30◦ 若 A,B 兩點相距40公尺, 試求塔高? 7. 今有 A,B 兩點分別在大湖的兩岸, 某人在距湖的遠處一點, 測得 AC = 100 m,BC = 150 m, ∠ACB = 60◦ , 試求 AB 的長度? 8. 甲, 乙兩人相距500公尺, 同時測量一建築物高度, 甲在建物的正東方測出建物頂 點仰角 45◦ , 而乙在建物東偏南 30◦ , 測出建物頂點仰角 30◦ , 求建物的高度? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math · 9. 某人在一塔的正西方 A 點, 測得塔頂仰角為 60◦ , 在 A 點正南方 B 點, 測得塔 頂仰角為 30◦ , 已知此塔高為150公尺 , 求 A,B 兩點距離? 公尺 10. 一船以固定速率向東37◦南航行, 於上午10時, 測得燈塔方位為東23◦北, 至下午2 時, 測得燈塔方位為北23◦ , 此時船與燈塔距離為 40√3 公里, 求此船的速率? 11. 已知 cos θ = 0.9163 , 利用查表及內插法求銳角 θ 度數的近似值? 12. 利用查表及內插法求 sin 66◦42′ 的近似值?
第
2
章
直線與圓
2.1 直線方程式及其圖形 直線的斜率: 直線與 x 軸正向的夾角稱為斜角θ, 則直線斜率 m = ∆y ∆x = y2 − y1 x2 − x1 = tan θ x y y = ax + b ∆x ∆y 直線斜率大小的比較: 1. θ < 90◦ : 正斜率 (左下右上形的直線)。 2. θ > 90◦ : 負斜率 (左上右下形的直線) 3. θ = 0◦ : − 水平線斜率為0 4. θ = 90◦ : | 鉛直線斜率為無窮大或負無窮大 (無斜率)。 5. 直線往順時針旋轉斜率變小, 往逆時針旋轉變大。(未經過鉛直線時) 直線方程式: 1. 一般式:ax + by = c , 其斜率 m = −a b, (b6= 0) 2. 點斜式:y − b = m(x − a) 表直線經過點(a, b),及直線斜率為m 3. 兩點式:y − y1 x− x1 = y2 − y1 x2 − x1 表直線經過兩點(x1, y1), (x2, y2) 。 4. 斜截式:y = mx + k 表直線斜率為m, 與 y 軸截距為 k 。 5. 截距式:x a + y b = 1 表直線與 x 軸,y 軸的截距分別為 a,b 。 6. 向量參數式: n x = x0 + bt y = y0 − at , t ∈ R 表直線方向 (b, −a), 過點 (x0, y0) 7. 共交點的直線簇 : L 過 L1, L2 的交點, 則直線 L 方程式為 L : L1 + kL2 = 0 , k ∈ R 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 直線方程式及其圖形 · 直線的平行與垂直: 兩斜截式直線 L1 : y1 = m1x + k1, L2 : y2 = m2x + k2 互相平行: 則 m1 = m2, k1 6= k2 互相垂直: m1m2 = −1 或直線一般式, 互相平行:n ax + by + c1 = 0 ax + by + c2 = 0 互相垂直:n ax + by + c1 = 0 bx− ay + c2 = 0 平面上A,B,C 三點共線: 1. 任兩點的斜率相等:mAB = mAC 2. 任兩點的向量成比例: −⇀AB = t−⇀AC 3. △ABC 面積為0 :a∆ABC = 0 ,(代入面積公式, 其值為0) 二元一次方程組的幾何意義: 兩直線方程式 L1 : a1x + b1y + c1 = 0, L2 : a2x + b2y + c2 = 0 , 聯立方程組 n a1x + b1y + c1 = 0 a2x + b2y + c2 = 0 , b1b2 6= 0 1. a1b2 6= a2b1 時, 方程組恰一解, 此時 L1 與 L2 相交一點。(相容方程組) 2. a1b2 = a2b1, b1c2 6= b2c1時, 方程組無解, 此時L1與L2互相平行。(矛盾方程 組) 3. a1b2 = a2b1, b1c2 = b2c1時, 方程組無窮多解, 此時L1與L2重合。(相依方程 組) 點對稱: 若P,Q 兩點的中點為 M 點, 則稱 P,Q 兩點對稱於 M 點。 線對稱: 若A,B 兩點對稱於直線 L, 則稱 L 為 A、B 兩點的對稱軸。 此時 L 為 AB 的 中垂線。 L 上一點到 A、B 兩點 (L 同側) 的距離和, 當B, B′ 對稱於 L 時, 使得 AP + BP = AB′ 為 min 點 M P Q P′ Q′ A B L L A P B B′ 精選範例 例題1 如圖: 若直線 AB,BC,CD,DE,EA 的斜率分別為 m1, m2, m3, m4, m5 , 比較其斜 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 直線方程式及其圖形 · 率的大小? [Ans:m2 > m3 > m4 > m5 > m1] x y A(−3, 2) B(0,−5) C(3, 2) D(−3, −2) E(3,−2) 例題2 求過點 P (−3, 2) 分別與直線 L : x − 2y = 5 平行及垂直的直線方程式? [Ans: x− 2y + 7 = 0; 2x + y + 4 = 0 ]
例題3 坐標平面上,A(4,−3), B(−1, 4), C(a, 11) 三點共線, 求 a 值? [Ans: a = −6] 例題4 設點 P (3, 1) , 直線 L : x + 2y = 0 , 求過 P 點且與直線 L 平行的直線方程式 M ? 及過 P 點且與直線 L 垂直的直線方程式 N ? [Ans: M : x + 2y− 5 = 0, N : 2x− y − 5 = 0 例題5 若 A(4, 2), B(−2, 6) 求 AB 的垂直平分線方程式? [Ans:3x − 2y = −5] 例題6 一直線過 P (5, 2) 及兩直線 L1 : x + 2y− 5 = 0, L2 : 3x + y − 5 = 0 的交點 Q, 求 P、Q 直線方程式? [Ans:y = 2] 例題7 求點 P (3, 1) 關於直線 L : x + 2y = 0 的對稱點坐標? [Ans:A′(1,−3)] 習題2-1 直線方程式及其圖形 1. 如圖: 比較五邊形 ABCDE 的5個邊的斜率大小? x y D E A B C 2. 求下列直線方程式: (a) 過兩點 P (−4, 3), Q(2, −3) 的直線 (b) 過點 P (2, 3) 且斜率為 3的直線? (c) 直線與 X 軸的截距為-4, 與 Y 軸的截距為-2 (d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 3) 的直線 3. 回答下列條件問題: (a) 求斜率為3且 y 截距為1的直線方程式 (b) 求直線 x 2 + y 3 = 1 的斜率? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.1 直線方程式及其圖形 · (c) 求直線 3x− 2y − 4 = 0 的斜率與 y 軸截距? (d) 斜率為2, 交 Y 軸於 (0, 6) 的直線與坐標軸圍成的三角形面積? 4. 設 A(−4, 2), B(7, 6) 為平面坐標上的兩點, 且點 P 為直線 ←→AB 上一點, 若 AP : BP = 3 : 2, 求點 P 坐標? 5. 如圖中, 直線 L1, L2, L3, L4 的 斜率分別為 m1, m2, m3, m4 試將斜率按大小排 序? L L L L 1 2 3 4 X Y
