函數的極限與連續函數
這一章將探討函數的極限理論, 相較於數列的極限理論, 函數的極限理論更加豐富, 其原因在於函數 的自變數是實數或是某個區間, 由此可以定義函數在一個點的極限 (又分成左極限與右極限兩種) 還 有函數在無窮遠處的極限 (又有正無窮遠與負無窮遠兩種), 類型較為多元, 關於函數極限的精確定義 (稱為ε-δ語言)會在單元4.1介紹。 而單元 4.2將統整函數極限的性質, 多數定理的敘述與結果與數 列極限的情況一樣, 各位不妨兩者相互對照一起理解, 而函數極限的性質也可以從函數圖形的現象來 確實體會。 此外, 因為函數理論還牽涉到函數的合成還有反函數的概念, 所以我們必須仔細合成函數 與反函數的極限之性質。 甚至, 有的時候關於函數的極限問題我們也可以用數列的方式重新理解, 所 以會有一些函數極限與數列極限的等價性值得探討。 了解函數的極限, 其目的在於想要進一步認識連續函數, 連續函數在直觀上被認定為函數的圖形 是一個不斷的線條, 而在數學上則是以極限的方式定義函數的連續性, 甚至我們可以先定義函數在一 個點的連續性, 隨後才定義函數在一個區間上的連續性, 而函數在一個區間上的連續性才與直觀上的 不斷線條一致。 關於連續一詞在直觀上與數學上的差異性將在單元 4.3仔細說明。 單元 4.4 要引進均勻連續的概念, 均勻連續是比區間連續要求更多的一個性質, 若用非常口語的 方式形容這個概念, 均勻連續是想要描述連續函數的增長整體而言具有一致性。 而這個概念的引進對 於高等數學上有很重要的影響, 除了從精確定義的角度來說可以看清楚函數的增長與增長幅度還有位 置的依賴性之外, 它甚至影響到函數在區間上是否可以定積分 (definite integral) 與變數變換法則 (substitution rule)嚴謹證明之必要性。 而一個變量與哪些參數之依賴性也是等高數學中經常討論的 議題。 這一章的主要目標是要證明有界閉區間上連續函數的三大定理:最大最小值定理(Extreme ValueTheorem)、中間值定理 (Intermediate Value Theorem) 與均勻連續定理 (Uniformly Continuous
Theorem)。這些定理的證明都在單元 4.5呈現。 而單元4.6放了幾個與中間值定理相關的應用, 各位 在看過這些應用之後希望可以體會到數學之美妙。 若回到數學的本質層面, 就以實數之概念為例, 在高中時候的你是講不清楚實數到底是什麼, 直到 第1章介紹完戴德金切割原理, 甚至是第3章的幾個與戴德金切割原理相互等價的敘述後, 才知道完 備性這件事是實數系統當中不可或缺的一環。 同樣地, 什麼是指數函數? 什麼是對數函數? 現在的你 大概也對這兩類的函數說不清楚它的確切意義。 關於指數函數的意義, 會在 4.7節附錄的地方加以闡 述, 而附錄也會補充各式初等函數的連續性。 1
2 4.1
函數的極限
4.1
函數的極限
當兩個變量 x 與 y 之間利用函數 y = f (x) 建立關係時, 我們自然要問的是自變量 x 在變動的時候 應變量 y是如何變化。 數學上我們試圖先從函數的極限開始了解問題。 若按照前面的章節介紹過數列 極限的精確定義下, 這裡可以類似地定義函數在無窮遠處的漸近行為: 定義 1. 給定函數 f : R → R, (A) 若有 L ∈ R滿足以下性質: 對任意 ε > 0, 存在 X ∈ R使得對所有x > X 都有 |f (x) − L| < ε,則稱函數 f (x)在 x 趨近於無窮時極限存在 (limit exists at infinity), 記為 lim
x→∞f (x) = L。
而 y = L稱為函數f (x)的圖形 在x 趨近於無窮時的水平漸近線 (horizontal asymptote at
infinity)。
(B) 若有 L ∈ R滿足以下性質:
對任意 ε > 0, 存在 X ∈ R使得對所有x < X 都有 |f (x) − L| < ε,
則稱函數 f (x) 在 x 趨近於負無窮時極限存在 (limit exists at minus infinity), 此時用
lim
x→−∞f (x) = L 表示。 而 y = L 稱為函數 f (x) 的圖形 在 x 趨近於負無窮時的水平漸
近線 (horizontal asymptote at minus infinity)。
若函數 f (x) : R → R給定, 而且在 x 趨近於無窮時極限存在, 那麼將函數限制在正整數集合上 f |N: N → R即為無窮數列{an= f (n)}∞n=1。 比較這個無窮數列的收斂性與函數在x 趨近於無窮的 極限, 兩者的差別只是把要討論的主體從離散的點換成變數 x 而已。 例 2. 證明函數f (x) = sin xx 的圖形在x → ±∞有水平漸近線 y = 0。 證明: 對任意 ε > 0, 取X = 1ε,則對所有 |x| > X, 都有 |f (x) − 0| = sin x x ≤ 1 |x| < 1 X = ε, 因此函數f (x) = sin xx 的圖形在x → ±∞有水平漸近線 y = 0。 x y f(x) = sin xx
圖
4.1:函數
f(x) = sin x x的圖形在趨近於正、負無窮時有水平漸近線
y = 0。
這裡要注意的是: 函數f (x)的圖形在 x趨近於正無窮與負無窮時可能會有兩條不同的水平漸近 線, 也可能不存在水平漸近線。 這個例子比較特別, 兩條水平漸近線相同。 除了研究函數在正負無窮遠處的漸近行為外, 我們也對函數在某一點 x = x0 附近的行為感興趣, 這時我們採用以下 函數極限的精確定義(ε-δ language): 定義 3. 給定函數f : (a, b) → R以及 x0 ∈ (a, b), 若有一數L ∈ R 滿足以下性質: 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ的點都有|f (x) − L| < ε, 則稱函數 f (x) 在 x = x0 處 極限 (limit) 存在, 記為 lim x→x0 f (x) = L; 此時 L 稱為函數 f (x) 在 x = x0 的極限值。 特別注意: 當研究函數 f (x)在某一點 x = x0 的極限時, 我們並不理會f (x) 在 x = x0 這一點 的值, 不論f (x0)有意義或是無意義都不打緊; 換言之, 函數的極限要研究的是 x0 附近的行為。 從定 義來看, 在0 < |x − x0| < δ 這個範圍當中, 即約定了 x 6= x0 這件事。 x y x0 L f(x)
圖
4.2:函數極限
lim x→x0 f(x) = L的精確定義示意圖。
我們可以從函數圖形的方式體會函數極限的精確定義。 任給正數 ε > 0, 從最後的結論看起, 它是 在說明希望有 L − ε < f (x) < L + ε這個結果, 於是我們畫出 y = L − ε 與 y = L + ε 這兩條水 平線。 現在要觀察的是哪些函數值會介在這兩條水平線之間, 此時我們將聚焦在x = x0 附近的點, 離 x = x0 很遠的點函數值超出 L − ε與L + ε的範圍不重要, 於是,現考慮兩條鉛直線 x = x0− δ 與 x = x0+ δ, 然後調整 δ 的值, 觀察介在x = x0− δ 與 x = x0+ δ 之間且不含 x0 的點, 其函數值 是否都會完全落在y = L − ε與y = L + ε 這兩條水平線之間。 如果這種依存的關係總是成立, 則稱 函數f (x) 在x = x0 處的極限存在。 以下將舉例說明如何用函數極限的精確定義證明函數在某一點的極限存在。 例 4. 證明 lim x→3 x2 −9 x−3 = 6。 證明: 對任意 ε > 0, 取δ = ε > 0,則對所有滿足 0 < |x − 3| < δ 的點, 都有 x2− 9 x − 3 − 6 = (x + 3)(x − 3) x − 3 − 6 = |x + 3 − 6| = |x − 3| < ε, 因此 lim x→3 x2 −9 x−3 = 6。4 4.1
函數的極限
例 5. 證明 lim x→2x 3 = 8。 想法. 觀察以下式子: |x3− 8| = |(x − 2)(x2+ 2x + 4)| = |x2+ 2x + 4||x − 2|, 關於 |x − 2|的部份, 基本上可以用δ = δ(ε) 有關的方式控制, 但是 |x2+ 2x + 4|會隨著 x 變動而 改變, 甚至初看之下, 在x 很大的時候|x2+ 2x + 4|也會愈來愈大, 根本無法掌控函數值的大小, 導 致這個問題似乎有一點棘手。 然而, 我們觀察的重點是在 x = 2的附近是否有一個很好的行為, 即使 x 很大的時候函數亂亂跑其實也無關緊要, 因為這並非現在觀察的重點;換言之, 討論函數在x = 2的 極限問題時, 我們可以對於要討論的範圍先進行約束, 比方說我們只要專心研究滿足 |x − 2| < 1 的 點即可, 這時會有1 < x < 3, 進而得到|x2+ 2x + 4| < 19而有所控制。 證明: 對任意 ε > 0, 取δ = min(1, ε 19) > 0,則對所有滿足 0 < |x − 2| < δ的點, 都有 |x3− 8| = |(x − 2)(x2+ 2x + 4)| = |x2+ 2x + 4||x − 2|(∗)< 19 ·19ε = ε, 其中 (∗) 成立是因為 0 < |x − 2| < 1 得到 1 < x < 3, 因此 7 < x2 + 2x + 4 < 19 而有 |x2+ 2x + 4| < 19; 另一方面, 我們也有0 < |x − 2| < ε 19。 因此 xlim→2x3 = 8。 例 6. 證明 lim x→2 x2 −4 3x2−7x+2 = 4 5。 想法. 觀察以下式子: x2− 4 3x2− 7x + 2 − 4 5 = (x + 2)(x − 2) (3x − 1)(x − 2)− 4 5 = x + 2 3x − 1− 4 5 = −7x + 14 5(3x − 1) = |7x − 14| |5(3x − 1)| = 7 5 · 1 |3x − 1|· |x − 2| 關於 |x − 2| 的部份, 基本上可以用δ = δ(ε)有關的量控制, 但是 1 |3x−1| 這個部份該如何約束呢? 這裡不妨先觀察一下 g(x) = |3x−1|1 這個函數, 這個函數在 x = 13 是沒有定義的, 而 g(x) 在 x = 13 附近函數值是非常大的, 所以我們討論的範圍必須遠離 x = 13 函數值才有可能控制。 換言之, 只要我們限定|x − 2| < 1的話, 則有 1 < x < 3, 所以 2 < 3x − 1 < 8得到 1 |3x−1| < 12。 證明: 給定任意ε > 0, 取δ = min(1,107ε) > 0, 則對所有滿足 0 < |x − 2| < δ的點, 都有 x2− 4 3x2− 7x + 2 − 4 5 = (x + 2)(x − 2) (3x − 1)(x − 2)− 4 5 = x + 2 3x − 1− 4 5 = −7x + 14 5(3x − 1) = |7x − 14| |5(3x − 1)| = 7 5· 1 |3x − 1|· |x − 2| (∗) < 7 5 · 1 2· 10 7 ε = ε, 其中由 |x − 2| < 1 得到2 < 3x − 1 < 8, 所以 1 |3x−1| < 12; 另一方面, 我們也有|x − 2| < 107ε。 因 此 lim x→2 x2 −4 3x2 −7x+2 = 45。 若將函數極限的定義對於不等式 0 < |x − x0| < δ 的絕對值拆解, 得到 0 < x − x0 < δ 或 −δ < x − x0 < 0 ⇔ 0 < x0− x < δ 這兩個部份, 現將極限的概念分成左極限與右極限兩個部份:定義 7. 給定一正數ρ > 0,
