座標系統

為了描述系統的運動以及元素的變形，本文定義了兩組座標系 統：

(a) 固定總體座標系統：X_i^G ( =i 1,2,3)

結構體所有節點的座標、系統的邊界條件與其他座標系統的基 底，均在此座標系統中定義。

(b) 元素座標系統：x_i^E ( =i 1,2,3)

此座標系統是建立在每一殼元素及梁元素上，殼元素及梁元素之 元素座標系統的定義方式將分別於 2.2 及 2.3 節中介紹。元素變形、

元素內力與元素剛度矩陣是在此座標系統中定義，然後經由標準的座 標轉換，轉換至對應總體座標系統。

2.2 平面三角殼元素 2.2.1 殼的基本假設

文獻[11]中對其平面三角殼元素的變形，做了以下的假設：

(1) 薄膜變形(membrane deformation)以及彎曲變形(bending deformation)之間無耦合作用。

(2) 殼元素的變形為小變形。

(3) 在元素變形前，垂直於元素中心面的法向線段，在元素變形後，

依然保持直線，且沒有伸長及縮短，除了在元素三個頂點以及三個邊 的中央點外，該線段不必垂直於變形後的中心面。

2.2.2 殼元素變形的描述

如圖 2.1 所示之殼元素中心面上有三個節點，其元素座標的 原點是在元素節點 1，x₁^E軸即是元素節點 1 與元素節點 2 的連線，x₂^E 軸是在元素平面上垂直於x₁^E軸且朝著元素節點 3 的方向，x₃^E軸則是 由x₁^E軸及x₂^E軸外積而得。本殼元素每個節點有 6 個自由度，分別是 x₁E、x₂^E、x₃^E軸方向的位移u 、_j v 、_j w_j( j =1,2 3 )以及繞, x₁^E、x₂^E、 x₃E軸方向的位移轉角θ_xj、θ_yj、θ_zj( j =1,2 3, )。本殼元素的變形可分 為薄膜變形(membrane deformation)與彎曲變形(bending deformation) 兩部份，由基本假設(1)可知本元素的變形可由薄膜變形及彎曲變形疊 加而成。本元素的薄膜變形是採用常應變三角形元素(CST, constant strain triangle) [13]的薄膜變形，彎曲變形是採用文獻[12]中的 DKT (discrete Kirchhoff theory)三角形殼元素的彎曲變形。

在圖 2.1 中的元素節點位移u 與_j v 是_j CST 元素節點位移，而θ_xj、 θyj以及w 為在[12]中的 DKT 元素節點位移，_j θ_zj是為了不使元素剛度 內的面內旋轉剛度(in-plane rotational stiffness)為 0，而人為加上去的 自由度。在本文以下的推導中元素變形、元素內力以及元素剛度矩陣 都是在元素座標上定義。

2.2.2.1 常應變三角元素(CST)

因為 CST 元素內的應變為常數，所以其位移場為線性位移場，

並可表示成：

u=a₁+a₂x+a₃y (2.2.1) 所以(2.2.1)、(2.3.2)式可改寫成：

u =Nu_m (2.2.5)

1 ( )

將(2.2.5)式代入(2.2.10)式得到：

m

圖 2.2 所示為文獻[12]中所提出的 DKT 板元素，節點 1、2、3 是 三角形的三個頂點，節點 4、5、6 為三角形三個邊的中點，這三個中 點的自由度僅在元素推導的過程中暫時使用，在最後不會出現在元素 的節點自由度。在圖 2.3 中，n 為殼元素中心面變形前的單位法線向 量，n′ 為n 在元素變形後的新位置，圖 2.3 中θ 為一在x₁^E − x₂^E平面上 的旋轉向量[17]，將θ 作用在n 可將n 轉到n′ 。由 2.2.1 的假設(3)可知 垂直於變形前的元素中心面法線向量變形後仍為直線且長度不變，所 以當 θθθθ <<1 時，DKT 元素的位移場可表示成：

