容器內流體在重力場的流動

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(1)國立台灣師範大學物理系研究所碩士論文. 容器內流體在重力場的流動. 指導老師：賈至達博士(Prof. Chih Ta Chia). 研究生：林峻瑋中華民國九十七年六月.

(2) 摘要本文乃用自己設計製作的壓克力圓筒容器、角鋼支架，並使用坊間可購得的荷重元、壓力量測器，加上配合其作用的儀器放大電路，配合自行設計的訊號接收器，設計一個關於流體的實驗。筒內的水在一開始裝水不同高度、上端開口不同的封閉條件下(開放、封閉)，於底部不同大小的小孔中流出，筒內的水面高度、氣體壓力變化的情形。我們利用圓筒內的水流出時，其重量會線性變化的特點，使用荷重元及角架，藉由壓在荷重元上的力的變化，我們換算得到所對應的水位高度。當圓筒上方的開口開放的時候，於相同的起始水位高度，換不同直徑的底部小孔，進行實驗的結果，發現其水位隨時間的變化呈二次曲線，且藉由套適，我們得到實際的水流量與理論值的比較。當圓筒上方的開口封閉的時候，於不同的起始水位、不同的底部小孔，在一開始筒內氣壓與外面相同時，進行漏水實驗，測量筒內的氣體壓力值與筒內水位。發現其漏水漏完的時間，比上端開放時要久，且實驗結果有的會產生氣泡並漏水漏到完，有的則漏到一定量時便停止。我們於是計算在第一個氣泡產生前筒內的氣體壓力，且計算得的結果與實驗量測的結果相近；而若產生氣泡，則得到其筒內氣體壓力隨時間變化，為上下振盪中呈一開口向上、幾近直線之曲線慢慢上升，直到回到與外界同壓；而水位則呈開口向下、幾近直線的曲線。並藉由分別的套適結果，計算筒內氣體分子莫耳數的時變與隨筒內空氣柱柱長的關係，發現其變化情形與筒內空氣柱長有較大的關係，與小孔大小和起始水位關係不大。. 1.

(3) Abstract The flow of water through the hole at the bottom of a container was investigated. The containers can be open or closed system. The pressure of an open container always equals to atmospheric pressure, while the pressure of a closed container is associated with the water level and the bubbles through the hole. Pressure and force sensors were used to detect the gas pressure and the water level in the container as functions of time and the size of the hole. A self-designed analog-to-digital converter ( ADC. ) was used to convert the analog signals of measured by the sensors to digitals, then the digital signals were recorded by the computer through an USB connector. The first is the experiment that the hole on the top of the container is open. The recorded data of the open container find that the water level decreases with time and it shows a quadratic relation. The decrease of water level is similar to an acceleration motion, and can be approximately explained by the Bernoulli equation, though we found the slightly energy loss caused by the water flow. The water level drops quickly for a large hole, but it can be explained by the modified Bernoulli equation with an energy loss correction term. For the closed container, the pressure lowers to the minimum within few seconds before the bubble shows up. The pressure are affected by the bubbles that exploded at the top, however, the pressure is gradually increasing to atmospheric pressure when the water level drops.. 2.

(4) 目錄摘要................................................................................................................................1 目錄................................................................................................................................3 第一章序言 ...............................................................................................................7 第 1-1 節動機與背景 ..........................................................................................8 第 1-2 節目的與方法 ........................................................................................11 第二章漏水實驗用的容器及量測工具 .................................................................13 第 2-1 節實驗用的圓柱筒容器與角架 ............................................................13 2-1-1 壓克力圓筒.......................................................................................13 2-1-2 角鋼架...............................................................................................16 2-1-3 上方圓筒的氣體調節裝置...............................................................18 2-2 量測器 ..........................................................................................................19 2-2-1 重量感應量測器...............................................................................19 2-2-2 壓力量測器.......................................................................................22 2-2-3 儀器放大電路...................................................................................24 第 2-3 節訊號接收器及界面控制軟體 ..........................................................25 2-3-1 硬體方面－訊號接收器...................................................................25 2-3-2 介面控制軟體...................................................................................28 第三章上端開放之容器的漏水實驗 .....................................................................33 第 3-1 節無能量損耗之流體一維流動的機制 ................................................33 第 3-2 節考慮能量損失的流體理論 ................................................................38 第 3-3 節漏水實驗之進行及結果 ....................................................................41 第四章上端封閉之容器的漏水實驗 .....................................................................49 第 4-1 節流體流動的機制與筒內氣壓的變化 ................................................49 第 4-2 節實驗之進行及結果 ............................................................................56 4-2-1 第一個氣泡產生前筒內氣體壓力...................................................56 4-2-2 是否生成氣泡...................................................................................61 4-2-3 筒內氣體壓力與水位的時變與筒內氣體莫耳數...........................63 第五章結論與展望 .................................................................................................72 第 5-1 節研究結論 ............................................................................................72 第 5-2 節未來展望 ............................................................................................74 5-2-1 實驗方面...........................................................................................74 5-2-2 裝置方面...........................................................................................74 參考..............................................................................................................................76 附錄..............................................................................................................................78 [附錄 1]：荷重元 UKA20 規格表： .................................................................78 [附錄 2]：壓力量測器 26PC0100G6A 規格表： .............................................79 3.

(5) [附錄 3]：儀器放大電路：................................................................................80 [附錄 4]第一代 ADC 電路圖： .........................................................................81 [附錄 5]第二代 ADC 電路圖： .........................................................................83 [附錄 6]第二代 ADC 控制介面軟體晶片程式碼附註解： .............................84 [附錄 7] 上端封閉的漏水實驗，實驗結果套適表..........................................94. 圖片目錄圖 1-1：不同的容器上端開口的式…..........................................................................7 圖 2-1：上方部分的圓筒設計圖................................................................................14 圖 2-2：組合後的壓克力圓筒照片圖........................................................................14 圖 2-3：作為可置換底部小孔鋁片設計.....................................................................15 圖 2-4：作為可置換底部小孔鋁片............................................................................15 圖 2-5：鋁片推至底時，其上的小孔剛好在圓筒底部中心。................................15 圖 2-6：角鋼................................................................................................................16 圖 2-7：角鋼架的設計形式........................................................................................16 圖 2-8：承載圓筒的角鋼架 A....................................................................................17 圖 2-9：承載荷重元的角鋼架 B.................................................................................17 圖 2-10：上方圓筒的氣體調節裝置..........................................................................18 圖 2-11：應變計的構造.......................................................... ....................................19 圖 2-12：應變計與惠斯同電橋..................................................................................19 圖 2-13：荷重元 UKA20.............................................................................................20 圖 2-14：荷重元 UKA20 輸出電壓與受力大小之間關係的量測實驗裝置圖........21 圖 2-15：荷重元 UKA20 輸出電壓與受力大小之間關係圖....................................21 圖 2-16：壓力量測器 26PC010060G6A 及其外觀尺寸規格....................................22 圖 2-17：壓力量測器 26PC010060G6A 輸出電壓與所受壓力之間的關係實驗裝置圖.................................................................................................................23 圖 2-18：壓力量測器 26PC010060G6A 輸出電壓經線性放大後與所受壓力之間的關係圖.........................................................................................................23 圖 2-19：荷重元、壓力量測器的電源電路、及其輸出信號放大電路.................24 圖 2-20：第一代訊號接收器電路順序圖.................................................................26 圖 2-21：第一代訊號接收器.....................................................................................26 圖 2-22：第二版晶片電路順序圖.............................................................................26 圖 2-23：第二代訊號接收器.....................................................................................27 圖 2-24：第三代訊號接收器.....................................................................................27 圖 2-25：讀取 Comport 輸出軟體介面（第一代訊號接收器）............................28 圖 2-26：讀取 Comport 輸出軟體介面（第二代）.................................................29 圖 2-27：第一代訊號接收器控制原理圖.................................................................30 4.