(A) 假設 f (x)在 (x0− ρ, x0) 處有定義。 若存在L ∈ R滿足以下性質:
對任意ε > 0,存在δ > 0使得所有滿足 0 < x0−x < δ的點都有|f (x)−L| < ε,
則稱函數 f (x)在x = x0 處的 左極限 (left-hand limit)存在, 記為 lim x→x−
0
f (x) = L。
(B) 假設 f (x)在 (x0, x0+ ρ) 處有定義。 若存在L ∈ R滿足以下性質:
對任意ε > 0,存在δ > 0使得所有滿足 0 < x−x0 < δ的點都有|f (x)−L| < ε, 則稱函數 f (x)在x = x0 處的 右極限 (right-hand limit)存在, 記為 lim
x→x+ 0 f (x) = L。 (C) 函數 f (x)在 x = x0 極限存在 lim x→x0 f (x) = L等價於 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x) = L。 刻意將極限分成左極限與右極限的原因是有時我們需要討論函數在端點的極限,比方說函數f (x) 只有在 (a, b) 上有定義時, 對於 x = a 與 x = b的地方, 我們也只能探討 lim x→a+f (x) 與 xlim →b−f (x) 單邊的極限。 此外, 在某一點的左、右兩側函數的表示法不同時, 利用左極限與右極限將問題分情況討 論當然有其方便性。 例 8. 證明: lim x→0|x| = 0。 證明: 首先注意到函數 f (x) = |x|的意義如下: 若x ≥ 0, 則 f (x) = x; 若 x < 0, 則 f (x) = −x, 這裡不妨分成左極限與右極限各別討論。 (A) 給定 ε > 0, 取 δ = ε > 0, 則對所有滿足 0 < x − 0 < δ 的點, 都有 ||x| − 0| = x − 0 < ε, 所以 lim x→0+|x| = 0 。 (B) 給定 ε > 0, 取δ = ε > 0, 則對所有滿足 0 < 0 − x < δ 的點, 都有 ||x| − 0| = | − x − 0| = −x < ε, 所以 lim x→0−|x| = 0 。 由 (A)和 (B)得知: lim x→0|x| = 0。 從前一個例題的經驗, 我們再做一次類似的討論: 例 9. 證明: lim x→x0|x − x 0| = 0。 證明: 首先注意到函數 g(x) = |x − x0| 的意義如下: 若 x ≥ x0, 則g(x) = x − x0; 若 x < x0, 則 g(x) = x0− x, 這裡不妨分成左極限與右極限各別討論。 (A) 給定ε > 0,取δ = ε > 0,則對所有滿足0 < x−x0< δ的點,都有||x−x0|−0| = x−x0< ε, 所以 lim x→x+ 0 |x − x0| = 0。 (B) 給定 ε > 0, 取 δ = ε > 0, 則對所有滿足 0 < x0 − x < δ 的點, 都有 ||x − x0| − 0| = |x0− x − 0| = x0− x < ε,所以 lim x→x− 0 |x − x0| = 0。 由(A)和 (B)得知: lim x→x0|x − x0| = 0 。
6 4.1
函數的極限
這裡我們比較一下 例 8 與 例 9兩者之差異。 若仔細思考, 則會發現兩個例子之間的論述只是相 差一個變數變換: 只要將 例8 的 x 替換成 x − x0 即可。若各位對於這種符號的替換不太能接受的 話,不妨做一件事: 先把 例8的所有 x的符號塗黑,改成•,這個•就表示它可以做一些合理的替換, 於是 例 9就只是把• 這個符號再改成 x − x0。 這個變數變換的概念在數學上是經常使用的手法。 另一方面,若將函數的圖形畫出來, 則將x 換成x − x0 這件事可以用幾何的方式重新詮釋: 它表 示 f (x) = |x|這個函數圖形向右平移 x0 單位後得到g(x) = |x − x0|的圖形 (若 x0 < 0, 那麼則是 向左平移−x0 單位)。 x y O x0 f(x) = |x| g(x) = |x − x0|圖
4.3:將函數
f(x) = |x|的圖形向右平移
x0單位則為函數
g(x) = |x − x0|的圖形。
這一節最後將說明函數極限不存在的精確定義。 定義 10. 若函數f (x) 滿足以下性質: 對所有 L ∈ R,存在 ε0 > 0使得對任意δ > 0, 總是存在x′ 滿足0 < |x′− x0| < δ 而 |f (x′) − L| ≥ ε0, 則稱 lim x→x0 f (x)不存在。 定義 11 (狄立克萊函數). 考慮 狄立克萊函數 (Dirichlet function) f (x) : R → R, 其中 f (x) = ( 1 如果 x 是有理數 0 如果 x 是無理數, 試證: 狄立克萊函數在任何一點的極限都不存在。 證明: 對所有 L ∈ R, (A) 若 L ≥ 1 2, 考慮 ε0 = 12 > 0, 對所有 x0 ∈ R 來說, 任何 δ > 0, 由無理數的稠密性知: (x0− δ, x0+ δ) 內必有無理數 x′ 使得|f (x′) − L| = L ≥ 12。 (B) 若 L < 12, 考慮 ε0 = 12 > 0, 對所有 x0 ∈ R 來說, 任何 δ > 0, 由有理數的稠密性知: 在 (x0− δ, x0+ δ) 內必有有理數 x′′ 使得 |f (x′′) − L| = 1 − L > 1 −12 = 12。 由 (A)與(B) 得知: 狄立克萊函數在任何一處的極限都不存在。 狄立克萊函數在數學理論上帶來很大的衝擊, 是因為以往我們會利用畫圖的方式了解數學, 但是 這個函數是無法精確地畫出函數圖形, 所以這個函數將體認到畫圖存在著一些限制性。4.2
函數極限的性質
函數極限的性質大體上和數列極限的性質類似, 在熟悉ε-N 的語言下,是可以很順利地轉變成 ε-δ 語 言。 這裡為了完整起見, 我們還是將定理及其證明全部寫清楚, 各位在看證明的時候, 除了確實理解每 個證明的步驟外, 應再花時間比較數列極限與函數極限的異同。 定理 1 (極限唯一性). 若函數 f (x) 在 x = x0 處極限存在, 則極限值唯一。 證明: 假設 lim x→x0 f (x) = L, lim x→x0 f (x) = M 並且L 6= M,不妨假設L < M。考慮 ε0 = M2−L > 0, 則函數在x = x0 的極限存在告知: (A) 對於 ε0> 0, 存在 δ1> 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ1 的點都有|f (x) − L| < M−L2 。 (B) 對於 ε0> 0, 存在 δ2> 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ2 的點都有|f (x) − M| < M2−L。 取 δ = min(δ1, δ2) > 0, 對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點, 都有 f (x) < L +M − L 2 = M + L 2 = M − M − L 2 < f (x) 矛盾。 同理在 M < L的情況下也會得到矛盾 (將 L與 M 的符號互換即可),因此 L = M。 定理 2 (局部有界性). 若函數 f (x)在 x = x0 極限存在, 則函數 f (x) 在某個不包含 x = x0 的區 間內 I − {x0} = (a, b) − {x0} 是有界的。 證明: 假設 lim x→x0 f (x) = L, 考慮 ε0 = 1 > 0, 則存在 δ0 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ0 的點都有 |f (x) − L| < 1, 取 I − {x0} = (x0− δ0, x0 + δ0) − {x0}, 則對所有 x ∈ I − {x0} 都 有 |f (x)| = |f (x) − L + L| ≤ |f (x) − L| + |L| < 1 + |L|, 記 M = 1 + |L|, 則在 I − {x0} 上 |f (x)| ≤ M 表示函數f (x) 局部有界。 以下兩個定理也是說明兩函數在 x = x0 處的極限值大小與函數在 x = x0 附近有一些大小的關 係, 主要目的是要建立函數極限的夾擠定理。 定理 3. 若 lim x→x0 f (x) = L, lim x→x0 g(x) = M , 且 L < M , 則存在 x = x0 的一個區間 I − {x0} 都 有 f (x) < g(x)。 證明: 對於ε = M−L2 > 0,因為 lim x→x0 f (x) = L,所以存在δ1 > 0使得對所有滿足0 < |x−x0| < δ1 的點都有|f (x)−L| < M−L 2 。 因為xlim→x0g(x) = M,所以存在δ2 > 0使得對所有滿足0 < |x−x0| < δ2 的點都有|g(x) − M| < M2−L。 取 δ = min(δ1, δ2) > 0, 則對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點都滿足 f (x) < L + M − L 2 = M + L 2 = M − M − L 2 < g(x), 於是 I − {x0} = (x0− δ, x0+ δ) − {x0}即為所求。8 4.2
函數極限的性質
