上端開放之容器的漏水實驗

本章主要內容，乃以前章所敘之實驗器具，在圓筒上方不予塞住的情形，即 保持筒內和筒外的氣體完全暢通，氣體壓力完全相同的狀況下，筒內的水因重力 的牽引，自底部不同大小（即直徑）之小孔流出時，筒內的水位的時變情形。由 於實驗所用的流體為水，其壓縮性及黏滯性均不大，故可以視為理想流體，加上 在實驗進行時水的流動並不甚快，同一截面不同位置的水流速可視為相等，故本 章及第四章在進行有關理論上的探討時，均設定以理想流體進行穩定均勻的流動 作為探討的基礎。但實際上水的流動，除了會受到本身的黏滯作用影響外，更會 因為流線（Streamline）的不同，而造成與理論有些許差異的的結果。本章起始 先敘述在此種條件狀況下，水進行流動時相關的理論模型，並簡要說明實驗的流 程，之後就實驗進行後所得到的結果，進行扼要的分析及解釋。

第 3-1 節 無能量損耗之流體一維流動的機制

本節主要討論在圓筒上方的開口沒有加以封閉，使其完全開放，讓內外氣體 自由流通，內外氣體壓力相等的情形下，水自底部的小孔流出的時候，作用在流 體上的物理原理及機制。

主要描述的概念，是根據流體動力學中主要的兩個基本方程式。一為「連續 方程式」，是描述一個不可壓縮流體的特性，如圖3-1 所示；流進 A 截面的流量，

會等於流出B 截面的流量，此為質量守恆的一個特例。[2][3][13]

第二個方程式為「白努利方程式」，或稱作「白努利定律」，描述流體在管徑 圖3-1：不可壓縮之連續方程式示意圖

A 截面

B 截面

2 2 1

2

v r v

R π

π =

圖3-2：水自上端開放的圓筒容器底部小孔流出

不均勻的管中，流體在不同位置的密度、流速、壓力與水平高度之間的關係，其 方程式中所顯現的，乃為單位質量流體之力學能［參見式(3-3)］，故可視為是力 學能守恆的一個特例。

在實驗時所用之圓筒側面圖，如圖 3-2 所示。在實驗開之前（時刻 t≦0），

在內部半徑為

R，高度（自小孔頂端起算）為 H

0的圓筒中，內含的水位高度為

H

1( t≦0 ) = H⁽⁰⁾ 1 ，在圓筒內部的空氣柱，其壓力為

P

1，柱長為

y ( t≦0 ) = H

0－H⁽⁰⁾ 1

= y⁽⁰⁾，當打開底部小孔使水漏出時（時刻

t≧0）其水位高度 H

1變化的時變率（即 筒內液面變化的速度）為

v

1，其中：

而在底部的小孔洞附近，設此時小孔的半徑

r，在附近的空氣壓力為 P

2，水自小 孔流出圓筒外的流速為

v

2。因此時小孔附近的空間與外界為一相連空間，故壓力 應和外界的大氣壓力

P

0相同，即

P

2 = P0。如果我們假設自小孔流出的水柱，在 小孔附近其截面與小孔截面相等，則依據不可壓縮流體的連續方程式，我們可以 得到：

dt

v₁= dH¹ （3-1）

v

1

H

1

y

H

0

v

2

P

0

P

2 = P0

P

1

2R

2r

ρ

1

ρ

2

2 1

我們設定實驗在時刻

t = 0 時開始，開始時的水位高度為 H

⁽⁰⁾ 1 作為積分時的初始條

則我們可以從式(3-12)得到：

式(3-14)即表示當不假設有阻力的情形下，液體因受到重力的作用而自容器底部 的洞口流出時，其液體在洞口的流速，這個速率剛好等於液體從離地

H

⁽⁰⁾ 1 的地方 自由落下，在著地前的速率。此一描述人稱為托里切利定律（Torricelli's Law），

可視作白努利定律中的特例。[2][3][10]

(0) 1 (0)

2 2gH

v

= (3-14)

第 3-2 節 考慮能量損失的流體理論

在此我們從小孔的觀點來看流量的問題。假設實際上從小孔中流出的水，流 速為|v2exp|；自前一節之中的理論，把式(3-10)代入式(3-2)即可得到理論上的|v2|：

那麼|v2exp|與|v2|之間的比值，稱為速度係數（velocity coefficient）Cv：[2][3][10]

而實際的流量乃為在孔口之實際流速與在孔口水的噴流面積之乘積。而在小孔孔 口之噴流面積

A

2exp，與孔口的面積

A

2 = πr²，（如圖3-3 所示）之間的比值，稱為 收縮係數（coefficient of constraction）Cc：[2][3][10]

