5. 微分的應用 41
5.4. 函數的極值
5.4.2. 二階檢定法
對於一階導數為0處，若該點位於曲線凹向下的部分，則該點為極大；若位於凹向下 部分，該點為極小。如下圖所示。
而我們又學過以二階導數的正負號來判定凹凸性，於是就有了土尖原理：
定理 5.4.4 土尖原理
二次可導函數 f (x)滿足 f′(k)= 0，則
1. 若 f′′(k)為+，則 f (x)在x= k 處有極小值 2. 若 f′′(k)為−，則 f (x)在x= k 處有極大值 其中−、+形成一土字，小、大形成一尖字。
但是在二階導數為 0處，是暫時沒有結論的。下圖有三個例子，他們都有 f′(0)= f′′(0)= 0，但非極值、極小值、極大值都有可能。
f(x) = x3
f(x) = x4
f(x) = −x4
於是二階檢定法的流程可整理如下：
求極值流程
積分的定義與性質
清代數學家華蘅芳
論各種算學，不外乎加減乘除。余作《學 算筆談》，從算學之至淺者起，由漸而深。
至第十卷而論微分，第十一卷而論積分，
已達今日算學中極深之事矣。微積之外 或能更有他種算學深妙干此，亦未可知 也。當今之世尚未能有其書，須俟後之 算學家創之，非余之所及見矣。
6.1 積分的定義
積分學源自於求面積的問題，我們已經學過許多求面積的問題。⻑方形、平行四邊 形、梯形、三⻆形以及其它多邊形等等，這些都是由直線段所圍成的，算是比較容易計算。
但是如果由曲線所圍，就沒這麼簡單了。
現在有一個在區間[a, b]上的函數，我們要討論它在[a, b]區 間上的曲線下面積。為了簡化討論，我們先假定此函數在 [a, b]
上非負，接著再討論更複雜的情況。現在我們不知道怎麼算，但 還是一樣，試圖藉由已知來突破未知。首先將它切成四個子區間，
然後每個子區間中都畫個⻑方形，每個子區間中都取函數最大值 為⻑方形的高。這樣算出來的東西，我們稱之為上和，符號記為 Un，n是切出的子區間數。上和會比欲求的曲線下面積多出一點。
a b
圖 6.1:
如果在剛剛的過程中，改取函數最小值為⻑方形的高。這樣算出來的東西，我們稱之為 下和，符號記為Ln。下和會比欲求的曲線下面積少一點。
a b
(a) 上和U4
a b
(b) 下和L4
圖 6.2: 上下和n= 4
如果計算上下和時，切成更多子區間，比方說現在切成七個子區間，那麼上下和與實 際面積之間的誤差就會更小。
a b
(a) 上和U7
a b
(b) 下和L7
圖 6.3: 上下和n= 7
更進一步，切成十六個子區間，那麼上下和與實際面積之間的誤差就會更小。隨著這 流程這樣越切越細，上下和與實際面積就越來越接近。
a b (a) 上和U16
a b
(b) 下和L16
圖 6.4: 上下和 n= 16
如果 f (x)在[a, b]上有正有負，還是可以套用一樣流程，只是在 f (x)< 0的範圍，算 出來的「矩形面積」會是負的，這因為我們拿f (x)函數值當高。
a b
(a) 上和U16
a b
(b) 下和L16
圖 6.5: 上下和
所以，我們須將曲線下面積定為有號面積 ( signed area )。
定義 6.1.1 有號面積
若函數 f (x)在區間I1上為正、在區間I2上為負，則 f (x)在I1上的曲線下面積為 正、在I2上的曲線下面積為負。
a b
+ +
−
定義 6.1.2
若 f (x)在閉區間[a, b]上有定義，f (x)在[a, b]的曲線下面積為A，在[a, b]取出分 割點：a= x0< x1< ··· < xn−1< xn= b，將[a, b]分割成等寬的n個子區間，每個子 區間寬度為∆xi = xi− xi−1=b− a
n 。若 f (x)在第i 個子區間中的最大值發生在xi⋆、 最小值發生在xi⋆，則上和Un 與下和Ln 定義為
Un=∑n
i=1
f (xi⋆)∆x =∑n
i=1
f (xi⋆)(b − a n
)
Ln=∑n
i=1
f (xi⋆)∆x =∑n
i=1
f (xi⋆)(b − a n
)
我們學過夾擠定理，現在既然Ln≤ A ≤ Un 必然成立，那麼只要上下和有相同極限，
就可以推出曲線下面積。在十七世紀微積分尚在發展的階段，數學家們將曲線想得太美 好，以為上下和一定會有相同極限，後來才發現其實有許多函數，它們的上下和並不會有 相同極限，才意識到函數可積性 ( integrability ) 的問題。所幸在高中我們還不用討論這種 問題，即使在大一微積分課程對此也著墨不多，我們不必耗費太多功夫研讀可積性問題。
定義 6.1.3
