不同加勁板的撓度及其最佳化的彈性支承剛度

第四章數值例題與結果

4.3 不同加勁板的撓度及其最佳化的彈性支承剛度

本節中將分析本章中先前提到的各種加勁板，即分析板厚t_p =6, ,

8 10 mm ，肋數n_r =4,5 7 ，肋斷面為, WT4 ×7.5,WT5 ×6,WT6 ×7的加勁板。本節中將比較不同加勁板的撓度及其最佳化的彈性支承剛度。本節中初始彈性剛度支承剛度僅考慮k_ini − N₁及k_ini −U₂兩種。

最小彈性支承剛度僅考慮k_min =10N mm。本研究所分析的加勁板之最大側向位移都發生在其對稱軸或對稱軸附近的斷面上，所以本節中僅探討加勁板之對稱軸(見圖 4-1 之斷面 C)的側向位移d 及圖 4-1 之_C 斷面 B 的側向位移d 。斷面_B B 與斷面 C 距離為相鄰兩肋之距離的一半。本節中將d 及_B d 的最大值視為加勁板的最大側位移。 _C

表十到表十八及圖 4.10 到圖 4.15 為初始彈性支承剛度為k_ini − N₁ 的分析結果，表十九到表二十七及圖 4.16 到圖 4.21 為初始彈性支承剛度為k_ini −U₂的分析結果。

由表十到表二十七及圖 4.10 到圖 4.21 中可發現對應於k_ini −N₁及 U2

k_ini − 的k_opt(如表十與表十九，圖 4.11 與圖 4.17)是不同的，但都有相同的趨勢，即彈性支承的剛度在兩肋交點或其隔壁的節點常有局部的最大值(在表十六到表二十七中加底線的數字)。這可能是因為加勁板在兩肋的交點有較大的剛度，為了使加勁板在彈性支承處有均勻的側向位移，所以兩肋交點或其附近的彈性支承需比其鄰近節點的彈性支承有較大的剛度。我們從對應於k_ini −N₁及k_ini −U₂的圖及表中亦可發現其d_opt,d_C, d 都很接近，且_B d_opt很接近Q 。因k_ini對板撓度的影響很小，所以本節中將僅討論對應於k_ini − N₁之不同加勁板的撓度。

由表十到表十八可以發現不同的加勁板的最大撓度(表中之粗體粗體粗體粗體字

字字

字)的位置與肋數n ，板厚_r t ，及肋斷面都有關。因_p n_r =4時，在對稱軸上沒有肋，所以其最大位移都發生在加勁板的中心。當n_r =5和 7 時，對稱軸上都有肋，剛度較大，所以加勁板的中心不一定有最大的側向位移，尤其是t_p =6mm,n_r =5時(如表十八)，加勁板的側向位移比其中心側向位移大很多，但t_p =6mm,n_r =7時，兩者的差異不大。

由表十到表十二及圖 4.10，或表十三到表十五及圖 4.12，或表十六到表十八及圖 4.14 可以發現當n_r =4時，增加板厚，則加勁板的撓度大幅減小，但n_r =5和 7 時，增加板厚對板撓度的減小相當有限。

當板厚相同時，增加n 可以使加勁板的撓度減少很多。當_r n 及_r t 相同_p 時，肋WT6 ×7有最大的剛度，故有最小的撓度。

第五章結論

為了使四邊具彈性支承的加勁板有均勻的彈性支承位移，本研究中提出一個以彈性支承剛度為設計變數之目標函數，並提出一個基於牛頓法的數值程序解最佳化的問題以求得最佳化的彈性支承剛度。本研究將加勁板視為板與梁的組合，將彈性支承視為直線彈簧並採用線性有限元素法分析邊界上具彈性支承的加勁板。本研究在第四章中以數值例題探討不同加勁板之最佳化的彈性支承剛度，彈性支承變形分佈與加勁板的最大撓度。由本研究可以得到以下的結論

1. 因彈性支承的剛度必須大於零，所以其位移無法到達預設值。

2. 不同的預設最小彈性支承剛度k_min，會造成不同之最佳化的彈性支

承剛度及位移，但當k_min小到某一程度後，則其值對最佳化的結果

影響很小。

3. 不同的初始彈性支承剛度收斂到不同的最佳化彈性支承剛度，但其位移都收斂到預設值附近。

4. 當加勁板的彈性支承有均勻的側向位移時，兩肋交點附近的彈性支承比其鄰近的彈性支承有較大的剛度。

5. 當加勁板的肋數少時，增加板厚會使加勁板的撓度大幅減小，但肋數增加到某一程度時，增加板厚對板撓度的減小相當有限。當板厚相同時，增加肋數可以使加勁板的撓度減少很多。當肋數及板厚相同時，肋斷面有較大的剛度，加勁板有較小的撓度。

