有界閉區間上連續函數的性質

關於連續函數, 若將定義域限定在有界閉區間的話, 則會有許多很好的性質。 這一節將介紹有界閉區 間上連續函數的三大定理: 極值定理 (最大最小值定理)、中間值定理、均勻連續定理。

定理 _{1 (}有界性定理). 有界閉區間上的連續函數必為有界函數。

證明: 假設函數f (x)在閉區間 [a, b]上無界_, 則對任意_{n ∈ N,}總是存在xn∈ [a, b] 使得_{|f (xn)| >}

n。 因為數列_{xn}^∞_n=1中的所有元素都屬於閉區間 [a, b],所以數列_{xn}^∞_n=1 有界_,由數列緊緻性定理 (Bolzano-Weierstrass Theorem)得知: 存在收斂的子數列_{xnk}^∞

k=1,即 _lim

k→∞x_nk = x₀, x₀ ∈ [a, b], 而這些點對應到的函數值形成的數列 _{{|f (xnk)|}}^∞_k=1 滿足 lim

k→∞|f (xⁿk)| = ∞。 另一方面, 由函數的連續性 (絕對值函數與f (x) 都是連續函數) 得知

klim→∞|f (xnk)| =    

klim→∞f (x_nk)    

=    

f ( lim

k→∞x_nk)   

= |f (x0)| < ∞ 矛盾。 所以有界閉區間上的連續函數必為有界函數。

證明_: 考慮在閉區間 [a, b] 上的連續函數 f (x), 按照連續函數的定義, 給定 x₀ ∈ [a, b] 以及 _{ε = 1,} 存在_{δ = δ(x0}, ε) > 0使得所有滿足_{|x − x0| < δ} 的點都有|f (x) − f (x0)| < 1,於是 f (x₀) − 1 <

f (x) < f (x₀) + 1得到|f (x)| < max(|f (x0) − 1|, |f (x0) + 1|)= M^記 x0。換言之, 每個x₀∈ [a, b] 都 有一個包含x₀ 的開區間O(x₀, δ(x₀))使得|f (x)| ≤ M^x0。 而_{∪x0∈[a,b]}O(x₀, δ(x₀))就形成了_{[a, b]}

閉區間上的一個開覆蓋。 由有限覆蓋定理 (Heine-Borel Covering Theorem)得知: 存在有限個數的 開區間覆蓋[a, b]。 將這有限個開區間標記為

(x₁− δ1, x₁+ δ₁), (x₂− δ2, x₂+ δ₂), . . . , (xN − δ^N, xN + δN),

而在每個開區間上的函數值都有界 Mx1, Mx2, . . . , MxN。 令 _{M = max(Mx1, Mx2}, . . . , MxN), 則對 所有x ∈ [a, b],都有 |f (x)| ≤ M。

以下利用幾個面向讓大家思考有界性定理的特色。

(A) 函數在一點連續, 則函數局部有界。 這是單元4.2定理₅得到的結果。 而 定理1的第二個證明 就是從局部有界定理出發, 每個點都可以得到一個開區間局部有界, 而 [a, b] 的基數是不可數, 我們不知道不可數個有界值之最大值是否存在, 必須透過實數完備性得到閉區間上的開覆蓋一 定可以選到有限個數的子覆蓋_, 當它變成有限個數字比大小時_, 就可以取到最大值。

(B) 函數在開區間連續, 函數不一定有界。 像是 f (x) = ¹_x, x ∈ (0, 1) 或是 g(x) = tan x, x ∈ (−^π₂,^π₂) 都是例子。

(C) 在閉區間上的不連續函數不一定有界。 比方說從上面的兩個例子繼續引申就可得到結果: f (x) =¯

( ₁

x 若 _{x ∈ (0, 1)}

1 若 _{x = 0}或₁ 或是 g(x) =¯

( tan x 若_{x ∈ (−}^π

2,^π₂) 0 若_{x = −}^π₂ 或 ^π₂。 (D) 若一個連續函數討論的範圍無界, 函數不見得有界, 像是 f (x) = x, x ∈ R即為一例。

