二位教師數學-幾何教學概念的比較

周老師幾何單元的教學前構思和課堂展現的教學實作大致上是一致的。她的幾何觀 點也一直潛藏在自己的課堂實作與教學反思之中。她認為，幾何教學應該「重視課本內 的基本邏輯和推理能力」和「熟練各類題型的演算」，並且，希望學生可以「舉一反三、

觸類旁通」。從兩階段幾何教學活動的分析中可以發現，她均著重於概念性的內涵，在 第二階段中也加重了指導式練習。考慮到課本提供的操作性活動並不合適，以及學生也 缺乏幾何方面整體性的知識，而認為操作性的教學活動只具驗證的功能無法發揮功效，

也無法符合她的教學要求。為了在教學中呈現各單元之間的連貫性和整體性，她改編課 本教材的內容，以便更符合她的教學觀和學生的學習需求。不僅如此，為了顧及學習效 果和學習情緒，她會選用隨手可得的生活素材為輔助工具來講解幾何概念；並利用自己 或學生過去的學習經驗，以及對其他年級課程內容的印象，編織一些生活實例，企圖將 抽象的幾何概念「生活化」。然而，考量不同類型班級學生的程度差異，使得她教普二 時會畫出圖形並詳細解說其中的幾何概念，而在美術班，則是比較精簡地直接說明概念 並補充課外的教材內容，以精鍊該班學生的能力。從她的教學反思中也可以發現，教學 時間的不足、學生學習效果的不佳或是課程內容的不易理解，往往會使她在教學的當下 選擇不同的作法，這使得她的構思和課堂實作之間產生不一致。

第四節 二位教師數學-幾何教學概念的比較

從這三階段的研究中可以發現，兩位教師的數學-幾何教學概念互有異同。不僅如 此，即使她們有相似的教學概念內涵，其各自的教學構思和教學實作，仍是有局部性的 差異。至於她們個人的教學思維和實際教學活動，則是相當地一致。因此，為了進一步 比對兩位教師教學概念內涵的異同，個人將她們的一般教學概念和幾何教學概念的內涵

，彙整為表4-13，同時，比較其教學構思、主要教學實作活動以及構思與實作之間的一 致程度。

不完全

是否一致 是 ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓

王師的教學實作 以圖示或教具輔助類推過程 以一般式呈現結果 強調課內數學概念 注意學生的表情和操作情況 體育班給予較多引導與提示 ，較少有發表機會，講解詳 細，重視課內概念，並以簡 單觀念解題；普一有較多發 表機會，講解精簡並適時補 充課外教材，提供多樣的解 題思路。 單元教學中、後皆安排作業 將體育班的測驗卷改為補充 教材 讓學生個別操作 利用教具展示 重新詮釋幾何名詞定義 刪除或另行設計操作性活動

王師的教學構思 利用邏輯和推理找出關係 以一般式呈現結果 提升解題能力需仰賴 基礎能力和閱讀習慣 給學生學習的信心 不同班級用不同的內容與 教法 依教學的進度安排 實施彈性評量以檢驗或督 促學生學習 進行操作性活動 不明顯 簡化課文繁瑣敘述 簡化課文繁瑣敘述 調整課本內容，以符合個 人的教學需求。 不明顯

重視邏輯推理 重視形式表達 強調基礎和閱讀 關心學生學習 依學生程度設計教學活動 安排適量作業 重視課後評量 幾何概念和操作活動並重 將數學生活化 將數學視覺化 將數學直觀化 適度改編課本教材 重視紙筆計算

數學教學概念

一般教學概念 幾何教學概念

周師的教學構思 利用想像力輔助推理 想像力和舉一反三需仰賴 閱讀和基礎能力 掌握學生的專注力 不同班級用不同的內容與 教法 依學生學習習慣安排 檢驗學習成效 融入日常生活 調整課本內容，以符合個 人的教學需求。 兩班皆增加練習題的題數 與題型。

周師的教學實作 以圖示輔助推理 重視課內數學概念 隨時抽問學生 對於較困難的抽象幾何 概念，兩班皆會以畫圖 的方式來傳達。 普一沒有安排作業 教學後進行單元測驗 利用生活工具 刪除課本操作性活動， 重新詮釋課文內容。 普二僅補充1、2題代表 題型。

不完全 ✓ ✓

表4-13：周師和王師教學概念內涵的對照 是否一致 是 ✓ 不明顯 ✓ ✓ ✓ ✓ 不明顯 ✓ 不明顯 不明顯 ✓

整體而言，依據前兩節的研究結果以及表 4-13 的內容都可以發現，她們對於學生 學習的知識、課程內容的知識和數學教學的知識都有些不同的理解，也對數學和幾何各 有不盡相同的觀點，所以，即使在外表相似的教學概念之下，她們各自的教學構思和實 作仍有不同之處。此外，她們在不同類型班級的數學課堂中，對自己的授課班級也會有 不同的教學構思，因而兩班的教學活動也會略有差異。然而，我們也可以發現，兩位教 師「對學生學習的瞭解」會強烈地左右她們的教學前構思與教學實作，不僅如此，教師 對學生學習的整體領悟，偶爾也會影響到構思與實作之間的一致性。