定理 4. 若 lim x→x0 f (x) = L, lim x→x0 g(x) = M , 而且存在某個扣除 x0 的區間上滿足 f (x) ≤ g(x), 則 L ≤ M。 證明: 利用反證法。 假設M < L, 則由 定理3 得知, 存在δ > 0 使得所有0 < |x − x0| < δ的點都 有 g(x) < f (x), 這與前提矛盾。 定理 5 (極限的四則運算). 若 lim x→x0 f (x)與 lim x→x0 g(x) 存在, 則 (A) lim x→x0(f (x) ± g(x)) = limx→x0f (x) ± limx→x0 g(x)。 (B) lim x→x0(f (x) · g(x)) = limx→x0f (x) · limx→x0 g(x)。 (C) 若 lim x→x0g(x) 6= 0, 則 lim x→x0 f(x) g(x) = lim x→x0f(x) lim x→x0g(x) 。 證明: 記 lim x→x0 f (x) = L1 與 lim x→x0 g(x) = L2, (A) 對任意ε > 0,存在δ1 > 0使得所有滿足 0 < |x−x0| < δ1的點都有|f (x)−L1| < ε,也存在 δ2 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ2 的點都有|g(x) − L2| < ε。 取δ = min(δ1, δ2) > 0, 則所有滿足0 < |x − x0| < δ的點都有 |(f (x) ± g(x)) − (L1± L2)| = |(f (x) − L1) ± (g(x) − L2)| ≤ |f (x) − L1| + |g(x) − L2| < ε + ε = 2ε, 因此 lim x→x0(f (x) ± g(x)) = L 1± L2 = lim x→x0f (x) ± limx→x0 g(x)。 (B) 對任意 ε > 0, 存在 δ1 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ1 的點都有|f (x) − L1| < ε。 特 別取 ε = 1, 則存在 δ2> 0 使得所有滿足0 < |x − x0| < δ2 的點都有|f (x) − L1| < 1,由此 得到 L1− 1 < f (x) < L1+ 1 ⇒ |f (x)| ≤ max(|L1− 1|, |L1+ 1|), 記 M = max(|L1 − 1|, |L1 + 1|)。 另一方面, 對於 ε > 0, 存在 δ3 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ3 的點都有 |g(x) − L2| < ε。 取 δ = min(δ1, δ2, δ3) > 0, 則所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點都有 |f (x) · g(x) − L1· L2| = |f (x) · g(x) − f (x) · L2+ f (x) · L2− L1· L2| ≤ |f (x)||g(x) − L2| + |f (x) − L1||L2| ≤ |M|ε + |L2|ε = (|M| + |L2|)ε, 因此 lim x→x0(f (x) · g(x)) = limx→x0f (x) · limx→x0 g(x)。(C) 對任意 ε > 0, 存在 δ1 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ1 的點都有 |f (x) − L1| < ε, 也 存在 δ2 > 0使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ2 的點都有 |g(x) − L2| < ε。 因為 lim x→x0 g(x) = L2 6= 0, 且 lim x→x0(g(x) · L 2) = L2· lim x→x0 g(x) = L22 > (L2)2 2 , 存在 δ3 > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ3 的點都有|g(x) · L2| > (L2) 2 2 。 對任意 ε > 0, 取δ = min(δ1, δ2, δ3) > 0, 對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點都有 f (x) g(x) − L1 L2 = f (x) · L2− g(x) · L1 g(x) · L2 = |f (x) · L2− L1· L2+ L1· L2− g(x) · L1| |g(x) · L2| ≤ |f (x) − L1||L2| + |L1||g(x) − L2| |g(x)L2| < (|L1| + |L(L 2|)ε 2)2 2 = 2(|L1| + |L2|) (L2)2 ε, 因此 lim x→x0 f(x) g(x) = L1 L2 = lim x→x0f(x) lim x→x0g(x) 。 有別於數列極限的四則運算, 函數理論當中還有一個非常重要的運算是函數的合成, 以下將探討 合成函數的極限法則。 定理 6 (合成函數的極限法則). 若 lim x→x0 g(x) = u0 並且在 x = x0 的一個鄰域內 g(x) 6= u0, 若 lim u→u0 f (u) = L,則合成函數 y(x)== f (g(x))定義 在 x = x0 處極限存在, 並且 lim x→x0 y(x) = lim x→x0 f (g(x)) = L。 證明: 對任意 ε > 0, 因為 lim u→u0 f (u) = L, 存在 η > 0 使得對所有滿足 0 < |u − u0| < η 的點都 有 |f (u) − L| < ε,因為 lim x→x0 g(x) = u0, 而且 g(x) 6= u0, 對於上述的 η > 0, 存在 δ > 0 使得對 所有 0 < |x − x0| < δ 都有 0 < |g(x) − u0| < η。 因此, 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0 使得對所有 0 < |x − x0| < δ 都有0 < |f (g(x)) − L| < ε。
定理 7 (夾擠定理, Squeeze Theorem). 若函數在某個不包含 x = x0 的區間 (a, b) − {x0} 中滿足
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) 並且 lim x→x0 f (x) = lim x→x0 h(x) = L, 則 lim x→x0 g(x) = L。 證明: 對任意 ε > 0, 因為 lim x→x0 f (x) = L, 存在 δ1 > 0 使得對所有滿足 0 < |x − x0| < δ1 的點都 有|f (x) − L| < ε。 因為 lim x→x0 h(x) = L, 存在 δ2> 0 使得對所有滿足 0 < |x − x0| < δ2 的點都有 |h(x) − L| < ε。 取δ = min(δ1, δ2) > 0, 則對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點都有 L − ε < f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) < L + ε ⇒ |g(x) − L| < ε, 因此 lim x→x0 g(x) = L。 推論 8. 若函數 f (x) 與 g(x) 在某個不包含 x = x0 的區間 (a, b) − {x0} 中滿足 |f (x)| ≤ |g(x)| 並且 lim x→x0|g(x)| = 0, 則 lim x→x0 f (x) = 0。 證明: 在 (a, b) − {x0} 中都有 −|g(x)| ≤ f (x) ≤ |g(x)|, 而且 lim x→x0|g(x)| = 0 與 lim x→x0−|g(x)| = − limx →x0|g(x)| = 0,
由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知 lim
x→x0
10 4.2
函數極限的性質
雖然從理論的建立以及證明的過程中看到函數極限與數列的極限有共通性, 但是函數理論的實際 應用比起數列來說更複雜也更豐富。 我們會花很多篇幅比較各種函數, 像是下面的例子是在說明正弦 函數、正切函數與多項式之間在x = 0 附近的關係。 例 9. 證明在 x ∈ (−π 2, π 2) 中 | sin x| ≤ |x| ≤ | tan x|;而且等號成立時若且唯若 x = 0。 證明: 這裡我們根據 x的正負號分成三種情況討論。 如圖 4.1的左圖, 首先在第一象限畫一個半徑為 1 的圓弧, 圓弧與 x 軸交於 A, 標註坐標中心 O 之後, 畫出通過 O 且具有廣義角為 x 弧度的射線, 其中 x ∈ (0,π 2), 射線與圓弧交於 B, 最後再作圓弧在 A 點的切線, 切線與射線 OB 的延長線交於 C。 至於圖4.1的右圖作法類似, 只是現在廣義角變成 x, x ∈ (−π 2, 0),所以射線與三角形的關係是落 在第四象限。 x x y y O O x x A A B B C C圖
4.1:建立
sin x, x與
tan x的關係。
(A) 若 0 < x < π2: 根據圖 4.1的左圖, 由三角形與扇形之間的面積關係式可得△AOB 面積<扇形 AOB 面積< △AOC 面積,
利用面積公式將上述關係替換成代數不等式: 1 2 · 1 · 1 · sin x < 1 2· 1 · 1 · x < 1
2· 1 · tan x ⇒ sin x < x < tan x。 (B) 若 −π
2 < x < 0: 由圖形中的三角形與扇形之間的面積關係式可得
△AOB 面積<扇形AOB 面積< △AOC 面積
利用面積公式將上述關係替換成代數不等式 (注意這時 x < 0所以 −x > 0): 1 2· 1 · 1 · sin(−x) < 1 2· 1 · 1 · (−x) < 1
2 · 1 · tan(−x) ⇒ tan x < x < sin x,
因為 tan x < x < sin x < 0, 所以再取絕對值之後得到 | sin x| < |x| < | tan x|。
(C) 若 x = 0, 則sin x = x = tan x = 0。 綜合 (A), (B), (C) 得到在 x ∈ (−π
2, π
例 10. 證明對任意x0 ∈ R,都有 xlim →x0
sin x = sin x0 且 xlim →x0 cos x = cos x0。 證明: 利用和差化積公式: |sin x − sin x0| = 2 cos x + x0 2 sin x − x0 2 ≤ 2 · 1 · |x − x0| 2 = |x − x0| |cos x − cos x0| = −2 sin x + x0 2 sin x − x0 2 ≤ 2 · 1 · |x − x0| 2 = |x − x0|, 因為 lim x→x0|x − x 0| = 0 (詳見單元4.1例 9),所以 lim x→x0
sin x = sin x0 且 lim x→x0 cos x = cos x0。 上一個例子告知正弦函數與餘弦函數都是 連續函數(continuous function);也就是說, 函數在任 何一點的極限值與函數值都相同。 連續函數的理論是這一章的重點, 我們會在下一節進一步闡述。 在微積分的理論中, 下面這個極限可說是重要性排名前三名極限。 回想單元 2.5 介紹過無窮大數 列、無窮小數列以及等級 (order) 的關聯, 對於函數來說也可以討論類似的概念。 若以這個角度看問 題, 下面的極限是告知: 正弦函數sin x與 x 在x → 0 的時候是等量無窮小量。 例 11. 證明: lim x→0 sin x x = 1。 證明: 由於我們要討論的是函數 sin x x 在x = 0 的極限, 所以首先將範圍限制在 − π 2 < x < π 2。
(A) 若 0 < x < π2: 因為 sin x < x < tan x,對此不等式同時除以 sin x得到
