第四章研究結果

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第四章研究結果

本章共分 4 小節，採敘事（narrative）方式逐一報導個案教師教學前的構思、各班 實際教學活動內容和教學後的反思或省思（reflection）。第一節描述前導階段的結果和發現；第二、三節則是報導兩位個案在各類班級不同階段中，幾何單元的教學構思、實作和反思，再歸納整理出每位教師的（幾何）教學概念；最後，第四節綜合分析三個階段的研究結果以進行跨個案比較。其中，前導階段的描述是以教師訪談和教學活動資料為主要來源，輔以學生訪談資料，報導兩位個案在教學前關於數學和數學教學的觀點，

以及在不同類型班級的教學活動和教學反思；而第一和第二階段的報導是以教學觀察的量化資料為主，輔以教師訪談和問卷資料，描述兩位教師在教學前關於幾何和幾何教學的觀點，並報導不同個案在不同班級，其各階段的教學實作和教學反思，同時，跨階段歸納整理兩位教師的幾何教學概念；最後，依據各個階段的研究結果，分析與詮釋兩位教師的（幾何）教學概念。

第一節前導研究

本節敘述王老師和周老師在不同類型班級中，數型關係單元的教學構思和教學實作活動。

一、王老師

（一）教學構思

1. 關於數學的觀點

王老師認為，數學可以將生活上的事物「數字化」，並視它為「生活工具」的一種；

她也重視數學潛在的「邏輯」概念。例如，她在數型關係單元的教學前後皆談到：

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小時候數學是滿足我成就感的工具，…，直到大學之後，數學跟我想的都不一樣，它包含了很多潛在的東西，就像是邏輯。可是，邏輯的訓練是相輔相成的，因為邏輯好

，作文就寫的還不錯，…，書看得多就會影響到作文，進而就會影響你的邏輯。所以

，數學還蠻難定義的，就是生活上有一些東西可以把它數字化，就是算錢的工具。（T2 ,DL1,20041227）

…數學包含很多東西，比如說單純的數字運算，就像學生認為是算錢的工具，可是銭的概念也是因為數字，我們人也是因為先有物體才有數字的概念出來，數字其實是把這些東西理論化，…，我也會告訴他們邏輯，學生不知道邏輯和數學有關係，他們比較沒有這個概念，所以，就會舉科南的例子…。（T2,EL1,20050117）

而王老師的學生對於數學的感受也與她相近。例如，有位普一的學生表達了她的想法：

我覺得數學很重要。因為，生活上常常會很多地方用到數學，像買賣東西都一定要用到數學，有時候數學可以訓練自己的大腦，然後，你讀起書來也比較容易，各科都一樣，就是記憶、理解方面都會比較好。（S^甲,C^L1,20050117）

所以，王老師的教學構思主要是：以前幾節的邏輯概念為先備知識，引導學生用自己的邏輯推理找出相關的數學式子。她說：

以前學習都是數字，現在比較像是圖形的規律，然後，從圖形的規律去找出和數學相關的式子。（T2,D^L1,20041227）

因此，王老師將數學當作是日常生活中不可或缺的工具，並且可藉由數字的形式呈現出來，但是，她並未要求學生死記數字，而是希望在找出數學形式的過程中，學生能夠仰賴自己的邏輯推理，依據圖形找出規律。透過這樣的數學訓練，希望讓學生學到邏輯的概念，同時，讓學生感受到推理能力的提升有助於其他學科的學習。

2. 關於數學教與學的觀點

由於，王老師將數學當作是生活的一種工具，因而，希望學生可以感受到她的教學是可以「契合日常生活需求」，但是，她認為國中教材內涵是無法達成這個目標，加上學生理解數學的能力也很有限，使得她在教學時會「選用更簡單、更生活化的例子」，

以帶領學生學習數學概念。她談到：

我覺得教學是要契合學生生活實際上需要，教他們生活上會用到的東西。…，但是，

很多數學理論是達不到的，所以，本身理論達不到，課本不可能達到。…，其實，我認為很多學生是聽不懂我上課的，即使我講的再怎麼簡單，再怎麼生活化，他都還聽

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不懂，…，我覺得我只能用一個愈簡單、愈生活化的例子。（T2,DL1,20041227）

然而，受到她以前數學老師的影響，使得王老師的教學比較「重視學生的學習態度」，並且，想要讓學生感受到她的教學用心。她曾提到：

以前讓我印象深刻的數學老師是我的補習班老師，我覺得是態度上受到他的影響，…

，他沒有苛求、沒有罵，…。所以出來教書之後，都不是刻意盯學生的成績要怎樣，

都會分析給他們聽，…，是希望不要讓學生覺得我在壓迫你念數學，而是要讓你覺得我是很用心在教數學，…覺得在普通班的這個效果很大。（T2,DL1,20041227）

有一位普一學生曾經提到，若是她在學習上遇到困難，就會主動去向王老師請教，此外，

她也表達了對王老師教學的感受：

…就是，有一些題目它是屬於比較深的嘛！所以，你自己找規律還是找不太出來，就是要去問老師。…已經上了半學期的課，我覺得她很民主，…，因為，她會尊重學生的意見，不會自己想怎樣就怎樣，…，她講的話我們也比較容易理解，不只是只有數學上，其他一些瑣事也是。（S甲,CL1,20050117）

雖然，體育班的受訪學生未曾向王老師請教過學習上的困難，但是，該生在學習上除了對數學有些許的興趣之外，其學習態度相較於班上其他同學是較為積極的，而他也表達了對王老師教學的感受：

有一點喜歡數學啦！覺得數學不錯重要，很重要啊！…上課的時候會很喜歡回答老師的問題，應該是覺得很有趣吧！…，而且，我覺得老師的教法是一半民主、一半權威

，…，就是感覺啦，我的感覺。（S^丁,C^L1,20050117）

然而，王老師也很「重視家庭作業」的功能。她說：

我覺得家庭作業重要啊！因為每天都有數學課，課本的隨堂練習不一定會馬上講，會當作是功課，所以大約 4 題，…，原則上不會讓他們有超過兩頁的回家功課，因為，

一個晚上還有其他功課。（T2,D^L1,20041227）

而且，王老師在指導學生和批改作業時，相對於計算結果的正確性，她比較「重視學生的推理過程」，但是，在結果的呈現上仍然「重視數學的表達形式」。她認為：

學生的學習比較重視推理的過程，我習作和測驗卷改很慢，因為，我會一個步驟、一個步驟都看，…，甚至，有的學生是寫文字敘述，內容都對，我也會給他對，…，只是，這種同學會把他叫過來，告訴他以後不可以這樣寫，畢竟，考試的時候我們希望盡量用式子來寫。（T2,D^L1,20041227）

除此之外，王老師也察覺到目前多數學生的學習盲點，所以，她「重視學生的基礎和閱讀能力」，認為學生想要學好數學或是會解題，國小的底子打好是必要的，但是，多閱讀也有助於瞭解題意。她表示：

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學生要學好數學應該要多看幾本書，…，但是，情況要允許，像現在就不可能，就會跟她說，回去每天翻國小課本，…，要學好這地方一定要先把國小的東西弄懂。（T2, EL1,20050117）

對不同類型班級教學前，王老師會「考量各類班級有不同的學習風氣」，而有不同的教學規劃。由於，感受到普一的學習意願高且學習態度佳，所以，會想補充難度較高的課外練習題；而在體育班則是因顧慮到班級的上課秩序、授課堂數、學生學習意願以及程度，因此，會比較強調課本中的基本題型。她曾敘述：