(6) 圖 2-28：第二代訊號接收器控制原理圖..................................................................30 圖 2-29：版權宣告.......................................................................................................31 圖 2-30：控制程式面版...............................................................................................32 圖 2-31：安裝軟體介面圖...........................................................................................32 圖 3-1：不可壓縮之連續方程式示意圖.....................................................................34 圖 3-2：水自上端開放的圓筒容器底部小孔流出.....................................................34 圖 3-3：噴流面積 A2exp 與孔口面積 A2.......................................................................39 圖 3-4：實際實驗結果示意圖.....................................................................................41 圖 3-5：尚未進行時間零點校正的實驗結果.............................................................42 圖 3-6：已進行時間零點校正的實驗結果................................................................43 圖 3-7：上端開口的實驗量測之套適結果................................................................44 圖 3-8：理論的. a 值與實驗值（表 3-1 中的 B 值）對小孔直徑圖.........................45 2. 圖 3-9：H1 與 q 的關係圖............................................................................................46 圖 3-10：H1 與 Cd 的關係圖........................................................................................47 圖 3-11：不同水位高度其水的流線場比較圖...........................................................47 圖 4-1：水自上端封閉的圓筒容器底部小孔流出.....................................................50 (0) 圖 4-2：依式(4-8)所繪的 P(s) 的圖.....................................................................52 1 對 y 圖 4-3：水自底部小孔流出，直到位在小孔處上下壓力大致均等，即在水位高 H(s) 1 之後，便停止不再流動.................................................................................53 圖 4-4：水自上端封閉圓筒底部流出的過程示意圖.................................................53 圖 4-5：上端封閉時的，於 H(0) 1 = 35cm、2r = 11.00mm 之起始條件下接收器打開後 45 秒內量得筒內氣壓變化.......................................................................57 圖 4-6：上端封閉時的，於 H(0) 1 = 35cm、2r = 11.00mm 及時 2r = 19.00mm 時量取 (s) P(0) 1 、P1 。.......................................................................................................58 圖 4-7：經過時間零點修正後，相同小孔（2r = 12.00mm），不同起始水位 H(0) 1 在時間 t = 0 ~ 2 秒時的實驗結果壓力數據圖.................................................61 圖 4-8：在時間點修正前（左圖）與經過時間零點修正後（右圖）的實驗結果數據圖................................................................................................................61 圖 4-9：小孔幾達壓力平衡時，於小孔液面附近的力的分析圖.............................62 圖 4-10：于小孔直徑 2r = 12.00mm 之下，不同起始水位高度時所進行的上端封閉漏水實驗，所量得的筒內水位 H1 與筒內氣體壓力 P1 的時變圖.........64 圖 4-11：于小孔直徑 2r = 12.00mm，H(0) 1 = 30cm 之下，所進行的上端封閉漏水實驗中，筒內氣體壓力 P1 的時變圖（左）與在時刻 t = 98.0 秒~ 100.0 秒時的局部放大圖................................................................................................65 圖 4-12：于起始水位高 H(0) 1 = 35cm 之下，不同小孔直徑時所進行的上端封閉漏水實驗，所量得的筒內水位 H1 與筒內氣體壓力 P1 的時變圖.....................66 圖 4-13：左圖為實驗開始後前 16 秒左右量得的壓力時變圖.................................66 5.

(7) 圖 4-14：利用式(4-14)、式(4-15)，於圖中兩虛線中間的實驗數據進行套適的結果....................................................................................................................67 圖 4-15：由套適得的函數式所計算的筒內氣體莫耳數（n）的時變圖................68 圖 4-16：筒內氣體莫耳數（n）對應筒內空氣柱長（y）的變化圖.......................69 圖 4-17：筒內氣體莫耳數對 y 的導數. dn 對應筒內空氣柱長 y 的變化圖.............70 dy. 圖 5-1：上端開放、封閉的兩種不同類型實驗，筒內水位高 H1 時變的比較.......72. 6.

(8) 第一章. 序言. 水作為流體，自人類文明發跡之始，即為主要的研究對象。幾千年來人類智慧的累積，已經得到許多的理論知識及其相關的應用，但是仍有許多未解之現象，等著人們研究。然而在研究的過程之中，礙於研究的方法與設備，許多的現象雖然眼睛看得到，卻難以量化。近年來拜電腦軟硬體裝置的快速進展，尤以 USB 介面控制裝置為最，再加上許多感應量測器的研發，藉著這些電腦軟硬體及感應量測器為工具，使得目前在進行實驗的量測上，可取得過去不易測量得到的數據資料，以利於更進一步的分析及其現象的探究。這一篇論文（以下簡稱本文）的研究，即為描述利用重量量測器，配合相關的電腦軟硬體，觀測在不同密閉方式之容器中的水，自底部的小孔流出容器時，所產生的行為現象，藉由水的流量量測，來說明不同密閉方式時水的流動，並依據適當的理論與模型來進行解析與比較。人們對於實驗的測量，會因軟硬體科技的進步，而有多元的發展。而電腦與實驗量測的結合，會逐漸改變實驗進行方式，及更進一步的分析與討論。這樣的模式將會成為一種趨勢，根據這樣一個實驗進行的方式，再加以設計不同的實驗，配合數據分析處理軟體，則可以進行不同層次實驗的研究。本文即依此構想，下分五章：第一章為本文序言，就本文研究的背景、目的，及實驗的量測方式、步驟，做一個概略的說明；第二章為實驗所用的器材制作與說明；第三、四章分別針對不同的容器上端開口的密閉與否兩種方式，如圖 1-1 所示，作理論的推論與實驗結果的分析比較；第五章則對本實驗設計的模式和結果作一扼要的結論。. 圖 1-1：不同的容器上端開口的方式。左圖為上端開放的實驗方式，會在第三章作論述；右圖為上端用橡皮塞封住的實驗方式，於第四章進行論述。. 7.

(9) 第 1-1 節動機與背景在日常生活之中，我們很容易會發現到這樣的現象：當我們欲將一瓶保特瓶內的液體倒出來時，如果直接把瓶身反轉後，再打開瓶蓋讓裡面的液體流出瓶外，則會看到瓶內的水在漏出的同時，也會有氣泡不停地自瓶外進內瓶內，形成氣泡；但若把瓶身反轉後，先把保特瓶的底部剪開，再打開瓶蓋，那麼會看到液體會很快地就流完了，且在過程中沒有氣泡產生。另一方面，我們如果不反轉保特瓶，但是我們在保特瓶的底部用針開一個小洞讓裡面的液體從那個小孔洞流出，則我們會發現：當瓶蓋旋緊沒有打開的時候，如果底部的孔洞開得太小，那麼裡面的液體就可能只流出一點點後，就不再流出來，如果孔洞開得夠大或是裡面液體量夠少，液體才會從那小孔漏出，同時氣泡也會從該小孔產生；然而若將瓶蓋打開，那麼底部的小孔即使很小，液體也會從該處流出來，而且也不再有會氣泡冒出。由以上所言可歸納出，一容器內的液體從底部的小孔流出瓶外的情形，除了與讓液體流出的孔洞大小有關之外，尚與起始時容器內的氣體空間是否封閉有關。本文即以這樣的一個現象為出發點，設計一個圓柱形的實驗用容器，以及實驗量測的感應裝置，配合相關的軟硬體設備，探討一個開放容器及密閉容器中的液體，自底部的小孔流出時，容器內液體流動的情形和液面高度的變化。欲解釋如此現象所用之理論，當屬流體力學為優先考量，故在此先來看流體力學的開始和發展。流體研究的起源甚早，目的是為了解決人類生存及發展的水力問題，例如防洪、供水、灌溉、水力利用、航行…等。當時人類對於流體的知識即簡陋又不完全，但已經會挖運河、製作水車、泵浦，建立供水渠道系統、並在城市內建下水道。根據歷史記載，古埃及人已經會修築水庫儲存泛濫的尼羅河水，又懂得挖掘水渠引水灌溉，還發明了抽取河水灌溉用的汲水器。而在東方的中國，據司馬遷的史記所載，早於堯舜時期，便有鯀、禹兩父子治水的傳說；而戰國時期的都江堰，更造就了四川的天府之國[1]。而當城市的人口漸增，大規模的供水系統也建立起來，古羅馬時代羅馬城的引水道系統，號稱當時最大的引水工程。但在這個時期的人們對流體的認知，除了阿基米德（Archimedes，希臘文：Αρχιµήδηζ，前 287 年—前 212 年）所發現的浮力原理外，其他的對於現在的流體力學而言，可謂太過微不足道。而西羅馬帝國滅亡（476 年）後到東羅馬帝國（拜占廷帝國） 8.

(10) 滅亡（1453 年）的這近千年的時間，流體力學的研究處於停頓的階段，直到文藝復興初期，達文西（Leonardo di ser Piero da Vinci，1452 年－1519 年）在米蘭附近設計建造一個箱型運河水閘，才把水利工程帶入一個新紀元；達文西亦對鳥類的飛行進行研究，也自行設計螺旋直升機。但在達文西的時代，關於流體的研究，與其說是科學，不如說是藝術。[2][3] 從文藝復興之後，流體的研究及知識開始快速累積，許多著名科學家投入流體的研究，如伽利略（Galileo Galilei，1564 年－1642 年）、托里切利（Evangelista Torricelli，1608 年－1647 年）、帕斯卡（Blaise Pascal，1623 年－1662 年）、牛頓（Sir Isaac Newton，1643 年－1727 年）、白努利（Daniel Bernoulli，1700 年－1782 年）、歐拉（Leonhard Euler，1707 年－1783 年）、達朗白（Jean le Rond d'Alembert， 1717 年－1783 年）等。這些人所提出的理論雖然與實驗的結果大致相符，但是和實際流體的行為還是有所差距。為此達朗白指出：「當一個物體在一個不可壓縮、無黏滯性的流體中，作等速度運動時，不受到任何阻力的作用。」此一描述即為著名的達朗白謬誤（d'Alembert paradox）。這個在當時是流體力學理論的一個瓶頸，但現在已經得到解決。[2][3] 因理論與實際的差別，流體力學分為兩派：一派為研究流體行為的理論，成為理論的流體動力學（hydrodynamics）；一派為研究流體的真實流動情形，例如：孔口（orifices）、管流、渠流、堰流…等，成為應用的水力學（hydraulics）。許多科學家如歐拉、達朗白、納維（Claude-Louis Navier，1785 年－1836 年）、斯托克斯（Sir George Gabriel Stokes， 1819 年－1903 年）…等人在流體理論上有許多貢獻；而就實驗上，博答（Jean-Charles, chevalier de Borda，1733 年－1799 年）、庫倫（Charles Augustin de Coulomb，1736 年－1806 年）…等人，都是早先投入水力學實驗研究的先驅。[2][3] 而當今因為工業需求以及理論模型的突破，成為了現代流體力學的開端。直到現今，對於流體人們已經有足夠的知識，去面對許多的現實問題，但是即使是現在，物理的研究重心已經轉向量子力學或是更高深的粒子理論，但是在古典物理上，人類仍然存在著許多現象尚未有一個較有系統的理論。就流體而言，要討論一個開放容器內的水自底部小孔流出的時候，可由托里切利定律或是由白努利定律，來加以說明水的流動情形；然而當討論一個封閉容器內的水自底部小孔流出的時候，則水的流動情形因為加上了其他的要素而變得很複雜，但我們仍然可 9.