縱使兩位教師擁有相近或不同的數學-幾何教學概念，仍可以感受到她們將「關於 數學和幾何的觀點」，連結到課堂教學的構思與實作之中，而展現出不同的教學內涵。

她們皆一致認為「邏輯推理是一位數學學習者不可或缺的能力」，因此，周老師會希望 學生利用想像來推理，並且，以圖示的方式輔助幾何推理的過程；王老師則是重視數學 概念與推理能力之間的關係，因而，以圖示或學生操作的方式，連結幾何概念與邏輯推 理。此外，王老師比較重視數學的表達形式，所以，在兩班的教學構思與實作中，皆一 致地以一般式呈現單元學習結果；周老師雖然在美術班曾經以式子表達數字關係，但 是，相較於王老師則是較不明顯的。

其中，就學生的基礎與閱讀能力而言，她們認為基本能力是學習數學概念的基石，

因此，不約而同地「重視課本內的基本概念」。例如，和普通班相較之下，周老師認為 美術班學生的數學程度較佳，因此，在普通班的構思和實作就比較重視課本內的基本概 念；和體育班相較之下，王老師則是認為她的普通班學生的數學程度比較好，所以，在 體育班的構思和實作也強調幾何的基本概念。不僅如此，她們在教學中皆「相當關心學 生當下的學習情況」，但是，卻有不同的關心方式。例如，為了掌握學生的專注力，周 老師會隨時抽點學生回答問題，此外，她也嚴格掌控班上的學習秩序，並且時常詢問學 生「懂不懂？有沒有問題？要不要再講一遍？」以了解他們當時的學習狀況，甚至會因 為普通班學生的學習成效不佳，而放慢教學步調將教材內容重新講述；王老師為了要提 升學生的學習成就感，她會時時注意學生的表情（如是否有皺眉頭），同時，觀看學生

的操作是否成功，尤其是，她會降低體育班數學問題的難度，使學生可以輕易地說出答 案。因此，兩位教師這種出自於「對學生的關心」而顯露出的教學概念是相當接近的。

而且，在教不同類型的班級時，他們很一致地認為「學生的素質不同就應該有不同 的教學設計和教學實作」。例如，周老師認為美術班學生的程度比較好，所以，選用的 幾何教材內容會更豐富、講解也會比較簡要，並且，可以在比較抽象的層次中講解幾何 概念；王老師的體育班和普通班選用的教材雖然大致上雷同（僅體育班的測驗卷較簡 單），但是，在體育班的講解會比較詳細、給比較多的引導與提示，而且，會在比較具 體的層次中逐步帶領學生學習幾何概念。然而，對周老師來說，當她察覺到教材難度加 深或是學生學習成效可能不佳時，兩班的教學實作方式就會相當接近，以致於發生構思 與實作不一致的情形；而王老師卻是相當地一致。此外，她們對於作業和課後評量方面 的構思與實作，也大致上是一致的。例如，周老師會根據學生的學習習慣來安排作業，

並且，為了檢驗學習成效和提升學生的解題技能而實施測驗；而王老師則是依據自己的 教學進度來安排作業，並在不同班級彈性實施測驗。所以，對於不同類型班級的一般教 學設計上，兩位教師的教學概念是相似的。

但是，在幾何單元的教學中，我們可以看出，她們的教學概念是有相當大的差異。

例如，王老師認為抽象的幾何概念和具體的操作活動應該並重，所以，她的構思與實作 皆一致地呈現出操作性的活動；而周老師她卻認為，操作活動的先決條件應該是，學生 要有豐富的數學知識和觸類旁通的能力，因此，她在兩班的教學構思與實作均一致地傾 向以講述帶過（甚至略過）這類活動。然而，即使周老師認為，將數學與日常生活連結 是相當不容易的，但是，受到以前自己學習經驗的影響，使得在她教學時會大量利用隨 手可得的生活工具，以便將抽象幾何概念生活化或具象化；王老師的教學則是，以相當 少數的生活實例來引動學生的學習，比起周老師是較不明顯的。即使如此，她會選用書 商提供的教具將幾何概念以視覺化的方式傳達或以直觀的方式重新詮釋，比起周老師，

則是比較明顯的。

此外，由於兩位教師皆一致認為，學校選用的教材是無法滿足她們的教學需求，因

此外，由於兩位教師皆一致認為，學校選用的教材是無法滿足她們的教學需求，因