因為有和體育班的導師討論過，他們程度比較不好，…，上數型關係可能都會一樣，

因為這一節是操作，…。但是，普通班會補充比較益智（即比較難）的題目，他們也比較喜歡，因為他們作課本、作講義的題目比較多，…，而體育班會補充比較基本的題目。…體育班他們比人家少一堂課，可以補充，只是時間比較短，…，但是，體育班上課很吵，吵到不行，…，但是，他們還是有在聽課，就是聽課之餘還可以跟隔壁的講一下話。（T2,D^L1,20041227）

並且，對於上課學習狀況比較不好，課後沒有複習習慣的體育班學生，王老師常以隨堂考試來鞭策他們。但是，考試的內容是比較簡單的，而且，她有時會依據學生的答題情況，將測驗卷彈性調整為補充教材。她曾提到：

有時候這節大家上的比較不好時，那就不考試了，就一題一題帶著作考卷題目，解給他們看。…體育班的考卷大部分都不計分，因為，大張考卷對他們來說很困難，困難是因為他們很多題目看不懂，就是不知道怎麼去解釋那個題目。所以，在體育班比較常考隨堂考，…，比較強調他的基本能力，…，每個班的考卷都不一樣，給體育班的會比較簡單，但是表現的不大可以，…，其實他們不是不能念，而是沒有心念。這是我的感覺，因為上課都聽的懂，上課完的算法都會，隔一天就忘記，就是，他們比較沒有花時間在複習上，我相信他們都可以念，但是你少了那個功夫，慢慢就越來越差

。（T2,DL1,20041227）

王老師在設計數型關係的活動時，她是希望讓兩班的每位學生都能動手操作，而且，都想對兩班作課外補充，但是，體育班可能會較少。另外，在普一她會將課程內容與國中基本學力測驗考題作連結，以強調數學概念的重要性。她的構想是：

本節教學時會比較偏向讓學生操作，關於課本第一個活動會讓學生使用我已經準備好的教具（鐵珠和磁鐵棒），也會讓學生準備豌豆或是黏土和牙籤，…，我希望每一個學生都能操作到，而且，體育班和普一都會讓他們操作，…。我會給他們課外的東西，

…，但是，其實體育班比較少，…。然後，教學中我是看反應，其實這兩個班教學方式會不太一樣。像在普一…，會想跟這單元有連結的題目，這題目是二、三年級才能做或是學測有出現過的，…，一步一步講解愈來愈難的題目，所以，到最後學生都可

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以聽的懂，然後就會說這最難的是學測考題，…。這樣做是因為，覺得跟學生講這概念很重要，學生可能不覺得。（T2,DL1,20041227）

透過與王老師教本單元之前的訪談，可以感受到她的教學想重視學生的學習態度，

希望學生可以感受到她教學上的用心，而且，教學的風格比較偏向輕鬆、活潑，並時常與學生互動。她的構想是，希望讓學生進行分組討論，利用自己準備好的教具，或是學生自行準備的材料，讓每位學生實際動手操作，以發現圖形物件之間的規律性。此外，

為了能與日常生活作連結並符合學生的學習需求，在教學中所使用的例子會傾向簡單以及生活化。對於不同類型班級的教學規劃，一般而言，會依據前幾節的教學狀況、學生程度和班級學習風氣，略作調整。以教材方面來說，除了兩班共有的教材（課本、習作、

學習單）之外，王老師會依據學生程度使用難易度不同的測驗卷，但是，皆會重視兩班學生解題時的推理過程，和數學形式的表達。另外，也會依據體育班學生的教學回饋，

調整測驗卷的使用方式，希望學生的學習態度與意願可以不要受到考試成績的影響。在教學設計方面，兩班都會以分組教學為主，但是，對於需要費較多心力的體育班，除了與普一相同皆讓學生實際操作，從過程中找出答案以獲得成就感之外，也會提供簡單的練習題以增加學生的信心，意圖使班級學習氣氛不是充斥著談天說笑，而是專注在教具操作以及基本題型的演算，並依據該班學習效果適時實行隨堂考；普一的教學則是，會針對某些數學概念以逐漸增加題目困難度的方式，補充與基本學力測驗相關的練習題，

藉以讓學生察覺到概念的重要性。此外，為了養成學生有課後復習的習慣，在不影響學生學習負擔的前提下，會安排適當份量的回家作業。所以，她的教學思維似乎都是站在學生的立場而設想，據此調整自己的教學措施，期望學生可以有最佳的學習成效。不僅如此，當學生想進一步將數學學好或是進行數學解題時，她認為：打好基礎和提升閱讀能力是達成目標的不二法門。

（二）教學實作與反思

1. 體育班

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王老師數型關係的教學活動是先用三節課進行課本內容的教學，再以兩節課進行習作講解、實施課後測驗以及解答試卷內容。其中，第一節和第二節是以學生分組操作的方式，進行課本探索活動、例題和隨堂練習，而第三節則以講述為主，解說課本其他的例題以及自我評量中的練習題。

第一節約38 分鐘的教學活動中，她先利用約 20 秒的時間告知學生單元的學習目標是「找出數字的關係」，並「從連續圖形中找出規律性」。之後，並未介紹課本中的生活實例，而是直接進行學生分組教學。學生操作前，她以大約 2 分 30 秒的時間，用書商提供的教具講解活動內涵以及示範教具的操作方式，並且，帶領學生初步觀察在連續正方形中，其圖形個數和珠子個數之間的關係：

T2：（見擷取畫面（T2^丁,AL1,20050104））等一下我會給同學像這樣的磁鐵，這活動裡面它就是要你去討論這個頂點，…，所以，你看一個正方形是不是要 5 個珠子？如果我要你接二個正方形，你可以看到，你可以直接用數的，你要幾個珠子？10 個嗎？

S ：8 個。

T2：為什麼是 8 個？

S1：因為它要接到另外一邊。

T2：什麼叫做接到另外一邊？這兩個是不是重複到？【教師指著中間兩顆鐵珠】如果

，我是拆開來的兩個，是不是要各 5 個珠子？…，在這探索活動裡面我們要討論的是這樣子的規律…請你按照上面的要求，把表格填出來。（T2丁,BL1,20050104）

在學生進行約 28 分鐘的探索活動中，王老師到每一小組旁，觀察其討論情形與填答狀況，並適時進行小組教學，在第一時間澄清學生的觀念，而該班學生大多專注於動手操作，鮮少提出問題。學生結束操作後，教師逐一解說活動中的問題，過程中雖會詢問全班學生問題的答案、規律或關係，但是，個別學生或是各小組未有發表的機會。由於，

王老師在觀察小組討論時，發現學生的想法可歸為兩類，因而分別寫在黑板上並講解。

最後，在剩下的7 分鐘裡，她也先利用先前的教具說明例題一的題意，並讓學生利用操作找出此題中連續四邊形其邊數的規律性。

第二節約 41 分鐘的教學活動，她依舊以學生分組操作為主要的教學方式。首先，

用6 分鐘講解上一節的例題一，她在黑板上畫出題目中的連續圖形，再將圖形拆解，並

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帶領學生發現其中的規律，如下：

T2：（見擷取畫面（T2^丁,A^L1,20050106））我把最左邊的火柴棒單獨拿出來看，那我其他的是不是就是 3 根火柴棒？【教師在黑板左邊畫出分解圖】

…，我只要加 3 根火柴棒拼貼過去，就是一個完整的正方形，

…，這是第一個想法。…，第二個想法就是，我把第一個正方形拿出來看，…，接下來每多一個正方形我是不是就這樣一個一個拼上去？【教師在右邊畫出分解圖】…。

（T2,B^L1,20050106）

接著，學生進行5 分鐘的教具操作，找出連續三角形邊數間的規律；期間，王老師也至各小組觀察學生的討論情形並適時給予指導；再利用6 分鐘的時間畫出連續圖形、拆解之並講解正確的解法；之後，用講述的方式輔以圓形磁鐵教具用 22 分鐘講解例題二，