(11) 以嘗試建立一個模型，來歸納、說明、並解釋實驗所產生的現象。而在實驗的測量方式之中，我們可使用 USB（Universal Serial Bus，通用串列匯流排）介面的硬體，它允許當外部的硬體設備與電腦連接時，不必重新配置系統，也不必打開機殼來調整界面卡的指撥開關。當連接上電腦時，電腦會自動識別這些周邊硬體設備，並且會自動選擇適當的驅動程式，不需要使用者再另外重新設定控制介面。因為 USB 介面硬體與電腦的相容性很高，易於安裝且可熱拔插（Hot Attach & Detach）的特性[4]，以及今日微處理晶片的發展，吾等可以很方便地找到適當的晶片，組合成自行所需要的控制電路，便能產生強大的功能。因此藉由今天電腦 USB 連結的軟硬體發展，讓電腦的偵測控制變得很方便，也更容易去設計自然科學的實驗。在本文中，我們會使用自己設計的圓柱水筒為容器，以及實驗量測的感應裝置，配合 USB 介面及相關軟體與電腦的連結，來進行一個開放容器及密閉容器中的液體，自底部的小孔流出時，容器內液面高度的變化，並作其流量的分析、歸納、討論。. 10.

(12) 第 1-2 節目的與方法一般而言，研究進行的方法，包含理論的推導與實驗的量測這兩個部份。本論文的研究，主要採用實驗進行的方式，並由已知的基本理論與實驗結果，建立模型來分析與解釋。雖然容器內液面高度隨時間的變化，用碼錶和肉眼觀察即可為之，但若是當流動的速度過快，或是流動不是穩定變化的時候，由人直接觀測的方式，受限於人的反應時間以及肉眼觀測判斷上的誤差，難以記錄下很短時距內的變化。使用攝影方式，每秒可以有 30 個影像，由這些影像來測量液面的方式，可彌補反應時間上的問題，但是如果液面不穩定，有上下起伏的時候，單用肉眼觀測或是輔以攝影機，在液面高度的判定上，客觀性會降低，為此須要採用其他的量測方式，即可自動且快速地得到液面高度變化的數據，又不失其客觀性。為此我們可以使用運動量測器，利用聲納原理，來進行水面到運動量測器之間的距離量測，再轉換成水位的高度，配合電腦軟硬體，即可解決此一問題，不過目前的運動量測器有最短距離的限制，加上從水面到量測器之間必須淨空，若是要進行把容器上端封閉，測量水位的時變情形時，則有力不從心之處，則必得另尋他法來量測水位的變化情形。而近年來應變計（strain gage；strainometer； extensometer）的發展頗為成熟，而且已經有許多應用性的產品問世。應變計利用的原理，是當金屬因受到外力作用產生彈性形變時，其電阻值會改變，藉此電阻值的變化可以推算所受力的大小，這個原理已經被應用在許多有關於力的量測上，諸如力感應器、重量量測器、電子秤…等。若我們把容器本身及其內所含的水（液體）視為一系統，當水經由位於底部的小孔洞流出容器外的時候，因為容器內的液體減少，會使系統質量減少。因此吾人可以利用質量量測的這一方向，在實驗進行的同時，利用荷重元（即為重量感應器）感應系統的質量的變化，記錄其輸出電壓的時變，再轉換成當時液面高度時變，進而分析當時流量的變化情形。而當吾人把容器上方封閉時，因開始時內部的氣體是與外界隔離的，故當液體自底部之小孔漏出時，因液面下降而使氣體存在之空間變大，勢必造成其氣壓降升之變化，而此一變化，亦會影響液體流動的表現，故必要對實驗之容器內外的氣壓進行量測。而在這一方面，因感應氣壓的變化而輸出其對應的電壓之電子元件儀器，即壓力量測器，也有相當程度之發展，因此我們可以加以利用，在 11.

(13) 測量液面高度變化同時，也記錄此時壓力量測器所輸出之電壓，再轉換為氣壓之值，即可得知其內部壓力的時變。本文中的實驗所需的儀器裝置，除了荷重元及壓力量測器製作的難度較高，採用現成的產品外，其餘均為元件加工組裝制作而成，例如實驗用的圓筒容器、支撐用的支架、訊號接收器、控制軟體，及其他周邊器材。科學之含意，在於對現象進行觀察或研究，並得到有組織體系的知識。藉由科學的方法，來研究我們日常很容易看得到的水流現象，不啻為一個合適的科學學習歷程；而在過程之中，學習如何自己設計制作器材的程序、方法、及技術，也可為日後其他器材的制作有所助益。許多的實驗研究，都會受限於測量的儀器，進而影響能夠選取的研究題材，若能自己設計實驗裝置並改良實驗測量分析方法，那麼無論在理論或實驗上，研究者均可在設計實驗的過程中，針對這些限制加以考量克服，並找出適當的量測方式，與精確地處理分析數據，如此可促進對科學學習的興趣、提升物理知識概念的建構，滿足研究的求知欲望，此乃本文中實驗設計的基本訴求。. 12.

(14) 第二章. 漏水實驗用的容器及量測工具. 本章承前章所言，就本文中所相關的實驗器材的設計及製作，作一扼要說明。本章分為三部份：第一部份為容器，為實驗現象的產生之處，介紹實驗所用的圓柱形圓筒，以及附屬角架的設計與製作；第二部份為測量的工具，介紹在實驗的量測時所用的重量量測器、壓力量測器、及附備的儀器放大電路設計及製作；最後為信號與電腦的連結，介紹以 USB 介面控制裝置連結電腦的解析信號（ analog signal ）與數位信號（digital signal）間的轉換器（analog-to-digital converter）的設計與製成，以及相關的應用軟體的撰寫。. 第 2-1 節實驗用的圓柱筒容器與角架為討論容器內的水在上端的開口開放與密閉的狀況下，從小孔流出筒外的情形，我們要設計一個作為實驗用的容器設備。該容器必須要能達到不漏水、不漏氣，而且上方還要設計一個開口，使可以改變其密封狀態；同時底部也要設計一個可以變換小孔的方式，好讓我們可因實驗需求變換底部小孔的大小（直徑）。同時容器本身的材質的硬度也必須要足夠，方不致於因為水的重量或是筒內氣體壓力的改變而變形，而影響實驗觀察到的結果。經由以上的需求，我們採用透明的壓克力作為圓筒及變換用小圓孔的主要材料，同時為了實驗的目的，也設計了其他附屬之角鋼架，和可以改變圓筒上方開口密封狀態、及能進行壓力量測之開關裝置。. 2-1-1 壓克力圓筒圓筒的結構可分為上方、下方二個部份。上方部份如圖 2-1 中的(a)圖所示，為上下均有孔之圓柱筒形容器，筒身主體為一個長 50 公分、內直徑為 14.4 公分、壁厚 3 公釐的壓克力圓管，管上端以直徑 15 公分、厚 3 公釐、中間有直徑 27 公釐圓洞的圓餅封貼；管下端以直徑 18 公分，厚 1 公分，中間有直徑 35 公釐圓洞的厚圓餅封黏，中間圓洞旁邊，於圓筒外側有挖內直徑 38 公釐，寬 3 公釐、深 1.5 公釐的溝槽，以置 O 型環用。厚圓餅之周圍距邊 4 公釐處有 4 個等圓心角、直徑 6.3 公釐的小孔，與下方的部份可以 M6 之螺絲連結固定。下方部份主體為 13.

(15) 一個厚 1 公分、直徑 18 公分的圓餅，如圖 2-1 中的(b)圖所示。圓餅中心有一個直徑 35 公釐之圓洞，與上方圓筒相接側挖有寬 52 公釐、深 3 公釐之長條形滑動溝槽，以置可變換有小圓孔之鋁片，在滑動溝槽內有內直徑 38 公釐，寬 3 公釐、深 1.5 公釐的溝槽，以置 O 型環用，周圍距邊 4 公釐處有 4 個等圓心角、直徑 6.3 公釐的小孔，與上方的部份可以 M6 之螺絲連結固定。其組合後的圖如圖 2-2 所示。. (b). (a) 圖 2-1：上方部分的圓筒設計圖(a)與下方部分的圓餅設計圖(b)。其中之數字單位為公釐。. 圖 2-2：組合後的壓克力圓筒照片圖 14.

(16) 變換底部小孔用的鋁片，乃使用一長 24 公分、宽 5 公分、厚 0.3 公分之鋁片，加工製成如圖 2-3 般的裝置，於一端距邊 2 公分處折一直角，並於距折角線 9 公分、兩側 2.5 公分處為圓心，挖一半徑為 r（直徑即為 2r）的小孔，小孔直徑由 9mm、10mm、11mm、…、19mm 不等，如圖 2-4 所示。折此一直角除便於推拉外，若沿圖 2-1、圖 2-2 中圓筒底部兩壓克力圓餅間的溝槽把鋁片推到底，如圖 2-5 所示，則其上之小孔會剛好位於圓筒底部的中心。；. 圖 2-3：作為可置換底部小孔鋁片設計。圖中表示長度的數字單位為 mm。. 圖 2-4：作為可置換底部小孔鋁片，孔直徑由右而左分別為 9mm、 10mm、11mm、…、19mm。. 圖 2-5：鋁片推至底時，其上的小孔剛好在圓筒底部中心。 15.