參參參參考考考考文文文文獻獻獻獻

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) (kN W_{P +}_R )

(mm

t_p W_p(kN) n_r WT4 ×7.5 WT5 ×6 WT6 ×7 6 2.661 4 4.731 4.287 4.657 5 5.248 4.694 5.156 7 6.283 5.507 6.154 8 3.548 4 5.618 5.174 5.544 5 6.135 5.581 6.043 7 7.170 6.39 7.041 10 4.435 4 6.505 6.061 6.431 5 7.022 6.468 6.930 7 8.058 7.281 7.928

t ：板厚 p

W ：板重，p W_p =ρ(2a)²t_p =7.7×10⁴×2.4²×t_p n ：加勁板的肋數 r

W_P₊_R ：板重加肋重

表一不同加勁板的自重(a=1.2m，ρ(iron)=7.7×10⁴ N m³)

表二彈性支承之k_min對最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =8mm)

表三彈性支承之k_min對最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =8mm)

表四彈性支承之K_ini對其最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =10mm，K_min=10N mm)

表五彈性支承之K_ini對其最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =10mm，k_min=10N mm)

表六彈性支承之剛度K_ini對其最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =10mm，K_min=10N mm)

表七彈性支承之K_ini對其最佳化的影響(n_r =4，WT4 ×.5 7，t_p =6mm， k_min=10N mm)

表八彈性支承之K_ini對其最佳化的影響(n_r =4，WT4 ×.5 7，t_p =6mm，k_min=10N mm)

表九彈性支承之K_ini對其最佳化的影響(n_r =7，WT6 ×7，t_p =10mm，K_min=10N mm)

x/a K_opt d_opt d_C d _B K_opt d_opt d_C d _B K_opt d_opt d_C d _B

x/a K_opt d d_C d _B K_opt d d_C d _B K_opt d d_C d _B

x/a K_opt d_opt d_C d _B K_opt d_opt d_C d _B K_opt d_opt d_C d _B

圖 1.2 簡支單層板反力分佈

R R

a b

真空腔體容器蓋

O 形環

圖 1.1 真空腔體示意圖

x₁E

x₂E

x₃E

θ

y 3

θ

h 1

圖 2.1 三角殼元素的示意圖及節點自由度

X2 G

s

s s

n

α

x₁E

5 4

3 1 6 2

x₂E

圖 2.2 DKT 元素的節點及其三邊上的局部座標示意圖

圖 2.3 變形前板元素中心面之單位法向量_n受旋轉向量^θ 作用的示意圖

θ

x₁E

n

x₂E

圖 2.4 加勁板節點位置示意圖

C

z

P Z

Y

R

z

R P

yR S

C P

v w

S x₁^E

) 0 0 (l

X1 G

x1 S

圖 2.5 元素座標與元素截面座標

tOR

hOR

2 1

圖 2.7 彈簧元素之節點內力圖 2.6 單位長度的 O 形環

圖 4.1 加勁板結構示意圖

C C

B B

a

X Y

2 a 2 a

Y

X

)

( A (B )

)

(C (C)

圖 4.2 端點受單位力的懸臂梁

t

b A d L

P

x

y

V

/

10 12 .

0 N mm

E = ×

mm L 100 =

mm t

t

=

= 2 mm b 10 =

mm d = 10

N P = 1

3 .

= 0

ν

圖 4.3 受一大氣壓均佈橫向力的加勁板

mm a 2400 2 =

mm d = 60

mm t

t =

= 12

10 2 .

0 mm

E = × N

3 = n

3 .

= 0 ν

mm N k = 0 . 2 × 10

⁴

t

t 2 a

d 2 a

X Y

0 200 400 600 800 1000 1200

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

x (mm)

D ef le ct io n ( m m )

Present study ANSYS

圖 4.4 加勁板之對稱軸的撓度分佈

圖 4.5 加勁板通過彈簧的變形分佈

0 2 0 0 4 0 0 60 0 8 0 0 1 0 00 1 2 0 0 -7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

S p ri n g D ef le ct io n ( m m )

X (mm)

Present study

ANSYS

圖 4.6 彈性支承之k_min對最佳化的影響(一)(n_r =7， 7

6 ×

WT ，t_p =8mm)