26 4.5 有界閉區間上連續函數的性質

在介紹下一個定理之前, 我們先說明一下函數最大值和最小值的意思。

定義 _{2 (}最大值與最小值; 最大點與最小點). 給定函數_{f : I → R,}

(A) 若有 x₀ ∈ I 使得對所有 _{x ∈ I} 都有 f (x₀) ≥ f (x),則稱 f (x₀) 是 f 在區間 I 中的 最大值 (maximum value)。 而x = x₀ 稱為函數f 在區間 I 中的 最大點 (maximum point)。 (B) 若有 x₀ ∈ I 使得對所有 _{x ∈ I} 都有 f (x₀) ≤ f (x),則稱 f (x₀) 是 f 在區間 I 中的 最小值

(minimum value)。 而x = x₀ 稱為函數f 在區間I 中的 最小點 (minimum point)。 定理 _{3 (}極值定理, Extreme Value Theorem). 有界閉區間上的連續函數必有最大值與最小值。

證明_: 給定閉區間 [a, b] 上的連續函數 f (x), 考慮其值域 R = {f (x) ∈ R| x ∈ [a, b]}, 因為值域非 空,而有界性定理 (定理 ₁₎ 得知: 值域有上界也有下界, 由確界原理(Supremum Principle)得知值 域的上確界與下確界皆存在_, 記為

β = sup

x∈[a,b]

f (x) 與 α = inf

x∈[a,b]f (x)。

現在要證明: β 與 α 會是某個點的函數值。 以下只討論 β 的情況, 而 α 同理可證。 因為 β 是集合 R 的上確界, 所以對任意 ε > 0, 存在 _x^′′ _{= x}^′′(ε) ∈ [a, b] 使得 β − ε < f (x^′′) ≤ β。 特別取 ε = ¹_n, n ∈ N, 則得到 _{xn∈ [a, b]} 使得 _{β −} ¹

n < f (x_n) ≤ β,因此 _lim

n→∞f (x_n) = β。 另一方面, 對於 數列 _{xn}^∞_n=1 而言,因為 _{xn∈ [a, b],}由數列緊緻性定理(Bolzano-Weierstrass Theorem)得知: 存 在子數列_{xnk}^∞_k=1 收斂, 即 lim

k→∞x_nk = x₀, x₀ ∈ [a, b]。 因為函數 f (x) 連續, 所以 β = lim

n→∞f (xn) = lim

k→∞f (xnk) = lim

x→x⁰f (x) = f (x₀), 所以閉區間上的連續函數必有最大值。 最小值的情況同理可證。

同樣地_, 我們利用以下幾個面向讓大家思考極值定理的特色。

(A) 此定理是在說明閉區間上的連續函數關於值域的上確界與下確界可以由某個點的函數值實現。

(B) 開區間上的連續函數不一定會有最大值與最小值。 例如函數 f (x) = x, x ∈ (−1, 1) 就沒有最 大值也沒有最小值。

(C) 閉區間上的不連續函數不一定會有最大值與最小值。 例如函數 f (x) =¯

( x 若x ∈ (−1, 1) 0 若_{x = −1} 或1 就沒有最大值也沒有最小值。

(D) 這個定理只是告知閉區間上連續函數最大點與最小點之存在性, 並沒有涉及唯一性。 也就是說, 產生最大值與最小值的點可能不只一個。 例如 f (x) = sin x, x ∈ [−2π, 2π]有兩個最大點與兩 個最小點。

(E) 若一個連續函數的討論範圍無界, 函數不見得有極值_, 像是 f (x) = x, x ∈ R即為一例。

接下來要介紹的是中間值定理。 在證明中間值定理之前, 我們先證明零點存在定理, 它是中間值定 理的一個前置作業_, 實際上這也是各位在高中曾經學過的勘根定理。

定理 _{4 (}零點存在定理; 勘根定理_). 若 f : [a, b] → R 是連續函數, 而 f (a) 與 f (b) 異號, 則存在 ξ ∈ (a, b) 使得 _{f (ξ) = 0}。

證明: 不失一般性, 不妨假設 f (a) < 0 與 f (b) > 0。 先將 _{[a, b]}等分, 中點為 ^a+b₂ , 如果 _{f (}^a+b

2 ) = 0, 則定理證畢。 若不然, 則這兩個區間中一定有一個區間在兩端點處函數值異號, 將這個區間記為 [a₁, b₁]。 再將 _{[a1, b1]} 等分, 中點為 ^a1+b₂ ¹, 如果 _{f (}^a1+b1