6. 已知三點 A(3,−2), B(−1, −5), C(a, −2a + 1) 共線, 則 a =? 7. 求過點 (4, 3) 且與直線 L : 3x− 2y + 6 = 0 平行, 的直線方程式? 8. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y + 4m − 2 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為? 又若 A(−2, 8), B(6, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍? 9. 設 △ABC 為坐標平面上的正三角形, 其中 A(0, 0), B(−1,√3) , 試求C點坐標 為? 10. 在平面上有三直線 L1 : x + 3y− 1 = 0, L2 : 2x + ky + 1 = 0, L3 : x− y + 3 = 0 共交點, 則實數 k =? 11. 已知直線 L 過點 (−1, 6) 且 L 在兩軸上之截距乘積為1, 求 L 之方程式? 12. 設直線通過點 (4, 1) 且與兩坐標軸圍成的三角形面積為1, 求 L 的直線方程式? 13. 兩直線 L1 : ax− 6y = 5a − 3, L2 : 2x + (a + 7)y = 29− 7a, (1) 若 L1⊥L2 時,a 值 =? (2) 又若 L1//L2 時,a 值=? 14. 設點 P (4,−2), 直線 L : x − 2y + 2 = 0, 求以 L 為對稱軸時, 點 P 的對稱坐 標? 15. 已知一點 P (2, 1), 及直線 L : x + y − 1 = 0 , 試求點 P 到直線 L 的垂足點坐 標? 16. 不論任何實數 m, 直線 L : mx− y − m + 6 = 0 恆過點 P, 則此點 P 坐標為? 又若 A(0, 2), B(4, 5) ,L 與 AB 相交, 求 m 值範圍? 17. 平面坐標上, 直線 L : y = 3x + k 與 A(0, 2), B(4, 5) 為兩端點的線段 AB 相 交, 求 k 值的範圍? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · 18. 試判斷下列聯立方程式解的意義: (a) n 2x + 3y = 53x− 2y = 5 (b) n 2x + 3y = 44x− 6y = 2 (c) ( 2x + 3y = 5 x 2 + y 3 = 5 (d) ( 2x + 3y = 6 y = −2x 3 + 2 2.2 線性規劃 二元一次不等式的解區域: 1. 若 y > ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的上方區域。 2. 若 y < ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的下方區域。 3. 若 x > ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的右方區域。 4. 若 x < ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的左方區域。 y≥ −x + 1 x y L: x + y = 1 y <−x + 1 x y L: x + y = 1 y <2x + 4 x y L: 2x− y = −4 y≥ 2x + 4 x y L: 2x− y = −4 線性規劃問題: 1. 決策變數: 影響問題的變數稱為決策變數。 2. 目標函數: 求問題的方程關係式稱為目標函數。 其值稱為目標函數值。 3. 限制條件: 決策變數受限的不等式組稱為限制條件。 型如: 求 Max(Min) Z = c1x1 + c2x2 +· · · + cnxn 之最大值 (或最小值) s.t.(受制於) a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn ≥ b2 ... am1x1 + am2x2 +· · · + amnxn ≥ bm 線性規劃問題的解法: 1. 可行解: 若數對 (a, b, c,· · · ) 滿足所有限制條件, 則稱此問題的一個可行解。 2. 可行解區域 F : 所有可行解的集合稱為可行解區域 F 。 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · red: x+2 y£6, green: 2 x+y£8 blue: y-x£1, purple: y£2 objective function: 3 x+2 y=2 1 2 3 4 5 x 1 2 3 4 5 y 圖2-2: 線性規劃的可行解區域F 3. 最佳解 (optimal solution): 若 (x∗1, x∗2,· · · ) 滿足目標函數的最大值 (或最 小值), 則稱為線性規劃的最佳解, 其值 Z∗ 稱為最佳解值。 二元線性規劃問題的圖解平行線法: 欲求 max(min) Z = c1x + c2y , 利用一組平行 線 Lk : c1x + c2y = k 在解區域內平行移動, 找出 (x, y) 使 k 直為最大或最小值 的方法。 1. 畫出可行解區域 F (不等式組的圖形), 並標示出所有的頂點。 若 F = ∅ , 則 此問題無解。 2. 若 (c1, c2) = (0, 0) , 則 F 中任一點都是最佳解, 且最佳解值 Z∗ = 0 。 3. 若 (c1, c2) 6= (0, 0) , 則將目標函數 max(min) c1x + c2y = k 按其法向量 方向 (c1, c2) 或 (−c1,−c2) 平移。 4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解; 取最後 (最先) 的相交 點, 即為最佳解。 代入目標函數即為最佳解值。(最佳解可能是無解、 單一解、 或無限多組解)。 s.t. x + y ≤ 24 x + 2y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0 ,Max Z = 3x + 4y O x y F L: x + 2y = 30 L: x + y = 24 Lobj: 3x + 4y = k (18, 6)∗最佳解 O x y F L: x + 2y = 30 L: x + y = 24 (24, 0) (0, 15) (0, 0) (18, 6)∗最佳解 二元線性規劃問題的頂點法: max(min) Z = c1x + c2y 一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域。 