讓學生遵循著她的講解，找出圖序與小圓個數之間的規律，如下所示：

T2：（見擷取畫面（T2^丁,A^L1,20050106））題目要找圖序與小圓個數的關係，第一個圖

【教師指著最上方圓形磁鐵】，因為只有一個圓圈，所以它的個數就是 1。第二個圖就是…，所以，第 5 個圖是不是就有 15 個。來！你有沒有找出它的規律？

S1：有。

T2：你找到什麼規律？

S1：第二個圖加 2，第三個圖加 3。（T2^丁,B^L1,20050106）

待學生找出圖形規律之後，她再逐一講解此例題中的各項問題以及連續整數和的求法。

最後，利用大約2 分鐘的時間介紹高斯的故事，以便講解隨堂練習 1+2+3+…+100=？

第三節約 39 分鐘的教學活動，她是以講述為主要的教學方式。王老師利用約 8 分鐘複習上一堂課的學習內容；之後例題三的應用問題，她以大約5 分鐘的時間，在黑板上畫出房子和電線桿的排列順序，講解如何計算房子與最後一根電線桿之間的距離；再以約 2 分鐘講解例題四的存款問題；所剩餘的 24 分鐘，則皆是進行隨堂練習和自我評量題目的講解，過程中並未讓學生先演算，而是老師先解題，再針對簡單的問題以問答的方式和學生進行對話，而若是困難的題型，則仍採講述的方式。

在課本教學之後，她以習作為作業，另在第四節課時檢討，且於該節下課前 5~10 分鐘進行隨堂考試（教師命題於黑板，學生以測驗紙作答）。由於，該班學生利用自習課時間的小考試結果並不理想，因此，在最後一節中，王老師除了解說上一堂隨堂測驗

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的考題之外，也逐一解答小考試卷。

從以上觀察王老師的教學活動中，個人認為，她的教學活動是先讓學生操作教具，

以發現圖形物件之間的規律，之後，再讓學生跳脫操作情境，利用其所學到的邏輯概念解決各種問題，而對於學生課後作業的配置和評量實施的方式，與她先前的教學構想相當一致。另外，在觀察學生的小組活動時，王老師會注意小組成員的操作是否成功；也會將學生找到的各項結論，寫在黑板上並講解，讓學生瞭解規律的找法不只一種。個人可以感受到，王老師對學生學習態度的重視。而且，在例題一和二需要學生作第n 項結果的類推時，皆會先從個數較少的圖形開始推論，待學生發現規律之後，再延伸至圖形個數較多者，最後，以一般式表達第n 項的結果。所以，王老師在教學上也重視學生的推理過程以及數學形式的呈現。雖然，她省略了課本所提供的生活實例，但是，為豐富課程的內涵，她於結束前利用高斯的故事與課程作連結，這似乎顯示出她想以簡單和生活化的方式呈現看似困難的數學式子。

2. 普一

王老師在普一是先以三節課進行課本內容的教學，再用兩節課進行習作和測驗卷的講解。其中，第一節除了介紹單元的學習目標之外，其餘多數時間和第二節課相似，她都讓學生進行分組討論課本中的例題、隨堂練習與自我評量；而第三節則是以講述為主，期間偶有師生對話並在活動中介紹高斯的故事。

第一節 40 分鐘的教學活動，與體育班相同以大約 2 分鐘的時間，介紹數型關係的學習目標，同時，也未使用課本一開始所給予的生活實例，而是直接進行分組教學。在學生進行分組討論之前，她利用教具進行約4 分鐘的探索活動內容簡介，並告知學生將會讓各組上台發表探索的結果。在學生 21 分鐘的操作過程裡，王老師觀察各組內的討論情形，並對於已得到結論的成員給予口頭上的鼓勵，之後，以約 11 分鐘的時間逐題講解此活動中的各項問題。其中，王老師除了讓全班學生共同發表前三題的答案之外，

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對於較困難的問題，不只抽籤點選同學回答，也從討論氣氛最佳的小組中擇一成員上台發表該組討論的結果，卻未讓其他各組有發表的機會。最後，各組以2 分鐘的時間，利用教具排列出例題一中連續正方形的圖形，並找出其圖形和邊數之間的規律。在這期間，王老師仍會持續注意每一小組的操作情形。

第二節42 分鐘的教學活動，學生大都還是分組討論。王老師利用約 11 分鐘講解例題一，除了說明與體育班相同的兩種解法之外，也教學生可以試試另一種不同的思考方式，如下：

^T2：^{（見擷取畫面（T2}^甲^,A^L1,20050104））我們把所有的正方形分開來看好不好！…，

我把它分開來看同學都知道一個正方形有幾根火柴棒？

S ：4 根。

T2：如果，我有 10 個分開來的正方形，就有幾根火柴棒？

S1：40 根。

T2：40 根，是不是很好算？那今天合在一起有一個問題，…，右邊正方形要湊過去時

，是不是會多一根火柴棒？【教師用橘色粉筆在正方形中間畫出直線代表多餘的火柴棒】所以，要把多的拿掉，…。這是倒過來的想法，你看前面兩個作法比較像是看圖形有幾個，然後就用加的，可是，有時候你可以用拿掉多少的想法來想

，…。（T2甲,BL1,20050104）

接著，學生有9 分鐘的時間繼續討論隨堂練習，而王老師則觀察各組中的成員是否能順利操作，並立即澄清成員的錯誤概念。另外，在其8 分鐘講解題目的過程中，她也會抽點同學回答自己的解題想法，並探問全班學生是否清楚其中的概念。最後，由於例題一和隨堂練習分別是找連續正方形和三角形的圖形規律，為了讓學生更熟悉圖形的邏輯規則，在剩下的 14 分鐘裡，她繼續讓學生分組操作，找出自我評量中連續六邊形圖形的規律。期間，王老師仍是持續觀察每組的討論情況，偶爾會加入小組與學生對話。

第三節 41 分的教學活動，王老師主要是以講述的方式進行教學。她先以 17 分鐘的時間，採用圓形磁鐵講解例題二中圖序和小圓個數之間的規律，而隨堂練習中 1+2+3+…+100=？的求值，則是先讓學生以 6 分鐘的時間先用紙筆計算，再與全班核對答案，同時，也轉述高斯的故事，並在故事最後教導學生不要侷限於一種思考模式。接

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著，對於例題三和四的應用問題，她分別利用6 和 2 分鐘的時間畫圖講解例題，而對於隨堂練習，則是給學生7 分鐘演算再自己講解。過程中，她會巡視每位學生的作答情形，

偶爾給予個別指導，之後，示範正確的解法。最後，利用下課前3 分鐘讓學生各自演算自我評量中的練習題，並指定習作為回家作業。

在第四堂課的教學中，王老師逐一解說習作中的題目，但是，未實施課後隨堂測驗，

之後，王老師並利用第五節課講解小考試卷中的各類題型。

從以上觀察王老師普一的教學活動中，個人認為，她的教學實作與教學前的設計（或構思）大致上是一致的，而且，也重視學生的學習態度並適時給學生單獨發表的機會。

從她的教學中也可以發現，確實提供普一學生較多的課程內容，和提供不同的解題思路，而講解圖形規律時，也重視推理的過程和數學式子的表示方式；但是，個人未觀察到王老師有提供與學力測驗相關的題型讓學生練習。在學生進行小組討論時，王老師不但時時注意各組的討論狀況；只要小組提出問題，她就參與討論，時而澄清組員間的想法，時而讚許學生討論所得的結果。所以，個人可以感受到，她的課堂中討論的熱絡，

