(a) n 2x + 3y = 5 3x− 2y = 5 (b) n 2x + 3y = 4 4x− 6y = 2 (c)
( 2x + 3y = 5 x
2 + y
3 = 5 (d)
( 2x + 3y = 6 y = −2x
3 + 2 2.2 線性規劃
二元一次不等式的解區域:
1. 若 y > ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的上方區域。
2. 若 y < ax + b 則不等式包含直線 L : y = ax + b 的下方區域。
3. 若 x > ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的右方區域。
4. 若 x < ay + b 則不等式包含直線 L : x = ay + b 的左方區域。
y≥ −x + 1
x y
L: x + y = 1
y <−x + 1
x y
L: x + y = 1
y <2x + 4
x y
L: 2x− y = −4
y≥ 2x + 4
x y
L: 2x− y = −4
線性規劃問題:
1. 決策變數: 影響問題的變數稱為決策變數。
2. 目標函數: 求問題的方程關係式稱為目標函數。 其值稱為目標函數值。
3. 限制條件: 決策變數受限的不等式組稱為限制條件。
型如: 求 Max(Min) Z = c1x1 + c2x2 +· · · + cnxn 之最大值 (或最小值) s.t.(受制於)
a11x1 + a12x2 +· · · + a1nxn ≥ b1 a21x1 + a22x2 +· · · + a2nxn ≥ b2
am1x1 + am2x2 +· · · + amn... xn ≥ bm
線性規劃問題的解法:
1. 可行解: 若數對 (a, b, c,· · · ) 滿足所有限制條件, 則稱此問題的一個可行解。
2. 可行解區域 F : 所有可行解的集合稱為可行解區域 F 。
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red: x+2 y£6, green: 2 x+y£8 blue: y-x£1, purple: y£2 objective function: 3 x+2 y=2
1 2 3 4 5 x
1 2 3 4 5 y
圖2-2: 線性規劃的可行解區域F
3. 最佳解 (optimal solution): 若 (x∗1, x∗2,· · · ) 滿足目標函數的最大值 (或最 小值), 則稱為線性規劃的最佳解, 其值 Z∗ 稱為最佳解值。
二元線性規劃問題的圖解平行線法: 欲求 max(min) Z = c1x + c2y , 利用一組平行 線 Lk : c1x + c2y = k 在解區域內平行移動, 找出 (x, y) 使 k 直為最大或最小值 的方法。
1. 畫出可行解區域 F (不等式組的圖形), 並標示出所有的頂點。 若 F = ∅ , 則 此問題無解。
2. 若 (c1, c2) = (0, 0) , 則 F 中任一點都是最佳解, 且最佳解值 Z∗ = 0 。 3. 若 (c1, c2) 6= (0, 0) , 則將目標函數 max(min) c1x + c2y = k 按其法向量
方向 (c1, c2) 或 (−c1,−c2) 平移。
4. 將上述平移過程中與可行解區域相交的點均為可行解; 取最後 (最先) 的相交 點, 即為最佳解。 代入目標函數即為最佳解值。(最佳解可能是無解、 單一解、
或無限多組解)。
s.t.
x + y ≤ 24 x + 2y ≤ 30 x ≥ 0 y ≥ 0
,Max Z = 3x + 4y
O x
y
F
L: x + 2y = 30 L: x + y = 24
Lobj: 3x + 4y = k
(18, 6)∗最佳解
O x
y
F
L: x + 2y = 30 L: x + y = 24
(24, 0) (0, 15)
(0, 0)
(18, 6)∗最佳解
二元線性規劃問題的頂點法: max(min) Z = c1x + c2y
一次聯立不等式所決定的可行解區域為一凸多邊形區域。 而目標函數的極值必發 順伯的窩
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例題4 設 x, y 滿足聯立不等式
2x− y ≥ −2 3x + 2y ≤ 18
x ≥ 0 y ≥ 0
, 求 2x + y 的最大值與最小值?