而目標函數的極值必發 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · 生在此凸多邊形區域的頂點上, 故可先把凸多邊形區域的頂點坐標值全部找出來, 再分別代入目標函數, 求出 max(min) Z = c1x + c2y 之值。 線性規劃基本原理: 一個線性規劃問題, 若其可行解區域 F 6= ∅ 且為有界, 則 F 的頂點中至少有一 個會是最佳解。 精選範例 例題1 某公司生產產品, 存放在甲、 乙兩倉庫, 分別有40單位與50單位, 現在 A 市場的 需求量為 30 單位,B 市場需求量為40 單位, 各倉庫運輸至各市場的單位運輸成本 (元) 如下表: 滿足是常需求下, 應如何分配為最節省運輸成本? [A: 甲運送30單 位至 A,10單位至 B; 乙運送30單位至 B。 成本為8900] 市場 A B 甲 100 140 乙 120 150 x y F x+ y = 20 x+ y = 40 y= 40 x = 30 (20, 0) (30, 0) (30, 10) (0, 40) (0, 20) 例題2 設 x, y 滿足聯立不等式 x + y ≥ 4 3x + y ≥ 6 x ≥ 0 y ≥ 0 , 求 2x + y 的最小值? Ans: (x, y) = (1, 3) 時, minz = 2x + y = 5 例題3 滿足現制條件: x + 2y ≤ 30 3x + y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0 求 x, y, 使得 w = −x − 2y 有最小值? Ans: (x, y) = (6t, 15− 3t), 0 ≤ t ≤ 1 有 minw = −30 red: x+y³4, green: 3 x+y³6 F
objective function: min z=2 x+y
-1 1 2 3 4 5 6 -1 1 2 3 4 5 6 red: x+2 y£30, green: 3 x+y£30 objective function: z=-x-2 y 5 10 15 20 25 30 5 10 15 20 25 30 red: 2 x-y³ -2, green: 3 x+2 y£18 F
objective function: min & max z=2 x+y
2 4 6 8 2 4 6 8 red: 2000 x+1500 y£93 000 green: 500 x+600 y£30 000 objective function: max z=1080 x+900 y F 10 20 30 40 50 60 70 10 20 30 40 50 60 70 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · 例題4 設 x, y 滿足聯立不等式 2x− y ≥ −2 3x + 2y ≤ 18 x ≥ 0 y ≥ 0 , 求 2x + y 的最大值與最小值?
Ans: (x, y) = (2, 6) 時, maxz = 2x + y = 14; (x, y) = (0, 0) 時, minz = 2x + y = 0 例題5 某化學工廠生產 A,B 兩種肥料, 每噸的利潤分別為 1080 元與 900元, 生產過程 中每噸所需的材料費與工本費如下表: 在控制材料費不超過93000 元且工本費不 材料費(元) 工本費 (元) A 肥料 2000 500 B 肥料 1500 600 超過30000元的情況下, 這工廠應生產多少噸 A 肥料與 B 肥料, 才能獲得最大利 潤? Ans: (A, B) = (24, 30) 有最大利潤 52920元 習題2-2 線性規劃 1. 已知兩點 A(1, 2), B(−2, 1) 及直線 L 的斜率為 m ,y 截距為3, 若A, B 兩點在 L 的異側, 則 m 最大的可能範圍為何? 2. 圖解聯立不等式 x− 6y ≥ 3 2x− y ≥ −2 x + y ≤ 5 3. 圖解聯立不等式x ≥ −2, y ≤ 5, x + 2y + 4 ≥ 0及3x + 2y − 6 ≤ 0 4. 作 3|x| + 2|y| ≤ 6之圖形, 並求其面積? 5. 如圖中陰影部份的區域是哪三個二元一次聯立不等式的解區域? x y F (−3, −2) (6,−2) (0, 4) 6. 設 A(−1, 5), B(2, 3) 在 x − 3y + k = 0 之反側, 求 k 的範圍? 7. 在條件 5x + 3y ≤ 30 x + 2y ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0 的限制下, 求 Z = 3x + y 的極大值與極小值? 8. 在條件 5x + 3y ≤ 30 x + 2y ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0 的限制下, 求 Z = 3x − y 的極大值與極小值? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · 9. 欲將室內面積共48 坪的空間, 分隔成兩大小型客房出租, 大客房每間12 坪, 可收 住宿費4000元; 小客房每間8坪, 可收住宿費2000元。 大客房裝修每間花費9000 元, 小客房裝修每間花費3000元, 在裝修總費用不超過27000元的情形下, 應隔出 大小客房各多少間, 方能獲得最多的租金? 10. 某一食品公司有兩家工廠, 第一廠有產品40 單位, 第二家有產品50 單位, 該公司 自甲、 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購30單位, 乙店申購40單位, 已知自第一、 二廠 運至甲、 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品 量運至甲、 乙兩商店? 最低運費為? 第一廠 第二廠 甲商店 10元 12元 乙商店 14元 15元 11. 一農民有田2甲, 根據經驗: 若種水稻, 則每甲田每期產量為8000公斤; 若種花生, 則每甲田每期產量為2000公斤 但水稻成本每甲每期需24000元, 而花生只要8000 元; 且水稻每公斤可賣6元, 花生每公斤可賣10元; 現在他手頭只有40000元資金, 試問此農民只種水稻及花生應種各若干甲, 才能使他獲得最大利潤? 12. 某家運算公司有載重4噸的小貨車7輛, 載重5噸的大貨車4輛及9名司機, 現在受 委託每天至少要運送30噸的鐵, 試問這家公司有幾種調度車輛的辦法? 13. 某公司有兩家倉庫, 第一倉庫有產品160件, 第二倉庫有產品200件, 該公司自甲、 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購120件, 乙店申購160件, 已知自第一、 二倉庫至甲、 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品量運至甲、 乙兩商店? 最低運費為? 第一倉庫 第二倉庫 甲商店 250元 300元 乙商店 350元 375元 14. 某廠以 A、B 兩種紙板來生產甲、 乙兩種產品。 A 規格每張可做甲產品3個和乙產 品5個,B 規格每張可做甲產品6個和乙產品3個, 現今要製作假產品45個, 乙產品 40個, 求兩種規格紙板各用多少張能達到需求且使用張數為最少? 