學生學習的積極。此外，王老師為了達到將數學生活化與簡單化的目標，雖未採用課本提供的生活實例，卻在解答隨堂練習時，曾利用高斯的故事以豐富課堂中的教學活動。

3. 兩類型班級教學活動的比較

王老師在兩個班級的教學中，皆省略了課本提供的啟始生活實例，緣由是：

這兩個例子我沒有講是因為，我覺得以課本的取向來說，比較無關。我急著要讓他們做活動。（T2,E^L1,20050117）

而且，王老師在教授解題時，會同時呈現多種的解題方法，雖然她不擔心學生會產生混淆，但是，卻會顧慮到學生是否理解算式，她說：

不會擔心學生會搞混啊！就只有兩種解法，但是，會擔心學生會搞混到底要不要減 1

，所以會一直講。（T2,E^L1,20050117）

因此，在講解算式的列法時，王老師會在黑板圖示拆解的方式，並且舉例時，會從數字

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小的開始，無論連續圖形個數的多寡，皆將圖形拆解成一串相同的元件，以方便學生了解如何列式。但是，講解完幾個數字較小的範例之後，並未讓學生自行練習，而是進行第n 項的類推，這是因為：

我告訴他們，10 個正方形可以用畫的，100 個也要用畫的嗎？我會想要告訴他們，數字大的時候該怎麼作，所以，直接跳到 n 個正方形。因為，我覺得他前面已經做了很多，數字小的還可以用手操作，像 10 個可能就要用畫的，妳不可能找 10 個正方形來連接。若要跳到 n 個，就是要給他們一個想法，就是當數字太大的時候，妳不可能都畫出來。這時就會告訴他們會出現一個通式，那這個通式怎麼找？如果有 n 個，要怎麼去想？所以，就沒有多出題目。（T2,E^L1,20050117）

另外，王老師在兩班教學中的主要差異在於，在學生分組討論之後，她會給予普一學生機會的發表，而體育班則是聆聽她的講解；她也認為，體育班的學生比較需要依賴老師的引導，例如，在講解探索活動中的相關問題時，普一是與學生核對答案，而對體育班則是逐題與逐項教導學生如何作答。這樣的差異是因為：

在體育班沒有要他們上台發表是因為我覺得時間不太夠，而且，他們根本不敢。…，

學生進行分組活動時，我下去看各組，普一學生有做出來，但是，對體育班會比較擔心他們在操作上的問題，所以，在操作時我也會下去看，但還是有人寫錯，我乾脆就又再帶一次。普一是因為每一組答案都已經做出來了，而他們比較有問題的是在第六題的地方。（T2,EL1,20050117）

不僅如此，王老師在觀察到普一學生學習時候的面部表情之後，而讓他們進行自我評量中六邊形圖形的操作練習，但是，體育班卻沒有這樣做，這是：

因為在普一要常去觀察他們的表情，當看到他們有問題時，就知道那個地方要講詳細一點，或是需要換一個方式去講，…，那在體育班我講話會更白話一點。（T2,EL1,2005 0117）

最後，回想自己在兩班的教學，王老師說：

在體育班我常會懷疑是不是自己講的不夠好，因為，他們老是不知道為什麼，然後我會想原因。但是，當我在台上上課，突然有學生說，老師這樣作也可以的時候，眞的會很驚訝，然後給這位學生鼓勵。而且，體育班用分組教學吵到不行，學習效果我覺得不見得好，因為，老師和學生都需要受過分組教學的訓練，…。像這次普一和體育班的分組，我讓他們自己分，結果好學生都聚集同一組，有一個好現象就是大家都會

，有一個不好的現象就是大家搶著要當組長。我覺得分組活動很好，只是需要訓練很久，但是，下次這個單元還是會繼續用分組教學。（T2,E^L1,20050117）

從這兩類班級的教學活動中我們可以發現，即使王老師在兩班的教學行為多數是相

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似的，但是，實際上仍有些微的不同。而這樣的些微局部差異可以歸因於，教師對課程的理解、教學時間的限制、學生學習的臨場情況和教師教學知識的運用，使得王老師在不同類型班級的教學中有相同、也會有不同的實作方式。而且，從她的教學省思中可以感受到，對體育班學生是需要不斷調整自己的教學，以適應班上各種的學習狀況，但是，

學生的學習過程卻也給了她教學上的驚喜。此外，即使這兩班的學生缺乏分組活動的經驗與訓練，下一次再進行數型關係單元的教學，她仍然會使用學生分組討論的方式。

二、周老師

（一）教學構思

1. 關於數學的觀點

周老師認為，數學是個人思考模式中的「邏輯概念」，以及日常生活中對各項事物作應變時所該具備的「想像力」。雖然，她也重視數學與日常生活的關係，但是，要將國中生所學的數學知識與日常生活連結，似乎不容易也無法使學生信服。她在教學前談到：

我覺得數學是邏輯概念、思考模式和反應能力，…。所說的反應…就是想像力多不多

，就是日常生活的反應，…，很快可以舉一反三，…。如果硬要把他們現在所學的數學跟日常生活扯上關係，好像不太容易，對他們也沒什麼說服力。（T1,D^L1,20041228）

所以，當與學生談論數學的重要性時，她會強調邏輯概念，若是學生對數學有興趣，自然就會將數學「融入在自己的生活中」。她認為：

數學就是…，要知道一個東西的思考方向，…，如果數學不學，給你藏寶圖你也找不到寶藏，所以，邏輯觀念很重要。…，大部分學生說＂只要會加減乘除就好，去菜市場買菜又用不到聯立方程式＂這種說法是一種藉口，是逃避數學的藉口。…，他根本對這沒有興趣，他連去菜市場加減乘除都不會自己加。如果去菜市場都會自己加減乘除的人，怎麼可能會對數學一點興趣都沒有？（T1,D^L1,20041228）

而周老師的學生也表示日常生活會與數學息息相關，而且，可以把數學當作是生活上算錢的工具。例如，兩班美術班與普二的學生在訪談時皆談到：

算蠻喜歡數學的！就是他們的規律，我就覺得很有趣。…有時候補習班也要用到數學

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啊！…，媽媽去菜市場要幫她算錢，或是會叫我幫她拔菜，要平分成三等分。（S丙,CL1

,20050117）

…覺得數學蠻重要的！因為以後都會用到，…，財金方面，就算錢啊！有時候做生意都要用到，以後大學也是有這一科啊！（S乙,CL1,20050117）

因此，當談到數型關係的教學構想時，她計畫利用前一節學過的邏輯概念，即找出數字的規律，以及生活中學生熟悉的奇、偶數之特性，作為引起學生學習動機的例子。她說：

這一節跟前一節一樣，找出規律性，…，會把奇數、偶數都是差 2 的規律性帶到數型關係，然後在帶到課本的圖形，先從他們小時候熟悉的奇數、偶數先來。（T1,DL1,2004 1228）

因此，周老師認為數學的邏輯概念是很重要的，而且，若有豐富的想像力能舉一反三，就可以發展出很好的邏輯推理能力。因此，當學生在尋找圖形規律時，她會期望他們可以用自己的想像力來推論出數和型之間的關係。雖然，周老師沒說要將數學與日常生活連結，但是，卻希望透過平常生活中常見的例子來輔助學生的學習，使他們體會到生活中的數學，以及提升他們對數學的興趣。這似乎也間接地表達了，認同「使數學知識與生活連結」的想法。

2. 關於數學教與學的觀點

由於，周老師的數學觀點是重視個人的想像力，並且，認為提升閱讀能力有助於培養想像力，因此，她在教導學生學習數學的方法時，會強調個人的「閱讀習慣」。她談到：

覺得學生要把數學學好應該要重視想像力，平常就要閱讀，…，閱讀可以訓練一個人的想像力，剛開始可能是照單全收，可是後來可以跳脫上面的文字敘述，進入作者的想像空間。所以，學數學需要有想像力，這樣才會舉一反三。（T1,D^L1,20041228）