(17) 2-1-2 角鋼架本實驗量得筒內水位高的方式，乃使用重量量測器，測量圓筒及內含水的質量，利用其質量的變化，對應其水位之高。為能使用重量量測器（其結構於下一節說明），需設計支架以供量測器及圓筒放置和實驗之用。乃選用於五金行可購得之角鋼（如圖 2-5），裁剪成所需之長度，再用專用之螺絲螺帽固定。. 圖 2-6：角鋼本實驗用重量量測器量測重量之方式，可分為上吊、下壓兩種方式，而此二種方式的不同，會影響角鋼架的組裝，如圖 2-7 所示。. 0. 圖 2-7：角鋼架的設計形式。圖中的 S 型裝置為重量量測器。左圖為下壓的實驗方式，右圖為上吊式。上吊的方式可以讓全部的重量變化由重量量測器取，而且除了筒身的重量外，不會量到其他物體的質量（空氣無視），但是因為圓筒本身除了上端連結量測器外不能再有任何接觸，且在實驗過程之中容易因為產生筒身的搖晃，而使得重量量測器會出現不必要的振盪信號。而利用下壓的方式，則必須設計一個類似槓桿的 16.

(18) 支架，讓圓筒本身連其支架的一部份重量，均加在重量量測器上，而實驗過程中的重量變化，也因槓桿的作用，得到的信號變化量比上吊的方式小，但此一方式可以把圓筒固定在支架上，過程之中也可以避免許多不必要的振盪信號產生，對往後的分析工作較有利。在經過考量後，決定使用下壓的方式，即為圖 2-7 中的左圖，來做為重量量測器量取質量變化，進而換得水位時變的方法。而角鋼架的設計組裝可以主要分為二個部分：一為承接圓筒的角鋼架 A，其設計及各項長度如圖 2-8 所示，主要作用是讓圓筒放置其上，即圖 2-8 中的虛線圓位置，並讓最左邊之橫梁壓於荷重元上，使其感應壓於其上之重量變化，進而得到筒內水量的多寡，即筒內水位的高低變化。另一為承接荷重元的角鋼架 B，採用正三角形設計，各項長度如圖 2-9 所示，其中一邊用來讓荷重元固定於其上。. 圖 2-8：承載圓筒的角鋼架 A，圖中標示長度的數字單位為 mm。實驗時圓筒即置於圖中左邊虛線圓的位置，而最左邊長 205mm 的橫梁則壓在荷重元上。. 圖 2-9：承載荷重元的角鋼架 B，圖中標示長度的數字單位為 mm。實驗時把荷重元鎖牢固定於三角形的其中一邊，再讓承載了圓筒的角鋼架 A 壓在荷重元上。 17.

(19) 2-1-3 上方圓筒的氣體調節裝置本實驗在進行水位高度（重量變化）的量測的同時，同時得進行另一物理量之量測，即為壓力之量測。因本實驗的實驗起始條件，在於開始時筒內外氣體均為等壓之情形，故在上方圓筒設計一個氣體調節閥，此閥作用可以讓實驗開始之前讓筒內外的氣體相通，使氣壓等值；而當實驗有要把上方圓筒的氣體空間與外界分開的需求時，又可以封住通道使不相通。為此我們利用了一個三通管、一個二通閥、及一個橡皮塞，連接上壓力量測器，制作如圖 2-10 之中的調節裝置。其中左上方的即為二通閥，當開通時筒內外及壓力量測器三者氣體相通，當關閉時則筒內的氣體只連通到量測器，與外界空間隔離，於是可以量測內部氣體壓力的變化。. 圖 2-10：上方圓筒的氣體調節裝置。圖中三通管右上端的黑色物體即為壓力量測器，黑色虛線圓部份即為二通閥，用於調整實驗開始前筒內氣體壓力達到與外界同壓。. 18.

(20) 2-2 量測器本實驗主要量測之物理量，乃在不同時間，圓筒容器內部的水位與氣體的壓力，而量測水位上，則採用量測圓筒容器與水的重量變化，因為在水流出筒外時，筒內水的重量會隨著水的量而變化，故可因此來對應水位的高低。本節乃就實驗時用於測量之感應工具，進行扼要說明。. 2-2-1 重量感應量測器重量感應量測器，又稱為荷重元，是利用應變計的原理，加以制作的一個可感應受力大小之電路元件。應變計的構造，其形狀大致上如圖 2-11 所示，乃一彎曲之金屬置於一絕緣體上。. 圖 2-11：應變計的構造。不同需求的應變計其構造不盡相同，但基本結構則大同小異。當作用力施予其上時會產生該絕緣體及金屬的形變，而金屬一旦發生形變，其電阻值便會改變，而此所造成之電阻變化量很小，因此在應用上，是將應變計置於如圖 2-12 所示之惠斯同電橋之電路中，於 A、C 兩端輸入固定之電壓，而量測 B、 D 之間電壓值。由此因應變計其電阻之變化，而使得 B、D 之間的電壓不同，可藉由此一電壓的不同，對應至施予在應變計上不同大小的受力值。. 圖 2-12：應變計與惠斯同電橋。應變計於惠斯同電橋上的電路設計有許多種，此為其中一種設計。. 19.

(21) 本實驗之中所用到的重量量測器，為駿利科技所生產之荷重元，型號為 UKA20，最大承受之張（壓）力為 20 公斤重。外觀上如圖 2-13 所示，為 S 型，應變計則包含其中，結構上有數個圓孔，上下端則有 M6 之螺牙，可用於固定在其他的裝置上，其電路規格於[附錄 1]。. 圖 2-13：荷重元 UKA20。右為新台幣 10 元硬幣我們依據其設定之輸入電壓，設計一個可提供±5V 之直流電供應電路，供予荷重元 UKA20 使用。首先驗證其受力與輸出電壓之間的關係，我們讓其固定掛在架上，一端鎖上螺條，在螺條底部加掛已知重量的砝碼，如圖 2-14 所示。並用三用電表讀取其輸出電壓的大小。改變不同的砝碼重量，並繪所掛重量與輸出電壓之間的關係圖，結果如圖 2-15 所示，我們可以發現其輸出電壓與所受的力大小呈線性的關係。我們假設水的密度為 ρ，圓筒內半徑為 R，圓筒空筒時質量為 m(0)，則當筒 (2) 內的水位高從 H(1) 1 降至 H1 ，則此時系統質量的變化為：. m (0 ) + ρπ R 2 (H 1(1)－Ｈ1(2) ). 若此時鋼架壓於荷重元上的力變化從 F1 變為 F2，則此時荷重元施予在角鋼架上的反作用力也會由 F1 變為 F2，相對於角鋼架置於地上的那一點而言，若此力的施力臂為 L1，則此力作用於角鋼架上的力矩變化量大小為：. (F1 −F2 )⋅L1 而假設圓筒因筒內相對於角鋼架置於地上的那一點而言，其施力臂為 L2，則因水量變化而造成的力矩變化量大小為：. [. (. gL2 m (0 ) + ρπ R 2 H 1(1)－Ｈ 1(2). )]. 因整個系統沒有進行轉動，故此二力矩大小變化隨時都相等，整理可得：. F1 − F2 =. [. (. gL2 (0 ) m + ρπ R 2 H 1(1)－Ｈ 1(2) L1 20. )].

(22) 可得. F1 =. [. ]. [. ]. gL2 (0 ) m + ρπ R 2 H 1(1) L1. gL2 (0 ) m + ρπ R 2 Ｈ 1(2) L1 由此可知壓於荷重元上的力大小，可對應到一個筒內的水位高度。故我們可 F2 =. 以藉由其前後數值的變化，得到水位高低的變化。. 圖 2-14：荷重元 UKA20 輸出電壓與受力大小之間關係的量測實驗裝置圖。右為左圖圓圈處的放大圖。. 10.0 y = 0.7969x 2 R = 0.9994. V out (mV). 8.0 6.0 4.0 2.0 0.0 0.0. 2.0. 4.0 6.0 8.0 F (kgw). 10.0. 圖 2-15：荷重元 UKA20 輸出電壓與受力大小之間關係圖。圖中藍色圓點為實驗量到的結果，紅色實線為進行線性套適後的結果，其方程式列於圖中. 21.