故我們可得知實際的流量

Q

exp為：

而我們也可以從

v

1exp的量測，得到實際的流量

Q

exp：

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 0.30

0.32 0.34 0.36 0.38 0.40

H

1

(m)

t (s)

第 3-3 節 漏水實驗之進行及結果

此一部份的實驗方式，乃一開始筒內的水位高，即為

H

⁽⁰⁾ 1，均為相同的高度，

實驗的設定是讓

H

⁽⁰⁾ 1 = 35 公分，然後改變不同的小孔半徑 r，經由 H1的量測，來 觀察在此一情形之下水的流動情形，包括

H

1、v1 隨時間的變化，進而得到流量 隨時間的變化，以及在流動過程之中因摩擦等因素而造成的能量損失。

因本實驗測量水位高度的變化，乃利用水在漏出後質量的變化轉換為水位 高度。而在圓筒器內的形狀大小相同的情形下，容器內水質量的變化量與水位高 度的變化量成正比之關係；因與圓筒加水所形成的系統質量變化造成的力矩變化 成正比，而經由槓桿原理，作用在荷重元上的力變化量也成正比，而荷重元的輸 出電壓與作用其上之力為線性變化，故得知筒內水位高度與荷重元輸出之電壓訊 號之間，存在一線性的關係。因此我們可由量得的荷重元信號的變化，經由一線 性轉換，即可得到我們欲量測之水位高度

H

1。

在進行實驗之記錄時，因我們採用量測重量的方式，若有些許的振動或是 碰觸，均會影響其得到的數據。而實驗進行之時，我們先打開程式，讓其先行讀 取輸出電壓，再讓底部小孔打開，讓水流出以進行實驗，而打開小孔的方式，是 把實驗開始前塞於其上的栓塞拉出，在此一瞬間荷重元感應到的，除圓筒與鐵架 之重量外，還有在拉拔栓塞時所施予的拉力，因此無論得到之電路輸出電壓也 好，所轉換得到之水位高

H

1也好，均會在實驗開始之時有一小段數值突升及振 盪之處，如下方圖3-4 示意圖所示：

圖3-4：實際實驗結果示意圖。實際實驗時會因為拉開栓塞而使 數值瞬間上升以及振盪，但很快便會消失

圖3-4 中，虛線為實驗時的理想量測結果，反應整個系統質量的變化，不因拉拔 栓塞而有突升的變化；實線則為實際量測的結果，可清楚看見實際結果上，於實 驗開始之時，因有往下拉拔栓塞的動作，而使荷重元在該瞬間感應到一突然施加 的力，使得數值突升。而實驗的實際數據結果則如圖3-5 所示，圖中由右而左（於 接近

H

1 = 0 之處判別），分別為直徑2r = 9.00mm、10.00mm、11.00mm、…、19.00mm 時的實驗結果，於該圖中可清楚看出實驗開始前系統質（重）量尚未改變時的

H

1值（最左端的一小段水平）、開始瞬間因拉栓塞而突升的數值、實驗的過程、

及筒內水漏完，實驗已結束，筒內幾已無水時的數值這些階段。吾人可藉此為時 間零點調整之參考，設定讓實驗正式開始之時為

t = 0 之依據。

在完成時間零點的校正，以及實驗結束後量取到的數據，即圖3-5 中每組數 據中下方水平的數據點後，剩下的即為在實驗的過程之中，水自圓筒底部小孔流 出時，筒內水位的時變情形，如圖3-6 所示，由右而左，分別為直徑 2r = 9.00mm、

10.00mm、11.00mm、…、19.00mm 時的實驗結果，於該圖中可以看見，於圖 3-5 之中本來有些數據線交疊的情形，在圖3-6 中均看不到。此一數據的結果，便是 作為之後分析時主要的來源。

圖3-5：尚未進行時間零點校正的實驗結果，圖中數據下方的數 字為實驗時所使用的小孔直徑2r（單位為 mm）。可清 楚看出實驗開始前、開始的瞬間、及實驗已結束這些階 段，然因未進行時間零點修正，而會有數據圖相交疊之 情形，若進行時間零點修正後則無此現象。