1 < x sin x < 1 cos x ⇒ cos x < sin x x < 1 因為 lim x→0+cos x = 1,
故由夾擠定理 (Squeeze Theorem)得知 lim
x→0+
sin x x = 1。
(B) 若 −π
2 < x < 0: 因為tan x < x < sin x, 對此不等式同時除以sin x 得到
1 < x sin x < 1 cos x ⇒ cos x < sin x x < 1 因為 lim x→0−cos x = 1,
故由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知 lim
x→0− sin x x = 1。 綜合(A)與 (B)的結果得到 lim x→0 sin x x = 1。 以下想要花一點時間討論 lim x→0x sin 1 x 與 lim x→0sin 1 x 這兩個極限問題。 關於前者的極限相對來 說是容易的, 這裡就先直接完成論述。 例 12. 考慮 f (x) = x sin 1x,試證: lim x→0f (x) = 0。 證明: 因為 x sin 1 x − 0 = x sin 1 x = |x| sin 1 x ≤ |x|, 而且 lim
x→0|x| = 0 (詳見單元4.1例8),由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知xlim→0x sin 1 x = 0。
12 4.2
函數極限的性質
至於該如何處理 lim x→0sin 1 x? 這裡先建立一個函數極限與數列極限之間的定理: 定理 13. 若函數 f (x) 在 x = x0 附近有定義, 則函數有極限 lim x→x0 f (x) = L 的充分必要條件是: 對任意在鄰域中收斂至 x = x0 的數列 {xn}∞n=1, xn6= x0 都有 nlim →∞f (xn) = L。 證明: (⇒)已知: 對任意ε > 0,存在δ > 0使得所有滿足0 < |x−x0| < δ的點都有|f (x)−L| < ε。 現在任給數列 {xn}∞n=1 滿足 xn6= x0 以及 nlim →∞xn= x0, 對於 δ > 0這個正數來說, 存在 N ∈ N 使得對所有 n ≥ N 都有0 < |xn− x0| < δ, 於是 |f (xn) − L| < ε, 因此 lim n→∞f (xn) = L。 (⇐) 如果 lim x→x0f (x) 6= L, 則存在 ε0 > 0, 對任意 δ > 0, 存在 x = xδ 滿足 0 < |xδ− x0| < δ 而 |f (xδ) − L| ≥ ε0。 由此依序考慮 δ = n1, n ∈ N, 則得到數列 {xn}∞n=1 滿足 0 < |xn− x0| < 1n, 而 |f (xn) − L| ≥ ε0。 此時, 數列 {xn}∞ n=1 滿足 nlim →∞xn = x0, 而 nlim→∞f (xn) 6= L 矛盾, 所以 lim x→x0 f (x) = L。 例 14. 考慮 g(x) = sin x1, 試證: lim x→0g(x)不存在。 證明: 考慮數列 {x′ n}∞n=1 = {π 1 2+nπ} ∞ n=1, 則 nlim→∞x′n = 0 而且 g(x′n) = sin π2 + nπ ≡ 1, 得 到 lim n→∞g(x ′ n) = 1。 另一方面, 考慮數列 {x′′n}∞n=1 = {3π1 2 +nπ} ∞ n=1, 則 nlim →∞x ′′ n = 0而且 g(x′′n) = sin 3π2 + nπ ≡ −1,得到 lim n→∞g(x ′′ n) = −1。 因為 nlim →∞g(x ′ n) 6= limn →∞g(x ′′ n), 所以 xlim →0sin 1 x 不 存在。 這裡不妨將 f (x) = x sin x1 與 g(x) = sin x1 的示意圖畫出來進行比較。 就如狄立克萊函數 (Dirichlet function)一樣, 實際上我們無法將這兩個函數在x = 0的附近精確地畫出函數圖形,所以 圖 4.2只是一個示意圖。 當x 愈來愈靠近0 的時候, 這兩個函數都會無限次上下振盪, 但是前者的振 幅愈來愈小, 後者振幅始終都是 1。 這兩個例題必須透過前面的討論才得以有一個嚴謹的數學論述。 1 π 1 π x x y y g(x) = sin x1 f(x) = x sin 1x圖
4.2:函數
f(x) = x sin 1 x與
g(x) = sin 1 x的圖形
,兩函數的圖形在
x= 0附近皆無
法確實描繪。
函數在一個點的極限也有對應的柯西收斂準則 (Cauchy Convergence Criterion),它是指在不清
楚函數於該點的極限值之前直接透過在該點附近的任兩點之函數值之差若可以任意地控制的話則可確
立極限的存在。 關於函數版本的柯西收斂準則, 它是基於f : R → R對於定義域與對應域都有實數的
定理 15 (柯西收斂準則, Cauchy Convergence Criterion). 若函數 f (x) 在 x = x0 附近有定義, 則函數極限 lim x→x0 f (x) 存在的充分必要條件是: 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0 使得對任何 x′, x′′ ∈ (x0− δ, x0+ δ) − {x0} 都有 |f (x′) − f (x′′)| < ε。 證明: (⇒) 若 lim x→x0 f (x) 存在, 記為 lim x→x0 f (x) = L, 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0 使得對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點, 都有 |f (x) − L| < ε2。 對任何x′, x′′ ∈ (x0− δ, x0+ δ) − {x0},由三角不等 式(Triangle Inequality),得到 |f (x′) − f (x′′)| = |f (x′) − L + L − f (x′′)| ≤ |f (x′) − L| + |f (x′′) − L| < ε2 +ε 2 = ε。 (⇐) 已知: 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0 使得對所有 x′, x′′ ∈ (x0− δ, x0+ δ) − {x0} 都有 |f (x′) − f (x′′)| < ε。 取 {xn}∞ n=1, xn 6= x0 是一個收斂到 x0 的數列, 因為對所有 m, n ≥ N, xm, xn ∈ (x0 − δ, x0 + δ) − {x0} 都有 |f (xm) − f (xn)| < ε, 所以 {f (xn)}∞n=1 是一個柯西數列, 於是 {f (xn)}∞n=1 收斂, 記 lim n→∞f (xn) = Lx。 若 {yn}∞n=1, yn 6= x0 是另外一個收斂到 x0 的數列, 欲證 lim n→∞f (yn) = Lx: 將 {xn} ∞ n=1 與 {yn}∞n=1 交錯地排列, 得到新數列 {zn}∞n=1 為 zn = ( xk 如果 n = 2k − 1 yk 如果 n = 2k, 則 zn 6= x0, n ∈ N, 而且 nlim →∞zn = x0, 所以數列 {f (zn)} ∞ n=1 收斂, 記為 nlim→∞f (zn) = L。 因為 {f (xn)}∞n=1與{f (yn)}∞n=1都是{f (zn)}∞n=1的子數列,由子數列的收斂性, 得到Lx= Ly = L。 這一節最後要想要補充關於 歐拉數(Euler number)從數列的極限過渡至函數極限的情形。 例 16. 證明: lim x→∞ 1 + 1 x x = e與 lim x→−∞ 1 + 1 x x = e。 證明: 由第 2 章的討論, 得知 lim n→∞ 1 + 1 n n = e, 由此可推得 lim n→∞ 1 + 1 n + 1 n = lim n→∞ 1 + n+11 n+1 1 +n+11 = lim n→∞ 1 + n+11 n+1 lim n→∞ 1 +n+11 = e 1 = e 以及 lim n→∞ 1 +1 n n+1 = lim n→∞ 1 + 1 n n 1 + 1 n = lim n→∞ 1 + 1 n n lim n→∞ 1 + 1 n = e · 1 = e。 對任意 x ≥ 1 都有 1 + 1 [[x]] + 1 [[x]] < 1 + 1 x x < 1 + 1 [[x]] [[x]]+1 ,
由夾擠定理(Squeeze Theorem)得知 lim
x→∞ 1 + 1 x
x = e。
14 4.3
連續函數
現在要證明 lim x→−∞ 1 + 1 x x = e: 令 y = −x,則 lim x→−∞ 1 + 1 x x = lim y→∞ 1 + 1 −y −y = lim y→∞ 1 1 −1y y = limy →∞ y y − 1 y = lim y→∞ 1 + 1 y − 1 y = lim y→∞ 1 + 1 y − 1 y−1 1 + 1 y − 1 = lim y→∞ 1 + 1 y − 1 y−1 lim y→∞ 1 + 1 y − 1 = e · 1 = e。4.3
連續函數
各位在學微積分的時候,對於連續函數總是以 「函數的圖形是一條不間斷的曲線」 這種感覺理解之,而 那時在學習上或是微積分操作上好像都沒有產生任何困擾。 又或者說, 在不造成嚴重困擾之下, 微積 分老師其實是採用一種看似自然實則帶著含糊的說法騙過各位, 讓大家誤以為微積分就是這麼簡單。 這裡不妨重現微積分老師上課時介紹連續函數的一種話術。 首先觀察以下的函數圖形: x x y y x0 x0 L L f(x) f(x)圖
4.1:函數
f(x)若要在
x= x0處連續的話
,必須滿足
lim x→x0 f(x) = f (x0)這個條件。
從圖 4.1的左圖來看, 函數 f (x)在 x = x0 處極限存在, 記為 lim x→x0 f (x) = L。 若要求極限值與 函數值一致, 也就是 L = f (x0) 的話, 如圖4.1的右圖所示, 那麼這個函數圖形原本在 x = x0 左、右 兩側的線條就會在 (x, y) = (x0, f (x0)) 的地方連接起來了, 於是我們約定函數 f (x) 在一點連續就 是滿足極限值等於函數值這個要求。 現在將這個概念寫成如下定義:定義 1. 考慮 f : (a, b) → R, 給定 x0 ∈ (a, b), 若 lim x→x0
f (x) = f (x0), 則稱函數 f (x) 在 x = x0
處是 連續的 (continuous),並且稱x = x0 是函數 f (x) 的 連續點(continuous point)。
然而, 在前面兩節介紹過的狄立克萊函數, 或者是 f (x) = x sin(1x) 與 g(x) = sin(x1) 的例子得 知,數學上存在著很多無法確實將函數圖形畫出來的例子, 所以這一節必須花時間澄清一個問題: 利用 lim x→x0 f (x) = f (x0) 這個方式定義函數在一個點的連續性和我們直觀地認為函數 圖形是沒有斷掉的線條之間是否有一個落差?
