中間值定理的應用

中間值定理在數學與生活中有很多有趣的現象值得討論, 這裡將我所知道的故事做一個介紹。

例 _{1 (}水平弦). 若 _{f (x)} 是定義在 _{[0, 1]} 上的連續函數, 並且 f (0) = f (1), 則對任何 _{n ∈ N,} 存在 ξ ∈ [0, 1)使得 _{f (ξ + n}¹_{) = f (ξ)}。

在證明這個結果之前_,我們不妨用圖形感受其意義。 如圖 _4.1所示_, 首先畫一條兩端高度相同的連

續函數 f (x), 並設定一段長度為 _n¹ 的箭頭, 箭頭與 x 軸平行, 且讓箭頭的起點與曲線的最左端貼齊,

例如在圖4.1的左、右兩圖分別示意箭頭長度為 ¹₂ 與 ¹₃ 的情況。 現在將箭頭沿著曲線平行移動, 觀察 箭頭的尖端是否在某個地方碰到曲線。 而我們的目標是要證明: 一定會在某個地方, 箭頭的尖點也會 正好碰到曲線。 這裡我們把滿足箭頭的起點與尖點都在曲線上的橫線段稱為水平弦。

x x

y y

f(x) f(x)

1 1

長度 ¹

2 長度 ¹

3

圖_4.1: 水平弦。 左圖是長度為 ¹₂ 的情況_, 右圖是長度為 ¹₃ 的情況_, 水平弦都存在。

各位若是用上述方式體會的話, 似乎覺得這個現象很自然地就會發生, 但是要怎麼把這件事情說 清楚呢? 特別剛才所畫的曲線只是諸多連續函數中的一個例子, 若是畫了其它滿足條件的連續函數, 為什麼也會有水平弦的存在, 若不透過數學的呈現就更難說明清楚。 以下將利用中間值定理證明水平 弦的存在性。

證明: 不失一般性, 我們可以假設 f (0) = f (1) = 0。 考慮函數 F (x) = f

 x +1

n



− f (x), 其中 _{x ∈}



0,n − 1 n

 , 因為 _{f (x +n}¹₎ 和_{f (x)} 都是連續函數, 所以 F (x)也是連續函數。 計算

n−1

X

k=0

F k n



=

n−1

X

k=0



f k + 1 n



− f k n



= f (1) − f (0) = 0, 現在分以下兩種情況討論:

(A) 若存在某個 k ∈ {0, 1, . . . , n − 1}使得 _{F (}^k

n) = f (^k_n+_n¹) − f (^k_n) = 0, 則_{ξ =} ^k

n 即為所求。

(B) 若所有 k = 0, 1, . . . , n − 1 都 _{F (n}^k_{) 6= 0,} 則必有 _k^′_{, k}^′′ ∈ {0, 1, . . . , n − 1} 使得 _{F (}^k_n^′_{) >}

0, F (^k_n^′′) < 0。 由中間值定理(Intermediate Value Theorem)得知: 在_k^′ 與 k^′′ 之間存在一 點 ξ 使得 F (ξ) = f (ξ +_n¹) − f (ξ) = 0,於是 ¹_n 的水平弦存在。

30 4.6 中間值定理的應用

關於水平弦的故事其實還有一個進階思考題, 不曉得各位有沒有發現到_, 水平弦只是針對長度為

1

n 的形式下才有存在性; 也就是說, 在 _{[0, 1]} 上兩端函數值相同的連續函數, 不見得會有長度 ^k_n, k = 2, 3, . . . , n − 1的水平弦。 各位不妨嘗試一下怎麼造一個在_{[0, 1]}上兩端函數值相同的連續函數,但是 不會有寬度為 ²

3 的水平弦, 你就會發現到想要造一個反例也不是件輕而易舉之事。 所以水平弦的存在 性只在很少數的情況會發生, 大部份長度的水平弦並非總是發生。 這又讓我們產生另一個迷思, 當初 在觀察 _n¹ 水平弦的存在性時, 真的有那麼自然嗎? 為什麼我們在造反例的時候, 卻又是這麼地困難? 例 _{2 (}橡皮筋_). 一段橡皮筋在未拉扯之前置於 [a, b] 的位置, 在拉扯後 ₍不把橡皮筋拉斷₎ 的狀態為 [a^′, b^′], 若a^′ ≤ a且b^′ ≥ b,則這條橡皮筋當中必有一點在拉扯的前後狀態下位置不變。