) , (x y z

u= θ_y v=−zθ_x(x,y) w =w(x,y) (2.2.14) 其中 x、 y 、z 為元素上任一點分別在x₁^E、x₂^E、x₃^E軸的座標值，θ_y是

θ 在x₁^E軸方向的分量，θ_x是 θ 在x₂^E軸方向的分量， u 是在x₁^E軸方向 的位移， v 是在x₂^E軸方向的位移， w 是在x₃^E軸方向位移。當 θθθθ <<1 時，θ_y與θ_{x可視為法向量 n 繞}x₁^E軸及x₂^E軸的轉角。

DKT 元素的應變變形包含面內(in plane)正應變ε_x、ε_y與剪應變 γxy以及橫向剪應變(transverse shear strain)γ_yz、γ_xz。

因本文假設元素的變形為小變形，ε_x、ε_y和γ_xy可表示成(2.2.10) 式，γ_yz、γ_xz可表示成：

z u x w

xz ∂

+∂

∂

= ∂

γ

z v y w

yz ∂

+∂

∂

= ∂

γ (2.2.15) 將(2.2.14)式代入(2.2.10)式可得：

κ

ε_b =z (2.2.16) ε_b ={ε_x ,ε_y ,γ_xy} (2.2.17)

} ,

,

{θ_y,x −θ_x,y θ_y,y −θ_x,x

κ= (2.2.18) 將(2.2.14)式代入(2.2.15)式可得：

γ ={γ_xz ,γ_yz}={w_,x +θ_y , w_,y −θ_x} (2.2.19) 由(2.2.14)式可知 w、θ_y、θ_x與x₃^E無關，所以可由(2.2.19)式知橫向剪 應變在厚度方向為常數。

本文中稱圖 2.2 中沿著元素邊緣方向s為切線方向，而垂直於元 素邊緣方向 n 為法線方向。

在[12]中對於其所提出的 DKT 元素做了下列的假設：

(1) θ_y、θ_x在元素內為二次變化，也就是：

∑

=

=

6

1 i

yi i

y Nθ

θ ；

∑

=

−

=

6

1 i

xi i

x Nθ

θ (2.2.20) 其中θ_yi、θ_xi是θ_y、θ_x在圖 2.2 中節點i 的節點值，N_i(i =1−6)為形 狀函數[12]，其表示式詳見附錄 A。

(2) 元素的三個頂點以及三個邊的中點滿足克希霍夫板理論 (Kirchhoff plate theory)的假設，即

(a) 在三個頂點

γ_xzi =w_,xi +θ_yi =0 i =1,2,3 (2.2.21a) γ_yzi =w_,yi −θ_xi =0 i =1,2,3 (2.2.21b) 其中w 、_xi w 、_yi θ_yi、θ_xi分別是 ( )

x w_x w

∂

= ∂ 、 ( )

y w_y w

∂

= ∂ 、θ_y、θ_x在節

點 i 的值。

(b) 在三個邊的中點

, =0 +

−θ_nk w_sk k =4,5,6 (2.2.22a)

, =0 + _nk

sk w

θ k =4,5,6 (2.2.22b) 其中θ_nk、θ_sk分別是θ_n、θ_s在節點k的值，θ_n與θ_s分別是 θ 在 n 與 s 方 向的分量，w_,sk、w_,nk分別是 _, ( )

s w_s w

∂

= ∂ 、 _, ( ) n w_n w

∂

= ∂ 在節點 k 的值。

(3) w 在元素邊緣的方向上是呈現三次變化，也就是：

由(2.2.21)-(2.2.26)式可以把(2.2.19)式表示成[12]：

b

新形狀函數，其表示式詳見附錄 A，ξ與η是元素內任一點在元素自 然座標[12]的座標值，其中1≤ξ ≤0、1≤η ≤0。

將(2.2.27)式代入(2.2.18)式可以得到：

κ =B_bu_b (2.2.29)