(23) 2-2-2 壓力量測器壓力測量的方式有很多種，在此僅就我們實驗時所使用的壓力量測器加以說明。本實驗所使用的壓力量測器，乃德國 Sensortechnics 公司所出產的一種壓力量測器的產品，型號為 26PC0100G6A，為一個可量測標準大氣壓附近，壓力變化 100mb 的壓力量測器，如圖 2-16 所示，電路規格見[附錄 2]。. 圖 2-16：壓力量測器 26PC010060G6A 及其外觀尺寸規格，圖中數字單位為 mm。本實驗所用的壓力量測器，作用原理也與應變規相關，利用壓力改變時，所造成兩邊壓力不同，使得應變規形變，改變電阻，從而改變其輸出的電壓大小。我們設計一 16V 的直流電源供應其作用，而首先如同荷重元般，我們也要找出輸出電壓與所受壓力之間的關係。我們使用一個 U 型管裝置，如圖 2-17，裡面裝水，U 型管左端與外界大氣相通，右端則上三通管，三通管另兩端其一接壓力量測器量取壓力，另一端接上二通閥後再接注射筒，以改變右端氣體的壓力，先讀取當時大氣的壓力值 P0，再量取當時的 h1、h2 的值，藉由 h1 – h2 的值，我們便能得知壓力量測器此時所受壓力為 P = P0 + ρg(h1－h 2 )，此時再由三用電表讀取並記錄出此時壓力量測器的輸出電壓，即可得知其輸出電壓與所受壓力之間的關係，因為此壓力量測器原本輸出電壓太小，故我們先將其輸出透過線性放大電路放大後再進行電壓的量取，結果如圖 2-18 所示，得知壓力量測器的輸出電壓與其所受壓力呈線性變化。. 22.

(24) 注射筒. 壓力量測器. h1 h2. 圖 2-17：壓力量測器 26PC010060G6A 輸出電壓與所受壓力之間的關係實驗裝置圖。. 101 100. P (kPa). 99 98 97 96 95. Y =98.34043+8.52919 X. 94 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 Vout (V) 圖 2-18：壓力量測器 26PC010060G6A 輸出電壓經線性放大後與所受壓力之間的關係圖。圖中藍色圓點為實驗量到的結果，紅色實線為進行線性套適後的結果，其方程式列於圖中。. 23.

(25) 2-2-3 儀器放大電路我們使用的兩種測量裝置，荷重元與壓力量測器，均須透過儀器放大電路，才能讓其正常運作使用。儀表放大器(instrumentation amplifier)，其最主要的放大增益被稱做為差動增益(differential gain)，可用來放大一些較微小的訊號源，除了高增益外，由於差動放大器架構的因素，所形成的輸入阻抗相當高，因此當用做為後級放大的時候，基於阻抗匹配的條件，會使得輸入訊號源較不容易被衰減，因此可以處理較微弱訊號的放大。我們把供應壓力量測器、荷重元的電源電路、及把其量測的輸出電壓放大電路，製作在同一電路板上，如圖 2-19 所示，電路圖則於[附錄 2-3]中表示。圖 2-19 中，A 部份為電源電路，包含驅動荷重元、壓力量測器、及放大電路中用到的所有 IC；B 部份則接荷重元，包含驅動電壓、接地、輸出；C、F 均為儀器放大電路，D 為荷重元信號放大後的輸出，以接到信號接收器。E 接壓力量測器，包含驅動電壓、接地、輸出；G 為荷重元信號放大後的輸出，以接到信號接收器。. D. E. G. F C A B 圖 2-19：荷重元、壓力量測器的電源電路、及其輸出信號放大電路。. 24.

(26) 第 2-3 節訊號接收器及界面控制軟體因實驗研究上的需求，需要一個接收類比訊號的訊號接收裝置，且由於必須要求能接收到的訊號輸入到電腦上，所以必須把類比訊號轉換成數位訊號，再由電腦接收數位訊號進行記錄，故在製作上可以分成兩方面，一是屬於硬體上的製作，即製作可將類比訊號轉成數位訊號；另一個則為軟體上的撰寫，讓我們可以從電腦上得到實驗量測到的訊號並儲存。本節乃針對此二方面加以說明。. 2-3-1 硬體方面－訊號接收器在硬體方面，我們需要做的接收器，其作用為把量測器的輸出經放大的電壓訊號轉換成電腦可接受的數位訊號，即一般的類比轉數位訊號接收裝置。目前電腦周邊裝置與電腦的連結介面，以 USB 連結介面為大宗，因此我們採用以 USB 為連結介面的類比轉數位訊號轉換器 ADC （Analog Digital Converter，簡稱 ADC）來當作我們擷取訊號的裝置。[7] 由於工業自動化產品的趨勢，從傳統的電磁開關、繼電器進步到工業電子、數位邏輯電路再發展出 CPU (中央處理器 Central Processing Unit )，更進一步單晶片微控制。現在單晶片微控制器已經成為主流，主要是它已將所有的週邊 IC 電路，例如 RAM、ROM、A/D 等，全部融於一個晶片內，並且有電路運作高穩定性、低維修、低成本、不占空間、耗電量少等優點，且彼此間競爭力強，加上硬體電路均已簡化，而且目前軟體程式燒錄已變得簡易，使得目前單晶片成為主流。一般而言，製作一個類比轉數位訊號接收器，需要由不同功能的單晶片來組合，例如：運算晶片、ADC 晶片、Comport 轉 USB 介面晶片等，以達到實驗測量上的需要。在此我們主要採用以 8051 單晶片為主要運算晶片，在配合其它功能的晶片來組合，完成我們的 USB 介面的 ADC 訊號接收器。第一代開發的訊號接收器，乃利用 Intel 公司生產的 8051 微電腦處理單晶片，並配合晶片 ADC0804LCN（用於類比訊號轉數位訊號）與晶片 PL-2303HX （將 Comport 輸出轉成 USB 介面輸出），加上一些電阻、電容與電感的組合而成，其訊號處理流程如圖 2-20，實際電路照片如圖 2-21 所示，電路圖則置於[附錄 4] 中。. 25.

(27) 晶片. 晶片. 晶片. ADC0804. 8051. PL-2303HX. 圖 2-20：第一代訊號接收器電路順序圖. 5 2 4 1. 3. 圖 2-21：第一代訊號接收器，各部說明如下 1. USB 訊號輸出介面。 2. PL-2303HX 晶片。 3.訊號輸入端。 4. ADC0804 晶片。 5. 8051 晶片。第二代開發的訊號接收器，其主要不同點是將第一代中的 8051 單晶片，以另一晶片 MSC1212 取代[8]。晶片 MSC1212 是 8051 單晶片與 ADC0804LC 晶片的複合體，同時擁有運算處理與類比轉數位轉訊號功能。它是屬於向上相容的晶片，在軟體的製作上完全可以套用，而且速度與解析度甚於 8051，在配合後端晶片 PL-2303HX，加上一些電阻、電容與電感的組合，便是第二代訊號接收器：其訊號處理流程如圖 2-22，實際電路照片如圖 2-23 所示，而實際電路圖則置於[附錄 5]中。. 晶片. 晶片. MSC1212. PL-2303HX. 圖 2-22：第二版晶片電路順序圖. 26.

(28) 2 4 1. 3. 圖 2-23：第二代訊號接收器。 1. USB 訊號輸出介面。 2. PL-2303HX 晶片。 3.訊號輸入端，共八個訊號輸入端。 4. MSC1212 微處理晶片。至此訊號接收器已具備基本需求可供我們進行實驗。我們以第二代訊號接收器為基礎，設計製作專用於訊號接收器用的特殊電路板，把原本兩片獨立的晶片 MSC1212、PL-2303HX 內鑲在特殊設計的電路板上，再配合一些電阻、電容與電感，完成第三代的訊號接收器，如圖 2-24 所示。. 3. 5 1 2. 4. 圖 2-24：第三代訊號接收器。 1. USB 訊號輸出介面。 3.訊號輸入端，共八個訊號輸入端。 5.清除上次接收的數據。 27. 2. PL-2303HX 晶片。 4. MSC1212Y5 微處理晶片。.

(29) 2-3-2 介面控制軟體在軟體方面，我們需要解決的問題有兩個：一為類比轉數位訊號接收器與電腦的溝通，屬於硬體溝通方面的問題。另一為軟體控制硬體運作，屬於軟體控制的問題。在訊號接收器與電腦的溝通上，在訊號接收器完成後，接下來就是必須解決接收器接上電腦的問題，一開始測試的時候，要先知道硬體是否正常工作，因此我們必須先測試當類比訊號轉成數位訊號時，在 Comport 的介面下是否有輸出訊號到電腦，於是我們利用 Visual Basic Net 2005 寫了一個簡單的讀取訊號程式。 [9][12] 在第一代訊號接收器的軟硬體溝通製作中，當硬體有傳輸 0~255 其中之一的一個數字訊號到電腦，其數字訊號便會在螢幕中顯示出來，這表示類比訊號經過 ADC 晶片成功的轉成數位訊號，再由 8051 晶片的 Comport 轉接埠將數位訊號傳送到電腦上接收，其接收的訊號會顯現在螢幕上，其軟體介面溝通訊號如下圖 2-25 所示。由於這些訊號的顯示是以 ACSII 的編碼方式，所以顯示當電腦傳送開始的訊號，便會在螢幕上收到一個編碼訊號，需要經電腦轉譯回數值，但這個訊號的反應表示硬體已經和電腦成功溝通，接下來要做的，即為 Comport 訊號轉成 USB 訊號。. 圖 2-25：讀取 Comport 輸出軟體介面（第一代訊號接收器） 28.

