二維光柵干涉尺

本論文研究之二維光學尺將傳統作法上如圖 2.25 所示對使用者的不 便性直接整合於量測系統內，以提高使用的便利性。其作法是將一維光 柵尺改為二維的光柵盤如圖 2.26，再利用一或二個正交的副光柵讀取光 柵盤的位移訊號，其系統的解析度與組裝公差有限制。本文將介紹利用 共軛補償式光路設計一高解析度、高偏位容差的二維光學尺。以下將分 別介紹本研究設計之三種不同架構之二維光學尺。

圖 2.25 正交的一維光學尺

圖 2.26 二維光學尺

圖 2.27 一平行光垂直入射於一二維相位光柵之繞射現象

上式中，p及q為光柵在x及y方向的週期，光柵的開口比(open ratio) 為 0.5 ， 相 位 光 柵 的 相 位 高 度 為φ 。根據克西荷夫近似(Kirchhoff approximation)，在二維光柵後之光波函數可表示為

)

⎭⎬ 根據上式，光被光柵繞射至不同方向，上式中的脈衝函數(delta function)

表示光被二維光柵繞射的方向，式中νx為m/p，νy為n/q。由圖2.28的愛

二維光柵的表面階高(surface relief depth)以及其空間頻率直接影響繞 射效率及繞射光的偏極方向。本研究採用 GSolver 軟體設計二維光柵，

Gsolver採用嚴格偶合波理論(rigorous coupled wave theory)。在此考慮圓 偏極光入射兩種二維光柵。

v

v

v

v

m/p

n/p θ

圖2.28 愛瓦德球(Ewald sphere)

圖2-29a 顯示一個二階方形光柵(rectangular grating)，圖2-29b 顯示 一個正弦波光柵(sinusoidal grating)，由 GSolver 軟體分析上述兩種光柵 [20]，圖(2-30)繪出繞射效率與光柵階高之間的關係。於圖 2-30a 中，方 形二維光柵的四個繞射階(±1,±1)具有最大的繞射效率，欲達此最高繞射 效率，其表面階高為 210nm。而圖 2-30b 則表示弦波光柵的四個繞射階 (±1,0), (0,±1)具有最高的繞射效率，而光柵的表面起伏高度為250nm。根 據上述光柵繞射的分析结果，本文將利用此兩種光柵設計二維光學尺。

(a)

(b)

圖2-29 二維光柵示意圖。(a)二階方形光柵(rectangular grating) (b) 正弦波光柵(sinusoidal grating)

(a)

(b)

圖2-30 由GSolver軟體分析二維光柵。 (a)二階方形二維光柵 (b)弦波光柵

(二) 二維光學尺之工作原理

n=±1之第一次繞射光座落在卡迪耳座標(Cartesian coordinate)得四個象限 中，如圖2.31 所示，此四道第一次繞射光被共軛光學元件反射並返回二 維光柵而產生第二次繞射，系統中包含四組共軛光學，每一組包含一個 準直透鏡以及一個反射鏡，該反射鏡位於準直透鏡的後焦點處。舉例來 說，第一次繞射光U₁(1,1)被共軛光學組反射產生第二次繞射光U₂(1,1)， 則U₂(1,1)可表為

)

Laser

Incident light First order

Diffractive light

Laser

First order Diffractive light

Incident light k_in

Doubly Diffractive Light k₂ k₁

X Z Y

圖2.31 四道第一次繞射光被共軛光學元件反射並返回二維光柵而產生 第二次繞射

接著考慮當光柵移動時，因都普勒效應(Doppler effect) [21]產生之角 頻率變化，在圖 2.31 中，吾等以kr₁

表示第一次繞射光U1(1,1)的波向量，

以kr₂

代表第二次繞射光U₂(1,1;-1,1)的波向量，以 代表入射光的波向 量，則各個波向量可以表示為下式。

kin

→

z k kin = − ˆ

→

z k

y k

x k

k sin θ ˆ sin θ ˆ cos θ ˆ

2 1 2

1 = 1 ⋅ + ⋅ +

→

(2-49)

z k

x k

k 2 = − 2 sin θ ˆ + cos2θˆ

→

由上式各光波之波向量得知，當光波經兩次繞射後的角頻率變化為

→

→

→

→

→ ⋅ + + ⋅

−

=

∆ ₁ (kr₁ k_in) V_g (k₂ k₁) V_g

ω (2-50)

式中V^→_g 為二為光柵的移動速度，V^→_g =V_gx xˆ+V_gy yˆ，由(2-50)式可得

gy

兩繞射光疊加後的強度為

z

2D grating Incident laser beam First-diffraction orders

Corner cube

Corner cube

retro-reflected beam

Double diffraction

2D grating Incident laser beam First-diffraction orders

Corner cube

Corner cube

retro-reflected beam

Double diffraction

retro-reflected beam quarter wave plate

2D grating Incident laser beam First-diffraction orders

Corner cube

Corner cube

retro-reflected beam

Double diffraction

2D grating Incident laser beam First-diffraction orders

Corner cube

Corner cube

retro-reflected beam

Double diffraction

retro-reflected beam quarter wave plate

圖2.32以角隅稜鏡為共軛光學元件之光路示意圖

z

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ∆

+

∝ 8 ')

cos(

2

' 2 p

I_y π y (2-68)

Displacement axis Grating axis

Displacement axis

45

°

X’

Y’

X Y

X’

Y’

X Y

圖 2.33 光柵方向與移動平台的移動軸夾四十五度角

基於以上的討論，比較第一型光學尺與第二型的光學尺的不同在於第 二型光學尺僅需利用一道入射光即可得到兩個方向的位移，而第一型光柵 需利用分光稜鏡將入射光分為兩道光分別入射光柵，以便得到兩個方向的 位移。而在光的使用效率上，大多數的能量消耗在光柵的繞射上，相較之 下，第二型繞射光具有較高的效率。且在第一型光學尺的繞射光中，參與 干涉的第二次繞射光斜向射出，而第二型光學尺的第二次繞射光平行 Z 軸 射出，因此，第二型光學尺在訊號的接收與系統的組裝上都較第一型來得 容易。

3. 型三:採用二維弦波光柵的光學尺，利用階數m=±1, n=0, m=0, n=±1 之第一次繞射光反射回光柵產生第二次繞射

第三型的光學尺採用二維正弦波光柵，利用正弦波光柵繞射效率最

高的四個繞射階(±1, 0) , (0,±1)做為產生第二次繞射的第一次繞射光。此

s2(1,0;1,0)的波向量，根據(2-69)式，各波 向量可以寫為

gx

射產生第二次繞射進而產生干涉得到 X 方向的位移，而取第一次繞射之

方程式(2-78)與(2-80)顯示當移動平台的偏擺使光學讀頭與光柵間產 生傾斜時，兩個第二次繞射光依然在同一方向傳播，由(2-79)與(2-81)式 亦得知光學讀頭與光柵間的傾斜並不影響角頻率的變化值∆ω1及∆ω2。因 此可知，在共軛光路的系統中，光學讀頭與光柵間的傾斜可自行補償而 不影響量測結果。

圖 2.34 系統位移時產生的偏擺引起讀頭與光柵間的傾斜

The normal of grating

Y Incident light

Projected Component 2D grating

X

∆η

∆ξ