其中 E 是楊氏模數(Young's module)，ν 是蒲松比(Poisson ratio)，(2.2.33)

式之ε 可以是(2.2.12)式中的ε 及(2.2.17)式中的_m ε 。 _b

2.2.3.1 CST 元素之節點內力與剛度矩陣 將(2.2.31)式代入(2.2.11)式可得

σ_m =EB_mu_m (2.2.35) 由虛功原理可得

dV

V m

t m m

t

mf ⁼

∫

^{ε σ}

u δ

δ (2.2.36) }

{ _{m1 m2 m3}

m f f f

f =

f_mi ={f_xj f_yj} j=1,2,3 (2.2.37) 其中f 是 CST 元素對應於_m δum的節點內力，V 是元素的體積。

將(2.2.11)式、(2.2.35)式代入(2.2.36)式可得

dV

V m m

t m t

m m

t

mf ⁼ u

∫

B EB u

u δ

δ (2.2.38) 由(2.2.38)式可得

f_m =k_mu_m (2.2.39) dV

V m

t m

m ⁼

∫

B EB

k (2.2.40) 其中k 是 CST 元素的剛度矩陣，而_m K 的表示式詳見附錄 B。 m

2.2.3.2 DKT 元素的節點內力及剛度矩陣 將(2.2.16)式、(2.2.29)式代入(2.2.31)式可得

σ =_b zEBu_b (2.2.41) 假設在薄殼中剪應力τ_xz與τ_xz所做的虛功可以忽略，所以本文中用虛 功原理推導 DKT 元素的節點內力時僅考慮σ_x、σ_y及τ_xy所做的虛功。

由虛功原理可得 dV

V b

t b b

t

b^{f =}

∫

^{ε σ}

u δ

δ (2.2.42)

f =_b {f_b1 f_b2 f_b3}

f_bi ={f_zj m_xj m_yj} j =1,2,3 (2.2.43) 其中f 是 DKT 元素對應於_b δu_b的節點內力，u 定義於(2.2.28)式，V 為_b DKT 元素的體積。

將(2.2.16)式、(2.2.41)式代入(2.2.42)式可得 ⁼

∫∫

_A t b b

b t

b b t

bf u zB zEB u dzdA

u δ δ

⁼

∫

_A b b b t

b t

b B D B u dA

δu (2.2.44) 其中





















− −

=

=

∫

₋

2 0 1 0

0 1

0 1

) 1 ( 12 ²

2 3 2

2

ν ν

ν ν

dz Eh

h z

b h E

D (2.2.45)

其中 h 為元素厚度。

由(2.4.45)式可得[12]

f =_b k_bu_b (2.2.46) η

η ξ

d d A ^t_{b b b}

b ⁼²

∫ ∫

₀¹ ₀¹⁻ B D B

k (2.2.47) 其中k 是 DKT 元素剛度矩陣。 _b

2.3 梁元素

本文採用文獻[16]中提出之開口薄壁梁元素的線性部份並加以必 要的修改。因本研究將板的加勁條視為梁，所以梁元素的節點與殼元 素的節點位置與自由度需一致(如圖 2.4)，即位於殼的中心面且有三個 平移及旋轉自由度。因文獻[16]的元素節點取在梁斷面的剪心且有七 個自由度，即三個平移、三個旋轉及扭轉率，所以文獻[16]之梁元素 的線性剛度矩陣不能直接用在本研究上。本章中將推導元素節點位置

改變時，對應於新舊節點之元素剛度矩陣間的轉換關係，並將文獻[16]