因於3-1、3-2 節的理論探討，我們認為其 H1與時間

t 的關係應為一個完全

平方的關係，故在實驗結果的分析上，用於套適（fitting）之函數，以經過配方 後的二次多項式（如式(3-27)所示）較合適。

該式若與式(3-9)相比較的話，則可發現兩者之間的對應關係：自變數 x 對應時間

t；應變數 y 對應水位高 H

1；而A 對應 H⁽⁰⁾ 1 ；B 則對應

2

a

，C 則為在進行時間零

點校正時所產生出的誤差項，若是好的校正，C 值應為一接近於 0 之常數。圖 3-7 為 2r = 9.00mm、H⁽⁰⁾ 1 = 35cm 之實驗量測數據與套適結果，黑色點為實驗的 量測結果，紅色實線為經由 Levenberg–Marquardt algorithm 以式(3-27)進行套適 後的結果，可以發現套適得之曲線與實驗量得之結果幾乎重疊，其相關係數 R² 為0.99992。而所有上端開放的實驗，其以式(3-27)進行套適後的係數與其相關係 數列表於表3-1 中。

(

^A−B⋅

)

^2+C

=

x

y

(3-27)

圖3-6：已進行時間零點校正的實驗結果。此為只留下實驗過程 中的數據，為實驗後分析的主要依據。數據下方的數字 為實驗時所使用的小孔直徑2r（單位為 mm）。

若是把套適後得到的B 值，因其與式(3-9)中的 2

a 對應，利用本章第一節中

2r (mm) A

(m)

B

(m/s)

C

(m/s²)

R²

9.00 0.3491±0.0001 0.00548±0.00000 -0.00181±0.00012 0.99992 10.00 0.3500±0.0000 0.00673±0.00000 -0.00502±0.00009 0.99980 11.00 0.3500±0.0000 0.00826±0.00000 -0.00480±0.00008 0.99987 12.00 0.3500±0.0000 0.00971±0.00001 -0.00348±0.00009 0.99987 13.00 0.3500±0.0000 0.01115±0.00001 -0.00599±0.00015 0.99965 14.00 0.3500±0.0004 0.01326±0.00003 -0.00592±0.00050 0.99943 15.00 0.3500±0.0004 0.01532±0.00003 -0.00195±0.00050 0.99944 16.00 0.3466±0.0004 0.01734±0.00003 -0.00358±0.00041 0.99966 17.00 0.3458±0.0004 0.01983±0.00003 -0.00428±0.00041 0.99979 18.00 0.3500±0.0003 0.02213±0.00030 -0.00780±0.00036 0.99981 19.00 0.3500±0.0004 0.02465±0.00006 -0.01357±0.00055 0.99974

圖3-7：上端開口的實驗量測之套適結果，此為小孔直徑 2r=9.00mm 時實驗套適結果。黑色點表示實驗的數據，紅色實線為由式 (3-27)之函數套適得的函數曲線，其係數值與和原實驗值之 相關係數於表3-1 中表示。

表 3-1：上端開口的實驗量測之套適結果係數與相關係數 表，所套適的函數為式(3-27)，R²為套適得的結果與 原數據之間的相關係數。

的式(3-5)中 a 的定義，代入小孔的半徑與圓筒內半徑，計算

若把式(3-5)代入式(3-28)，則可得到：

由式(3-26)中可看出，流量係數 Cd為實驗時，於水位高為

H

1時量得的筒內水位 下降速率 |v1exp|，與該水位高度時由式(3-8)計算出的理論筒內水位下降速率 |v1| 之間的比值。若是將

C

d對

H

1作圖，如圖3-10 所示：

會發現

C

d值於

H

1 > 0.10 m 時，雖會隨水位高度 H1變小而逐漸變大（實驗過程 中

H

1會逐漸變小，而

C

d會逐漸變大），但其變化程度與

H

1 < 0.10 m 相比下較小，

而當

H

1 < 0.10 m 時，會發現隨著 H1越往0 接近，Cd上升的速率會越快，甚至會 超過1（Cd大於1，乃實際流速快於理論值）。其可能之因素為流線的作用所致，

大致上如圖3-11 所示。

圖3-10：H1與

C

d的關係圖。在圖中可以清楚看出當

H

1漸漸接近0 之時，Cd快速上升的程度。

圖3-11：不同水位高度其水的流線場比較圖。

重力的作用雖然會作用在筒內任何一個部分的水分子上，但是若置於一底部有小 孔讓水流出的容器內時，可以接近自由落體下降的水則只有位於孔口附近的水，

其他位置的水則會因為於旁邊或是下方的水之影響或阻撓，只好作較小範圍的運 動。而當水流出筒外時，其空出的空間會由其他位置的水取代，而形成水的流線，

其他位置的水則會因為於旁邊或是下方的水之影響或阻撓，只好作較小範圍的運 動。而當水流出筒外時，其空出的空間會由其他位置的水取代，而形成水的流線，

在文檔中 容器內流體在重力場的流動 (頁 34-50)