乘與除概念相關實證性研究

壹、 張慧閔(2013)應用型教學策略在國小五年級分數乘法單元之準

實驗研究 一、研究動機

（一）分數領域是國內外學者研究的重點，從多年來的研究顯示，學生在 分數的概念及能力上有待加強。而國內外多位學者更是直接點出：

分數概念的學習對兒童在數學發展上困難無比。分數雖然是困難學 習的概念，卻是往後學習數學課程的基石。

（二）數學的概念是需要長時間累積的，學生在數學學習上常常因為先備 知識不足而遭遇困難。往往可以看到有許多學生在中、低年級的分 數相關概念沒有學好，導致升上高年級後，在學習分數乘、除時倍 感挫折。如何才能讓學生在先備知識不夠完全的情況下也能學好數 學，應用型教學策略和傳統講述教學法，何者對於學生的學習幫助 較大，變成了此研究探討的議題。

二、研究目的

此研究目的在於「分數乘法」單元教學上使用應用型教學策略和 傳統講述教學法，分析國小五年級學生之學習成效差異、再針對不同 分群、是否就讀數學補習班的國小五年級學生之學習成效進行比較，

以提供國小教師在教學分數乘法單元及使用應用型教學策略時之參 考。

三、主要研究結果

（一）對於全體施測對象來說，應用型教學組之整體表現較傳統講述教學 組佳。另外，當前測低於44.83分的學生中，應用型教學組在「分數 乘法」單元學習成效顯著優於傳統講述教學組，而此部分學生占學

生總人數的67%。

（二）由三分群的學生後測結果顯示，中、低分群學生在應用型教學組之 整體表現較傳統講述教學組佳，而高分群學生則是相反。就應用型 教學組部分，中分群學生整體表現優於高分群，其原因多為高分組 計算粗心的情況。另外，中分群學生在應用型教學組的學習成效顯 著優於傳統講述教學組，而高、低分群則未達顯著差異。

（三）對是否就讀數學補習班的兩組學生來說，可從後測得分情形及各題 答對率得知，應用型教學組之整體表現較傳統講述教學組佳。另 外，前測低於27.55分的學生中，應用型教學組之學習成效顯著優於 傳統講述教學組，此部分學生占學生總人數的72%。

四、評述

本研究分析使用應用型教學策略和傳統講述教學法，對於學生學 習效果的差異。由此研究結果得知，無論是將學生分成高、中、低三 組，或是有補習、沒補習，應用型教學組的學生後測表現明顯較佳。

但除了教學法的不同影響到學生後測表現，也可能是霍桑效應，或有 其他外在因素的影響，都值得進一步考量。此外，應用型教學策略在 中低分群的學生學習成效有顯著幫助，往後研究可將此教學策略運用 在補救教學上，探討其成效為何。

貳、 賴文溥(2009)國小六年級小數除法概念結構分析之研究 一、研究動機

（一）數學是國小階段不可或缺的學門之一，在教學現場往往老師耗盡心 思講得天花亂墜，學生卻不知為何總是學不會，為了探討其原因，

教師如何檢測自己的教學成效就成為一項重要的工作。但只憑一張 考卷很難完全分析出來，想與學生進行一對一面談又太耗費時間，

學生在認知結構上的問題在何處，如此一來對於數學教學必定能事 半功倍。

（二）小數在數的發展中有著重要的地位，原因在於小數雖然是分數的一 個部分，但是不像分數有自己新的一套運算法則，小數只需延續整 數的算則就能計算。雖然小數在國小數學中有著極大的重要性，但 學生在學習小數的過程中卻往往受到整數和分數的概念干擾，而其 中更以小數的除法最讓學生感到挫折。雖然小數概念在三年級就出 現，但是到五年級下學期學生才開始接觸小數除法，時間的不足和 對於概念的一知半解，更影響了學生在速率、代數和分數與小數四 則混合計算…等單元學習，因此研究學生在學習小數除法問題的迷 思概念為何是刻不容緩的議題。

二、研究目的

此研究先將過去有關小數除法的文獻研究加以整理，再用試題關 聯結構分析法，探討國小六年級學童在小數除法概念發展結構與順 序，並闡明學生在小數除法學習中可能會碰到的問題及迷思概念，提 供日後教師教學及研究之參考。

三、研究結果

（一）小數除以整數主要分為三個子概念：「1：小數除以整數，商為小 數，沒有餘數」、「2：小數除以整數，商為小數，有餘數」、「3：

小數除以整數，要補零才能除盡」，而此研究施測結果從下位概念 開始依序為 1→2→3，而專家概念結構圖卻把「2：小數除以整數，

商為小數，有餘數」做為最下位的概念，依序為 2→1→3 。

（二）小數除以小數主要分為四個子概念：「1：小數除以小數，商為整 數，沒有餘數」、「2：小數除以小數，商為整數，有餘數」、「3：

小數除以小數，商為小數，沒有餘數」、「4：小數除以小數，商 使用四捨五入法取到指定小數位數」，而此研究施測結果從下位概

念開始依序為 1→3→2→4，而專家概念結構圖認為順序應是 1→2→3→4，也就是「2：小數除以小數，商為整數，有餘數」應 該在「3：小數除以小數，商為小數，沒有餘數」之前學習。