2 ) = 0, 則定理證畢。 若不然, 則這兩個區

間中一定有一個區間在兩端點處函數值異號, 將這個區間記為 [a₂, b₂]。 依此過程, 得到以下結果: (A) 若在某一個步驟得到的中點之函數值為零, 則定理證畢。

(B) 若每次取中點後函數值都不是零, 則得到區間列 _{[an, bn]}^∞n=1 滿足 (B1) 對所有 _{n ∈ N,}都有 [an, bn] ⊃ [an+1, b_n+1]。

(B2) lim

n→∞(bn− aⁿ) = lim

n→∞

b−a 2ⁿ = 0。

(B3) 對所有 _{n ∈ N,}都有 _{f (an}) < 0, f (bn) > 0。

由區間套定理(Nested Intervals Theorem)得知: 存在唯一_{ξ ∈ [a, b]}使得 _lim

n→∞an= lim

n→∞bn= ξ。 因為_{f (x)} 在_{x = ξ} 連續, 所以

f (ξ) = lim

n→∞f (an) ≤ 0 且 f (ξ) = lim

n→∞f (bn) ≥ 0, 因此 _{f (ξ) = 0}。

定理 _{5 (}中間值定理, Intermediate Value Theorem). 對於有界閉區間上的連續函數,介在最大值與 最小值之間的數必定是某個點的函數值。

證明_: 若 f : [a, b] → R 為連續函數, 由極值定理 (Extreme Value Theorem) 得知函數的最小值與 最大值存在_,即存在_{x1 ∈ [a, b]}使得_{f (x1) = min}

[a,b]f (x),也存在_{x2 ∈ [a, b]}使得_{f (x2) = max}

[a,b] f (x)。 任給一數 _{C ∈ (f (x1}), f (x₂)), 考慮 F (x) = f (x) − C, 因為 _{f (x)} 為連續函數, 所以 F (x) 也 是連續函數。 因為F (x₁) = f (x₁) − C < 0,而F (x₂) = f (x₂) − C > 0,所以由零點存在定理得知: 存在_{ξ ∈ (x1, x2) (}或者是 _{ξ ∈ (x1}, x₂)) 使得 F (ξ) = f (ξ) − C = 0,所以 f (ξ) = C。

關於零點存在定理與中間值定理, 有以下幾件事需要澄清:

(A) 關於零點存在定理,若f (a)與f (b)同號,則無法下任何結論,可能有_{ξ ∈ (a, b)}使得_{f (ξ) = 0,} 也可能不存在_{ξ ∈ (a, b)} 使得 _{f (ξ) = 0}。 例如 _{f (x) = x}²− 1, x ∈ [−2, 2],則 f (±1) = 0;而 f (x) = x²+ 1, x ∈ [−2, 2] 就沒有零根。

(B) 中間值定理只是告知存在性, 可能會有不只一個點會達到中間值。 例如 f (x) = sin x, x ∈ [−2π, 2π], 任給C ∈ (−1, 1) 滿足f (x) = C 的點就多於一個。

28 4.5 有界閉區間上連續函數的性質

(C) 若要繼續深究中間值定理, 定理敘述中閉區間的概念經抽象化後會變成 連通集 (connected

set), 而這個單元介紹的其它定理中, 有界閉區間的條件則是轉變成 緊緻集 (compact set)。

這個微妙的差異是 拓樸學 (topology)討論的範疇。

(D) 若函數 f : [a, b] → R 不連續, 中間值定理可能不成立。 例如 f (x) = [[x]], x ∈ [¹₂,³₂], 則 f (¹₂) = 0, f (³₂) = 1, 對任何 C ∈ (0, 1), 不存在任何點 _{x ∈ [}¹₂,³₂]使得_{f (x) = C}。

前一節介紹了均勻連續函數的意義, 至於哪些連續函數會是均勻連續呢? 以下定理給出一個重要 的結論。

定理 _{6 (}均勻連續定理). 有界閉區間上的連續函數必均勻連續。

證明_: 利用反證法。 假設連續函數 f (x)在 _{[a, b]} 並非均勻連續, 則存在 _{ε0 > 0,} 對任意 _{δ > 0,} 在區 間 [a, b]中至少存在兩點 x^′ 與x^′′ 滿足 _|x^′_{− x}^′′_{| < δ,} 但是 _{|f (x}^′_{) − f (x}^′′_{)| ≥ ε0}。

