第二章 電液伺服系統建模
3.2 並聯式六軸平台之運動學分析
圖 3-1 並聯式運動平台的結構簡圖[19]
圖 3-2 拆解後運動平台單一軸件分析圖
其中 為各座標絕對角速度，另外函數上標具有波浪符號為其相對應之反 對稱矩陣。由(3-3)得驅動器之速度分析:
因實際中以萬向接頭為其驅動器接點，(3-4) 各桿角運動無對稱分量繞轉 即：
將(3-6)矩陣運算整理後可得各桿角速度表示式:
同理將(3-4)再進行導數分析整理後可得單一驅動連桿軸腳之加速度 及角加速度:
3.3 並聯式六軸平台動態模型推導 3.3.1 運動平台系統動能及位能分析
主要以 Lagrange’s 方程法來建立其動態模型。首先必須先求得系統動 能以及位能。命
為上平台中 B 座標系原點至驅動位置重心分量，
與則分別代表桿件上下區段平台重心分量，依 2-14 圖所示， 為上平台 質心動點位置向量； 與 為平台動點位移至 i1與 i2座標向量，將 其轉換至基座之 N 慣性座標系上如下式:
將(3-11)取一次導數後可得:
其中 、
、
、屬於常數向量，所以其一次導數為零，即:。 平台系統總動能為各桿驅動器動能加總，故整體
平台系統之剛體動能以矩陣型式可表示成:
其中:
dmB
、 dm
i1、 dm
i2、分別為上可動平台 mB 質量及各桿驅動器上段和下 段 mi1、
mi2質量，微分後系統質點。另外 zi1、 z
i2則為上段與下段各自 位置重心向量，Gi1、 G
i2表示各自重心點。 IB則是相對於可動平台質心B 之質量矩慣性矩陣，而 I
i1、 I
i2分別對應 Ai1、 A
i2質量矩慣性矩陣。
由定義基座 N 座標系為平台重力基準點來看，則可導出整體平台之重力位 能為:
其中 為重力加速度向量。
3.3.2 Lagrangian 虛功原理
接著我們導入虛功原理並建立或定義 Lagrangian 動態方程中所需要 拘束條件及拘束力。首先定義f i為關節接點上驅動力，其作用方向沿各驅 動器伸縮 i1座標方向。並由虛位移運動作用下，與此作用力產生虛功，如 下表示式:
此外也令系統具有虛擬旋轉角度，及虛角位移。故以角虛功來建立平台運 動角度之相對應的拘束條件如下:
其中 、 代表在準座標上虛位移，其角速度向量為:
(3-17)式中之 則為 Lagrange 乘數 ，代表方程式中受到拘束方向上的力量。
式(3-17)定義了三個虛功條件，第一為各桿驅動器虛功，及上平台 B 點虛位移和各桿接點具虛轉動角。把系統中拘束條件和拘束力以及力矩整 理後可得下式:
其中:
、 、 、
代表各自相對應之虛位移或旋轉之拘束力及力矩。3.3.3 平台之動態方程式
當規劃平台系統運動軌跡後，藉由平台動態方程式之建立，可以執行 系統動力學之分析及運動轉換，計算出各桿驅動器，對應平台運動之力量 或力矩輸出。本文依據所建立平台之運動方程和系統之動能以及位能程，
並建立出相對應拘束方程，接著依據 Lagrange 方程式及混合座標分析，平 台可得系統動態方程；
第四章 反覆式學習控制器
4.1 反覆式學習控制器介紹
反覆式學習控制(Iterative Learning Control, ILC) 其主要控制概念為:
在一個系統中，可藉由反覆的執行過程中，記錄每次操作過程當前資訊，
4.2 PID 型反覆式學習控制器
由於 ILC 反覆式學習控制器在控制系統之動態行為上，可分為兩個方 向去進行軌跡追蹤，其一為時域方向，即系統每一次學習操作軌跡以時間 t 為函數進行控制。第二則為反覆學習過程中疊代方向(iterative)，此方向 主要藉由每一次時域控制上系統輸出的追隨誤差，經修正輸入後反覆操作 時間方向，隨著學習的次數增加下，使其系統輸出軌跡得以學習並逼近期 望軌跡，讓系統效能得以達成控制目標。所以我們可以將 ILC 反覆式學習 控制器視為一個二維的控制系統，而基本的 PID 型態之 ILC 控制器方塊如 圖 4-2 所表示。
圖 4-2 PID 反覆式學習控制器控制方塊圖 其中此二維控制系統之第 K 次系統輸出之軌跡誤差定義如下：
則 PID 型態之反覆式學習控制律可寫成:
前一節中了解到 PID 型態之反覆式學習控制器在系統之動態行為上，