(30) 由於我們已經確定硬體已經和電腦溝通，接下來要製作的部分，為 Comport 訊號轉成 USB 訊號，此部分主要在於 8051 晶片與 PL-2303HX 晶片之間的連結，當這兩晶片連結完成後，便可利用一般的 USB 連接線接上電腦上的 USB 插槽， [10] [12]接上 USB 插槽之後還必須安裝晶片驅動程式（可至 PL-2303HX 晶片的官方網站下載），到此便已經完成了整個訊號接收器硬體與電腦連接，之後再開啟自製的程式檢驗整個系統是否能順利的工作，至此完成硬體的製作，並確定其能正確的運作。在第二代訊號接收器的軟硬體溝通製作中，當硬體有傳輸 0~224 其中之一的一個數字訊號到電腦接收，其數字訊號便會在螢幕中顯示出來，這表示類比訊號經過 MSC1212 晶片成功的轉成數位訊號，並直接地由 Comport 轉接埠將數位訊號傳送到電腦上接收[11] [12]，其接收的訊號會顯現在螢幕上，其軟體介面接收訊號如下圖 2-26 所示。由訊號看得出有八個訊號端同時輸入訊號，且讀出各自的電壓值，這也表示硬體的介面已經溝通完成，而 Comport 輸出介面轉成 USB 輸出介面的製作，皆與第一代的訊號接收器相同，不再贅言。. 圖 2-26：讀取 Comport 輸出軟體介面（第二代），由圖中可見有 8 個信號接收端同時輸入訊號，且有各自的數值。在控制軟體的撰寫上，主要利用 Visual Basicn.Net 2005。其操作介面是以物件的方式主寫，因此在製作上相對較容易，在製作軟體上我們主要分成幾個部. 29.

(31) 分：(1)控制原理 (2)基本的操作按鍵(3)圖表顯示(4)數值資料(5)版權宣告；我們將以此五個部分做詳細的解說。控制原理：在軟體控制硬體的方面，我們在第一代接收器上，先由電腦發送一個訊號給 8051 晶片接收，當其晶片接收訊號後，就會傳送 ADC 上的訊號至電腦上，電腦接收到訊號後再傳送一個訊號到 8051 晶片，以此模式做循環，其原理如下如圖 2-27 所示。. NO 電腦傳送. 晶片 8051. S. 傳 0～255. 接收. Stop?. Yes. END. 圖 2-27：第一代訊號接收器控制原理圖在第二版上主要先由電腦發送一個訊號給 MSC1212 晶片接收，當其晶片接收訊號後，就會傳送自身的訊號至電腦上，電腦接收到訊號後再傳送一個訊號到 MSC1212 晶片，以此模式做循環，其原理如下如圖 2-28 所示。. 電腦傳送. 傳送 0~224. S. NO. END. Comport 關閉. Yes. STOP ?. 電腦收到. 圖 2-28：第二代訊號接收器控制原理圖基本操作按鍵：由於這兩代的主要控制晶片是相容的，所以也只有在控制原理上有些差異，在以下其他部分的軟體製作皆相同，故一併介紹。主要基本按鍵分成以下幾個：檔案功能：開啟新檔、開啟舊檔、另存新檔、結束 (Ⅰ)開啟新檔：建立新的實驗資料檔案。 30.

(32) (Ⅱ)開啟舊檔：開啟舊有的實驗資料檔案。 (Ⅲ)另存新檔：另外存一個新的實驗資料檔案。 (Ⅳ)結束：關閉軟體控制程式。設定：當 USB 連接線接在不同的插槽時，會出現其 port 的編號，在此我們要選定其正確的編號，才能正常使用。 (Ⅰ)啟動：開始紀錄實驗的資料。 (Ⅱ)清除：清除實驗的資料，回到最初未開始的狀態。圖表顯示：把電腦所讀取到的數位實驗資料，轉換成時間對電壓的圖形，顯示在軟體的繪圖區。數值資料：把電腦所接受到的數位資料，完整的依序顯示在軟體的資料表格上。 (5)版權宣告：由於版權的因素，所以我們在程式中宣告我們的智慧財產權，其宣告如圖 2-29。. 圖 2-29：版權宣告最後的軟體介面成品，本實驗所使用軟體其控制介面，如圖 2-30 所示。其軟體介面的說明如下： 1.通訊埠：當自製的外接 ADC 訊號接收器利用 USB 轉接線與電腦相連接時，電腦的通用序列匯流排控制器會自動排定一個適合的 Comport 埠，之後我們再把電腦所排定的位置輸入至此即可。 2.ADC Port 開啟個數：由於此晶片能夠允許八個訊號同時輸入至 ADC 訊號接收器，所以可以視需求開啟所需要的訊號輸入端。 3.開啟接收與停止接收：此區在控制實驗的進行與停止，並可清除不要的實驗資料，重新開始實驗。 4.作圖訊號請點選顯示的開始座標：當訊號輸入到自製的 ADC 訊號接收器 31.

(33) 後，可以選定繪畫出哪一個輸入端電壓對時間的關係圖，其關係圖會在繪圖區顯示出來。 5.檔案：此區主要在開啟檔案、存檔等基本的操作功能。. 圖 2-30：控制程式面版為了便利日後有興趣的使用者來使用這套軟體，我們把這整套軟體程式製作成安裝檔案，其安裝介面如圖 2-31 所示，此程式只需下載安裝即可使用，本程式乃屬於開放性質的程式碼(Open Source)，對於有興趣在此方面者可以參考引用之。. 圖 2-31：安裝軟體介面圖. 32.

(34) 第三章. 上端開放之容器的漏水實驗. 本章主要內容，乃以前章所敘之實驗器具，在圓筒上方不予塞住的情形，即保持筒內和筒外的氣體完全暢通，氣體壓力完全相同的狀況下，筒內的水因重力的牽引，自底部不同大小（即直徑）之小孔流出時，筒內的水位的時變情形。由於實驗所用的流體為水，其壓縮性及黏滯性均不大，故可以視為理想流體，加上在實驗進行時水的流動並不甚快，同一截面不同位置的水流速可視為相等，故本章及第四章在進行有關理論上的探討時，均設定以理想流體進行穩定均勻的流動作為探討的基礎。但實際上水的流動，除了會受到本身的黏滯作用影響外，更會因為流線（Streamline）的不同，而造成與理論有些許差異的的結果。本章起始先敘述在此種條件狀況下，水進行流動時相關的理論模型，並簡要說明實驗的流程，之後就實驗進行後所得到的結果，進行扼要的分析及解釋。. 第 3-1 節無能量損耗之流體一維流動的機制本節主要討論在圓筒上方的開口沒有加以封閉，使其完全開放，讓內外氣體自由流通，內外氣體壓力相等的情形下，水自底部的小孔流出的時候，作用在流體上的物理原理及機制。主要描述的概念，是根據流體動力學中主要的兩個基本方程式。一為「連續方程式」，是描述一個不可壓縮流體的特性，如圖 3-1 所示；流進 A 截面的流量，會等於流出 B 截面的流量，此為質量守恆的一個特例。[2][3][13]. B 截面. A 截面. 圖 3-1：不可壓縮之連續方程式示意圖第二個方程式為「白努利方程式」，或稱作「白努利定律」，描述流體在管徑 33.

(35) 不均勻的管中，流體在不同位置的密度、流速、壓力與水平高度之間的關係，其方程式中所顯現的，乃為單位質量流體之力學能［參見式(3-3)］，故可視為是力學能守恆的一個特例。 2R P1. y. v1 P0. H0 ρ1 H1. 2r v2. ρ2 P2 = P0. 圖 3-2：水自上端開放的圓筒容器底部小孔流出在實驗時所用之圓筒側面圖，如圖 3-2 所示。在實驗開之前（時刻 t≦0），在內部半徑為 R，高度（自小孔頂端起算）為 H0 的圓筒中，內含的水位高度為 (0) H1( t≦0 ) = H(0) 1 ，在圓筒內部的空氣柱，其壓力為 P1，柱長為 y ( t≦0 ) = H0－H1. = y(0)，當打開底部小孔使水漏出時（時刻 t≧0）其水位高度 H1 變化的時變率（即筒內液面變化的速度）為 v1，其中： v1 =. dH1 dt. （3-1）. 而在底部的小孔洞附近，設此時小孔的半徑 r，在附近的空氣壓力為 P2，水自小孔流出圓筒外的流速為 v2。因此時小孔附近的空間與外界為一相連空間，故壓力應和外界的大氣壓力 P0 相同，即 P2 = P0。如果我們假設自小孔流出的水柱，在小孔附近其截面與小孔截面相等，則依據不可壓縮流體的連續方程式，我們可以得到：. π R2v1 = π r 2v2 34.

(36) 推得. ⎛ R2 ⎞ v2 = ⎜⎜ 2 ⎟⎟ v1 ⎝r ⎠. (3-2). 當水自小孔流出時，若不考慮能量方面的損耗，只考慮水在筒內及小孔之中，均作垂直方向的流動，令水的質量密度在圓筒內為 ρ1，在小孔附近為 ρ2，小孔所在處設為垂直方向之原點，向上為正，則我們可由白努利方程式可得 [2][3][13]：. P1. 1 P 1 + v12 + gH1 = 2 + v22 ρ1 2 ρ2 2. (3-3). 因實驗時是氣體的壓力是在大氣壓力附近作微小變化，而在此壓力下可以把水視為不可壓縮之流體，故 ρ1＝ρ2≡ρ。將其與式(3-2)及 P2 = P0 代入式(3-3)，可以得到：. 1 1 ⎛ R4 ⎞ P1 + ρ v12 + ρ gH1 = P0 + ρ ⎜⎜ 4 ⎟⎟ v12 2 2 ⎝r ⎠ 經整理後可以得到： v12 −. 2 gH1 2 (P1 − P0 ) = 4 R ⎞ ⎛ R4 -1 ρ ⎜⎜ 4 − 1⎟⎟ r4 ⎠ ⎝r. (3-4). 若我們令一參數 a，其中： a=. g 4. R −1 r4. (3-5). 將其代入式(3-4)，則可得到： v12 − 2aH 1 =. 2a (P − P ) ρg 1 0. (3-6). 因為在上端開口開放情形下，筒內的空氣與外界也是相通，故氣體壓力也應與當時大氣等壓，即 P1 = P0 = P2。再加上式(3-1)，則我們可得到： 2. 2a ⎛ dH ⎞ v12 − 2aH1 = ⎜ 1 ⎟ − 2aH1 = (P0 − P0 ) =0 ρg ⎝ dt ⎠ 2. ⎛ dH1 ⎞ ⎟ = 2 a H1 ⎜ ⎝ dt ⎠. (3-7). 當要解式(3-7)之微分方程式時，得要開根，而開方根得考慮開方根後等號右邊的正負號問題。因 v1 =. dH1 乃 H1 變化的時變率，而實驗之中水位的高度 H1 會逐漸 dt. 減少，故 v1 應為負值，因此式(3-7)開根後等號右邊應取負號，成為式(3-8)： 35.