（三）在「商為整數，有餘數」的部分中主要分為兩個子概念：「1：小 數除以小數，商為整數，有餘數」、「2：小數除以整數，商為整 數，有餘數」，而此研究施測結果從下位概念開始依序為 2→1，

和專家概念結構圖相互吻合。

（四）在「商為小數，沒有餘數」的部分中主要分為兩個子概念：「1：

小數除以小數，商為小數，沒有餘數」、「2：小數除以整數，商 為小數，沒有餘數」，而此研究施測結果從下位概念開始依序為 2→1，和專家概念結構圖相互吻合。

（五）在「小數除以小數，商為整數」的部分中包含兩個子概念：「1：

小數除以小數，商為整數，有餘數」、「2：小數除以小數，商為 整數，沒有餘數」，而此研究施測結果從下位概念開始依序為 2→1，與專家概念結構圖吻合。

（六）學童學習小數除法的困難點，分別羅列如下：對餘數和商之單位解 讀錯誤、存在「大數除以小數」及「結果要變小就用除法」的迷思、

不了解「位值」與「不夠除時，商要先補零」的概念、當四捨五入 遇到需進位的位值為9時要連進兩位。

四、評述

此研究分析學童小數除法的概念結構，並將所測得的概念結構和 專家概念結構做比較，很明顯可以看出，學生的實測結果中，沒有餘 數的題型屬於低階概念，而有餘數的問題因為容易計算錯誤或不暸解 餘數單位，在結構圖中呈現較高階概念。而專家概念結構圖卻是以整

習的困難點以供教學者參考，在進行小數除法教學時，應多著墨在被 除數、除數、商及餘數的意義，而非計算。

參、 林榮煌(2006)國小六年級學童分數乘除概念與運算錯誤類型之

研究 一、研究動機

（一）分數是多數國小學生學習數學的夢靨，在高年級開始接觸分數單元 時，對於等值分數、分母通分、擴分…等概念常搞不清楚，國外學 者Behr, Harel, Post & Lesh（1992）也曾說過：「學習分數為兒童數 學發展上的嚴重障礙」，由此可見分數的學習是學童數學發展上複 雜且重要的階段。

（二）此研究將分數的學習分為兩大類，一項是分數的概念，另一項則是 分數的運算(NCTM, 2000)，簡單的來說就是分為理解和計算。因此 學生學習分數單元時，應該兩者並重，若是有一項沒有學好，錯誤 就容易產生，而不管是概念錯誤或是計算錯誤，教師都應該從學生 的作答情形去觀察，了解學生發生該類型錯誤的原因，進而進行補 救教學的內容，才能讓學生在分數的學習上到達應有程度。

二、研究目的

本研究的目的是了解臺中縣國小六年級學生在分數乘除法的學習 表現、在分數乘除法概念與運算的錯誤類型、並探討錯誤形成的原因 為何。

三、主要研究結果

（一）整體施測結果分數乘除概念與運算能力的答對率是0.63。其中，在 分數乘除法的分類學習中，以分數乘整數的表現最佳，分數乘分數 及分數除整數表現中等，而整數除整數等於分數以及分數除分數的 表現最差。

（二）此研究針對分數乘法概念與運算，尋找學生錯誤類型與原因，其中 學生錯誤率較高的原因分別如下：「不了解題意，答非所問，有的 學生依循舊有經驗行改題目以大數除小數。」、「同分母分數相乘，

只有分子相乘，分母不變。」、「帶分數以分配率分成整數加分數 後，直接運算，並未用括號。」。其中，錯誤率最高的大數除小數 應該是學生對於題意的理解有問題之外，另外兩項都是對分數的運 算規則不熟悉所產生的計算錯誤。

（三）此研究針對分數除法概念與運算，尋找學生錯誤類型與原因，其中 學生錯誤率較高的原因分別如下：「對題目意思不清楚、對部分—

全體的概念不清楚及用關鍵字解題，有的學生會以舊經驗直接大數 除小數。」、「商與餘數觀念混淆。」、「未符合題目答題要求作 答。」。和乘法相同，在除法中錯誤率最高的原因仍是學生對於題 意並未完全理解，無法清楚分辨部分和整體的概念。

四、評述

此研究分析學生對於分數乘、除法學習中容易出錯的類型，我們 可以從施測結果看出，最容易出錯的部分反而不是分數的運算規則，

而是對於題意的理解和舊經驗的混淆，研究者也有點出教師不應只專 注提升數學能力，增強學生閱讀理解亦對數學學習有很大的幫助。另

而是對於題意的理解和舊經驗的混淆，研究者也有點出教師不應只專 注提升數學能力，增強學生閱讀理解亦對數學學習有很大的幫助。另