各位可以真的拿起橡皮筋進行拉扯, 然後想一想在拉扯前後狀態下位置不變的點是否很容易找到。

在數學上_, 我們把這種變換過程中位置不變的點稱為 不動點 或是 固定點(fixed point)。 現在將上面的敘述轉換成數學語言, 則是想證明以下定理:

定理_. 若一個連續函數 f : [a, b] → R 滿足 f (a) = a^′, f (b) = b^′ 以及 _a^′ _{≤ a} 與 b^′ ≥ b, 則存在 ξ ∈ [a, b] 使得 _{f (ξ) = ξ}。

證明: 考慮 F (x) = f (x) − x, x ∈ [a, b], 因為 _{f (x)}與 x皆為連續函數, 所以 F (x)也是連續函數。

此外, 因為F (a) = f (a) − a = a^′− a ≤ 0, F (b) = f (b) − b = b^′− b ≥ 0, 現分以下兩種情況討論: (A) 若 F (a) = f (a) − a = 0或F (b) = f (b) − b = 0, 則取 _{ξ = a} 或ξ = b即為所求。

(B) 若 F (a) < 0 且 F (b) > 0, 由中間值定理 (Intermediate Value Theorem) 得知_: 存在 ξ ∈ (a, b) 使得 F (ξ) = f (ξ) − ξ = 0,則 _ξ 即為所求。

x y

f(x)

y= x

(a, a^′)

(b, b^′)

圖 _4.2: 拉橡皮筋的過程中總有不動點。

這裡再用圖形理解一次拉橡皮筋的故事, 在坐標平面上先畫一條 y = x 的直線, 然後在平面上標 註兩點 _{(a, a}^′₎ 以及 _{(b, b}^′₎。 因為我們要求 a^′ ≤ a以及 _b^′ _{≥ b,} 所以 (a, a^′) 不會在直線 y = x 上方 的區域, 而(b, b^′) 不會在直線y = x 下方的區域。若 (a, a^′) 或是 (b, b^′)在直線y = x 上_, 則為證明 (A)的情況。 若 (a, a^′) 在直線下方的區域且 (b, b^′) 在直線 y = x 上方的區域_, 則為 _(B) 的情況。 因 為橡皮筋在拉扯的階段沒有斷掉, 所以在拉扯的前後狀態之橡皮筋位置的對應關係是一個通過 (a, a^′) 與 (b, b^′)的連續函數, 則函數的圖形必與直線 y = x 相交。

例 _{3 (}自行車). 騎自行車向來是我喜歡的一項運動, 在求學的階段時間比較多 (好像整天都在玩?), 所以我曾騎著腳踏車全台走透透, 看看台灣的好山好水。 十幾年前自行車盛行的時候, 自行車協會也 會舉辦比賽。 我在2011 年的春天參加了一場 AMD環花東380 超級挑戰賽, 那是一個兩天的騎乘比 賽_,第一天上午六點從花蓮市區沿著台11線南下騎到台東知本;第二天上午六點再從知本沿台9線北 上騎回花蓮市區。 兩天的騎乘路線雖然不同, 但長度約莫各 190 公里, 故名 ₃₈₀ 超級挑戰賽。 各位小 朋友要注意, 葛格平常是有受過專業訓練的, 所以才能兩天都順利完賽, 甚至表現不差(傲₎。 如果事前 沒有先經過一定程度的練習, 突然在兩天之內要騎 380公里的話, 一定會出現各種狀況。

在這兩天的騎乘過程中,居然有一個很巧合的現象發生, 那就是存在一個具有同緯度的去、回兩地, 手錶的時間分秒不差。 該怎麼說明這個現象呢?