Ans: (x, y) = (2, 6) 時, maxz = 2x + y = 14; (x, y) = (0, 0) 時, minz = 2x + y = 0
例題5 某化學工廠生產 A,B 兩種肥料, 每噸的利潤分別為 1080 元與 900元, 生產過程 中每噸所需的材料費與工本費如下表: 在控制材料費不超過93000 元且工本費不
材料費(元) 工本費 (元)
A 肥料 2000 500
B 肥料 1500 600
超過30000元的情況下, 這工廠應生產多少噸 A 肥料與 B 肥料, 才能獲得最大利 潤? Ans: (A, B) = (24, 30) 有最大利潤 52920元
習題2-2 線性規劃
1. 已知兩點 A(1, 2), B(−2, 1) 及直線 L 的斜率為 m ,y 截距為3, 若A, B 兩點在 L 的異側, 則 m 最大的可能範圍為何?
2. 圖解聯立不等式
x− 6y ≥ 3 2x− y ≥ −2
x + y ≤ 5
3. 圖解聯立不等式x ≥ −2, y ≤ 5, x + 2y + 4 ≥ 0及3x + 2y − 6 ≤ 0 4. 作 3|x| + 2|y| ≤ 6之圖形, 並求其面積?
5. 如圖中陰影部份的區域是哪三個二元一次聯立不等式的解區域?
x y
F
(−3, −2)
(6,−2) (0, 4)
6. 設 A(−1, 5), B(2, 3) 在 x − 3y + k = 0 之反側, 求 k 的範圍?
7. 在條件
5x + 3y ≤ 30 x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0 的限制下, 求 Z = 3x + y 的極大值與極小值?
8. 在條件
5x + 3y ≤ 30 x + 2y ≤ 10
x ≥ 0, y ≥ 0 的限制下, 求 Z = 3x − y 的極大值與極小值?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.2 線性規劃 · 9. 欲將室內面積共48 坪的空間, 分隔成兩大小型客房出租, 大客房每間12 坪, 可收
住宿費4000元; 小客房每間8坪, 可收住宿費2000元。 大客房裝修每間花費9000 元, 小客房裝修每間花費3000元, 在裝修總費用不超過27000元的情形下, 應隔出 大小客房各多少間, 方能獲得最多的租金?
10. 某一食品公司有兩家工廠, 第一廠有產品40 單位, 第二家有產品50 單位, 該公司 自甲、 乙兩商店接獲訂單, 甲店申購30單位, 乙店申購40單位, 已知自第一、 二廠 運至甲、 乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品 量運至甲、 乙兩商店? 最低運費為?
第一廠 第二廠 甲商店 10元 12元 乙商店 14元 15元
11. 一農民有田2甲, 根據經驗: 若種水稻, 則每甲田每期產量為8000公斤; 若種花生, 則每甲田每期產量為2000公斤 但水稻成本每甲每期需24000元, 而花生只要8000 元; 且水稻每公斤可賣6元, 花生每公斤可賣10元; 現在他手頭只有40000元資金, 試問此農民只種水稻及花生應種各若干甲, 才能使他獲得最大利潤?
12. 某家運算公司有載重4噸的小貨車7輛, 載重5噸的大貨車4輛及9名司機, 現在受 委託每天至少要運送30噸的鐵, 試問這家公司有幾種調度車輛的辦法?
13. 某公司有兩家倉庫, 第一倉庫有產品160件, 第二倉庫有產品200件, 該公司自甲、
乙兩商店接獲訂單, 甲店申購120件, 乙店申購160件, 已知自第一、 二倉庫至甲、
乙兩商店, 每單位運費如下, 是否有最佳方法 (運費最低) 分配兩廠產品量運至甲、
乙兩商店? 最低運費為?
第一倉庫 第二倉庫 甲商店 250元 300元 乙商店 350元 375元
14. 某廠以 A、B 兩種紙板來生產甲、 乙兩種產品。 A 規格每張可做甲產品3個和乙產 品5個,B 規格每張可做甲產品6個和乙產品3個, 現今要製作假產品45個, 乙產品 40個, 求兩種規格紙板各用多少張能達到需求且使用張數為最少?
15. 聯立不等式
2x + 6y ≤ 6 x + y ≥ 2 x ≥ 0 y ≥ 0
, 有多少格子點 (整數點)?
16. 製作 A、B 兩種手工香皂,A、B 的材料費分別為50、25 元, 工資分別為70、120 元;
每種香皂皆可獲利200元。 若在材料費不超過175元, 工資不超過420元的原則下, 應如何製作兩種香皂才會有最大利潤?
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https://sites.google.com/site/hysh4math 2.3 圓與直線關係 ·