可分為時間與學習疊代兩個方向上進行，而在時間方向上系統軌跡追隨控 制上使用 PID 控制器，則該 PID 型 ILC 二維控制系統之控制律如(4-3)式所 示。本文中 PID 控制器之學習增益參數使用上調整準如下說明。
傳統的 PID 控制器，主要是由比例(Proportional)以及積分器(Integral)、
微分器(Derivate)三項控制增益組合而成，其中控制方塊圖如(圖 4-3)所示
可將控制器三項增益參數以下式表示:
(4-4)
上式裡 TI 為積分時間 TD為微分時間，為了調整出符合系統增益參數，我們將使用 Ziegler-Nichols 調整準則，先將系統 KP 比例參數慢慢增大，
當系統產生臨界震盪時，找出維持此連續狀態之比例增益 Kc，並求出此震 動週期 Tc，依序 Ziegler-Nichols 調整準則求得適當控制增益參數，期望針 對控制系統之輸出誤差降至最小。
表 4-2 Ziegler-Nichols 調整準則
順滑模態的產生藉由輸入函數切換特定時機而來。假設針對一個可變 結構控制系統，其輸入函數 u(x)可因系統變換區分為：u+(x) 及 u-(x)，
即：
(4-5)
其中我們定義影響系統的切換機制 s (x)即稱為切換函數。故切換函數可 以將系統狀態結構區分成三個子系統，分別為；、
、 以 及
之情況。系統將依據切換函數變化大於或小於零，分別對應選 擇不同的輸入函數，但當 s (x)=0 時將產生順滑平面必須是連續可微，取 平面涵蓋系統平衡點，故 s (x)也亦稱滑模函數。此外為使控制軌跡能趨 向平衡點移動，則滑模函數的變律必須滿足以下條件：當
則滑模 函數的一次變律必須小於零
；反之
則變律必須為
，如此才可滿足系統順滑模態穩定條件，如圖 4-5 所示。
圖 4-5 順滑模態平衡條件
其中:
k
圖 4-6 順滑模態切換條示意圖 sign(s)
Slotine 對於上式中順滑模態之切換函數認為過於理想化，因這樣的函 數在穩態時，將需要無限高速的調變頻率才可能實現，但在真實的世界是 無法達成的，這樣一來將可能產生高頻跳動即切跳現象，導致硬體損壞或 控制器無法實現，所以他們提出邊界層緩衝切換條件，將可有效改善此缺 點現象[22]。
重新改寫 sign(S)切換條件定義如下:
(4-19)
圖 4-7 順滑模態切換條示意圖 sat(s)
主要的切換概念是，增加一個厚度為 g 的順滑區間，這樣的設計下可 以使控制系統仍能趨近
，且當進入順滑區間{g}時令其在原點處 滑動，這樣一來即可避免過度切換現象，但相對是使系統控制精度降低。
相對順滑區間若有足夠厚度下，將可以有效改善高頻切跳現象及干擾雜訊，
此概念已廣泛運用於實際順滑控制器上。
圖 4-9 順滑模態反覆學習控制器方塊圖
圖 4-10 順滑模態反覆學習控制器軌跡控制模式
依據上述兩控制器的結合方法後，順滑模態反覆式學習控制演算法 如下所敘，首先考慮一高階非線性且具未知干擾之系統如下:
(4-20)
其中:系統狀態為 ，定義系統輸出與輸入矩陣為
y(t)
與u(t) ，
此外 a、b 則為非零系統狀態係數矩陣，以及 d 則是未知干 擾矩陣。另外設定每次反覆學習的初始狀態一致，定義控制目標為使輸出軌跡
y(t)
可以逼近yd(t)
期望軌跡，故定義每次控制之追隨誤差為e(t) = yd(t) - y(t) = yd(t) – x 1 (t)。
假設順滑平面函數 s(4-21)
(4-22) 其中:
c
則為非零系統狀態誤差系數矩陣，將(4-22)式展開整理後可得:(4-23)
(4-24) 故順滑模態反覆式學習控制的控制輸入項則可寫成[23]:
其中:k、f 順滑模態穩定常數。 (4-25)
圖 5-1 PID-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=1~4 學習結果
圖 5-2 PID-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=5~8 學習結果
圖 5-3 PID-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=9~12 學習結果