(37) v1 =. dH1 = − 2aH1 dt. (3-8). 我們設定實驗在時刻 t = 0 時開始，開始時的水位高度為 H(0) 1 作為積分時的初始條件，則我們可以解出式(3-8)，而得到式(3-9)： H1 − H1. (0). =−. a ⋅t 2. 2. ⎛ a ⎞ 1 H1 = ⎜⎜ H1(0) − ⋅ t ⎟⎟ = H1(0) − 2aH1(0) ⋅ t + at 2 2 ⎠ 2 ⎝. (3-9). 由上式可得知，如果我們作 H1 對時間 t 的關係圖，則會發現其圖形為一完全平方之二次曲線。若將式(3-9)微分，便可得：. dH1 = v1 = − 2aH1(0) + at dt. (3-10). 再次微分可得：. d 2 H1 =a dt 2 因此我們可知 a 可以代表當筒內的水漏出的時候，筒內水位高度 H1 變化時的加速度，且其方向與速度 v1 完全相反，代表剛開始時水漏得較快，但是會隨時間演進而變慢，直到漏完。當時刻 t = 0+，即實驗開始後那一瞬間，由式(3-10)我們可以得到：. dH 1 dt. ≡ v1(0) =. 2aH 1(0). (3-11). t =0. 我們把式(3-5)與式(3-11)代入式(3-2)，我們便可得到在實驗開始後在小孔處水往外漏的流速|v(0) 2 |： v2 ( t = 0) ≡ v2(0) =. 2aH 1(0) R 4 2 gH 1(0) = r4 r4 1− 4 R. (3-12). 把式(3-8)等號兩邊同乘以圓筒截面積 A1 = πR2，再加上式(3-2)、式(3-10)、式. (3-12)，則我們可以得到則可得到理論上的流量 Qth：. (. Qth ≡ πR 2 v1 = πR 2 2aH1 = πR 2 2aH1(0) − at. 如果小孔面積與圓筒內部的面積比值極小，即： r →0 R 36. ). (3-13).

(38) 則我們可以從式(3-12)得到：. v2(0) = 2 gH1(0). (3-14). 式(3-14)即表示當不假設有阻力的情形下，液體因受到重力的作用而自容器底部的洞口流出時，其液體在洞口的流速，這個速率剛好等於液體從離地 H(0) 1 的地方自由落下，在著地前的速率。此一描述人稱為托里切利定律（Torricelli's Law），可視作白努利定律中的特例。[2][3][10]. 37.

(39) 第 3-2 節考慮能量損失的流體理論本實驗的測量重心，主要是放在筒內的水位隨時間的變化，而在前節中理論的推導中，因為在筒內氣體壓力及小孔週遭氣體壓力均和當時大氣壓力相等，當時大氣壓力值的多寡不影響結果，故在此僅進行水位高度的量測。吾人於實驗時置換底部的小孔，使之半徑 r 不同，每次注入相同水位高的水，觀測並記錄實驗時荷重元電路的輸出電壓的時變，再把輸出之電壓轉換為水位高度，即固定起始水位 H(0) 1 ，改變小孔半徑 r，觀測 H1 隨時間的變化。經由 H1 的量測，再乘以圓筒的截面積，我們使可以得到此時流量的時變情形。但是我們前一節所提及之流體方程式，乃不考慮流體流線場所造成的影響，以及能量的損失。然而因為在圓筒底部的小孔處的水流較快，因此在底部因為流線而造成的影響就得必須考慮，而此一影響會改變流體流量的變化，此一變化便會反應在容器內液面的變化及在孔口的流體流速；同時，我們也必須考慮水在流動的過程中所造成的能量損失。[14] 如果於流體的流動之中考慮能量的損失項，則可以從式(3-3)之中，於等號右邊加上所損失的項 q（q > 0），為式(3-15)：. 1 P 1 + v12 + gH1 = 2 + v22 + q ρ1 2 ρ2 2 P1. (3-15). 如果我們考慮到實驗時所設定的環境與條件，即考慮 ρ1＝ρ2 ≡ ρ（不可壓縮流體）及 P1 = P0 = P2 之條件之下，則從式(3-15)可得到：. v12 + 2 gH 1 = v22 + 2q. (3-16) 在此時我們假設水自小孔流出之當時，在小孔處的噴流面與小孔截面相同（事實上會比小孔截面小。下文中會加以說明），則式(3-16)即可將式(3-2)之連續方程式，以及式(3-5)代入其中，則經整理後可得到：. v12 −. 2 gH 1 q = v12 − 2aH 1 = −2 4 4 R R −1 −1 4 r r4. (3-17). 因為 q 為正值，故從式(3-17)我們能得知在真實的情況，所量得的|v1|值會比式(3-10) 中理論計算出的 |v1| 值較低。假設我們從實驗之中量得的筒內水位變化速率為. |v1exp|，那麼我們可以求得實際值|v1exp|與由式(3-10)所計算出的理論值|v1|的比例：. 38.

(40) v1 exp. (3-18) v1 在此我們從小孔的觀點來看流量的問題。假設實際上從小孔中流出的水，流 ratio =. 速為|v2exp|；自前一節之中的理論，把式(3-10)代入式(3-2)即可得到理論上的|v2|： 2aH1R 4 v2 = = r4. 2 gH1 r4 1− 4 R. (3-19). 那麼|v2exp|與|v2|之間的比值，稱為速度係數（velocity coefficient）Cv：[2][3][10] Cv =. v2 exp v2. (3-20). 而實際的流量乃為在孔口之實際流速與在孔口水的噴流面積之乘積。而在小孔孔口之噴流面積 A2exp，與孔口的面積 A2 = πr2，（如圖 3-3 所示）之間的比值，稱為收縮係數（coefficient of constraction）Cc：[2][3][10]. Cc =. A2 exp A2. (3-21). A2. A2exp 圖 3-3：噴流面積 A2exp 與孔口面積 A2。故我們可得知實際的流量 Qexp 為：. Qexp = A2 exp v2 exp = CcCv A2 v2. (3-22) 一般我們把 Cv、Cc 合併成一係數 Cd，稱為流量係數（discharge coefficient）：. Cd = CcCv. (3-23). 把式(3-23)與式(3-2)之連續方程式代回式(3-22)，則可得到：. Qexp = C d A2 v2 = C d πr 2 v2 = C d πR 2 v1 (3-24) 比較式(3-13)與式(3-24)，我們便可以發現，流量係數 Cd 便是水流動時，實際流量與理論流量的比值。 39.

(41) Qexp Qth. =. Cd πR 2 v1 = Cd πR 2 v1. 而我們也可以從 v1exp 的量測，得到實際的流量 Qexp：. Qexp = A2 exp v2 exp = A1 v1exp = πR 2 v1exp. (3-25). πR 2 v1exp. (3-26). 故我們發現： Cd =. Qexp Qth. =. πR v1 2. =. v1exp v1. 式(3-26)之中，我們可以看到，Cd 的值即為|v1exp|與由式(3-10)所計算出的理論值|v1| 的比值，即為式(3-18)。故我們可以經由量測 H1 的時變中得到的|v1exp|，再和當時水位高度 H1 經由式 (3-10) 算得的 |v1| ，即可得到一容器系統的流量係數 Cd 。. [2][3][10][10]. 40.

(42) 第 3-3 節漏水實驗之進行及結果此一部份的實驗方式，乃一開始筒內的水位高，即為 H(0) 1 ，均為相同的高度，實驗的設定是讓 H(0) 1 = 35 公分，然後改變不同的小孔半徑 r，經由 H1 的量測，來觀察在此一情形之下水的流動情形，包括 H1、v1 隨時間的變化，進而得到流量隨時間的變化，以及在流動過程之中因摩擦等因素而造成的能量損失。因本實驗測量水位高度的變化，乃利用水在漏出後質量的變化轉換為水位高度。而在圓筒器內的形狀大小相同的情形下，容器內水質量的變化量與水位高度的變化量成正比之關係；因與圓筒加水所形成的系統質量變化造成的力矩變化成正比，而經由槓桿原理，作用在荷重元上的力變化量也成正比，而荷重元的輸出電壓與作用其上之力為線性變化，故得知筒內水位高度與荷重元輸出之電壓訊號之間，存在一線性的關係。因此我們可由量得的荷重元信號的變化，經由一線性轉換，即可得到我們欲量測之水位高度 H1。在進行實驗之記錄時，因我們採用量測重量的方式，若有些許的振動或是碰觸，均會影響其得到的數據。而實驗進行之時，我們先打開程式，讓其先行讀取輸出電壓，再讓底部小孔打開，讓水流出以進行實驗，而打開小孔的方式，是把實驗開始前塞於其上的栓塞拉出，在此一瞬間荷重元感應到的，除圓筒與鐵架之重量外，還有在拉拔栓塞時所施予的拉力，因此無論得到之電路輸出電壓也好，所轉換得到之水位高 H1 也好，均會在實驗開始之時有一小段數值突升及振盪之處，如下方圖 3-4 示意圖所示：. 0.40. H1 (m). 0.38 0.36 0.34 0.32 0.30 -2. 0. 2. 4. 6. 8. 10 12 14. t (s) 圖 3-4：實際實驗結果示意圖。實際實驗時會因為拉開栓塞而使數值瞬間上升以及振盪，但很快便會消失. 41.