關於這個問題的答案, 我們將留到這一節的最後回答。 至少從現在開始, 我們應避免 「眼見為憑」 的說詞, 而是每件事都用精確定義的方式進行論述, 而函數 f (x)在 x = x0 處連續的精確定義如下: 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0使得所有滿足 |x − x0| < δ的點都有|f (x) − f (x0)| < ε。 比較函數連續與極限存在之精確定義, 主要是把極限值L 替換成 f (x0)。 此外, 因為對任意ε > 0 都 有|f (x0) − f (x0)| = 0 < ε,所以將極限精確定義中的 0 < |x − x0| < δ 改成 |x − x0| < δ。 這裡我們把函數f (x)在 x = x0 處連續這件事寫成以下三個條件: (1) 函數 f (x)在 x = x0 處有定義。 (2) 函數 f (x)在 x = x0 的左極限 lim x→x− 0 f (x)與右極限 lim x→x+ 0 f (x)都存在。 (3) 極限值等於函數值, 即 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x) = f (x0)。 除了定義函數在一個點連續, 我們也可以定義函數在端點以及一個區間的連續性。 定義 2.
(A) 若函數 f (x) 只定義在 [a, b]且滿足 lim
x→a+f (x) = f (a),則稱函數 f (x) 在x = a連續。 (B) 若函數 f (x) 只定義在 [a, b]且滿足 lim x→b−f (x) = f (b), 則稱函數 f (x)在 x = b連續。 (C) 函數 f (x)在某個區間 I 連續的意思是函數 f (x) 在所有 x ∈ I 的地方連續。 以下將舉例說明利用精確定義的方式證明函數的連續性。 例 3. 證明 f (x) = 1+x1 2 是一個定義在所有實數 R上的連續函數。 證明: 給定 x0 ∈ R,對任意 ε > 0, 取δ = min(1, ε) > 0, 則對所有滿足 |x − x0| < δ的點,都有 1 1 + x2 − 1 1 + x20 = 1 + x20− (1 + x2) (1 + x2)(1 + x2 0) = |x + x0||x − x0| (1 + x2)(1 + x2 0) ≤ |x| + |x0| (1 + x2)(1 + x2 0) · |x − x0| (∗) ≤ (|x0| + 1) + |x0| 1 + x20 · |x − x0| < 2|x0| + 1 1 + x20 · ε, 其中(∗)式用到|x − x0| < 1 ⇒ |x| = |x − x0+ x0| ≤ |x − x0| + |x0| < 1 + |x0|。 因此f (x) = 1+x1 2 在R上是連續函數。 例 4. 驗證 f (x) = x12 在R− {0}的地方是連續函數。 證明: 給定 x0 ∈ R − {0}, 對任意 ε > 0, 取 δ = min(|x20|, ε) > 0, 則對所有滿足 |x − x0| < δ 的 點, 因為|x − x0| < |x0| 2 , 所以 |x0| 2 < |x0| − |x − x0| ≤ |x| ≤ |x0| + |x − x0| < 3|x0| 2 ⇒ 2 3|x0| < 1 |x| < 2 |x0| , 於是 1 x2 − 1 x2 0 = x2− x20 x2· x2 0 = |x + x0| x2· x2 0 · |x − x 0| ≤ |x| + |x0| x2· x2 0 · |x − x 0| < 4(32|x0| + |x0|) x4 0 · ε, 所以 f (x) = x12 在R− {0}上是連續函數。
16 4.3
連續函數
以下要證明幾個連續函數的基本性質。 定理 5 (局部有界性). 若函數 f : (a, b) → R 在x = x0, x0 ∈ (a, b) 連續,則存在 δ0 > 0 使得函數 f (x) 在區間 I = (x0− δ0, x0+ δ0) 內是有界的。 證明: 考慮 ε0= 1 > 0,則存在δ0 > 0使得所有滿足|x−x0| < δ0的點都有|f (x)−f (x0)| < 1,得 到|f (x)| = |f (x) − f (x0) + f (x0)| ≤ |f (x) − f (x0)| + |f (x0)| < 1 + |f (x0)|,記M = 1 + |f (x0)|, 則在區間I = (x0− δ0, x0+ δ0) 內|f (x)| ≤ M 表示函數f (x)局部有界。 定理 6 (局部保號性). 若函數 f : (a, b) → R 在 x = x0, x0 ∈ (a, b) 連續, 且 f (x0) > 0, 則存在 δ0> 0 使得函數 f (x)在區間 I = (x0− δ0, x0+ δ0) 內都有 f (x) > 0。 證明: 考慮 ε0 = f(x20) > 0, 則存在δ0 > 0使得所有滿足|x − x0| < δ0 的點都有|f (x) − f (x0)| < f(x0) 2 , 得到 0 < f(x0) 2 < f (x), 因此 f (x)在區間 I = (x0− δ0, x0+ δ0)內都有 f (x) > 0。 定理 7 (連續函數的四則運算). 若 f (x)與 g(x) 在 x = x0 連續, 則 f (x) ∗ g(x) 在x = x0 連續, 其中 ∗ 的運算可以為 +, −, ×, ÷ 中的其中一者; 注意到對於除法運算還必須要求 g(x0) 6= 0。 證明: 這部份的證明直接藉助極限的四則運算的證明而得, 將當初的極限值 L1 與 L2 改成 f (x0)與 g(x0)即可得證。 記xlim →x0 f (x) = f (x0) 與xlim →x0 g(x) = g(x0), (±) 對任意ε > 0,存在 δ1 > 0使得所有滿足 |x − x0| < δ1 的點都有|f (x) − f (x0)| < ε,也存在 δ2 > 0 使得所有滿足 |x − x0| < δ2 的點都有|g(x) − g(x0)| < ε。 取 δ = min(δ1, δ2) > 0, 則所有滿足|x − x0| < δ的點都有 |(f (x) ± g(x)) − (f (x0) ± g(x0))| = |(f (x) − f (x0)) ± (g(x) − g(x0))| ≤ |f (x) − f (x0)| + |g(x) − g(x0)| < ε + ε = 2ε, 因此 lim x→x0(f (x) ± g(x)) = f (x 0) ± g(x0)。 (×) 對任意 ε > 0, 存在 δ1 > 0使得所有滿足 |x − x0| < δ1 的點都有|f (x) − f (x0)| < ε。 特別 取ε = 1,則存在δ2> 0 使得所有滿足|x − x0| < δ2 的點都有|f (x) − f (x0)| < 1,由此得到 f (x0) − 1 < f (x) < f (x0) + 1 ⇒ |f (x)| ≤ max(|f (x0) − 1|, |f (x0) + 1|), 記 M = max(|f (x0) − 1|, |f (x0) + 1|)。 另一方面, 對於 ε > 0, 存在 δ3 > 0 使得所有滿 足 |x − x0| < δ3 的點都有 |g(x) − g(x0)| < ε。 取 δ = min(δ1, δ2, δ3) > 0, 則所有滿足 |x − x0| < δ 的點都有 |f (x) · g(x) − f (x0) · g(x0)| = |f (x) · g(x) − f (x) · g(x0) + f (x) · g(x0) − f (x0) · g(x0)| ≤ |f (x)||g(x) − g(x0)| + |f (x) − f (x0)||g(x0)| ≤ |M|ε + |g(x0)|ε = (|M| + |g(x0)|)ε, 因此 lim x→x0(f (x) · g(x)) = f (x 0) · g(x0)。(÷) 對任意 ε > 0, 存在δ1 > 0使得所有滿足|x − x0| < δ1 的點都有|f (x) − f (x0)| < ε,也存在 δ2> 0使得所有滿足|x−x0| < δ2的點都有|g(x)−g(x0)| < ε。 因為 lim x→x0 g(x) = g(x0) 6= 0, 且 lim x→x0(g(x) · g(x 0)) = g(x0) · lim x→x0 g(x) = (g(x0))2 > (g(x0)) 2 2 ,存在 δ3 > 0 使得所有滿足 |x − x0| < δ3 的點都有|g(x) · g(x0)| > (g(x0)) 2 2 。 對任意 ε > 0, 取δ = min(δ1, δ2, δ3) > 0, 對所有滿足 |x − x0| < δ 的點都有 f (x) g(x) − f (x0) g(x0) = f (x) · g(x0) − g(x) · f (x0) g(x) · g(x0) = |f (x) · g(x0) − f (x0) · g(x0) + f (x0) · g(x0) − g(x) · f (x0)| |g(x) · g(x0)| ≤ |f (x) − f (x0)||g(x0)| + |f (x0)||g(x) − g(x0)| |g(x)g(x0)| < (|f (x0)| + |g(x(g(x 0)|)ε 0))2 2 = 2(|f (x0)| + |g(x0)|) (g(x0))2 ε, 因此 lim x→x0 f(x) g(x) = f(x0) g(x0) 。 至於合成函數的連續性定理, 這裡我們把它拆解成兩個部份討論。 第一個是假設 f 是連續函數而 g極限存在(不見得要連續) 的情況, 第二個是f 和 g都連續的情形。 定理 8. 假設 lim x→x0 g(x) = u0, 函數 f (u) 在 u = u0 處連續, 則合成函數 y(x) 定義 == f (g(x)) 在 x = x0 處極限存在, 並且 lim x→x0 f (g(x)) = f (u0)。 證明: 對任意 ε > 0, 因為 f (u) 在u = u0 處連續, 所以存在 η > 0使得所有滿足 |u − u0| < η 的 點, 都有 |f (u) − f (u0)| < ε。 因為 lim x→x0 g(x) = u0, 對於上述的 η > 0, 存在 δ > 0 使得所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點, 都有 |g(x) − u0| < η, 由此得知: 對所有滿足 0 < |x − x0| < δ 的點, 都有 |f (g(x)) − f (u0)| < ε。 因此 xlim →x0 f (g(x)) = f (u0)。 定理 9 (合成函數的連續性). 若 u = g(x)在 x = x0 連續, 記 g(x0) = u0, 又 f (u) 在 u = u0 處 連續, 則合成函數y(x)== f (g(x))定義 在x = x0 處連續。 證明: 因為 u = g(x) 在 x = x0 處連續, 所以 lim x→x0 g(x) = g(x0) = u0。 由 定理 8 得知 lim x→x0 f (g(x)) = f (u0) = f (g(x0)), 得到合成函數y(x) = f (g(x)) 在x = x0 處連續。 如果以數學的操作面來看, 連續函數的概念可以想成極限與函數的操作可以互換, 所以要如何理解 定理8的結論呢? 一個想法如下: 若要有 lim x→x0 f (g(x))= f ( lim? x→x0 g(x)) = f (u0) 極限與函數互換後 這個等號成立, 則要先對函數 f 在 u = u0 要求連續。 而 定理 9 又假設了函數 g(x) 在 x = x0 處 連續, 所以極限又可以搬進函數 g 內部, 於是就有 lim x→x0 f (g(x)) = f ( lim x→x0 g(x)) = f (g( lim x→x0 x)) = f (g(x0))的結果。