圖 4.7 彈性支承之k_min對最佳化的影響(二)(n_r =7， 7

6 ×

WT ，t_p =8mm)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 0 1 2 3

k o p t ( 1 0 4 N /m m )

x/a

k

_min

= k

_min

=100 k

_min

=10 k

_min

=1

kini

∞

−

mm N

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1 0 1 2 3

k o p t ( 10 4 N /m m )

x/a

k

_min

= k

_min

=100 k

_min

=10 k

_min

=1

kini

∞

−

mm N

mm

N

∞

−

圖 4.8 彈性支承之k_min對最佳化的影響(三)(n_r =7， 7

6 ×

WT ，t_p =8mm)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.32 -1.30 -1.28 -1.26 -1.24 -1.22 -1.20 -1.18 -1.16

d o p t ( m m )

x/a

k

_min

= k

_min

=100 k

_min

=10 k

_min

=1

mm N

圖 4.9 彈性支承之k_min對最佳化的影響(四)(n_r =7， 7

6 ×

WT ，t_p =8mm)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.32 -1.30 -1.28 -1.26 -1.24 -1.22 -1.20 -1.18 -1.16

d o p t ( m m )

x/a

k

_min

= k

_min

=100 k

_min

=10 k

_min

=1

∞

−

mm N

mm

N

圖 4.10 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT4 ×7.5，K_ini − N₁)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

5

4

7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 4

= n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

= 7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 5

= n

圖 4.11 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度(WT4 ×7.5，K_ini − N₁)

圖 4.12 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT5 ×6，K_ini − N₁)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

5

4

7 n

圖 4.13 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度(WT5 ×6，K − N ) 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 4

= n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

x/a K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm)

10 8 6 7

= n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

K

opt

( 1 0

N /m m ) t

(mm) 10 8 6

= 5

n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 -30

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

圖 4.14 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT6 ×7，K_ini − N₁)

5

4

7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 4

= n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

= 7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 5

= n

圖 4.15 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度(WT6 ×7，K N )

圖 4.16 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT4 ×7.5，K_ini −U₂)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

5

4

7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6

= 4 n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

= 7 n

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 5

= n

圖 4.17 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度( ，

圖 4.18 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT5 ×6，K_ini −U₂)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

5

4

7 n

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6

圖 4.19 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度(WT5 ×6，K −U )

= 4 n

7 = n

5 =

n

圖 4.20 不同加勁板在斷面CC 的撓度 (WT6 ×7，K_ini −U₂)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

d c ( m m )

x/a

t

(mm) 10 8 6

5

4

7 n

圖 4.21 不同加勁板之最佳化的彈簧剛度(WT6 ×7，K_ini −U₂) 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

t

(mm) 10 8 6

K

opt

( 1 0

N /m m )

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0

0.5 1.0 1.5

x/a K

opt

( 1 0

N /m m )

t

(mm) 10 8 6 4

= n

7 = n

5 =

n

附錄 A DKT 元素的形狀函數

在(2.2.27)式裡面的H_x與H_y分別有 9 個分量，其表示式為[12]

H_x₁ =1.5(a₆N₆ −a₅N₅) H_x₂ =b₅N₅ +b₆N₆ H_x₃ = N₁−c₅N₅ −c₆N₆ H_x₄ =1.5(a₄N₄ −a₆N₆) H_x₅ =b₆N₆ +b₄N₄ H_x₆ =N₂ −c₆N₆ −c₄N₄ H_x₇ =1.5(a₅N₅ −a₄N₄) H_x₈ =b₄N₄ +b₅N₅ H_x₉ =N₃−c₄N₄ −c₅N₅

H_y₁ =1.5(d₆N₆ −d₅N₅) H_y₂ =−N₁+e₅N₅ +e₆N₆ H_y₃ =−H_x₂

H_y₄ =1.5(d₄N₄ −d₆N₆) H_y₅ =−N₂ +e₆N₆ +e₄N₄ H_y₆ =−H_x₅

H_y₇ =1.5(d₅N₅ −d₄N₄) H_y₈ =−N₃ +e₄N₄ +e₅N₅ H_y₉ =−H_x₈

其中

2 ij

k l

a −x

4 ₂ 3

ij ij ij

k l

y x b =

2 2

2 )

2 1 4

ij ij ij

k l

y x

−

2 ij

k l

d −y

₂

2 )

2 1 4

ij ij ij

k l

y x

−

l_ij² =(x_ij²+ y_ij²)

其中k=4,5,6分別對應到ij=23,31,12如圖 2.2 所示，x_ij = x_i −x_j，

j i

ij y y

y = − 。

在H 、_x H 的表示式中以及在(2.2.20)式中的y N_i(i =1−6)為[12]

)

2 )(1 1

(

1 =2 −ξ −η −ξ −η N

N₂ =ξ(2ξ −1) N₃ =η(2η−1) N₄ =4ξη

N₅ =4η(1−ξ −η) N₆ =4ξ(1−ξ −η)

其中ξ、η是元素面積座標裡的L 與₂ L₃[12]，如圖 A.1 所示。

在文獻[12]中元素面積座標的L₁、L₂、L 分別為 ₃ ) ) (

) (

2 ( 1

2 3 3

2 2 3 3 2

1 x y x y y y x x x y

L = A − + − + −

)

