泰伯效應(Talbot effect)光柵尺定位量測

光學式編碼器，無論線型或旋轉式，大多應用副光柵與光柵尺間之莫 爾效應(Moiré effect)，兩光柵之條紋平行並往垂直光柵方向相對位移，

而產生週期性明暗變化，此週期性之明暗強度訊號由光電偵測器接收後可 approximation)解釋此現象[4]，以Ronchi光柵代表週期性函數，所謂Ronchi 光柵是指光柵為明暗交替的條紋，明暗條紋寬度相等，其光柵函數為

令z=n⋅2p²/λ ，則式(2-17)可改寫為

( )

m m

ikz

e t z z C i z e x u

π

λ

2

) (

, ⁼ ∑ (2-19)

比較(2-17)式與(2-19)式，可知在z=n⋅2p²/λ 處再次產生光柵的像，此即為 光柵的自成像技術，z_T=n⋅2p²/λ 稱為泰伯(Talbot)距離。由(2-19)亦可知自成 像的強度隨傳播距離z遞減。

xo

x

Z ZT

圖 2.19 光波經光柵(x0-y0平面)傳播至x-y平面

但直接採用振幅式光柵之自成像系統，首先光透過振幅式光柵時已損 失一半的光強，且在Talbot自成像距離時，光之傳播損耗，將使訊號降低。

本文採用相位光柵為副光柵，使其在四分之一Talbot距離處，產生振幅式 光柵與反射式光柵尺疊加產生莫爾條紋。

考慮一個一維週期结構，其單一周期之穿透函數為t_p(x)，則此结構之 穿透函數可寫為

) comb(

) ( )

( p

x x t x

t = _p ⊗ (2-20)

Fresnel diffraction z

場分佈為 中，考慮傳播距離為部份泰伯距離(Fractional Talbot distance)，亦即在 z=z_T/4=p²/2λ處[5-8]。因此 (2-21) 式可改寫為

式 中 之 n₀ 決 定 U(x,z_T/4) 相 位 ， 若 n₀ 為 奇 數 ， 令 n₀=2n+1 ，

式(2-26)指出在四分之一 Talbot 平面處之光場分佈，可視為兩部份，兩 部份均與原周期結構之穿透函數相同，但兩部份間存在半周期之位移及 π/2之相位。

本論文中之編碼尺包含兩種形式之周期結構：二階相位光柵 binary-phase grating (BPG) 及 二階振幅光柵 binary-amplitude grating (BAG)。相位光柵的相位階高(phase step)為φ，兩光柵之開口比(open ratio)

透鏡效應是可逆的。將(2-28)式代入式(2-26)，則於z_T/4 平面處[8,9]，

其光場分佈為

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⊗ ⎛

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

− +

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

= p

x p

x p p i

x p i

z A x

U ^T comb

2 4 3 rect

2) exp(

2 rect 4 exp 4

2 4 ) ,

( ^{0 0}

BAG π π

(2-30)

自 成 像

圖 2.20 泰伯自成像

(二) 三光柵系統 [10]

圖 2.21 表示本研究中之光學線性編碼尺的系統结構。指示副光柵為二 階相位光柵；光柵尺為二階相位光柵。兩光柵具有相同的週期，兩光柵的 間距為四分之ㄧ Talbot 距離。平行光源通過指示副光柵，於四分之ㄧ Talbot 平面處，產生二元振幅光柵像並投影於主光柵尺上。接著被主光柵 尺反射後，再返回指示副光柵，最後，由光電檢測器(photo-detector) 接收 光強。當指示副光柵與主光柵尺產生相對位移時，光強隨之改變；亦即，

Photo-detector LED

BPG BAG

Collimator

Photo-detector LED

BPG BAG

Collimator

圖 2.21 本研究中之光學線性編碼尺的系統结構

光電檢測器輸出電流隨相對位移變化。

在上述的編碼尺中，光經過指示副光柵兩次，被主光柵尺反射一次，

圖 2.22 顯示上述的光學組態等效於一個三光柵系統，圖中G₁及G₃代表指 示副光柵；為二階相位光柵，G₂代表主光柵；為二階振幅光柵。一單色平 面波被G₁繞射後傳播至G₂，因為G₁與G₂間的距離為z_T/4，在G₂前的繞射光 波，可由(2-29)式得到

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⊗ ⎛

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛ −

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ −

= p

x p

x p i

A x

U comb

2 rect 4 exp 4

2 2 )

2f( π

(2-31)

Collim ated light

G 1 G 2 G3

Z X

Z_T/4 Z_T/4

圖 2.22 等效的三光柵光學組態系統

上式表示被光柵G₁繞射之光場分佈方程式等同於G₂光柵的穿透函 數。如三光柵系統圖(圖 2.22)所示，光柵G₁的自成像與光柵G₂重疊，因而 產生疊紋(Moiré fringe)。假設光柵條紋座落於Y方向，當兩光柵其中之ㄧ沿

X方向移動，如圖 2.22 所示，疊紋產生移動。假設G₁與G₂間的相對位移量

上式中Λ(argument)為三角函數(triangle function)。方程式(2-35)顯示二極體 的輸出為∆x的三角函數，∆x為兩光柵G1及G2的橫向相對位移。實際上，

輸出訊號波形近似弦波，原因是光源不完全平行以及有限的光柵結構造 成之繞射效應。