18 4.3
連續函數
介紹完連續函數的基本性質後, 現在想觀察單調函數的性質。 首先給予單調函數的定義。 定義 10. (A) 若函數 f : I → R 滿足對任何 x1, x2 ∈ I, x1 < x2 都有 f (x1) ≤ f (x2), 則稱函數 f (x)為 遞增函數 (increasing function)。 (B) 若函數 f : I → R 滿足對任何 x1, x2 ∈ I, x1 < x2 都有 f (x1) < f (x2), 則稱函數 f (x)為嚴格遞增函數 (strictly increasing function)。
(C) 若函數 f : I → R 滿足對任何 x1, x2 ∈ I, x1 < x2 都有 f (x1) ≥ f (x2), 則稱函數 f (x)為
遞減函數 (decreasing function)。
(D) 若函數 f : I → R 滿足對任何 x1, x2 ∈ I, x1 < x2 都有 f (x1) > f (x2), 則稱函數 f (x)為
嚴格遞減函數 (strictly decreasing function)。
(E) 遞增函數或是遞減函數統稱為 單調函數 (monotonic function)。
定理 11 (反函數存在與連續定理). 若函數在閉區間上嚴格遞增, 則反函數存在, 並且反函數也是嚴 格遞增。 更進一步地, 若嚴格遞增函數在閉區間上連續, 則反函數也連續。 至於嚴格遞減的函數同理。 證明: 首先證明反函數的存在性。 假設 y = f (x) 在 [a, b] 上嚴格遞增, 則對任意 x1, x2 ∈ [a, b] 滿 足 x1 < x2, 必有 f (x1) < f (x2)。 記 R = {f (x)| x ∈ [a, b]} 表示函數 f (x)在 [a, b]上的值域, 則 對所有 y ∈ R,在 [a, b] 內不會有兩個點 x1, x2, (x1 6= x2) 使得 y = f (x1) = f (x2)。 換言之, 對集 合 R 裡的每一個 y, 在 [a, b]內存在唯一的 x 使得 y = f (x), 於是反函數 x = f−1(y) 存在。 其中 反函數 f−1 的定義域為 R, 值域為 [a, b]。 再證明: 若 f (x)在 [a, b]嚴格遞增, 則f−1(y) 在R 中也是嚴格遞增。 若y1, y2∈ R滿足y1 < y2, 記 x1 = f−1(y1), x2 = f−1(y2), 如果 x1 ≥ x2 則 y1 = f (x1) ≥ f (x2) = y2 矛盾, 所以 x1< x2, 也就是 f−1(y1) < f−1(y2), 因此反函數在R 中嚴格遞增。 若 y = f (x)在[a, b] 上連續, 記A = f (a)與 B = f (b)。 最後要證明的是反函數的連續性。 也 就是說, 給定 y0 ∈ [A, B], 對任意 ε > 0, 必須找到δ = δ(ε, y0) > 0 使得所有滿足 |y − y0| < δ 的 點都有 |f−1(y) − f−1(y 0)| < ε。 對任意 ε > 0, 為了要達成不等式 |f−1(y) − f−1(y0)| < ε ⇔ |x − x0| < ε ⇔ x0 − ε < x < x0+ ε, 因為f−1(y) 是嚴格遞增, 所以如果要讓上述不等式成立, 只要確定在選取的範圍內滿足 f (x0− ε) < f (x) < f (x0+ ε)這個不等式即可, 也就是說: f (x0− ε) − f (x0) < f (x) − f (x0) < f (x0+ ε) − f (x0) ⇔ f (x0− ε) − f (x0) < y − y0 < f (x0+ ε) − f (x0), 因此對任意 ε > 0, 只要取 δ = min(f (x0) − f (x0 − ε), f (x0 + ε) − f (x0)) > 0, 則所有滿足 |y − y0| < δ的點都有|f−1(y) − f−1(y0)| < ε。
連續函數的性質建立完畢後, 以下將介紹並建立數學上常用的函數及其連續性。
定義 12. 所謂 初等函數(elementary function)指的是以下類型的函數經過有限次的加、減、乘、除等
四則運算以及合成函數的運算下得到的函數:
(A) 常數函數 (constant function): f (x) = c,其中 c ∈ R。
(B) 冪函數(power function): f (x) = xa,其中 a 6= 0為常數。
(C) 指數函數 (exponential function): f (x) = ax, 其中a > 0, a 6= 1。
(D) 對數函數 (logarithmic function): f (x) = logax, 其中 a > 0, a 6= 1。 它表示指數函數
的反函數。 特別地, 取底數為歐拉數 (Euler number) e 的對數函數稱為 自然對數 (natural logarithmic function),記為 f (x) = ln x。
(E) 三角函數 (trigonometric function): sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x。
(F) 反三角函數 (inverse trigonometric function): sin−1x, cos−1x, tan−1x, cot−1x, sec−1x,
csc−1x。 它們表示限定在一個嚴格單調的範圍下的三角函數之反函數。 各位看到上述所提的初等函數想必會覺得這些函數很自然也很清楚, 實則不然, 這之間存在著有 如各位在學第 1章之前先問你: 「實數系是什麼?」 這個情境一樣, 如果我要你再繼續深入解釋實數的 意義的話你可能就回答不出來了。 而這裡你會遇到的問題是: 2√2 是什麼意思? 如果這個數字的實際 意義無法說清楚的話, 連帶著冪函數、指數函數與對數函數也無法有充份的認識。 這裡先簡短地說明 2√2 的意義。 回想在中學之前學到指數的概念是一種將乘法簡記的過程, 比方 說 23 = 2 · 2 · 2 表示 3 個 2 相乘, 然後為了將此記號與乘法有一個更好的對應, 於是定義 20 = 1 然後記 2−3 表示 23 的倒數, 所以我們可以清楚知道一個數的整數次方的意義。 至於 21 2 = √2 與 213 = 3 √ 2 也是一種記號的改寫, 它們分別表示滿足方程式 x2 = 2 與x3 = 2 的唯一正根, 所以指數 的有理數次方就可以透過定義配合代數的運算得以清楚認識。 最後, 關於指數的無理數次方的定義, 由實數的完備性, 我們知道 √2 可以對應於有理數的一種 切割 Q, 於是定義 2√2 = sup{2r|r ∈ Q}。 由此, 先證明這個上確界的存在性, 而唯一性由實數完備 性可以直接得到, 此外, 還要再驗證這樣定義指數的方式與之前的概念在意義上與運算上都是相容的 (compatible)。 我們把 2√2 這個問題(也就是指數函數的建構) 放到本章最後的附錄仔細說明。 在初等函數的定義中, 各位可能會覺得奇怪的一點是: 我們經常討論的 多項式(polynomial)怎麼 沒有在這個列表中? 若稍微想一下便發現:多項式可以視為冪函數的一個特殊情況,也就是f (x) = xa 在a為自然數的時候, 配合常數函數進行有限步驟的加、減、乘而得。 至於三角函數與反三角函數不熟的人, 應自行再找其它的微積分書籍重新複習, 這裡將預設各位 對三角函數與反三角函數有基本的了解。 以下將初等函數的連續性定理寫成一個一般性的敘述: 定理 13. 初等函數在有定義的地方皆連續。 初等函數連續性的定理證明我們也是留到附錄再逐一證明。
20 4.3
連續函數
前面花了很多篇幅介紹了函數的連續及其性質, 現在要討論函數 f (x)在 x = x0 不連續的情形。 這裡我們重看一次函數 f (x)在x = x0 處連續必須滿足的三個條件: (1) 函數 f (x)在 x = x0 處有定義。 (2) 函數 f (x)在 x = x0 的左極限 lim x→x− 0 f (x) 與右極限 lim x→x+ 0 f (x)都存在。 (3) 極限值等於函數值, 即 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x) = f (x0)。 現在根據左、右極限的存在與否將不連續點進行分類: 定義 14. 若函數f (x) 在x = x0 不連續 (discontinuous),將分成以下幾種類型:(A) 第一類不連續點 (type I discontinuity)指的是條件 (2)成立, 但是 (1)和 (3)至少一個不成
立。 由此, 第一類不連續點可再細分成以下兩種情形: • 若 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x) 6= f (x0) 或是 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x)而f (x0) 沒有定義, 則稱函數 f (x)在x = x0 處是一個 可去除的不連續點 (removable discontinuity)。 • 若 lim x→x− 0 f (x) 6= lim x→x+ 0 f (x),則稱函數f (x)在x = x0 處是一個 跳躍的不連續點(jump discontinuity)。 (B) 第二類不連續點 (type II discontinuity)指的是條件(2)不成立的情況。 此時, • 關於 lim x→x− 0 |f (x)| = ∞與 lim x→x+ 0 |f (x)| = ∞的情形, 我們會說函數f (x)在x = x0 處 是一個 無窮的不連續點(infinite discontinuity)。 • 至於其它函數在x = x0 處極限不存在的情形就不再細分。 例 15. 討論以下函數不連續點的分類: (A) f (x) = sin xx (B) g(x) = [[x]] (C) h(x) = x12。 解.