則ξ、η對 x 、 y 的偏微分別為

圖 A.1 元素面積座標的示意圖

圖 A.2 殼元素節點的自然座標示意圖

x y

A

1 2 3

P

ξ η

5 4

1 2 ) 0 , 0

( ,0) (1,0) 2

(1 ) 1 , 0 (

2) ,1 0

( )

2 ,1 2 (1

附錄 B CST 元素的剛度矩陣

附錄 C WT 型鋼之斷面常數

型鋼斷面 WT6X7 WT5X6 WT4X7.5 d (in)

(mm) b (in) (mm)

tf (in) (mm)

tw (in) (mm)

A (in²) (mm)

Iy (in⁴) (10⁷mm)

Iz (in⁴) (10⁶mm)

J (in⁴) (10⁴mm)

5.955 (151.257)

3.97 (100.838)

0.225 (5.715)

0.2 (5.08)

2.08 (1341.93)

7.67 (0.319)

1.18 (0.491)

0.035 1.456

4.935 (125.35)

3.96 (100.58)

0.21 (5.33)

0.19 (4.826)

1.77 (1141.93)

4.35 (0.181)

1.09 (0.454) 0.0272

1.132

4.055 (103) 4.015 (101.98)

0.315 (8) 0.245 (6.233)

2.22 (1432.255)

3.28 (0.137)

1.70 (0.708)

0.0679 2.826 E = 200 GPa = 29×10³ksi

ν = 0.3

Y Z

d

b

t

I

J

K C

附錄 D ANSYS 之 COMBIN 14 及 SHELL 63 元素的簡介

COMBIN 14 彈簧-阻尼

Combin 14 [20]可應用於一度、兩度或三度空間在縱向或扭轉的彈性-阻尼效果。當考慮為縱向彈簧-阻尼時，該元素是單軸向受張力或壓縮，每個節點可具有 X,Y,Z 位移方向之自由度，不考慮彎曲及扭轉。當考慮為扭轉彈簧-阻尼時，該元素承受純扭轉，每個節點可具有 X,Y,Z 旋轉方向之自由度，不考慮彎曲及軸向負載。彈簧-阻尼元素不具有質量，質量可用 MASS21 模擬

假設與限制

若 KEYOPT(2)等於零，彈簧-阻尼元素的長度不可為零，即節點 I 和 J 不可重疊在一起，因為節點之位置決定彈簧的方向。彈簧中的應力為均勻分佈。若元素用於應力強化成大變形，則 KEYOPT(2)必須為零。若 KEYOPT(3)=1 用於大變形，則座標系統不會更新。彈簧與阻尼的效應可藉由 K 與 CV1 值設定為零刪除。若 CV2 不等於零，

元素為非線性須進行非線性解(KEYOPT(1)=1)。

SHELL 63 彈性殼

Shell 63 [20]具有彎曲及薄膜特性。與平面同方向及法線方向之負載皆可承受。元素具有 X,Y,Z 位移方向及 X,Y,Z 旋轉方向之六個自由度。應力強化及大變形之效應亦適用於該元素。可選擇連續性相切矩陣，用於大變形(有限之旋轉)分析。

假設與限制

元素之面積不可為零，通常元素連接號碼不正確會造成該現象。

元素之厚度為零或線性厚度變化至元素之四點為零皆不允許。剪應變不包含於此薄殼元素。

三角形元素可定義為 K, L 兩點重和。如圖所示。三角形元素中額外形狀將自動刪除故薄膜剛性降為固定應變。大變形分析中若

KEYOPT(1)=1(薄膜剛性)，元素必為三角形。

L K,

I

J I

J L

K

在文檔中加勁板之彈性支承的剛度在均勻横向負載下的最佳化分析 (頁 44-0)

第四章 數值例題與結果

4.3 不同加勁板的撓度及其最佳化的彈性支承剛度

θ

θ

θ

s

s s

n

n

n

α

α

α

5 4

3

1 6 2

θ

θ

n

n

C

z

P Z

Y

R

z

C C

B B

a

a

2 a 2 a

Y

X

)

( A (B )

)

(C (C)

t

t

b A d L

P

x

y

V

/

10 12 .

0 N mm

E = ×

mm L 100 =

mm t

t

=

= 2 mm b 10 =

mm d = 10

N P = 1

3 .

= 0

ν

mm a 2400 2 =

mm d = 60

mm t

t =

= 12

10

2 .

0 mm

E = × N

3

= n

3 .

= 0 ν

mm N k = 0 . 2 × 10

t

t 2 a

d 2 a

X Y

0 200 400 600 800 1000 1200

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0

x (mm)

第四章數值例題與結果