她表示，這兩班都會採用講述的方式教學，但是，學生活動進行的部份會「斟酌教學進度作調整」，所以，對於活動的內容與方式大多是以臨場反應和教學經驗來設計。她提到：

覺得自己的教學方式是講述，有讓學生作過活動，可是很少，因為，一般進度可能會來不及，除非進度上完，有課餘的時間才會帶活動。而且，沒有特別對所要教的概念設計活動，都是臨時想的。（T1,DL1,20041228）

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周老師表示「以前數學學習的經驗」對她教學有深遠的影響，使她教學時不僅會將數學概念的前因後果解釋清楚，還會提供學生許多思考的途徑。她說：

現在的教書方式都是跟國中很像，也不是受到國中老師的影響，…，老師給的引導也是蠻重要的，可是會用自己的方式去解釋。所以，現在教學生都是那時候自己的思考模式，怎麼樣理解，怎麼去把它想出來，怎麼讓它合理化，怎麼讓它變成這樣

，然後，在用比較簡單的方法帶給學生，…，比較像是告訴他，你要這樣想。（T1, DL1,20041228）

不僅如此，她會比較「重視學生推理的過程」，不會要求學生背公式，而是要知道公式是如何推演得來的。她曾說到：

教學中比較重視過程，而不是結果，也不會強調要背公式，都告訴學生數學沒有公式

，數學不能用背的。（T1,DL1,20041228）

此外，在教導不同類型班級的學生進行推理時，周老師會「考量各班資質程度的不同」而給予不同難易程度的素材，美術班素質好、思考能力強，可以作進一步推論；而普二學生缺乏思考習慣，則詳細講解基本概念。對於課後練習，她認為多數學生會因缺乏督促而怠惰，因此，會給兩班不同份量的作業，而且，要在課堂上讓兩班學生有獨自解題的機會。她認為：

兩個班的學習情形都很活潑，…，可是，美術班他們想的比較深，可能程度有差，普通班學在回答問題…都回答一些有的沒的。所以，在教的時候美術班會教的比較深，

普通班就是課本習作基本的，…會講的很詳細。所訂的考卷有差，然後美術班多上講義，比較重視補充，訂的考卷比較難，普通班訂的作業練習本會讓他們在課堂上寫，

…，因為，回家寫沒效，都是用抄的啊，所以，不讓學生回家寫。（T1,DL1,20041228）

為瞭解學生的學習成效，周老師相當「重視測驗」，並且認為，透過測驗可以訓練學生解決不同類型的題目，會「安排適量的家庭作業」讓學生更熟悉學習的內容。此外，為了不讓學生覺得學習數學是辛苦的，也將家庭作業中的習作，當作檢視學生是否瞭解單元內容的測驗工具之一。周老師表示：

在教學過程中覺得考試比較重要，不是為了要看他考幾分，是看他到底懂了沒有，今天不可能把所有的題目都教給他，只有藉由測驗才能了解學生能不能吸收，才能做跟課本習作不同類型的題目。…，我也會出家庭作業，…，我只希望他們每天留 20 分鐘來算數學就可以了，…，如果簡單就出 10 題，比較難就出 5 題，…，我不想讓他們認為學數學很辛苦，所以，習作也都當測驗在學校寫，在課堂上檢討，…，就可以知道他們對這節到底了不了解。（T1,DL1,20041228）

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對於周老師的數學課，其兩位學生也分別表達了她們的感受：

已經上老師的課大約半學期了，覺得老師的上課風格應該是蠻民主的，而且，有些人不專心老師就會叫他多聽一些，問他多一些問題，也不會考不好就處罰。…，我會很崇拜周老師，因為，我覺得她講什麼我都聽的懂，可是，有時候補習班老師講的就聽

不懂。（S^丙,C^L1,20050117）

老師在上課的時候是很威嚴耶！上課我們都不敢輕舉妄動！因為你一動就，ㄉ一ㄥ【

表示老師會注意到】對，但是，覺得老師注意到的原因是希望我們能夠進步。…我覺得老師的優點是很負責、很認真的教，…，而且，是我們全部科目裡面最認真的老師

，…，然後，有時候她會用下班的時間把我們留下來教數學，所以，有的時候會很感激老師，會覺得她是一個很有愛心的老師。（S^乙,C^L1,20050117）

從教本單元之前的訪談可知，周老師想採取講述教學，並依據教學進度適時讓師生之間有互動的機會。由於，受到以前學習經驗的影響，使得她希望教導學生數學觀念的來龍去脈和訓練他們的思路，讓學生可以感受到學習數學的推理過程是比結果和公式更重要；另外，也希望學生體認到，閱讀習慣的訓練是可以培養自己的想像力，讓學習具有觸類旁通之效。不僅如此，對於不同類型的班級，考量到學生素質和思考能力，教學時會想讓美術班的學生學習較深的課程內容。所以，在補充教材的部分，美術班會依照補充的講義教學，對於普二學生則是利用作業練習本在課堂上演練基本題目，以提升課內基本能力。為瞭解學生在單元結束後的學習成效並訓練其解題技能，除了將習作列為共同的測驗內容之外，周老師會在美術班選用難度較高的問題卷，普二則選用基本題型。考量到學生的學習負擔，兩班學生的課後練習大都在課堂上完成，但是，仍會要求學生作 5~10 題的回家作業，以復習當天所學的課程內容。因此，周老師也是以學生的學習情況為教學的主要考量，而在不同班級會有不同的做法。此外，從學生的訪談中得知，周老師為了掌握學生的學習情形，在教學時會注意每一學生的反應，而且，會利用課餘時間對部分學生進行補救教學。所以，她在學生心目中是一位盡責且富有愛心的數學老師。

（二）教學實作與反思

1. 美術班

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周老師一共用了 7 節課教授數型關係單元。其中，第一和第二節是課本內容的教學、

第三節是檢討習作與講義、第四和五節則分別進行單元測驗和解答試卷中的考題、第六和七節則以講義為教材教學。

在第一節 34 分鐘的教學活動裡，大部分是周老師的講述。她先以 6 分鐘的時間，

介紹數型關係中的數和型兩字所代表的意義，並複習上一節奇數和偶數的概念，讓學生觀察規律並用一般式（2n 或 2n-1）表示。接著，利用 1 分鐘的時間，用課本的蜂巢圖片，講解圖形規律以引起學生的學習動機。之後，進行 12 分鐘的探索活動，由她解說過程並在黑板上畫圖表示，逐漸增加連續圖形的個數，同時帶著學生找出規律，並與學生對話；先讓學生觀察出連續圖形個數與珠子個數之間的關係，再將連續6、10 個正方形珠子個數的求法列出其算式，最後，類推至第n 項寫出其一般式，部分的教學片段如下：

^T1：^{（見擷取畫面（T1}^丙^,A^L1,20050103））【教師先畫出第一個正方形】第一個正方形要幾個珠珠？…

S ：5 個。

T1：…，第一個正方形有 5 個珠珠【以黃色粉筆標出一】，第二個正方形呢？再多 3 個

，【畫出第二個正方形並標上二】，…，那它有沒有規律？

S ：有。

T1：那接到第六個需要幾個珠珠？難道你要慢慢畫嗎？可不可以把這個圖形換成算式啊？怎麼換？…，它的規律從第幾個圖形開始？

S ：第 2 個。

T1：第一個需要 5 個，第二個需要 8 個，…，【教師依次在黑板上寫出 5,8,11,14】…

，8 怎麼來的啊？

S ：5+3

…

T1：那第 n 個要加幾個 3？…，所以，式子怎麼列？（T1丙,BL1,20050103）

而在講解探索活動的各項問題時，周老師讓學生先作答，同時，她會觀察前排學生的答題狀況，隨機抽點不同學生詢問各題答案，並且，也將前排同學不同的做法寫在黑板上講解，最後，要求學生在最後一小題中必須利用這兩種解法計算以檢驗答案是否一致。