15. 聯立不等式 2x + 6y ≤ 6 x + y ≥ 2 x ≥ 0 y ≥ 0 , 有多少格子點 (整數點)? 16. 製作 A、B 兩種手工香皂,A、B 的材料費分別為50、25 元, 工資分別為70、120 元; 每種香皂皆可獲利200元。 若在材料費不超過175元, 工資不超過420元的原則下, 應如何製作兩種香皂才會有最大利潤? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 2.3 圓與直線關係 圓定義: 動點 P (x, y) 到一固定點 O(h, k) , 距離為定值 r 。 q (x− h)2 + (y − k)2 = r , 圓心 O(h,k), 半徑為 r O P (x, y) 圓的標準式: C : (x− h)2 + (y− k)2 = r2 , 圓心 O(h,k), 半徑為 r 圓的一般式: (不共線三點恰可決定一圓) C : x2 + y2 + dx + ey + f = 0 ,(無 xy 項),r2 = 1 4(d 2 + e2 − 4f) 1. d2 + e2 − 4f > 0 , 為一圓, 且圓心為 (−d 2,− e 2) 的圓。 2. d2 + e2 − 4f = 0 , 為一點 (−d 2,− e 2)。 3. d2 + e2 − 4f < 0 , 圖形為 (虛圓) 空集合。 圓的直徑式: 以 P (x1, y1), Q(x2, y2) 為直徑兩端點的圓 C : (x− x1)(x− x2) + (y− y1)(y− y2) = 0 圓的參數式: 圓 C : (x − h)2 + (y− k)2 = r2 參數式為 n x = h + r cos θ y = k + r sin θ , 0 ≤ θ < 2π 圓簇: 若圓C1, C2, C3 有共交點, 則圓方程式 C3 : C1 + kC2 = 0, k ∈ R 圓 C 與點 P (x0, y0) 的關係: 1. P 點在圓外: OP > r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 > r2, 且當 ←→OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。 2. P 點在圓上: OP = r, 即(x0 − h)2+ (y0 − k)2 = r2 3. P 點在圓內: OP < r, 即(x0− h)2+ (y0− k)2 < r2, 且當 ←→OP 交圓於 A,B 兩點為與點 P 最近 |OP − r| 與最遠 OP + r 的距離。 O B A P O B P A 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 圓與直線 L 相交情形: (交點個數: 由代入消去法有幾組解決定)(或由圓心到直線的距離與半徑大小決定)。 1. 不相交 (相離): d(O, L) > r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ < 0 ) 2. 相交一點 (切線): d(O, L) = r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ = 0 ) 3. 相交兩點 (割線): d(O, L) < r (代入消去法成一元二次方程式, ∆ > 0 ) O O O
D(O,L)> r D(O,L)= r D(O,L)< r
L L L 圖 2-3: 圓與直線相交情形 圓上的點與直線 L 的最近最遠距離: 過圓心 O 與直線 L 垂直之直線交圓 C 於 A,B 兩點時, 分別為最近點與最遠點。 最近距離為d(O, L) − r, 利用內分點公式可求出其最近點坐標。 最遠距離為d(O, L) + r, 利用外分點公式可求出其最遠點坐標。 圓的切線方程式: 過切點 P 的切線恰一條 (可代入公式); 過圓外點 P 的切線有兩條 (設點斜式)。 1. 利用 d(O, L) = r 2. 解直線 L 與圓 C 的聯立方程組, 恰有一交點。(代入消去法, 可得一元二次方 程式恰一解; ∆ = 0 ) 過圓周上點 P (x0, y0) 的切線公式: x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0 + x 2 y ⇒ y0 + y 2 f ⇒ f 代換圓 C 方程式, 可得其切線方程式 L O P(x0, y0) 過圓外一點 P (x0, y0): x2 ⇒ x0x y2 ⇒ y0y x ⇒ x0 + x 2 y ⇒ y0 + y 2 f ⇒ f 代換圓 C 方程式, 可得其極線方程式 (過 P 點的兩切線之切點 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 的連線) O P(x0, y0) 極線 切線段長: 圓外一點 P (x0, y0), 切線段長 q OP2 − r2 = qx2 0+ y02 + dx0 + ey0 + f 圓羃定理: 若 P T 是切線段, 且過 P 點的割線交圓於 A,B 兩點, 則P T2 = P A· P B 過圓心的線 L, 若垂直弦AB必平分此弦 (−⇀L ·−⇀AB = 0) 精選範例 例題1 已知一圓弧的弦長為14公尺, 弦中點距圓弧垂直高為4公尺, 求此圓的半徑長? 公 尺 [Ans:33 8 ] 例題2 求以 O(2,−3) 為圓心, 且過點 P (5, 1) 的圓方程式。 並判別 Q(3, 4) 在圓內、 圓 外還是圓上。 [Ans:C : (x− 2)2 + (y + 3)2 = 25,Q 在圓外部] 例題3 求過三點 P (1, 1), Q(1,−1), R(−2, 1) 的圓方程式? [Ans:x2+y2+x−3 = 0] 例題4 點 P 為圓 C : x2 + y2 = 4 上的任一點, 求 P 到 A(6, 0) 的連線段 PA 中點 M 所形成圖形的方程式? [Ans:(x− 3)2 + y2 = 1] 例題5 若 P (a, b) 為圓 C : x2 + y2 − 4x − 2y + 4 = 0 上的點, 求 a2 + (b − 1)2 的最 大值? [Ans:9] 例題6 求圓 C : x2+y2 = 5 與直線 L : x−y+1 = 0 的相交點? [Ans:(1, 2), (−2, −1)] 例題7 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : x− y + k = 0 與圓 C : x2 + y2 = 2 的相交情 形? [Ans: ( −2 < k < 2 , 相交兩點 k = ±2 , 相交一點 k > 2, k < −2 , 不相交 ] 例題8 求過點 P (−1, 2) 且與圓 C : (x − 3)2+ (y − 2)2 = 8 相切的直線方程式? [Ans: x− y + 3 = 0, x + y − 1 = 0] 例題9 求通過圓 C : x2 + y2 = 5 上一點 P (1, 2) 的切線方程式? [Ans:x + 2y = 5] 例題10 過點 P (3,−1) 的直線且與圓 C : x2 + y2 = 5 相切, 求切點坐標? 