之元素節點的扭轉率自由度去掉。本章中亦將簡單描述經本文修改後 文獻[16]的梁元素。

2.3.1 梁元素的基本假設

本文中對梁的基本假設如下：

(1) 梁為等斷面且細長桿件。

(2) Euler-Bernoulli 假說成立。

(3) 梁斷面變形前後，斷面形狀不變且斷面內的應變可略。

(4) 梁應變均為小應變

2.3.2 梁元素之變形描述

本文是在元素座標上，描述梁元素的變形，如圖 2.5 所示本文之

元素座標的示意圖，其中x₁^E軸通過元素的兩端點斷面的剪心。圖中

P 、C 、 R 分別為梁斷面的剪心、形心及一任意的固定點。x₂^s及x₃^s為 斷面座標，其原點為斷面形心，方向通過形心的主軸方向。元素座標 的x₂^E及x₃^E軸分別與x₂^s及x₃^s軸平行。由 2.3.1 節的基本假設可知，梁 元素的變形可由其剪心軸的單位長度伸長量、側向位移及其截面繞剪 心軸的旋轉決定。本文中假設梁元素剪心軸的側向位移與文獻[16]相 同，為三次 Hermitian 多項式，形心軸的軸向變形與文獻[16]相同，

即不計扭轉時，形心軸的應變為均勻的應變，繞剪心軸的旋轉為一次 多項式與文獻[16]的三次 Hermitian 多項式不同。

2.3.3 梁元素節點位移向量與剛度矩陣

梁元素的節點 j( =j 1,2)若取在其兩端斷面的剪心 P、形心C 或任

t

PR

由(2.3.5)式與反梯度法則(Controgradient law)[18]，可得

P

}

將(2.3.7)式代入(2.3.8)式並使用 chain rule 可得

PR

將(2.3.2)式，(2.3.6)式代入(2.3.9)式可得





且其應力僅有與軸力方向一致的正應力，若 O 型環的材料為橡膠，

其楊式係數為E ，則彈性支承每單位長度的彈簧常數可表示為： _R

OR OR R

h E ⋅t

R =

K (2.4.1) 其中h_OR為彈性支承的高，t_OR為彈性支承的寬度。

圖 2.7 所示為本文中採用的彈簧元素，其節點內力剛度矩陣可表 示成

f =_S k_Su_S (2.4.2) f_S ={f_S1 f_S2} (2.4.3)





 





−

−

= 1 1

1 1

R R

S K L

k (2.4.4)

其中K 定義於(2.4.1)式，_R L 為分配給彈簧元素之 O 型環的長度，_R

R RL

K 稱為彈簧元素的剛度。

2.5 系統平衡方程式

在系統固定總體座標中定義的線性平衡方程式，可表示為 P

KU = (2.5.1) 其中 K 為系統剛度矩陣，U 為系統節點位移向量，P 表示系統節點外 力向量。K 可由各元素之元素剛度矩陣，從元素座標轉換到固定總體 座標上組合而成。P 由各元素的節點外力組合而成，本文中僅考慮均 佈載重，所以元素中各節點所受的外力是由三分之一的板元素面積乘 上均佈負荷而得。

本文中僅考慮板受均佈壓力的情況，因 O 型環僅能承受壓力，

不能承受拉力，且為了保持板與 O 型環間氣密性，O 型環須有適當

的壓縮量。本文中將調整 O 型環在不同位置的剛度使其在預設負荷 下的壓縮量是均勻的且為一預設值，這是一個最佳化的問題，本文將 在下節中說明。

2.6 彈簧元素剛度的最佳化及目標函數

令 M 表示將 O 型環離散化後彈簧元素之數目，k_i(i =1−M)表示 彈簧元素i 的剛度。令k 為彈簧元素之剛度組成之M ×1的行矩陣，並 可表示為

} ,..., ,

{k₁ k₂ k_M

k= (2.6.1) 若將彈簧元素的剛度視為變數，則(2.5.1)式中系統的剛度K 與節點位 移 U 都是k 的函數。

令Q 為一M ×1的行矩陣，並可表示為

Q={Q₁,Q₂,...,Q_M} (2.6.2) 其中，Q_i(i=1,...,M)表示第i 個彈簧元素與板元素之共同節點在 Z 方 向的位移，為方便稱呼，本文中稱Q 為第 i 個彈簧元素的位移。因 Q_i 可以從(2.5.1)的解 U 中選取而得，所以Q 亦為k 的函數。