(43) 圖 3-4 中，虛線為實驗時的理想量測結果，反應整個系統質量的變化，不因拉拔栓塞而有突升的變化；實線則為實際量測的結果，可清楚看見實際結果上，於實驗開始之時，因有往下拉拔栓塞的動作，而使荷重元在該瞬間感應到一突然施加的力，使得數值突升。而實驗的實際數據結果則如圖 3-5 所示，圖中由右而左（於接近 H1 = 0 之處判別），分別為直徑 2r = 9.00mm、10.00mm、11.00mm、…、19.00mm 時的實驗結果，於該圖中可清楚看出實驗開始前系統質（重）量尚未改變時的. H1 值（最左端的一小段水平）、開始瞬間因拉栓塞而突升的數值、實驗的過程、及筒內水漏完，實驗已結束，筒內幾已無水時的數值這些階段。吾人可藉此為時間零點調整之參考，設定讓實驗正式開始之時為 t = 0 之依據。. 圖 3-5：尚未進行時間零點校正的實驗結果，圖中數據下方的數字為實驗時所使用的小孔直徑 2r（單位為 mm）。可清楚看出實驗開始前、開始的瞬間、及實驗已結束這些階段，然因未進行時間零點修正，而會有數據圖相交疊之情形，若進行時間零點修正後則無此現象。在完成時間零點的校正，以及實驗結束後量取到的數據，即圖 3-5 中每組數據中下方水平的數據點後，剩下的即為在實驗的過程之中，水自圓筒底部小孔流出時，筒內水位的時變情形，如圖 3-6 所示，由右而左，分別為直徑 2r = 9.00mm、. 10.00mm、11.00mm、…、19.00mm 時的實驗結果，於該圖中可以看見，於圖 3-5 之中本來有些數據線交疊的情形，在圖 3-6 中均看不到。此一數據的結果，便是作為之後分析時主要的來源。 42.

(44) 圖 3-6：已進行時間零點校正的實驗結果。此為只留下實驗過程中的數據，為實驗後分析的主要依據。數據下方的數字為實驗時所使用的小孔直徑 2r（單位為 mm）。因於 3-1、3-2 節的理論探討，我們認為其 H1 與時間 t 的關係應為一個完全平方的關係，故在實驗結果的分析上，用於套適（fitting）之函數，以經過配方後的二次多項式（如式(3-27)所示）較合適。. y=. (. ). 2. A − B⋅ x + C. (3-27). 該式若與式(3-9)相比較的話，則可發現兩者之間的對應關係：自變數 x 對應時間. t；應變數 y 對應水位高 H1；而 A 對應 H(0) 1 ；B 則對應. a ，C 則為在進行時間零 2. 點校正時所產生出的誤差項，若是好的校正，C 值應為一接近於 0 之常數。圖. 3-7 為 2r = 9.00mm、H(0) = 35cm 之實驗量測數據與套適結果，黑色點為實驗的 1 量測結果，紅色實線為經由 Levenberg–Marquardt algorithm 以式(3-27)進行套適後的結果，可以發現套適得之曲線與實驗量得之結果幾乎重疊，其相關係數 R2 為 0.99992。而所有上端開放的實驗，其以式(3-27)進行套適後的係數與其相關係數列表於表 3-1 中。. 43.

(45) 圖 3-7：上端開口的實驗量測之套適結果，此為小孔直徑 2r=9.00mm 時實驗套適結果。黑色點表示實驗的數據，紅色實線為由式. (3-27)之函數套適得的函數曲線，其係數值與和原實驗值之相關係數於表 3-1 中表示。 A. B. C R2. 2r (mm) (m). (m/s). (m/s2). 9.00. 0.3491±0.0001. 0.00548±0.00000. -0.00181±0.00012. 0.99992. 10.00. 0.3500±0.0000. 0.00673±0.00000. -0.00502±0.00009. 0.99980. 11.00. 0.3500±0.0000. 0.00826±0.00000. -0.00480±0.00008. 0.99987. 12.00. 0.3500±0.0000. 0.00971±0.00001. -0.00348±0.00009. 0.99987. 13.00. 0.3500±0.0000. 0.01115±0.00001. -0.00599±0.00015. 0.99965. 14.00. 0.3500±0.0004. 0.01326±0.00003. -0.00592±0.00050. 0.99943. 15.00. 0.3500±0.0004. 0.01532±0.00003. -0.00195±0.00050. 0.99944. 16.00. 0.3466±0.0004. 0.01734±0.00003. -0.00358±0.00041. 0.99966. 17.00. 0.3458±0.0004. 0.01983±0.00003. -0.00428±0.00041. 0.99979. 18.00. 0.3500±0.0003. 0.02213±0.00030. -0.00780±0.00036. 0.99981. 19.00. 0.3500±0.0004. 0.02465±0.00006. -0.01357±0.00055. 0.99974. 表 3-1 ：上端開口的實驗量測之套適結果係數與相關係數表，所套適的函數為式(3-27)，R2 為套適得的結果與原數據之間的相關係數。. 若是把套適後得到的 B 值，因其與式(3-9)中的. 44. a 對應，利用本章第一節中 2.

(46) 的式(3-5)中 a 的定義，代入小孔的半徑與圓筒內半徑，計算. 的 B 值（即實驗得的. a 與實驗經套適得 2. a a 值， exp ）分別對小孔直徑作圖並相比較，結果如圖 2 2. 3-8 所示。會發現：實驗中由於有能量損耗的因素，實驗得到的值. a 均比理論 2. 值小，若以能量的觀點來說明，即筒內的水其位能在從底部小孔出，轉換為動能的過程之中，因為流動而與容器之間摩擦，或因一部份因有旋渦而轉換為平面方向的動能，使得在垂直方向的動能量減少，而造成筒內水位變化的速度 v1 及加速度 a 未如預期地變化，而比理論計算的結果偏低。. 圖 3-8：理論的. a 值與實驗值（表 3-1 中的 B 值）對小孔直徑圖。 2. 上方藍色部份為理論值，下方紅色部分為實驗值，可看到實驗值均高於理論值，且差距隨小孔變大而加大。我們於前一節中考慮於白努利方程式中加入能量的捐失項，即為式(3-15)：. P1. P 1 2 1 2 + v1exp + gH1 = 2 + v2exp +q ρ1 2 ρ2 2 經代入實驗條件（ρ1＝ρ2 ≡ ρ 及 P1 = P0 = P2）整理後可得到式(3-17) 2 − v1exp. 2gH1 q 2 = v1exp − 2aH1 = −2 4 4 R R −1 −1 4 r r4. 因此可得 q (t ) =. ⎞ 1 ⎛ R4 2 ⎜⎜ 4 − 1⎟⎟ 2aH1 (t ) − v1exp (t ) 2⎝r ⎠. (. 45. ). (3-28).

(47) 若把式(3-5)代入式(3-28)，則可得到： q(t ) = gH1 (t ) −. g 2 v1exp (t ) 2a. (3-29). 從式(3-29)表面上來看，若是若以 H1 為橫軸，q 為緃軸作關係圖，則結果應為斜 2 率為 g 的直線，但是因為 v1exp 也是會隨 H1 而變，由式(3-7)中我們可以推測實驗. 得到的 v1exp 與 H1 的關係為： 2 v1exp = 2 aexp H1. (3-30) 由於在表 3-1 的實驗結果套適係數表中係數中，Ｂ所對應的是實驗時得到的是 aexp 2. ，因此式(3-30)中的 aexp 可由表 3-1 中的 B 值計算而得。因此將式(3-30)代. 入式(3-29)便可以得到： ⎛ a ⎞ q = gH1 ⎜⎜1 − exp ⎟⎟ a ⎠ ⎝. (3-31). 由式(3-31)中可以發現，q 值的大小與 H1 成正比，且與 aexp/a 呈線性變化，若以. H1 為橫軸，q 為緃軸作關係圖，結果如圖 3-9 所示，因為實驗上量得的 aexp 比理論上的 a 值小，故其所得的斜率會較無損耗時要大（無損耗的情形下 q 恆為 0，為一水平直線），雖然 q 如預期般與 H1 呈正比線性變化，但不同小孔之間，其差別則不大，因此可以推論，實驗過程之中能量損耗與小孔的大小無甚相關，即. aexp/a 值在不同的小孔中得到的結果大致上相近。. 圖 3-9：H1 與 q 的關係圖。在圖的標示之中，m 代表該關係圖中作線性套適（Linear Fitting）所得之直線斜率。 46.