並求其切線段 長 l ? [Ans:(2, 1), (1,−2); l = √5] 習題2-3 圓與直線關係 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 · 1. 求圓方程式 x2 + y2 − 3x + 5y − 14 = 0, 的圓心及半徑? 2. 求圓心在 (5,−2) 且過 (−1, 5) 的圓方程式? 3. 求過三點 (5, 3), (6, 2), (3,−1) 之圓方程式? 4. 已知平面上點A(0, 0), B(3, 1), C(−3, 3) 求三角形 ABC 的外接圓方程式? 5. 已知三角形由三直線 y = 0, 3x− 2y + 3 = 0, x + y = 4 所圍成, 則其外接圓之 直徑為? 6. 一圓方程式為 x2+ y2 − 8x + 4y − 5 = 0, 考慮此圓任意兩條互相垂直的切線的 交點, 所有這種交點所形成圓形的方程式為? 7. 設二元二次方程式 x2 + y2 + 2(m + 1)x− 2my + 3m2 − 2 = 0 的圖形為一圓, 求 (1) 實數 m 的範圍? (2) 此圓的最大面積? 8. 就 k 值, 討論方程式 x2 + y2 + 2x− 4y − 3 + 2k = 0 的圖形? 9. 求參數式中 n x = h + 2 cos θy = k + 2 sin θ , 0 ≤ θ ≤ 2π 3 所表示的弧長? 10. 求在圓 x2 + y2 − x − 6 = 0 的內部及圓上共有幾個格子點 (x、y 坐標均為整數 的點)? 11. 就直線 L : x− y + k = 0 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍? (a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割 (c) 直線 L 與圓 C 不相交 12. 就實數 k 的範圍, 討論直線 L : y = mx + 2 與圓 C : x2 + y2 = 1 相交情形? 13. 已知直線 L : kx− y − k − 1 = 0 , 圓 C : x2+ y2− 4x − 2y + 1 = 0 , 問 k 為 何值時, 使直線與圓交兩點, 相切, 不相交? 14. 求通過點 (1, 2) 且與 x 軸,y 軸均相切的圓方程式 (兩解)? 15. 求過點 P (4, 2) 且與 (x− 1)2 + (y + 2)2 = 25 相切的直線方程式? 16. 已知 x, y 均為實數, 且 x2 + y2 ≤ 2 , 試求 2x − y 的最大值 M 與最小值 m ? 17. 求過圓 x2 + y2 + 2x− 4y + 1 = 0 與直線 2x − y + 4 = 0 的交點, 且切於 y 軸 的圓方程式? 18. 求下列切線方程式: (1) 圓 x2 + y2 = 34 在點 (−3, 5) 處的切線 (2) 圓 x2 + y2 + 2x− y − 17 = 0 在 (3, −1) 處的切線 (3) 過點 (−4, 4) 且與圓 x2 + y2 − 6x − 6y − 7 = 0 相切 19. 圓 x2 + y2 = 9 與過點 (1, 2) 之直線相交於二點, 求其弦長之最大值與最小值? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math · 20. 求直線 L : 12x− 5y + 5 = 0 與圓 C : x2+ y2− 4x + 4y − 8 = 0 相交所截出 的弦線段長? 21. 兩圓 C1 : x2 + y2 + 3x + 4y + 1 = 0, C2 : x2 + y2 + x − 3y = 0 相交於 A,B 兩點, 則直線 ←→AB 的方程式為何?
第
3
章
平面向量
3.1 平面向量的運算 向量: 包含方向與大小兩種意義(有方向的量)。 由 A 點到 B 點的有向線段, 記為 −⇀AB, 其中 A 為起始點,B 為終點, 線段 AB 的 長度稱為有向線段 −AB 的長度, 以⇀ |−⇀AB| 表示。 零向量: 始點與終點重合的向量, 記為 −⇀0 , 其大小為0, 方向可視為任意方向。 始點A 終點B 向量 單位向量 − ⇀u |−⇀u | : 長度為1單位的向量。 (不同的向量雖然方向不同, 但長度為1單位)。 O −⇀a e −⇀a O −u⇀ e 向量坐標上表示法: 坐標平面上任意一個向量 −⇀v , 將始點平移至原點, 終點坐標為 (a, b) 時, 則 −⇀v = (a, b) 若平面上 A, B 兩點坐標為 (a1, a2), (b1, b2) 則由起點 A 到終點 B 的方向與大小, 記為 −AB = (b⇀ 1 − a1, b2 − a2)。 AB 長度 = −⇀ AB = q (b1 − a1)2 + (b2 − a2)2 向量的加減法: 可利用平行四邊形法或坐標法。 向量坐標的加減法: −⇀a ±−⇀b = (x1±x2, y1±y2) B C A D −⇀ AD=−⇀BC −⇀ AB=−⇀DC B C C′ A D D′ −⇀ AB+−⇀AD=−⇀AC −⇀ AB−−⇀AD=−−⇀AC′ =−⇀DB 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 平面向量的運算 · 1. −⇀AB +−⇀AD=−⇀AB +−⇀BC=−⇀AC 2. −⇀AB −−⇀AD=−⇀AB +−⇀DA=−⇀DA +−⇀AB = −⇀DB = −⇀AB +−−⇀AD′=−⇀AB +−−⇀BC′=−−⇀AC′ 向量的實係數積: α−⇀AB = −⇀AB +−⇀AB +· · · +−⇀AB 。 有 α 個 −⇀AB。 方向仍然與 −⇀AB 相同, 長度是 −⇀ AB 的 α 倍。 向量的係數積: k−⇀a = k(x1, y1) = (kx1, ky1) 1. 向量加法交換律:−⇀a +−⇀b = −⇀b + −⇀a 2. 向量加法結合律:(−⇀a +−⇀b ) + −⇀c = −⇀a + (−⇀b + −⇀c ) 3. r(−⇀a +−⇀b ) = r−⇀a + r−⇀b 4. (r + s)−⇀a = r−⇀a + s−⇀a 5. r(s−⇀a ) = (rs)−⇀a −⇀a −⇀a 2−⇀a −−⇀a −3− ⇀a 2 向量的線性組合: 若 −OA,⇀ −⇀OB 為平面上兩不平行的非零向量, 則平面上任一向量−⇀OP 必能唯一表示 成 −OP = x⇀ −⇀OA + y−⇀OB 其中 x, y 為實數, 稱為 −⇀OA,−⇀OB 的線性組合。 平面直角坐標點 P (a, b) = a(1, 0) + b(0, 1) 是由 (1, 0), (0, 1) 兩向量組成。 (平面上任一向量 −⇀OP = a−⇀ex + b−⇀ey 可表示成兩不平行向量的線性組合, 其係數 和未必為1。 若係數和為1, 表示 P, A, B 共線) O A B P −⇀ OP = x−⇀OA+ y−⇀OB 1. −⇀OA = −⇀OP +−⇀P A 2. −⇀OA = −⇀P A−−⇀P O 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 平面向量的運算 · O A P O A P 內分點公式: 若 P 是AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀OP = n −⇀ OA + m−⇀OB m + n = (na1 + mb1 m + n , na2 + mb2 m + n ) O A P B 向量解題應用: 1. 