本文中希望調整(2.6.1)式的k ，而使(2.6.2)式中所有的Q 趨近一i

預設值。該目標可將下列目標函數極小化而達成

) (

) 2(

) 1

(k Q Qe Q Qe

H = − ^t ⋅ − (2.6.3)

且

k_i ≥k_min> 0 (2.6.4) 其中Q 為一預設彈簧位移，k_min為一預設之最小彈簧剛度，e 為一

1

M × 的行矩陣並可表示為

e={1,1 ,,1 ...., }1 (2.6.5) 因(2.6.3)式中 H 為 k 的函數，所以當 H 有最小值時，必須滿足

k 0

=

∂

= ∂H ϕ ϕ ϕ

ϕ (2.6.6)

其中 ϕϕϕ 為一ϕ M ×1的行向量可視為誤差向量，其第i 個元素

i

i k

H

∂

=∂

ϕ 。

將(2.6.3)式代入(2.6.6)式可得 0 e Q

G − =

=

={ϕ_i} ( Q ) ϕ

ϕϕ

ϕ (2.6.7) G =[Q_,1,Q_,2,...,Q_,M]^t (2.6.8) ϕ_i =Q_,^t_i(Q−Qe) (2.6.9)

其中G 為一M ×M的矩陣， , (i 1,..,M) k_i

i =

∂

=∂Q

Q ，本文中

( ) ( )

i

i ∂k

= ∂

, (i=1,..,M)。

因Q 可以從 U 中選取而得，所以Q 亦可從,i U 中選取而得。,i U 可,i

由以下的推導求得。

令對應於第i 個彈簧位移的系統自由度為系統之第 I 個自由度。

將(2.6.1)式對k 微分可得 _i

KU,_i=−U_I (2.6.10) UI =K,iU (2.6.11)

因K 中除了第 I 個對角線元素的值為 1 外，其餘的元素皆為 0，,_i 所以(2.6.9)式中，行向量U 中除了第 I 個元素的值為_I U 外，其餘皆為I

0，其中U 為 U 中的第 I 個元素，即系統中第 I 個自由度的位移。解_I 線性聯立方程式(2.6.9)即可求得U 。 ,_i

(2.6.7)式為 k 的非線性函數，本文中將在第三章以牛頓法求滿足 (2.6.7)式的 k ，並以

etol

≤ ϕ ϕϕ

ϕ (2.6.12) 作為收斂準則，其中

( )

表示

( )

的 Euclidean norm，e_tol為一預設的容 許誤差。

用牛頓法解(2.6.7)式時，在迭代過程中需用到

k S ∂

=∂ϕϕ ，故在此先ϕϕ

推導S 如下：

將(2.6.7)式之 ϕϕϕϕ 對 k 微分可得

] [ ] [

j ij i

S k

∂

= ∂

= ϕ

S

)

, (

,

, Q Q Q e

Q Q

S k ^t_{i j} ^t_ij

j i

ij = + −

∂

=∂ϕ

(2.6.13)

其中S 為一M ×M的矩陣。

(2.6.13)式中Q,_ij可由U,_ij選取而得。U,_ij可以由以下推導求得 將(2.6.10)式對k 微分可得 _j

) ( _{, , , ,}

,ij K iU j K jU i

KU =− + (2.6.14) 其中U 及_,i U 可由(2.6.10)式求得，_,j K_,iU_,j及K_,jU_,i的計算方法與 (2.6.11)式算U 的方法一樣。 _I

由(2.6.14)式可知U_,ij =U_,ji，所以(2.6.13)式中Q_,ij =Q_,ji，即

在文檔中 加勁板之彈性支承的剛度在均勻横向負載下的最佳化分析 (頁 17-0)