接下來的 15 分鐘則依序講述例題一、隨堂練習和例題二，對於兩例題的講解，也是採

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用一邊在黑板上畫出圖形，一邊說明圖形間的規律，並會舉一至二個與課本不同個數的連接圖形的例子；而在例題二中，除了利用梯形公式求連續整數和之外，也加入了高斯的故事，再呈現第二種解法。隨堂練習的部分，則由學生自行計算，她會觀看前排同學的演算過程，待全班計算完畢後，再教導學生利用圖形排列的方式求解；在講解過程中，

周老師偶爾會與學生對話，如下所示：

T1：（見擷取畫面（T1^丙,A^L1,20050103））…，兩個三角形拼起是什麼形啊？兩個三角形是平行四邊形，那三個呢？

S1：梯形。

T1：四個呢？

S1：平行四邊形。

T1：…。所以，奇數個都是什麼形啊？

S ：梯形。

T1：那偶數個呢？畫起來應該是平行四邊形。…，所以，從第一個開始把它全部連起來，這是什麼形？

S ：梯形。

T1：梯形是奇數個三角形，還是偶數個啊？

S ：奇數。（T1^丙,B^L1,20050103）

第二節裡的 39 分鐘教學仍是採用講述的方式進行。她先以 1 分鐘複習隨堂練習，

接著，課本例題三、隨堂練習和例題四的應用問題，也是利用在黑板上畫圖的方式列式與講解，並以手指頭示範如何求間隔數，如下：

T1：（見擷取畫面（T1^丙,A^L1,20050105））題目要求第 20 根電線桿與柯西家距離有多遠

？…，第一根和第二根中間的距離叫做間距，…，那我問你三根電線桿有幾個間距啊？是不是 2 個？那四根電線桿呢？

…，你看我的手，用手來看最清楚了，兩根電線桿幾個間距？【教師伸出兩根手指】

S ：1 個。【學生也伸出兩根手指】

…

T1：五根電線桿？【教師伸出五根手指】

S ：4 個【學生也伸出五根手指】

T1：所以，那我問你喔，它現在有 20 根電線桿，有幾個間距啊？

S ：19 個。（T1^丙,B^L1,20050105）

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在這17 分鐘裡，她會重複抽問多位學生，以確認學生了解式子中各項數字所代表的意思，之後再探問全班學生第n 項的表示法。而最後的 21 分鐘，則是讓學生演算自我評量中的題目，演算前周老師只部分提示較複雜題型的做法，待學生完成所有題目的演算後，再逐題講解。

由於，利用自習時間考習作內容，所以，第三節先講解習作中作答錯誤人數較多的題目，剩餘時間則補充講義的內容，並指定部分題目為回家作業。之後的第四節是隨堂測驗，並於第五節講解該張測驗卷中錯誤人數較多的題目，再利用第六節和第七節課講解講義中剩下的部分。

從以上觀察周老師的教學活動中，個人發現，她這七節課均以講述為主，而未讓學生進行活動操作，偶爾與部分學生對話。另外，周老師會利用時間補充一些課外教材，

而且，她會時常抽問學生式子中的數字或符號的意義，並要求學生說明如何列出算式，

也重視第n 項的推導過程和邏輯概念。在例題三中，周老師更運用手指頭來講解間隔數，

並藉由高斯的故事引入連續整數和的解法。此外，她是以配合講義的教學進度來分配作業，因此，相當重視學生課後的練習。據此，個人認為，周老師的美術班教學實作與她教學前的構想是相當一致的。

2. 普二

周老師在普二一共用了五節課教本單元。其中，第一和第二節課是講解課本內容，

第三節檢討習作，第四節由學生寫作業練習本並檢討，而最後一節則講解本單元的測驗卷。

第一節 37 分鐘的教學活動中，周老師主要是以講述的方式進行。她先以 3 分鐘的時間，介紹數和型兩字在本單元中所代表的意義，並講解奇數和偶數的特性，但是，並未介紹一般式（2n 或 2n-1）。接著，用課本中的兩個生活實例，以 2 分鐘的時間解釋圖

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形與數字之間的關係，如下所示：

T1：（見擷取畫面（T1^乙,A^L1,20050103））蜜蜂在蓋第一個蜂巢要蓋 6 個邊對不對？【

第一個蜂巢上寫 6】第二個六邊形跟它接著，請問你只要蓋幾邊就好了？

S ：5 邊。【第二個蜂巢上寫 5】

T1：接著蓋在下面只要幾邊？

S ：4 邊。【第三個蜂巢上寫 4】

T1：…，所以，它剛開始好像沒有規律，可是後來勒？

S ：就有規律了。（T1^乙,B^L1,20050103）

而在 11 分鐘的探索活動教學中，周老師的講解過程與美術班相同，也是逐漸增加圖形的連接個數，在畫出連續圖形的同時說明規律。為了瞭解該班學生對規律的理解，她會多舉幾個與課本不同個數的連接圖形，隨機抽點學生回答，而活動中的各項問題則是在學生計算填寫之後，與全班核對答案或是請個別學生回答。對於較困難的問題，也就是作第n 項類推，則是在黑板上畫圖講解，但是，只呈現一種解法。接著，以 2 分鐘講解例題一連續正方形個數和邊數之間的關係，也是畫出圖形讓學生發現規律。之後，學生演算隨堂練習題，周老師則在講台附近觀看全班的解題情況；待學生計算告一段落再以 4 分鐘來講解題目。相較於美術班，她是教導學生觀看火柴棒的接頭，以找出三角形排列方式和數字之間的關係，部分教學片段如下：

^T1：^{（見擷取畫面（T1}^乙^,A^L1,20050103））你要仔細看它的圖喔！一個三角形它怎麼接啊？看火柴的頭，你要看清楚喔！一個三角形的時候是這樣有兩個頭碰在一起，對不對？【畫出第一個三角形】偶數的是怎麼樣啊？【畫出第二個三角形】…，請問你最後一個怎麼排的？它是奇數還是偶數啊？（T1,BL1, 20050103）

最後的15 分鐘講述內容是，找出例題二中圖序和小圓個數之間的關係，她的進行方式與美術班相同（即利用畫圖的方式講解），但是，過程中她也會將圖序延伸至第10 個圖，

以探問全班學生是否也可以找出其關係式，如下：

T1：（見擷取畫面（T1^乙,A^L1,20050103））有沒有看到規律？第一個只要幾個圓啊？1 個對不對？【在第一個圖的下方寫 1】第二個圖呢？

S ：3 個。

T1：3 怎麼來的？1+2。【在第二個圖的下方寫 1+2】第三個圖呢？6 個，對不對？6 怎

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麼來的？1+2+3。【在第三個圖的下方寫 1+2+3】第四個圖要幾個？1+2+3+4。【在第四個圖的下方寫 1+2+3+4】…，那我問你第五個，我沒有畫圖喔！你看的出來嗎？怎麼算？

S ：1+2+3+4+5。

…

T1：有沒有斷掉？是不是連續正整數相加？好，那我問你第 10 個圖呢？（T1^乙,B^L1,2005 0103）

而對於關係式中連續整數和的計算，除了運用梯形面積公式之外，她也以高斯的故事引導學生學習第二種解法。在下課前，指定隨堂練習1+2+3+…+100=？為回家作業。

第二節裡的 42 分鐘的教學仍是以講述的方式進行。她先以 1 分鐘示範隨堂練習的計算方法，接著，以 12 分鐘講解例題三、隨堂練習和例題四的應用問題。也是利用畫圖方式找出規律，其中，在講解例題三之後，她調整了題目中的數字，並抽問學生的解法和算式，以檢驗學生是否理解。之後的29 分鐘教學，是讓學生演算自我評量的題目，