平行向量 (與係數積有關): 若 −⇀a //−⇀b , 則 −⇀a = t−⇀b 2. 若 −⇀OP =−⇀OA + t−⇀OB, t ∈ R 則 P點必位於過 A 點平行 OB 的直線上。 3. 單位向量: −⇀ea = −⇀a |−⇀a | = (cos θ, sin θ) = ( x p x2 + y2, y p x2 + y2) 4. A, B, C三點共線 (a) A, B, C三點共線 ⇔ −⇀AB = k−⇀AC , k ∈ R (b) A, B, C三點共線⇔ ∃α, β ∈ R, α + β = 1,使得 −⇀OC = α−⇀OA + β−⇀OB (c) A, B, C 坐標在同一直線方程式 y = ax + b 上 (d) 斜率 mAB = mAC (e) △ABC 面積為0 5. 內分點公式: 若 P 是AB的內分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀OP = n−⇀OA + m−⇀OB m + n 6. 外分點公式: 若 P 是AB的外分點, 且AP : BP = m : n, 則 −⇀OP = n−⇀OA− m−⇀OB n− m 7. 正 N 邊形的外接圓圓心 O, 則 O 到所有頂點向量和為 −⇀0 , (zn = 1 的根之 和為0) 精選範例 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 平面向量的運算 · 例題1 在圓 O 的內接正六邊形 ABCDEF 中, 令 −⇀AB = −⇀a ,−⇀BC = −⇀b ,−⇀AF = −⇀c 如圖所示: 問 −⇀AC =?,−⇀AD =?,−⇀AE =? [Ans: −⇀AC = −⇀a + −⇀b ,−⇀AD = 2(−⇀a + −⇀c ),−⇀AE = 2−⇀b − −⇀a ] D E F A B C O 例題2 兩向量 −⇀AB,−⇀CD 之間的夾角為 120◦ , 且長度分別為12,8 求 −⇀AB +−⇀CD 的長度 大小? [Ans: 4√7 ] 例題3 已知 −⇀a 和 −⇀b 是兩個不平行的向量, 且 s(2−⇀a +−⇀b ) + t(3−⇀a − 2−⇀b ) = 7−⇀a , 求實數 s, t 之值? Ans:s = 2, t = 1 例題4 如圖所示:D 在 △ABC 之 BC 邊上, 且 CD = 2BD, G 為 AC 之中點, 若將 −⇀ GD 向量寫為 −⇀GD = r−⇀AB + s−⇀AC , 其中 r 及 s 為實數, 則 r + s 之值等於? [Ans: 1 2 ]
A
B
D
C
G
B C D A M 例題5 上圖中 ABCD 為正四面體,M 為 CD 中點, 試問下列哪些敘述是正確的? (A) 直線 CD 與平面 ABM 垂直 (B) 向量 −⇀AB 與向量 −⇀CD垂直 (C) ∠AMB > ∠ADB (D) 平面 ACD 與平面 BCD 的二面角 (銳角) 大於 60◦ (E) AB = BM [Ans:ABCD] 例題6 平行四邊形 ABCD 中, −⇀AE = 3−⇀EC , F 為 BC 的中點, 設 −⇀AE = x−⇀AB + y−⇀AD ; −⇀EF = r−⇀AB + s−⇀AD , 求實數 x, y, r, s 的值? [Ans:(3 4, 3 4); ( −1 4 , −1 4 )] A B C D E F 例題7 利用斜坐標系統, 在 △ABC 中, AD : DB = 2 : 3, AE : EC = 3 : 5 設 BE 與 CD 相交於 P 點, 且 −⇀AP = x−⇀AB + y−⇀AC , 求 x, y 值? Ans:[x = 5 17, y = 9 34] 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 3.1 平面向量的運算 · B C A D E P 例題8 在坐標平面上 △ABC 中, P 為 BC 邊的中點, Q 在 AC 邊上, 且 AQ = 2QC , 已知 −⇀P A = (4, 3),−⇀P Q = (1, 5) 則 −⇀BC = ( , ) ? [Ans: (−1, 12)]
例題9 設 A(2, 1), B(−2, −1), C(4, 2) 為平面坐標上的三點, 求−⇀AB,−⇀BC =?且問 A、B、C 三點是否共線? [Ans:−⇀AB = (−4, −2),−⇀BC = (6, 3) ,yes] 例題10 坐標平面上, 點 P 是 A(6,−3), B(−4, 2) 兩點連線段上的點, 且 P A : P B = 2 : 3 , 求 P 點坐標? [Ans:P (2,−1)] 習題3-1 平面向量的運算 1. 設 −⇀AB = (3,−5), A(1, 3), 則 B 點坐標為? 2. 設 −⇀a = (2x− 1, 3),−⇀b = (1− 3x, −1) , 若 −⇀a //−⇀b , 則 x =? 3. 已知 ABCD 為平行四邊形, 且坐標為 A(2, 1), B(−3, 2), C(−1, 3) , 求 D 點坐 標? 4. 若 −⇀AB = (6, 1),−⇀BC = (a, b),−⇀CD = (−2, −3), 且 −⇀BC//−⇀DA , 則 a, b 之關係 式為? 5. 平面上三點 A(1, 3), B(4, 2), C(−1, 1) 求向量 −⇀AB 及−⇀BC ? 又若 ABCD 為一 平行四邊形, 求 D 點坐標? 6. 設 G 是 ∆ABC 的重心, 試證 −⇀AG = 1 3( −⇀ AB +−⇀AC) 7. 平面上兩向量 −⇀a ,−⇀b 滿足 |−⇀a | = 1, |−⇀b | = 2, |−⇀a +−⇀b | = √7, 則 −⇀a 與 −⇀b 之 夾角 θ =? 8. 直線 −⇀AB 上有一點 P, 滿足 AP : BP = 8 : 3 試以 −⇀OA,−⇀OB 表示 −⇀OP 9. 設 A,B,O 不共線,P 在 AB 線段上,P A : P B = 3 : 4, 且 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB , 則 x =?, y =? 10. 設 ABCDE 為正五邊形, 問以 A、B、C、D、E 為始點與終點所決定之相異向量 (含 零向量) 共有幾個? 11. −⇀u , −⇀v 為平面上兩非零向量, 若 |−⇀u + −⇀v | = |−⇀u − −⇀v | 則 −⇀u , −⇀v 的夾角為何? 12. 設 −⇀a = (1, 1),−⇀b = (7, 1) , 求平分 −⇀a 、−⇀b 夾角的單位向量? 13. 試證明: 三角形兩腰中點的連線段必平行底邊且其長度為 1 2 底邊。 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 平面向量的內積 ·
14. 試證明: 平面上 ABC 三點不共線, −⇀OC 必可表示為 s−⇀OA + t−⇀OB, s, t ∈ R 且這 種表示法為唯一。
15. 將 −⇀OP = (4, 3) 表示成 −⇀OA = (1, 2) 和 −⇀OB = (2,−1) 的線性組合?
