二維矽奈米線

接著進一步的利用方程式 3-8、3-10、3-12、3-14 搭配其邊界條 件來計算其聲子幅射熱傳現象。本文為了描述圓形孔隙，使用非均勻 網格，非均勻網格較均勻網格容易產生數值誤差，圖 3-4 為使用均勻 網格及非均勻網格來計算二維矽奈米線之熱傳導係數隨奈米線線寬 變化圖，圖中可發現均勻與非均勻網格最大誤差在3%以內，當線寬 放大至4000nm 時，均勻及非均勻網格會接近矽塊材值，因此證明本 文所建立的非均勻網格可用來描述圓形孔隙之奈米線。

圖3-5 為改變矽奈米線線寬之熱傳導係數之格點測試圖，分別採 用121x121、241x241、361x361 三種格點數，由圖中可知三種格點誤 差在 3%以下，因此考量計算時間與計算結果準確性格點數選擇 241x241 的格點。

圖3-6 為使用 241x241 格點數並和文獻[39]比較，比較結果顯示

用的數值方法是適用的。圖中可看出，當材料尺寸遠大於聲子的平均 自由徑時，熱傳導系數為定值，當材料縮小到微奈米級時，熱傳導係 數不再是固定的材料參數，而會隨著材料尺寸縮小而變小，這是因為 當材料尺寸小於聲子的平均自由徑時，會發尺寸效應，此時聲子和邊 界碰撞機率大幅上升，使得材料熱傳能力下降。由圖 3-6 可明顯發現 尺寸效應，圖 3-7、8 分別為線寬 1000nm、10nm 之矽奈米線無因次 溫度分佈圖，當線寬為1000nm 時，在邊界處無明顯不連續現象，和 傳統使用傅立葉定律的結果差異不大，表示此時材料內部的聲子是以 擴散(Diffuse)來傳遞熱，當線寬縮小到比聲子的平均自由徑小時，由 圖中可以清楚發現在邊界處有不連續的現象，奈米線內聲子處於不平 衡的狀態，此時材料內的聲子會以穿透(Ballistic)來傳遞熱。

表 3-1Two-Flux 方向餘弦和權重函數關係

Ordinates

α β γ

S2

Symmetric 0.5773503 0.5773503 0.5773503 1.5707963

S2

Non-Symmetric 0.5 0.5 0.5 1.5707963

表3-2 數值計算中薄膜所用的各種參數值(T=300K)

Material Model Specific heat 10⁶ J/m³K

Group velocity m/s

M.F.P.

Å

GaAs Debye 1.71 3700 208

Dispersion 0.88 1024 1453

AlAs Debye 1.58 4430 377

Dispersion 0.88 1246 2364

Si Debye 1.66 6400 409

Dispersion 0.93 1804 2604

Ge Debye 1.67 3900 275

Dispersion 0.87 1042 1986

圖3-1 數值方法流程圖

開始

猜測聲子強度 x=0，I2

x=L，I1

y=0，I4

y=L，I3

離散化統御方程式

結束 是

否

是否滿足收斂條件

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X/L

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ a

21grids 31grids 51grids

圖3-2 一維鑽石薄膜為 1000nm 時無因次溫度分佈之格點測試

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X/L

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

θ a

10.0μm 1.0μm 0.1μm

圖 3-3 一維鑽石薄膜無因次溫度分佈圖

[2]

10000nm 1000nm 100nm

Majumdar [2]

L ( nm )

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Thermal Conductivity ( W/mK )

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Nonuniform Uniform Bulk

圖 3-4 使用均勻與非均勻網格模擬二維矽奈米線的比較圖

L ( nm )

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Thermal Conductivity ( W/mK )

0 20 40 60 80 100 120 140 160

121x121 grids 241x241 grids 361x361 grids

圖3-5 格點效應對二維矽奈米線熱傳導係數之影響

L ( nm )

0 200 400 600 800 1000

Thermal Conductivity ( W/mK )

0 20 40 60 80 100 120

Present [40]

圖 3-6 二維矽奈米線之驗證圖

圖3-7 線寬為 1000nm 之二維矽奈米線溫度分佈圖

圖3-8 線寬為 10nm 之二維矽奈米線溫度分佈圖

四、結果與討論

本章探討孔隙大小、散射面積及孔隙位置對多孔性奈米線之熱傳 導係數的影響。