周老師則逐題提示，待學生計算完畢，再一一講解。

普二也是利用自習課進行習作測驗，因此，第三節課教學活動是檢討習作中學生答錯人數較多的題目。第四節課則演算練習作業本中的各類題型，計算完畢後，周老師仍會針對答錯人數較多的題目講解。第五節則是針對課後測驗卷中，學生普遍答錯的試題，詳細示範解法。

從以上普二的教學觀察中，個人發現，周老師整體上仍是以講述的方式教學，而未有操作活動，但是，偶有師生對話。同時，考量到普二學生程度與美術班不同，所以，

除了會一再強調式子中各項數字或符號所代表的意義，也作第n 項的類推之外，她也會調整題目中的數字或圖形個數，並抽點學生回答，以檢驗學生的學習情況。可以感受到她重視普二的推理過程、邏輯概念和課內基本知識。此外，她只講解題目的一種解法，

而未說明多種解題方法，這是為了避免學生產生混淆。而在隨堂練習的部分，一般而言，

她大都會先給學生解題提示，讓學生可以順利解出正確答案，因此，個人可以感受到，

普二學生較需要或期待周老師的引導。然而，周老師只分配一次家庭作業，而且只有一

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題，可見她是希望學生能在課堂上寫完作業，這些與她教學前的構思大致上是一致的。

3. 兩類型班級教學活動的比較

比較周老師在這兩班的教學活動，我們可以發現，她皆用課本提供的生活實例引

起學生學習的動機，她認為：

我覺得課本有啊，我的觀念是課本有的一定要講，因為，我怕學生說考不好，就說老師妳沒講。其中，我覺得左圖有跟課程內容相關，右圖比較沒有。我畫的時候第一個要六個，第二個要五個，之後都四個，多少還是有啦。（T1,EL1,20050120）

而且，周老師在教學過程中，會多舉一些例子，並作第n 項的類推，也告訴他們第 n 項所得的式子是可以利用邏輯概念推導出來的。她在教學後表示：

我希望他們不要只是侷限在課本題目中。因為，我覺得題目舉的例子都很接近，他可能不知道規律就可以算。因為，課本的例題都是連續的，我希望他們能夠跳著，能夠用推理去算 15 個、20 個是多少，而不是一個一個慢慢的加。...而且，我希望他們不管是第幾個都能找出來，所以會問第 n 項。我也希望給他們一個觀念，就是公式不是用背的，用推的也可以，你可以自己導出一個模式，不管算幾個都可以。（T1,EL1,2005 0120）

她除了用高斯的故事來呈現連續整數和的第二種解法之外，也運用手指頭來講解電線桿之間的間隔數，這是因為：

希望他們上課不要那麼無聊，當一個導引，把它引到這個觀念。…，會想到用手指頭來介紹是以前學數學時，我爸教我的，這是就地取材最方便的，我覺得學生蠻容易理解。（T1,EL1,20050120）

然而，周老師在美術班有呈現奇數、偶數關係的一般式，但是，在普二只讓學生自己發現規律，並未寫出關係式，而且，講解過程中在美術班會提供兩種解法，但普二只教一種，這是因為：

我覺得，以美術班的程度應該要會，而且前一節有，那普二的程度沒有那麼好可能不大了解 n 的觀念，因為，他們接觸的東西比較沒有 n，他們的題目也都沒有。…而且，

我是希望學生能舉一反三，所以，我只介紹一種，如果，我有想到別種，我也會順便提一下順便介紹，所以，像普二沒有人想到，我就不會介紹，我覺得學生會搞迷糊。

（T1,EL1,20050120）

兩班教學活動的一個很明顯差異是：在判斷連續三角形排列方式和奇、偶數之間的關係

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時，美術班是以三角形所拼湊出的圖形名稱來判斷，而普通班則是以火柴棒的接頭。周老師表示：

因為，我覺得用平行四邊形和梯形對普二會不會很難懂？所以，當時的反應就是用接頭去看，沒有特別的考量，就是當時的反應。因為，我沒有教過國小，所以不知道他們有沒有唸過梯形。（T1,EL1,20050120）

在周老師知道王老師採用分組教學之後，她說：

不會想要去嘗試分組教學。因為，我不會針對我不熟的去做，而且我還要重新設計。

（T1,E^L1,20050120）

綜觀這兩班級的教學活動是互有異同的，究其緣由個人發現，周老師是考量到學生的學習興趣和程度差異，以及受到課程知識和教學知識的驅使，因而在不同的班級中，

展現了相似與不同的教學實作內容。其中，兩班學生學習特質的差異應該是主要的因素。她的教學調整大都是以學生為出發點，而選用高斯的故事和運用手指頭以講解間格數的概念，則是希望添加趣味性，同時也將自己以前的學習經驗融入教學之中。然而，

周老師在此單元主要是以講述教學，偶有與全班或個別學生的對話，但是，即使知道有其他老師使用分組教學，她也不想改變目前的教學方式。

三、個案教師教學概念的初探

透過兩位教師的教學前訪談和教學活動的觀察可以發現，她們的構思與實作幾乎是一致的，並且，都會依據不同類型班級的學生素質，在各班略微調整她們的教學概念，

因而顯露出些許不同的教學行為。王老師將數學觀點融入教學中，使得她比較重視數學的邏輯和形式，以及會選用簡單和生活化的例子來解釋抽象的概念。不僅如此，她也會關心學生的學習態度，重視基礎和閱讀能力，以及安排適量的回家作業。由於，兩班學生程度和班級學習風氣的不同，她在體育班會強調課內基本能力，培養積極的學習氣氛，並實施彈性的課後測驗；在普一則會充實教學和學生學習的素材，並且讓學生有單獨發表的機會。周老師也將自己的數學觀點與教學活動相連結，因而重視學生的邏輯概念和閱讀習慣，並且，也會利用日常生活中常見的例子，引發學生的學習動機。由於，

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受到以前學習經驗的影響，她重視概念的推理過程和各種思路，而對於學生學習狀況的掌握，課外教材的適量補充，以及課後評量的實施也頗為強調。然而，考量到這兩類型班級學生程度的不同，使得她在美術班傾向於強調深層的推理能力，會給較多份量的補充教材；而她在普二則比較重視課內的基本概念，由學生獨自演算練習題。

第二節王老師

以下說明王老師體育班和普通班的簡單平面幾何圖形與圖形的變換兩單元之教學構思與教學實作和反思。

一、教學構思

王老師認為「幾何就是圖形」，而且，她以前學習幾何概念時就是透過畫圖來理解的。她在幾何單元教學前談到：

幾何就是圖形。就是將所看見的圖形分解成各個不同的部分並加以解釋。…，以前學幾何時，是利用自己畫的圖來加深對圖形的了解。（T2,DL2,20050214）

因而王老師認為，她的幾何教學是受到「以前學習經驗的影響」，這也使得她在幾何單元的教學中會要求學生畫出圖形，以輔助理解。她表示：

以前的幾何學習經驗會影響到目前的教學吧！因為，我會要求學生練習畫圖，希望他們在作圖中，能加強對圖形的概念。（T2,DL2,20050214）

此外，在關於數學、學習和教學的信念問卷中，王老師非常同意『學生可以不依靠課本和紙筆活動來學習數學』和『學生是主動的學習者』（T2, F, 20050329）。並且，她希望透過生動、活潑的教學風格，讓學生可以自己找到「適合的學習方式」。不僅如此，她認為當學生開始「喜歡上數學課」時，就代表教學已經成功：