16. 如下圖: 若 O 為平行四邊形 ABCD 對角線交點,E 在 AB 上, 且 AE = 2EB , 設 −⇀a = −⇀AB,−⇀b = −⇀BC 若 −⇀OE = x−⇀a + y−⇀b 表示之則數對 (x, y) =?
A
B
C
D
F
E
O
A B C P E D 17. 如上圖: 在 △ABC 中,AD : BD = 2 : 1, AE : EC = 3 : 2, BE 與 CD 交於 P 點, 若 −⇀AP = x−⇀AB + y−⇀AC 則數對 (x, y) =? 18. 設 A(1, 2), B(−3, 4), P 在射線 −⇀AB 上, 若 AP : P B = 7 : 5 , 求 P 點 坐標? 19. 連接兩點 A(1, 0), B(−1, −2) 的線段, 被一直線 L : x + 4y + 4 = 0 分成兩段, 試求此兩線段長之比? 及此 AB 與直線 L 的交點坐標? 20. △ABC 中, 設 AB = 6, BC = 2√13, AC = 8, O 為外心, 若 −⇀AO = x−⇀AB + y−⇀AC, 求 (x, y) =? 21. 設 −⇀OA = (2, 1),−⇀OB = (1, 2), 若 −⇀OP = x−⇀OA + y−⇀OB , 且 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, x, y 均為實數, 在平面上標示所有 P 點所形成的區域? 3.2 平面向量的內積 向量內積定義: −⇀a ·−⇀b = −⇀a −⇀ b cos θ = (x1, y1)· (x2, y2) = x1x2 + y1y2 其中 θ 為兩向量的夾角。 內積在物理上的意義為作功。 |−⇀U −−⇀V |2 = (−⇀U −−⇀V )· (−⇀U −−⇀V ) =|−⇀U |2 − 2−⇀U ·−⇀V +|−⇀V |2 即 −⇀U ·−⇀V = 1 2(| −⇀ U |2 +|−⇀V |2 − |−⇀U −−⇀V |2) 和餘弦定理有關 θ −⇀a −⇀ b 向量的內積基本性質: 1. 內積具有交換律: −⇀a ·−⇀b = −⇀b · −⇀a 2. 內積與係數乘法關係: (α−⇀a ) ·−⇀b = −⇀a · (α−⇀b ) = α(−⇀b · −⇀c ) 順伯的窩https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 平面向量的內積 · 3. 內積對加法的分配律:−⇀a · (−⇀b + −⇀c ) = −⇀a ·−⇀b + −⇀a · −⇀c 4. 自己內積值為其長度平方:−⇀a · −⇀a = |−⇀a |2 注意: 1. 向量內積未具有消去律: −⇀a ·−⇀b = −⇀a · −⇀c 未必 −⇀b = −⇀c (表示−⇀b , −⇀c 在 −⇀a 上有相同的投影長) 2. 向量零因子:−⇀a ·−⇀b = −⇀0 未必 −⇀a = 0 或 −⇀b = 0 (表示 −⇀a ⊥−⇀b ) 3. −⇀a ⊥−⇀b ⇔ −⇀a ·−⇀b = 0 兩向量垂直則內積值為0 4. −⇀a //−⇀b ⇔ −⇀a = t−⇀b 兩向量平行則與係數積有關 柯西不等式: |−⇀a ·−⇀b | ≤ |−⇀a ||−⇀b | (x1y1 + x2y2 +· · · + xnyn)2 ≤ (x21 + x22 +· · · + x2n)(y12 + y22 +· · · + yn2) 當 −⇀a = k−⇀b 時, 即 x1 y1 = x2 y2 = · · · = xn yn = k 時為等式 向量的正射影(投影): −⇀a 在 −⇀b 上的投影 = (−⇀a 在 −⇀b 的投影長) ×(−⇀b 的單位向量) −⇀a 在 −⇀b 的正射影= (−⇀a ·−⇀b |−⇀b | )× −⇀ b |−⇀b | = ( −⇀a ·−⇀b |−⇀b |2 )× −⇀ b , 為一向量。 −⇀a 在 −⇀b 的投影長= −⇀a ·−⇀b |−⇀b | , 為一正實數。 θ −⇀a −⇀ b −⇀c −⇀a 在 −⇀b 的正射影= (−⇀a ·−⇀b |−⇀b | )× −⇀ b |−⇀b| 若 −⇀a ·−⇀b = −⇀c ·−⇀b 表示 −⇀a 在 −⇀b 的正射影長與 −⇀c 在 −⇀b 的正射影長相等。 精選範例 例題1 已知 △ABC 是邊長為10的正三角形, 求−⇀AB·−⇀AC 與 −⇀AB·−⇀BC 的值? [Ans:50;-50] 例題2 如圖,ABCDEF 為一正六邊形。 那麼下列向量內積中何者最大?(A) −⇀AB·−⇀AB (B) −⇀ AB·−⇀AC (C)−⇀AB·−⇀AD (D)AB−⇀·−⇀AE (E)−⇀AB·−⇀AF Ans: B D E F A B C 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 平面向量的內積 · 例題3 將向量 −⇀v = (7, 4) 分解成與 −⇀a = (1, 2) 垂直及平行的兩分量和? Ans:−⇀v = (3, 6) + (4,−2) x y O −⇀v −⇀a −⇀ b 例題4 已知 |−⇀a | = 2, |−⇀b | = 3 且 −⇀a 與 −⇀b 的夾角為 60◦ 求 (−⇀a +−⇀b )· (−⇀a −−⇀b ) 之 值? 與 |3−⇀a − 2−⇀b | 之值? [Ans:-5,6] 例題5 設 ABCD 是一正四面體, 其每一面都是正三角形, 證明 −⇀AB 與 −⇀CD 互相垂直 例題6 已知平行四邊形兩鄰邊邊長分別為3,5有一對角線長為7, 求另一對角線長? [Ans: √19]