(A) 函數 f (x) = sin xx 在 x = 0沒有定義。 因為 lim
x→0 sin x x = 1, 所以函數 f (x) = sin x x 在 x = 0 處是可移除的不連續點。 也就是說, 若定義 ¯ f (x) = ( sin x x 若 x 6= 0 0 若 x = 0, 則 f (x)¯ 在 R上是連續函數。 (B) 對所有k ∈ Z,因為 lim x→k−[[x]] = k −1 而 lim x→k+[[x]] = k,所以函數g(x) = [[x]] 在x = k, k ∈ Z 是跳躍的不連續點。 (C) 函數 h(x) = x12 在x = 0 沒有定義, 因為 lim x→0 x12 = lim x→0 1 x2 = ∞,所以函數 h(x) = 1 x2 在 x = 0 處是無窮的不連續點。
回到嚴格單調函數的討論, 首先回想 定理 11, 我們介紹了嚴格單調函數具有反函數的存在性, 此外也證明了嚴格單調函數的連續性可確保其反函數也有連續性。 現在要問的是: 如果一個單調函數 (不見得要嚴格) 不是連續函數的話, 是否可以針對其不連續點進行刻畫? 定理 16. 在區間 (a, b)上的單調函數, 若存在不連續點, 則這個不連續點必為跳躍不連續點。 在區間 (a, b)上的單調函數之跳躍不連續點至多可數個。 證明: 這裡只討論遞增函數的情形, 而遞減函數的情形同理。 首先我們對於單調函數進行一般地分析。 給定 x0 ∈ (a, b), 考慮集合 R−x0 = {f (x)| a < x < x0}。 因為介在 a 和 x0 之間必存在實數 x′, 而 f (x′) ∈ R− x0, 所以集合 R − x0 非空。 又對任意 x ∈ R − x0 都有 f (x) ≤ f (x0), 所以 f (x0) 是 集合 R−x0 的一個上界。 由上確界原理 (Supremum Principle)得知集合 R−x0 的最小上界存在, 記為 α = sup R−x0。 以下將證明: lim x→x− 0 f (x) = α。 對任意 ε > 0, 則 α − ε 不再是 R− x0 的上界, 所以存在 y ′′ ∈ R− x0 使得α − ε < y′′ 而且存在x′′∈ (a, x0)使得y′′ = f (x′′)。 因為f (x)遞增, 所以對任意x ∈ (x′′, x0) 都有 f (x′′) ≤ f (x) ≤ α。 對任意 ε > 0, 取 δ = x0− x′′ > 0, 則滿足 0 < x0− x < δ 的點, 都有 α − f (x) ≤ α − f (x′′) < α − (α − ε) = ε, 因此 lim x→x− 0 f (x) = α。 另一方面, 考慮集合 R+x0 = {f (x)| x0 < x < b}。 因為介在 x0 和 b 之間必存在實數 x ′, 而 f (x′) ∈ R+ x0, 所以集合 R + x0 非空。 又對任意 x ∈ R + x0 都有 f (x0) ≤ f (x),所以 f (x0) 是集合 R + x0
的一個下界。 由下確界原理(Infimum Principle)得知集合R+x0 的最大下界存在, 記為 β = inf R+x0。 以下要證明: lim x→x+ 0 f (x) = β。 對任意 ε > 0, 則β + ε 不再是 R+ x0 的下界, 所以存在y ′′ ∈ R+ x0 使得y′′< β + ε而且存在x′′∈ (x0, x)使得y′′= f (x′′)。 因為f (x)遞增,所以對任意x ∈ (x0, x′′) 都有 β ≤ f (x) ≤ f (x′′)。 對任意 ε > 0, 取 δ = x′′− x 0 > 0, 則滿足 0 < x − x0 < δ 的點, 都有 f (x) − β ≤ f (x′′) − β < β + ε − β = ε,因此 lim x→x+ 0 f (x) = β。 因為對所有x ∈ (a, x0) 都有 f (x) ≤ f (x0), 所以 lim x→x− 0 f (x) ≤ f (x0); 對所有 x ∈ (x0, b)都有 f (x0) ≤ f (x),所以 f (x) ≤ lim x→x+ 0 f (x)。 因此, lim x→x− 0 f (x) ≤ f (x0) ≤ lim x→x+ 0 f (x)。 於是: • 若 lim x→x− 0 f (x) = lim x→x+ 0 f (x), 則 f (x)在x = x0 連續。 • 若 lim x→x− 0 f (x) < lim x→x+ 0 f (x), 則 f (x)在x = x0 為跳躍不連續點。 所以在(a, b)上的遞增函數之不連續點必為跳躍不連續點。 最後我們要證明: 跳躍不連續點至多可數個。 記集合 E 為所有 f (x) 在 (a, b) 上的不連續點所 成的集合, 若集合 E 非空, 則對任何 x0 ∈ E, 因為 α 記 = lim x→x− 0 f (x) < lim x→x+ 0 f (x) = β,記 在區間 (α, β) 中任取一個有理數, 記為 r(x0)。 若x1, x2∈ E 且 x1 < x2, 因為 lim x→x− 1 f (x) < lim x→x+ 1 f (x) ≤ lim x→x− 2 f (x) < lim x→x+ 2 f (x), 所以r(x1) < r(x2)。 我們利用x → r(x)的關係, 將集合 E 與有理數的一個子集合之間建立了一對一的對應。 由於後 者是至多是一個可數的集合, 所以集合E 也是至多是一個可數的集合; 換言之, 定義在 (a, b)上的遞 增函數的跳躍不連續點至多可數。
22 4.3
連續函數
這一節的最後, 我們要揭發微積分老師的話術。 回想這一節的一開始, 我們心中是想要把連續這件 事類比於圖形上的不間斷線條, 於是透過極限的概念定義函數在一個點的連續性。 實際上在圖 4.1產 生了一個嚴重的謬誤: 為了要解釋或突顯函數在 x = x0 這一點的連續性, 然而在這個圖形上卻默認 了在函數在 x 6= x0 的連續性。 微積分老師在各位初學微積分的階段使用了這樣的話術我認為這是無可厚非的。 這是因為學習數 學理應從直觀或是某些現象作為出發點, 然後試著把想法轉變成數學的符號, 藉由數學邏輯與運算串 聯所有討論, 倘若在最初引入概念的階段就一味地講求所說的每一句話都必須是順的邏輯, 這將有礙 學習者順利接受每個數學概念。 回想我們是怎麼認識自然數 1, 2, 3, . . . 甚至是 1 + 1 = 2, 小學老師 會從皮亞諾公設 (Peano Axioms)的觀點告訴你自然數然後給予 1 + 1 = 2 的證明嗎? 所以由這個 例子我想各位就可以接受微積分老師使用一些話術是有不得已的苦衷。 回到連續函數的主題, 在數學上有沒有一種很古怪的函數, 它不是長成像圖 4.1 那樣幾乎是很漂 亮的線條, 而又可以在連續性這個議題大作文章呢? 以下例子將造成人們對於 「數學上的連續性」 有 一個很大的衝擊: 例 17 (黎曼函數). 考慮 黎曼函數(Riemann function) f : (0, 1) → R, 其中 f (x) = ( 1 q 如果x ∈ Q, x = p q, (p, q) = 1 0 如果x /∈ Q, 試證: 黎曼函數在有理點不連續, 在無理點連續。 證明: (A) 黎曼函數在有理點不連續: 對於 x0 = pq, (p, q) = 1, 取 ε0 = 2q1 > 0, 對任意 δ > 0, 由無理數 的稠密性得知, 總是能在(x0− δ, x0+ δ)中取到無理點 x1 使得|f (x0) − f (x1)| = |1q− 0| = 1 q ≥ 1 2q = ε0。 (B) 黎曼函數在無理點連續: 若 x0 是無理點, 給定任意 0 < ε < 1, 令 N = [[1ε]] + 1, 則 滿足 f (x) ≥ 1 N 的點的個數有限。 這是因為函數非零的點只會發生在有理點, 而且這些有 理數經過約分化簡後的分母必須小於等於 N, 這些有理數不會超過 N2 個。 現將這些點標記 成 x1, x2, x3, . . . , xn0, 其中 n0 ≤ N 2。 取 δ = min i=1,2,...,n0 |xi − x0| > 0, 則對所有 x ∈ (x0− δ, x0+ δ) 都有 |f (x) − f (x0)| < N1 < ε。 回顧黎曼函數, 在無理點的地方函數值是零, 在有理點的地方函數值都大於零(離開地球表面!?),因為 有理數有稠密性, 以無理點為中心任取一個小範圍都會有無限多個有理點跳起來 (只是跳躍的程度可 受控制),而我們會說函數在無理點是 「連續的」, 一瞬間不僅煩惱沒有全忘掉, 反而增加了更多煩惱啊! 所以我們對於 「連續函數的圖形是一個不斷的線條」 這種想法, 其實是要求函數在 「每一個點」 都 連續,這麼一來, 就會排除掉黎曼函數這種極端的例外情況。 也就是說, 數學上把連續這個概念又細分 成函數在一個點的連續與函數在一個區間的連續, 而後者才與生活中的連續一致。4.4