我希望採用活潑、引導、生活化的方式來教他們，希望他們喜歡數學課，從不排斥數學開始，進而找到自己最佳的學習方式。…，而且，當學生會說開始喜歡上數學課，

我就知道我已經有了成功的數學教學了。（T2,DL2,20050214）

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在幾何單元整體的教學設計上，她認為應該要「同時重視數學概念和實際操作」，

她表示：

進行幾何教學時，會將理論與實際操作並重，或是將理論與生活作連結。（T2,DL2,2005 0214）

其中，對於第一個階段（L2~L4）簡單的平面幾何圖形之教學設計，她會介紹圖形的簡記符號，並將課本內容作「條列式重點整理」。在問卷中她非常同意教學時，『教師應同樣重視過程與結果』（T2, F, 20050329），而且，她也希望在解釋各個概念時，可以「利用證明完整呈現」。她談到：

介紹幾何圖形的時候，…，比如說角，…，可以用角的符號來表示。…，課本上是文章的敘述，我會用分類式的，按照課本的編排，一點一點這樣。而且，在解釋對頂角相等時，我會特別去寫出來有點像是證明的東西。因為，課本上說，從式子中不難發現，但是，到底怎麼發現，我會把它寫完整…。（T2,DL2,20050215）

王老師在問卷中也曾表示，非常同意在教學時『教師應重視理解甚於記憶』和『教師應該透過各種不同的數學活動來進行教學』（T2, F, 20050329）。而且，她並不想要讓學生去記憶圖形的性質，而是會要求學生「作圖」或是「進行操作性活動」。她在L2 教學前曾談到：

…，不會要求學生把三角形的性質背下來，但會要求他們要會畫，因為畫久了就知道是什麼意思了。上這單元會讓他們動手去操作，就是讓他們動手去畫畫看或是排排看

，因為，其實三角形常常用吸管排來排去。（T2,DL2,20050215）

王老師所填答的問卷，對於教學時『教師應有限制的使用課本』也表示同意（T1, A, 20050329），並且，在L4 單元中，她考量到部分課文內容和圓形概念之間的關係，以及依據同年級其他班級的教學回饋，使得她想要「省略課本部分內容」。此外，在這單元她主要是希望學生能釐清名詞，而且，認為課本提供的活動無法增加學生的學習興趣，

所以，不會想讓學生進行操作。她表示：

老實說前面短文的地方我不打算上，…，但是會講解接下來的討論問題，因為我在其他班上那短文，效果很差，…，就有學生問說…這跟圓有什麼關係，…而且，這部分沒有要作活動耶！因為，圓的部分有很多名詞，怕他們搞混，主要是針對名詞作釐清吧！不太會有什麼活動，而且，其實我看過課本的探索活動都還蠻無聊的，我在其他班帶學生作，都說很無聊。（T2,D^L4,20050314）

對於第二階段（L5~L6）幾何圖形的變換之教學設計，王老師希望「藉由多媒體器

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材」展示圖片，讓學生從圖形放大和縮小的變換過程中，發現圖形改變前和改變後的關係。她認為：

用單槍主要是要秀那個放大縮小的圖片而已啊！不會有太多的內容，因為他們電腦課其實都會使用，…，只是我們再給他一個印象。…，所以，我會秀兩個，如果不按照上面的比例放大，…，那照片就會失真，那如果我按照相同的比例放大的話，就沒什麼不一樣的。（T2,DL5,20050404）

她認為課本在L5 這一小節所設計的操作性活動並不實用，再者，她也沒有想要另行設計，所以，學生將不會有操作性的活動，但是，她想舉生活實例來輔助說明：

這個地方沒有設計活動，…我是想到一個…，就比如說電影海報…，那一定也是等比例嘛，…我大概就會問這問題讓他們想一下，其他就沒有什麼特別的活動。…，我覺得課本提供的這活動還蠻麻煩的，因為吸管要不剪斷，但是，有時候不小心就剪斷了

。（T2,DL5,20050404）

然而，在L6 中，她是自行設計活動，要讓學生從操作的過程中發現圖形的對稱軸，但是，只直接告知課本中的活動結果。她表示：

我前面會用色紙進行很大的活動部分，…然後，就直接進入找對稱軸，對稱軸其實很簡單啦，…，就讓他們學習去找，就這樣子，…因為內容不是真的挺難的，只是在畫圖的地方怕他們畫錯而已，…課本的活動我可能不會做，…，就直接告訴他結果，然後就應用在畫圖上。（T2,DL6,20050419）

從兩階段幾何單元教學前的訪談中，我們可以發現，王老師將國中的幾何看作是圖形，而且，她認為教學時有一部分會受到她以前學習經驗的影響，讓她想在教學時加入操作性活動或是讓學生動手繪圖，以瞭解幾何概念的意義和關係。而這樣的作法即反映出，她同樣重視數學概念和操作性活動。她也計畫篩選課程的內容或是改變表達的方式，而且，也想完整呈現部分單元中數學概念的整體內涵。在沒有進行操作性活動的章節，則是希望借助多媒體或是生活實例，將數學概念與日常生活連結，以幫助學生理解。

因此，個人認為王老師在幾何單元的教學構思，主要是以兩班學生學習的情形、課本內容的編排和其他授課班級所給予的教學回饋，作為考量的依據。

二、教學實作與反思

（一）體育班

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1. 第一階段的教學活動分析

首先，以教學觀察系統表層的 8 個類別，分析王老師在簡單的平面幾何圖形（即 L2~L4）的教學活動。依據各類別發生的時間單位總和、單次發生時間的最大值、整體教學活動的百分比和總發生次數，將三個單元的分析結果整理於表 4-1（詳細時間和發生次數，請參見附錄四（8））。

表4-1：體育班第一階段教學活動的表層分析結果

L2 L3 L4 L2~L4 時間最大值百分比時間最大值百分比時間最大值百分比總次數總時間百分比

直述式講述 193 23 17.1% 79 23 9.6% 123 29 17.2% 40 395 14.8%

呼應式講述 475 50 42.0% 406 44 49.2% 351 54 49.2% 82 1232 46.2%

對話 159 15 14.1% 46 6 5.6% 74 12 10.4% 59 279 10.5%

指導式練習(有對話) 98 11 8.7% 47 11 5.7% 25 8 3.5% 33 170 6.4%

指導式練習(無對話) 139 21 12.3% 172 25 20.8% 125 40 17.5% 42 436 16.3%

操作性活動(有對話) 2 2 0.2% 27 23 3.3% 0 0 0% 4 29 1.1%

操作性活動(無對話) 26 8 2.3% 30 11 3.6% 0 0 0% 9 56 2.1%

其他 38 4 3.3% 18 4 2.2% 16 8 2.2% 31 72 2.6%

表4-1 中顯示，王老師 L2~L4 的「呼應式講述」是占整體教學活動的 46.2%（1232 個單位），平均每次進行時間為2 分 30 秒（15 個單位），並且，在 L3 和 L4 使用的比例最高。「直述式講述」的教學活動是占14.8%（395 個單位），平均每次的時間是 1 分 40 秒（10 個單位），而在 L4 使用這教學方式的時間最多。所以，以講述方式而言，L4 呼應式和直述式講述教學所占的比例皆是最高，而且，從表中可以發現，王老師在 L4 曾經各以9 分和 4 分 50 秒（54 和 29 個單位）進行最長的呼應式和直述式的講述教學。「指導式練習」是占 22.7%（606 個單位），平均每次 1 分 20 秒（8 個單位），其中，L3 的 26.5%所占的比例最多，並且，在 L4 曾讓學生持續進行長達 6 分 40 秒（40 個單位）無對話的指導式練習。「操作性活動」則是占3.7%（100 個單位），平均每次 1 分鐘（6 個

第四章 研究結果