例題7 已知 ABCD 為平行四邊形, 試證: AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) Ans: 利用 向量 例題8 設 a, b, x, y 都是實數且 a2 + b2 = 4, x2+ y2 = 9 , 求 ax + by 的最大值與最小 值? [Ans:6,-6] 例題9 已知 −⇀a = (7, 4),−⇀b = (1, 2) , 求 −⇀a 在 −⇀b 上的正射影及正射影長? [Ans: (3, 6), 3√5] 例題10 求兩直線 L1 : 3x + y− 3 = 0, L2 : 2x− y + 1 = 0 的交角? [Ans:45◦, 135◦] 習題3-2 平面向量的內積 1. 設 A(2, 5), B(4, 3), C(4,−5), D(3, 2), E(6, 8), F (−12, 9) 求 (1)−⇀AB · −⇀CD = ? (2)−⇀CB·−⇀DF =? (3)(2−⇀AB + 3−⇀CE)·−⇀AF =? 2. 已知 −⇀a = (7, 1),−⇀b = (3, 4) , 求 −⇀a ·−⇀b 的值及 −⇀a ,−⇀b 的夾角? 3. 已知 |−⇀a | = 3, |−⇀b | = 4 , 且 −⇀a ,−⇀b 的夾角為 120◦ , 求 (−⇀a +−⇀b )· (−⇀a −−⇀b ) 的值及 |3−⇀a + 2−⇀b | 的值? 4. △ABC 中, A(1, 1), B(4, 5), C(8, 2) 試求 (1)−⇀AB·−⇀AC =? (2)內角∠A =? 5. △ABC 中, AB = 4, BC = 5, AC = 6 , 求 −⇀AB ·−⇀AC =? 6. 邊長為 a 的正方形 ABCD, 若 BC 邊中點 M, 則 −−⇀AM ·−⇀AC =? 7. 平行四邊形 ABCD, AB = 7, BC = 5, 則 −⇀DB ·−⇀AC =? 順伯的窩
https://sites.google.com/site/hysh4math 3.2 平面向量的內積 · 8. 設 ABCDE 是邊長為2的正五邊形, 問 −⇀AB·−⇀AD =? D E A B C 9. 設 ABCDEF 是邊長為2的正六邊形, 問 −⇀AB ·−⇀AD =? 10. 設 |−⇀a | = 2, |−⇀b | = 3, |−⇀c | = 5,且−⇀a +−⇀b + −⇀c = −⇀0 , 則 −⇀a ·−⇀b =? 11. △ABC 的垂心為 H, 且 AB = 4, BC = 6, CA = 5 求 −⇀AB·−⇀AH 與 −⇀AC·−⇀AH 之值? 12. 已知平行四邊形兩鄰邊邊長為3,5 其中一對角線長為 √19, 求另一對角線長? 13. 設 −⇀a = (√3,−1), |−⇀b | = 4, 且 −⇀a ,−⇀b 夾角為 60◦ , 求 −⇀b =? 14. 設 |−⇀x| = 3, |−⇀y | = 2, 且 |−⇀x + −⇀y | = √19 則 |−⇀x − −⇀y | =? 15. 已知 −⇀a = (1,−3),−⇀b = (2,−1) 且 (−⇀a + t−⇀b )⊥−⇀b , 求實數 t 的值? 16. 設 −⇀a = (2, 6),−⇀b = (1, 1), k ∈ R , 當 k =? −⇀a + k−⇀b 為最小?(幾何意義: (−⇀a + k−⇀b )⊥−⇀b 時, |−⇀a + k−⇀b | 為最小) 17. 設 −⇀AB = (2, 3),−⇀AC = (1, k), 求 k 值, 使 ∆ABC 為一直角三角形? 18. 設 |−⇀a | = 7,−⇀b = 8, −⇀a 與−⇀b 的夾角為 π 3, 求 |− ⇀a +−⇀b |, |−⇀a −−⇀b | =? 19. 設 A(−3, 1), B(2, 5), C(4, −6), 求 −⇀AB在−⇀AC 方向的投影長與正射影? 20. 已知向量 −⇀a = (4, 7),−⇀b = (2, 1) , 求 −⇀a 在 −⇀b 上的正射影長與正射影? 21. 將向量 −⇀v = (−5, 5) 分解成與 −⇀a = (−1, 2) 垂直及平行的兩分量和? 22. 已知向量 −⇀a = (18,−1),−⇀v1 = (4,−3), −⇀v2 = (3, 4), 若 −⇀e1, −⇀e2 分別為 −⇀v1, −⇀v2 的單位向量; 且 −⇀a = x−⇀e1 + y−⇀e2 求實數對 (x, y) =? 23. 設 a, b ∈ R, 且 2a + 3b = 13, 求 a2 + b2 之最小值, 並求此時 a, b 之值? 24. 設 x, y ∈ R, 且滿足 3x + y = 24, 求 9x2 + y2 之最小值, 並求此時 x,y 之值? 25. 已知圓 C : x2 + y2 = 25 與直線 L : 3x + 4y = k 有相交, 求實數 k 的範圍? 26. 就圓心到直線距離與半徑關係討論直線 L : x− y + k = 0 與圓 C : x2+ y2 = 1 相交情形, 求實數 k 的範圍? (a) 直線 L 與圓 C 相切 (b) 直線 L 與圓 C 相割 (c) 直線 L 與圓 C 不相交 順伯的窩