第四章 反覆式學習控制器
4.2 PID 型反覆式學習控制器
4.2 PID 型反覆式學習控制器
由於 ILC 反覆式學習控制器在控制系統之動態行為上，可分為兩個方 向去進行軌跡追蹤，其一為時域方向，即系統每一次學習操作軌跡以時間 t 為函數進行控制。第二則為反覆學習過程中疊代方向(iterative)，此方向 主要藉由每一次時域控制上系統輸出的追隨誤差，經修正輸入後反覆操作 時間方向，隨著學習的次數增加下，使其系統輸出軌跡得以學習並逼近期 望軌跡，讓系統效能得以達成控制目標。所以我們可以將 ILC 反覆式學習 控制器視為一個二維的控制系統，而基本的 PID 型態之 ILC 控制器方塊如 圖 4-2 所表示。
圖 4-2 PID 反覆式學習控制器控制方塊圖 其中此二維控制系統之第 K 次系統輸出之軌跡誤差定義如下：
則 PID 型態之反覆式學習控制律可寫成:
前一節中了解到 PID 型態之反覆式學習控制器在系統之動態行為上，
可分為時間與學習疊代兩個方向上進行，而在時間方向上系統軌跡追隨控 制上使用 PID 控制器，則該 PID 型 ILC 二維控制系統之控制律如(4-3)式所 示。本文中 PID 控制器之學習增益參數使用上調整準如下說明。
傳統的 PID 控制器，主要是由比例(Proportional)以及積分器(Integral)、
微分器(Derivate)三項控制增益組合而成，其中控制方塊圖如(圖 4-3)所示
可將控制器三項增益參數以下式表示:
(4-4)
上式裡 TI 為積分時間 TD為微分時間，為了調整出符合系統增益參數，我們將使用 Ziegler-Nichols 調整準則，先將系統 KP 比例參數慢慢增大，
當系統產生臨界震盪時，找出維持此連續狀態之比例增益 Kc，並求出此震 動週期 Tc，依序 Ziegler-Nichols 調整準則求得適當控制增益參數，期望針 對控制系統之輸出誤差降至最小。
表 4-2 Ziegler-Nichols 調整準則
順滑模態的產生藉由輸入函數切換特定時機而來。假設針對一個可變 結構控制系統，其輸入函數 u(x)可因系統變換區分為：u+(x) 及 u-(x)，
即：
(4-5)
其中我們定義影響系統的切換機制 s (x)即稱為切換函數。故切換函數可 以將系統狀態結構區分成三個子系統，分別為；、
、 以 及
之情況。系統將依據切換函數變化大於或小於零，分別對應選 擇不同的輸入函數，但當 s (x)=0 時將產生順滑平面必須是連續可微，取 平面涵蓋系統平衡點，故 s (x)也亦稱滑模函數。此外為使控制軌跡能趨 向平衡點移動，則滑模函數的變律必須滿足以下條件：當
則滑模 函數的一次變律必須小於零
；反之
則變律必須為
，如此才可滿足系統順滑模態穩定條件，如圖 4-5 所示。
圖 4-5 順滑模態平衡條件
其中:
k
圖 4-6 順滑模態切換條示意圖 sign(s)
Slotine 對於上式中順滑模態之切換函數認為過於理想化，因這樣的函 數在穩態時，將需要無限高速的調變頻率才可能實現，但在真實的世界是 無法達成的，這樣一來將可能產生高頻跳動即切跳現象，導致硬體損壞或 控制器無法實現，所以他們提出邊界層緩衝切換條件，將可有效改善此缺 點現象[22]。
重新改寫 sign(S)切換條件定義如下:
(4-19)
圖 4-7 順滑模態切換條示意圖 sat(s)
主要的切換概念是，增加一個厚度為 g 的順滑區間，這樣的設計下可 以使控制系統仍能趨近
，且當進入順滑區間{g}時令其在原點處 滑動，這樣一來即可避免過度切換現象，但相對是使系統控制精度降低。
相對順滑區間若有足夠厚度下，將可以有效改善高頻切跳現象及干擾雜訊，
此概念已廣泛運用於實際順滑控制器上。
圖 4-9 順滑模態反覆學習控制器方塊圖
圖 4-10 順滑模態反覆學習控制器軌跡控制模式
依據上述兩控制器的結合方法後，順滑模態反覆式學習控制演算法 如下所敘，首先考慮一高階非線性且具未知干擾之系統如下:
(4-20)
其中:系統狀態為 ，定義系統輸出與輸入矩陣為
y(t)
與u(t) ，
此外 a、b 則為非零系統狀態係數矩陣，以及 d 則是未知干 擾矩陣。另外設定每次反覆學習的初始狀態一致，定義控制目標為使輸出軌跡
y(t)
可以逼近yd(t)
期望軌跡，故定義每次控制之追隨誤差為e(t) = yd(t) - y(t) = yd(t) – x 1 (t)。
假設順滑平面函數 s(4-21)
(4-22) 其中:
c
則為非零系統狀態誤差系數矩陣，將(4-22)式展開整理後可得:(4-23)
(4-24) 故順滑模態反覆式學習控制的控制輸入項則可寫成[23]:
其中:k、f 順滑模態穩定常數。 (4-25)