圖 5-4 PID-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=13~16 學習結果
圖 5-5 PID-ILC 控制器 5cm 定位軌跡控制圖 k=17~20 學習結果
圖 5-6 PID-ILC 控制器 5cm 軌跡反覆學習軌跡圖
由圖 5-1~5-5 中顯示，PID-ILC 控制器在 5cm 步級目標定位結果。由 圖中的收斂結果可發現，PID-ILC 控制器藉由每一次的反覆學習中，能夠 控制系統輸出漸漸趨近期望位置，並且由圖 5-6~5-7 中可看出，在每次的 學習修正後，輸出軌跡在響應速率及暫態超越量都能有很好改善，且能在 有限的時間和次數下，能使穩態誤差有效收斂。圖 5-8 顯示在不同學習次 數中輸入電流與時間的變化關係。
接著我們執行 PID-ILC 控制器在 5cm 步級目標定位過程間，轉換為正 弦波(1HZ；振幅 2cm)之軌跡追隨控制，測試系統規畫軌跡突然改變時，
控制器效能否有效追隨。
圖 5-9 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=1~4 學習結果
圖 5-10 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=6~9 學習結果
圖 5-11 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=10~13 學習結果
圖 5-12 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=14~18 學習結果
圖 5-13 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=19~25 學習結果
圖 5-14 PID-ILC 控制器於 5cm 定位正弦波軌跡追隨 k=26~34 學習結果
圖 5-15 PID-ILC 控制器 5cm 定位正弦波追隨誤差反覆收斂結果
圖 5-16 PID-ILC 控制器 5cm 正弦波追隨反覆學習-輸入電流時間關係
由圖 5-9~5-14 中顯示 PID-ILC 控制器在 5cm 步級目標定位過程中，
突然改變追隨軌跡為正弦波(1HZ；振幅 2cm)之控制結果，由圖中輸出軌 跡可看到，在控制器反覆的學習及誤差修正相較下可發現，控制器需要更 多的學習次數下，才能夠使系統輸出漸漸趨近所規劃軌跡。由圖 5-15 中可 看出，系統的追隨誤差在 6 秒時因控制目標的突然改變而劇增，不過藉由 PID-ILC 控制器反覆學習下系統的輸出，在穩態追隨及暫態響應上仍然可 以得到良好改善，但當學習到一定的次數下，系統輸出軌跡將不再有明顯 改變，我們稱軌跡已學習飽和(如第 30~34 學習軌跡)。圖 5-16 中顯示在不 同學習次數中輸入電流與時間的變化關係。
圖 5-17 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=1~4 學習結果
圖 5-18 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=4 穩態情況
圖 5-19 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=4~7 學習結果
圖 5-20 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=7 穩態情況
圖 5-21 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=8~10 學習結果
圖 5-22 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡定位控制圖 k=10 穩態情況
圖 5-23 SMD-ILC 控制器 5cm 軌跡反覆學習軌跡圖
圖 5-24 SMD-ILC 控制器 5cm 定位誤差反覆學習收斂結果