若上和Un 與下和Ln有相同的極限L，則根據夾擠定理，曲線下面積A也會等於L。 此時稱函數 f (x)在[a, b]上可積 ( integrable )，並將此曲線下面積表為
A=
∫ b
a
f (x) dx
萊布尼茲將拉丁文中的⻑ s （和的拉丁文 Summa 第一個字⺟），作為積分的符號∫。 而隨著n→ ∞，子區間寬度∆x → 0，便將其寫成 dx。
nlim→∞
∑n i=1
f (xi⋆) ∆xi
⇓
∫ b
a
f (x) dx
所謂的積分，其實就是連續的加。離散的加法是∑；連續的加法是∫ 。微積分的創造，是 一種離散到連續的飛躍。自此，若離散情況欲類推至連續情況，就經常與微積分有關。比 方說幾個質點求質心，使用∑；整個物體求質心，使用∫ 。定力或是一次函數變力作功，
求⻑方形或梯形面積；更複雜的變力作功，使用∫ 求曲線下面積。在一個均勻向量場 (重 力場、磁場等等) 中移動，直接作向量內積 (重力或磁力與位移內積)；若是向量場並不均 勻，譬如說磁場中各處的磁力不盡相同，那就用到更困難的向量積分。
離散 連續 數列 函數
xk x
∆xk dx
Σ ∫
∆F (xk)
∆xk
dF (x) dx
求曲線y= x2與x= 0、x= 1及x軸所圍區域面積。
範圍是 x= 0到x= 1，全⻑ 1− 0 = 1，每個子區間寬度為∆x =1− 0
n = n1。由於函數
f (x)= x2在區間[0, 1]上遞增，求上和時每個子區間都是取最右端的點、求下和時每
例題 6.11
個子區間都是取最右端的點。於是
1. 從x= a到x= a的曲線下面積，寬度是0，所以面積也是0。
a
惠施曾云：「無厚，不可積也，其大千里。」其謂此歟！
2. 兩段積分再相加，等於一口氣整段積分。
a b c
3. 利用 2.
∫ b
a f (x) dx + ∫ a
b f (x) dx =∫ a
a f (x) dx= 0 ⇒ ∫ a
b f (x) dx = −∫ b
a f (x) dx 4. 先加減再積分等於先積分再加減
y= f (x)
y= g(x) y= f (x) + g(x)
a b
5. 先某倍再積分等於先積分再某倍
y= f (x) y= 0.4 · f (x)
a b
6. 較大的函數，曲線下面積較大
y= f (x)
y= g(x)
a b
7. 恆非負的函數積分也非負，在上一個性質取g (x)= 0就知了。
別輕看這些看起來很簡單好懂的基本性質，他們很有用的。假設知道 ∫b
這 是 由 於 奇 函 數 與 偶 函 數 的 對 稱 性， 使 我 們 知 道 ∫ 0
−af (x) dx = −∫ a
0 f (x) dx， 及
∫ 0
−ag (x) dx=∫ a
0 g (x) dx，於是便有上述結果。
求積分∫ 1
−113x3+ 3x2− 7x + 1 + sin(x) dx。 解
首先將被積分函數拆為 f (x)= 13x3− 7x + sin(x)及g (x)= 3x2+ 1，其中 f (x)是奇
函數、g (x)是偶函數。故所求為
∫ 1
−1f (x)+ g(x) dx =
∫ 1
−1f (x) dx+
∫ 1
−1g (x) dx
=0 + 2
∫ 1
0
g (x) dx
=2
∫ 1
0
3x2+ 1 dx
=2[
x3+ x]1
0= 4 例題 6.23
微積分基本定理
Devlin
微積分是連續運動和變化模式的研究。17 世紀牛頓和萊布尼茲發明了微積分，為 科學家提供了描述連續運動的一種數學 上的精確方法。
7.1 微積分基本定理第一部分
微分學探討切線斜率，而積分學求面積，看起來是兩回事。然而在微分與積分正被數 學家們不斷研究的過程中，某些敏銳的數學家，例如牛頓的老師
Issac Bar ow
，已經隱約察覺此二者之間似乎有互逆的關係。後來牛頓與萊布尼茲，不但都系統性地發展微分與積 分，並且也提出了二者之間的互逆關係，由此奠定了微積分學的重要基石。
在一開始討論積分的時候，我們要進行分割、取樣、求和、取極限的步驟，有時候還 要搭配和差化積公式、有時候要改變分割方式，或者改變取樣方式。如此耗費工夫又難 寫，等你做完一題積分，秦始皇都已經把萬里⻑城蓋好了。然而當我們看出積分與微分的 互逆性以後，我們便可以將積分問題的大麻煩（分割、取值、求和、取極限），變為小麻 煩（求出反導函數再代值）。仍可能很不好做，但已經簡化不少。
微積分基本定理分為兩個部分，為了討論第一個部分，我們先來認識一種函數：
F ( x )=
∫ x
a
f (t ) dt