觀察 δ = _n¹, n ∈ N, 則在區間 [a, b] 中至少存在兩點 x^′_n 與 x^′′_n 滿足 _|x^′_{n− x}^′′_{n| < n}¹, 但是

|f (x^′n) − f (x^′′n)| ≥ ε0。 因為數列 _{x^′_n}^∞_n=1 在 _{[a, b]} 內_, 由數列緊緻性定理 (Bolzano-Weierstrass Theorem)得知, 分別存在收斂的子數列 _{x^′_n

k}^∞k=1,即 _lim

k→∞x^′_nk = x₀ ∈ [a, b]。 因為_|x^′_{n− x}^′′_{n| <} ¹_n, 所以 _|x^′_n

k− x^′′nk| < _n¹_k, 得到 lim

k→∞x^′_nk = lim

k→∞x^′′_nk= x₀, 但是 _{|f (x}^′_n

k) − f (x^′′nk)| ≥ ε0。 另一方面, 因為函數_{f (x)}在 _{x = x0} 連續, 所以 lim

x→x⁰f (x) = f (x₀)。 然而

klim→∞(f (x^′_nk) − f (x^′′nk)) = lim

k→∞f (x^′_nk) − lim

k→∞f (x^′′_nk) = f (x₀) − f (x0) = 0, 這和對所有k ∈ N, |f (x^′nk) − f (x^′′nk)| ≥ ε0 > 0矛盾。 因此連續函數f (x)在_{[a, b]}上均勻連續。

證明: 給定 x₀ ∈ [a, b], 因為函數 _{f (x)} 在 _{x = x0} 連續, 所以對任意 ε > 0, 存在 _{δ = δ(x0) > 0} 使得對所有 _x^′ 與 x^′′ 滿足 _|x^′_{− x0| <} ^δ(x₂⁰⁾ 與 _|x^′′_{− x0| <} ^δ(x₂⁰⁾, 都有 _{|f (x}^′_{) − f (x0)| <} ^ε₂ 與

|f (x^′′) − f (x0)| < ^ε₂,於是由三角不等式 (Triangle Inequality)得知:

|x^′− x^′′| ≤ |x^′− x0| + |x^′′− x0| < δ(x₀)

2 +δ(x₀)

2 = δ(x₀) 並且

|f (x^′) − f (x^′′)| ≤ |f (x^′) − f (x0)| + |f (x^′′) − f (x0)| < ε 2+ε

2 = ε。 換言之, 對於_(x0−^δ(x0)

2 , x₀+^δ(x₂⁰⁾) 內的任意兩點 x^′ 與 x^′′ 都有 _{|f (x}^′_{) − f (x}^′′_{)| < ε}。

考慮 _{∪x0∈[a,b]}(x0−^δ(x₄⁰⁾, x0+^δ(x₄⁰⁾),它是閉區間_{[a, b]}上的一個開覆蓋,由有限覆蓋定理 (Heine-Borel Covering Theorem) 得知: 存在有限個數的開覆蓋, 例如 _∪^N_k=1(xk− ^δ(xk)

4 , x_k+^δ(x₄^k)) 覆蓋 [a, b]。 取 _{δ = min(}^δ(x1)

4 ,^δ(x₄²⁾, . . . ,^δ(x₄^N)) > 0, 則 _δ 與 x 無關, 並且對所有 _x^′_{, x}^′′ _{∈ [a, b]} 滿足

|x^′− x^′′| < δ, 因為 _x^′ 一定屬於某個開區間 (x_k−^δ(x₄^k), x_k+^δ(x₄^k)) 當中, 所以

|x^′′− xk| ≤ |x^′′− x^′| + |x^′− xk| < δ +δ(x_k)

4 < δ(x_k) 2 ,

|f (x^′) − f (x^′′)| ≤ |f (x^′) − f (xk)| + |f (x^′′) − f (xk)| < ε 2+ ε

2 = ε, 因此連續函數f (x)在 _{[a, b]}上均勻連續。