這裡我先還原一下當時騎車的狀況, 就我的印象中_, 去程是比較辛苦的, 我大概騎到將近下午五點 才到台東知本_;而回程就比較順利_, 還不到三點就已騎回花蓮市區。 我把這兩天騎車時_, 每個時間對應 騎到哪邊₍記錄其緯度) 的關係圖畫出, 如圖 _4.3所示。 去程的時候, 因為是上午六點在花蓮出發, 所

以標記在 (6, 23.9) 的位置, 比賽開始後, 因為要往南騎到知本, 所以得到一個連續的遞減函數 f (t),

而第一天是下午五點到知本, 所以函數f (t)的圖形會通過(17, 22.4); 第二天的上午六點從知本出發, 所以在同一個坐標上標記 (6, 22.4) 的位置, 比賽開始後, 因為要往北騎回花蓮, 所以得到一個連續的 遞增函數 _g(t),第二天是下午三點到花蓮, 所以函數 g(t)的圖會通過(15, 23.9)。

我們要說明的是: 由 f (t) 和 _g(t) 所形成的這兩條曲線會有一個黃金交叉, 這個交點就是我們要 尋找的點: 它滿足兩地的緯度相同而且兩天的時間分秒不差。

時間 ₍₂₄小時制₎ 緯度_(N)

6 ξ 15 17

花蓮 _23.9

知本 _22.4 去程 _f(t) 回程 g(t)

圖 _4.3: 兩天自行車騎乘的時間與緯度的關係圖。

這裡利用數學的語言搭配中間值定理給予一個論述, 這個論述過程基本上和前一個例子類似: 若 去程的連續函數為 f : [6, 17] → R, 而回程的連續函數為 g : [6, 15] → R。 在 _t 限定為 [6, 15]的地 方考慮 F (t) = f (t) − g(t), 則 _{F (t)}是一個連續函數, 並且滿足 F (6) = f (6) − g(6) > 0, F (15) = f (15) − g(15) < 0, 由中間值定理 (Intermediate Value Theorem)得知: 存在 ξ ∈ (6, 15) 使得 F (ξ) = 0, 也就是說 f (ξ) = g(ξ), 於是在這兩個地方有著相同的緯度, 時間也相同。

這裡我講了一個看似很酷炫的現象, 牽涉到騎自行車、環花東比賽、路線不同等很多變因, 而這當 中會有同緯度同時刻的共通性, 而且每位完賽的選手也一定會有他自己所屬的黃金交叉點。 實際上這 些變因都不會影響定理的真實性。 想一想兩台高鐵同時發車, 一台從台北發車南下至高雄, 另一台從 高雄發車北上至台北, 則在抵達終點以前, 兩車必交會, 你就會覺得中間值定理就是這麼顯然。

32 4.6 中間值定理的應用

例 _{4 (}切蛋糕_). 每當親朋好友生日的時候通常都會買蛋糕慶祝,不曉得各位在唱完生日快樂歌之後要 切蛋糕時是否總是遇到困擾,當刀子切下去的瞬間,在力道不足或力道過大的情形下, 結果切得歪七扭 八,原本一塊還蠻漂亮的蛋糕就這樣毀了樣貌,最後放到盤子上的是一團不成樣的蛋糕屍體,但還是把 它吃進肚子裡。

若要切出一塊形狀漂亮的蛋糕是有一些小秘訣的, 除了蛋糕每個分層的餡軟硬不均所以切的時候 力道的拿捏必須掌握得宜之外, 所謂工欲善其事, 必先利其器, 不要用附贈的塑膠刀子切蛋糕, 用塑膠 刀切蛋糕就算手法再厲害也切不出完美的切割。 到廚房拿一支不銹鋼刀, 然後在切蛋糕前將刀子預熟, 比方說刀子浸泡在一杯熱水當中,然後要切蛋糕的時候,用著帶有熱度的刀子切下去, 就會切出一道完 美的刀痕。 而這個方法只是切蛋糕的一個小秘訣而已, 網路上還有很多完美切蛋糕的其它要領, 甚至 根據蛋糕的屬性會對應到不同的切割手法, 只要各位的親朋好友夠多, 多到可以天天幫朋友慶生的話, 就可以不斷地嘗試, 達到爐火純青的境界。

對一些人來說, 他們在切蛋糕的時候其實在意的並不是切出多漂亮的刀痕_, 而是講求公平, 如何切 出兩塊面積一樣的蛋糕也是考驗著大家的智慧。 這邊我們討論如圖 4.4的一塊蛋糕。 在數學上可以證 明: 指定角度θ₀ ∈ (0, π),在刀子與 x-軸的夾角為θ₀ 的所有情況下, 必存在一刀平分蛋糕。

x x

A_R(x) A_L(x)