可之稱為 變限函數，照字面看是「變數放在積分上限」的意思。將函數寫成這德性，就 是說現在有一個新函數F，姑且稱之為面積函數，它是由 f 的曲線下面積定的。為了不致 變數混淆，先把 x軸改稱t 軸，接著畫y= f (t)。我們現在對 f 做積分，起點是固定的a， 終點則是會變動的 x。x的改變導致曲線下面積改變，這就是F (x)=∫ x
a f (t ) dt 的意義。
y
t
y= f (t)
a x
圖 7.1: 變限函數
以下再用一个比喻，來助你理解這個函數的意義，以及微積分基本定理的意思。
假設你早上九點開始唸書。唸書效率總是有高有低的，f (t )就是你的唸書效率函數。
唸書效率乘以唸書時間，就是唸書成果。但因為現在唸書效率函數是曲線，不是固定的，
所以沒辦法直接乘，而是唸書效率函數這條曲線下的面積。如果你讀到下午三點，那麼你 的唸書成果就是
F (15)=
∫ 15
9
f (t ) dt
f (t )從t= 9到t= 15之間的曲線下面積。如果你讀到晚上九點，那麼你的唸書成果就是
F (21)=
∫ 21
9
f (t ) dt
f (t )從 t= 9 到t= 15 之間的曲線下面積。一般來說，F (x)就是你從早上九點，也就是
t= 9，唸書唸到t= x的時候，這期間所累積的唸書成果。
假設現在你已經很累了，正在考慮要不要去睡覺。你心想，如果現在多唸一小段時 間，所造成的唸書成果變化率還蠻大的話，那就先撐著。如果很小，那還是先休息好了。
多唸一小段時間，所造成的唸書成果變化率，這不就是將F (x)微分嗎？也就是說，如 果現在是晚上十點，那麼此時多唸一小段時間，所造成的唸書成果變化率，就是 F′(22)。 在t= x時多唸一小段時間，所造成的唸書成果變化率，就是F′(x)。
可是話說回來，什麼叫做「多唸一小段時間所造成的唸書成果變化率」呢？說穿了不
有了微積分基本定理第二部份以後，我們不必每次積分都在做分割、取值、求和、取 極限。只要想辦法找出被積分函數的反導函數之一後，再代入上下限並相減即可。所謂
「之一」意思是，x2+7的導函數是2x，x2−89的導函數也是2x。基本上對於任何常數C， x2+C 的導函數都是2x。所以2x的反導函數有無窮多個，都是x2+C。寫哪一個都可以，
反正相減就減掉了。通常是不寫，不寫其實就是取C= 0的意思。
∫3 1 x2dx 解
由於 x3
3 的導函數即是x2，這就是說x2的反導函數之一是 x3
3 。所以
∫ 3
1
x2dx=x3 3
¯¯¯¯3
1
=33 3 −13
3 =26 3 例題 7.21
一般而言，冪函數xn 的導函數為nxn−1，反過來說，nxn−1的反導函數 為xn。 性質 7.2.1
對於n,−1，xn 的反導函數為 xn+1
n+ 1+C 。
反導函數的用處，就是利用微積分基本定理第二部分來求出積分。
性質 7.2.2 對於n,−1，
∫ b
a
xndx= xn+1 n+ 1
¯¯¯¯b
a
=bn+1− an+1 n+ 1
note
1
x 的反導函數須大學才學到，故高中尚無法處理∫ 1
x dx。
微積分基本定理的第一部份 d dx
∫ x
a
f (t ) dt= f (x)
就好像是說，如果先將函數 f 做積分，之後再微分，就會回到 f。至於微積分基本定理的
第二部份 ∫
b a
F′(x) dx= F (b) − F (a)
則好像是說，如果先將函數F (x)微分，之後再積分，就會回到F。我們將此二部份合起 來看，就變成了：
微分與積分是互逆的操作！！！
積分的應用
Albert Einstein
上帝才不在乎我們的數學困難，他老練 地用積分在行事。
8.1 曲線間所圍面積
求函數x3+ x2− 2x 與x 軸圍成區域面積。
解
8.2 求體積
一開始介紹積分時，都說它用來求曲線下面積。但積分的用途其實很廣，並不是只能 來拿求面積問題，有許多問題是一點一點地積累起來的，都可以用積分來表示。《荀子·大 略》：「夫盡小者大，積微成著，. . .」意思是說，微小的事物，經過⻑期積累，也會變得顯 著。後來清朝學者李善蘭，於 1859 年翻譯中國第一本微積分教科書時，據此1 而使用了
一開始介紹積分時，都說它用來求曲線下面積。但積分的用途其實很廣，並不是只能 來拿求面積問題，有許多問題是一點一點地積累起來的，都可以用積分來表示。《荀子·大 略》：「夫盡小者大，積微成著，. . .」意思是說，微小的事物，經過⻑期積累，也會變得顯 著。後來清朝學者李善蘭，於 1859 年翻譯中國第一本微積分教科書時，據此1 而使用了