均勻連續
對於一個連續函數 f : I → R, 根據定義, 給定 x0 ∈ I, 對任意 ε > 0, 都存在 δ > 0 使得所有滿足 |x − x0| < δ 的點都有|f (x) − f (x0)| < ε。 這一節的重點將放在δ 的依賴性。 一般說來, δ的選取和 ε有關,這件事一定可以理解, 除了常數函數以外, 只要誤差 ε變小, 能夠滿足條件的範圍δ 也一定會 變小。 此外, δ 的選取和x0 也有關係, 給定誤差ε之後, 對於函數在x0 附近的值如果是比較平緩、起 伏不是很大的話, 可以選到的 δ是比較寬鬆的, 但是如果函數在x0 附近的值變動比較劇烈的話, 能夠 選到的 δ 會很小。 所以對於連續函數而言, 若要指出δ 的依賴關係, 我們會寫成δ = δ(ε, x0) 表示這 個δ 是 依賴於 (depends on) ε與x0 這兩個量。 x y δ′ δ′′ ε圖
4.1:固定
ε >0之下
,滿足函數值之差小於
ε的寬度可能會和位置有關。
現在要討論一類更為特殊的連續函數, 這類型連續函數 δ 的選取和位置無關。 在此先給予這類連 續函數一個明確的定義。 定義 1 (均勻連續). 如果函數f : I → R滿足以下條件: 對任意 ε > 0, 存在 δ > 0使得對所有x′, x′′ ∈ I 滿足 |x′− x′′| < δ 都有|f (x′) − f (x′′)| < ε, 則稱f 在區間I 上是 均勻連續的 (uniformly continuous)。 首先我們舉一個均勻連續函數的例子。 例 2. 試證: f (x) = sin x在 R上是均勻連續的。 證明: 觀察以下不等式: |f (x′) − f (x′′)| = | sin(x′) − sin(x′′)| = 2 cos x′+ x′′ 2 sin x′− x′′ 2 = 2 cos x′+ x′′ 2 sin x′− x′′ 2 ≤ 2 · 1 · |x′− x′′| 2 = |x′− x′′|, 對任意 ε > 0, 取δ = ε > 0,則對所有x′, x′′∈ R滿足 |x′− x′′| < δ都有 |f (x′) − f (x′′)| < ε。 因 此 f (x) = sin x在 R上是均勻連續的。24 4.4
均勻連續
x y圖
4.2:函數
f(x) = sin x是在
R上是均勻連續的。 長寬均為
ε的框格可以穿過整條曲線。
我們可以用一個比較動態的觀點去感受均勻連續的意義。 就以 f (x) = sin x為例,如圖4.2,想像 這個函數的圖形是一條波浪形狀的鐵絲。 給定誤差 ε > 0之後, 這裡選取了 δ = ε, 於是我們製造一 個長寬均為ε的框格, 框格的左、右兩端是有開口的, 上、下兩端則是有橫板隔住。 接著我們把這個長寬均為 ε 的框格穿進鐵絲中, 然後移動框格試圖穿越鐵絲的其它部份, 因為 f (x) = sin x 是均勻連續的, 所以只要橫段差小於 δ 的兩點, 函數值的差就會小於 ε, 所以我們可以 順利移動框格讓上、下橫板完全不會碰到鐵絲而且得以通過其它地方。 以下舉一個連續函數但不是均勻連續的例子。 在此之前, 我們必須把它的精確意義確實表述: 「對任何ε > 0,存在 δ > 0使得對所有 x′, x′′∈ I, |x′− x′′| < δ都有 |f (x′) − f (x′′)| < ε」 不成立 ⇔ 「存在ε0> 0, 對任何δ > 0 存在x′, x′′∈ I, |x′− x′′| < δ 使得|f (x′) − f (x′′)| ≥ ε0」 成立 例 3. 試證: f (x) = 1x 在(0, ∞) 上不是均勻連續的。 證明: 取 ε0 = 1, 對任何 δ > 0, 取 x′ = min(12, δ) 以及 x′′ = x ′ 2, 則 |x′− x′′| = x′ 2 < δ, 但是 |f (x′) − f (x′′)| = |x1′ − 2 x′| = 1 x′ ≥ 2 > 1, 所以 f (x) = 1 x 在 (0, ∞) 上不是均勻連續的。 x y (A)圖
4.3:函數
f(x) = 1 x在
(0, ∞)不是均勻連續的。
若我們用框格的概念再去理解非均勻連續的函數時, 以 f (x) = 1x 為例, 如圖 4.3所示, 這裡是考 慮一個上下間距為 ε0 = 1 的隔板, 不論橫段的寬度 δ 取得有多小, 框格都無法順利通過 f (x) = 1x 的圖形所造出的鐵絲的所有地方; 換言之, 當你把框格往 x = 0 靠近的時候, 框格一定會在某個階段 卡住(如圖 (A)的位置), 若再繼續往左移動, 則鐵絲一定會與上下的隔板相交。 關於均勻連續的理論, 在此或許還看不出來它的重要性, 必須等到定積分理論的探討時才會突顯 其特色。 對於有界閉區間上的連續函數定積分的存在性, 必須用到均勻連續的性質才有辦法證明。4.5
有界閉區間上連續函數的性質
關於連續函數, 若將定義域限定在有界閉區間的話, 則會有許多很好的性質。 這一節將介紹有界閉區 間上連續函數的三大定理: 極值定理 (最大最小值定理)、中間值定理、均勻連續定理。 定理 1 (有界性定理). 有界閉區間上的連續函數必為有界函數。 證明: 假設函數f (x)在閉區間 [a, b]上無界, 則對任意n ∈ N,總是存在xn∈ [a, b] 使得|f (xn)| > n。 因為數列{xn}∞ n=1中的所有元素都屬於閉區間 [a, b],所以數列{xn}∞n=1 有界,由數列緊緻性定理 (Bolzano-Weierstrass Theorem)得知: 存在收斂的子數列{xnk}∞ k=1,即klim →∞xnk = x0, x0 ∈ [a, b], 而這些點對應到的函數值形成的數列 {|f (xnk)|}∞k=1 滿足 lim k→∞|f (xnk)| = ∞。 另一方面, 由函數的連續性 (絕對值函數與f (x) 都是連續函數) 得知 lim k→∞|f (xnk)| = lim k→∞f (xnk) = f ( lim k→∞xnk) = |f (x0)| < ∞ 矛盾。 所以有界閉區間上的連續函數必為有界函數。 證明: 考慮在閉區間 [a, b] 上的連續函數 f (x), 按照連續函數的定義, 給定 x0 ∈ [a, b] 以及 ε = 1, 存在δ = δ(x0, ε) > 0使得所有滿足|x − x0| < δ 的點都有|f (x) − f (x0)| < 1,於是 f (x0) − 1 < f (x) < f (x0) + 1得到|f (x)| < max(|f (x0) − 1|, |f (x0) + 1|) 記 = Mx0。換言之, 每個x0∈ [a, b] 都有一個包含x0 的開區間O(x0, δ(x0))使得|f (x)| ≤ Mx0。 而∪x0∈[a,b]O(x0, δ(x0))就形成了[a, b]
閉區間上的一個開覆蓋。 由有限覆蓋定理 (Heine-Borel Covering Theorem)得知: 存在有限個數的
開區間覆蓋[a, b]。 將這有限個開區間標記為 (x1− δ1, x1+ δ1), (x2− δ2, x2+ δ2), . . . , (xN − δN, xN + δN), 而在每個開區間上的函數值都有界 Mx1, Mx2, . . . , MxN。 令 M = max(Mx1, Mx2, . . . , MxN), 則對 所有x ∈ [a, b],都有 |f (x)| ≤ M。 以下利用幾個面向讓大家思考有界性定理的特色。 (A) 函數在一點連續, 則函數局部有界。 這是單元4.2定理5得到的結果。 而 定理1的第二個證明 就是從局部有界定理出發, 每個點都可以得到一個開區間局部有界, 而 [a, b] 的基數是不可數, 我們不知道不可數個有界值之最大值是否存在, 必須透過實數完備性得到閉區間上的開覆蓋一 定可以選到有限個數的子覆蓋, 當它變成有限個數字比大小時, 就可以取到最大值。 (B) 函數在開區間連續, 函數不一定有界。 像是 f (x) = 1x, x ∈ (0, 1) 或是 g(x) = tan x, x ∈ (−π2, π 2) 都是例子。 (C) 在閉區間上的不連續函數不一定有界。 比方說從上面的兩個例子繼續引申就可得到結果: ¯ f (x) = ( 1 x 若 x ∈ (0, 1) 1 若 x = 0或1 或是 g(x) =¯ ( tan x 若x ∈ (−π 2, π 2) 0 若x = −π 2 或 π2。 (D) 若一個連續函數討論的範圍無界, 函數不見得有界, 像是 f (x) = x, x ∈ R即為一例。