AR(θ) A_L(θ)

a b P

θ₀

θ₀ θ₀ θ

圖_4.4: 兩者平分蛋糕的方法。

證明: 首先將蛋糕置於x-軸的上方,然後指定角度θ₀∈ (0, π) 之後_, 考慮刀子位在x = a的時候,蛋 糕完全在刀子的右側_, 接著向右平移刀子並始終保持刀子與 x-軸的夾角恆為 θ₀。 蛋糕是一個有界的 區域_, 所以刀子一定會在某個階段x = b 時, 蛋糕完全位在刀子的左側。

記 A 為蛋糕的面積, AR(x) 表示刀子在 x 處, 蛋糕在刀子右側的面積;而 AL(x) 表示刀子在 x 處_,蛋糕在刀子左側的面積。 我們考慮函數_{F (x) = AR(x) − AL(x),}它是一個定義在_{[a, b]}上的連續 函數, 並且滿足 F (a) = A − 0 = A > 0, F (b) = 0 − A = −A < 0,故由中間值定理 (Intermediate Value Theorem) 得知: 存在 _{ξ ∈ (a, b)} 使得 _{F (ξ) = AR(ξ) − AL(ξ) = 0,} 這表示當刀子在 x = ξ 的地方, 這一刀可以讓蛋糕均分。

我們也可以考慮另外一種平分蛋糕的方法, 在_x-軸上先取一點P,然後考慮刀子與x-軸之間的夾 角 _{θ ∈ [0, π]}。 記A為蛋糕的面積, 對於每個_θ,記A_R(θ)與A_R(θ)分別表示刀子在θ角的時候,蛋 糕在刀子右側與左側的面積。 我們考慮函數F (θ) = AR(θ)−A^L(θ),它是一個定義在[0, π]上的連續 函數,並且滿足F (0) = 0 − A = −A < 0, F (π) = A − 0 = A > 0, 故由中間值定理(Intermediate Value Theorem) 得知: 存在 _{ξ ∈ (a, b)} 使得 F (ξ) = A_R(ξ) − AL(ξ) = 0, 這表示當刀子在與 x-軸

夾角為θ = ξ 的時候, 這一刀可以讓蛋糕均分。

例 _{5 (}切月餅_). 上述均分蛋糕的方法或許你會覺得很容易而顯得不足為奇,我們現在來挑戰如何均分 月餅。 一塊具有滿滿的豆沙還有一顆蛋黃的月餅如圖4.5 所示, 其中白色的區域是豆沙, 灰色的區域 是蛋黃。 我們要問的是: 是否存在一種切法, 當刀子一切下去的時候, 不僅平分豆沙_, 也平分蛋黃?

圖 _4.5: 一塊月餅_, 白色區域是豆沙_, 灰色區域是蛋黃_,是否有一刀可以同時均分豆沙與蛋黃_? 同時均分豆沙與蛋黃的切法是存在的, 討論如下: 首先把月餅放在一個盤子上,如圖 _4.6畫虛線的 圓_, 取圓的最右端為 _P, 此時 P 對於圓 _O 而言角度為 φ = 0, 刀子從與圓盤在 P 點相切的地方開 始_,考慮過 P 且逆時針旋轉θ的刀子狀態, 其中θ ∈ [0, π],由前一個例子的討論得知, 必存在某個角

度θ = θ(0)使得刀子均分蛋黃。 這時刀子的另一端對到圓盤上的點記為 Q, 而 _{∠P OQ}記為φQ。

(A) (B) (C)

θ(0)

θ(φ)

φ P

P O

O

Q Q P^′P^′ = Q

圖 _4.6: 尋找可以同時均分豆沙與蛋黃的切割法。

如果在 _θ(0) 的時候, 刀子也正好均分豆沙的話, 則討論完畢。 如果沒有均分豆沙的話, 記 A_R(0) 為豆沙在刀子的右側面積, AL(0)為豆沙在刀子的左側面積, 此時 AR(0) − A^L(0) 6= 0。

現在開始考慮動點 _P^′ 從 _P 出發沿著圓盤以逆時針方向移動, 如圖 _{4.6 (B),} 當點移動到 _P^′ 時_,

記_{φ = ∠P OP}^′,利用前面例題的討論得到將蛋黃均分的切割狀態 θ(φ), 這個操作一直讓P^′ 與Q重

記_{φ = ∠P OP}^′,利用前面例題的討論得到將蛋黃均分的切割狀態 θ(φ), 這個操作一直讓P^′ 與Q重