在一條曲線y= f (x)上取A、B 兩點，並且拉出線段AB，這條線便叫割線。如果想求 割線的斜率，這是很容易的。只須拉出水平變化∆x和鉛直變化∆y，再相除後得到m=∆y∆x
A
B
A
B
∆y
∆x
如果是切線呢？有沒有辦法求出它的斜率？如下圖是以 A 點為切點的切線：
A
像這種問題，是有其具體意義的，並非只是數學家單純想要在幾何問題上求知。在牛 頓發展微分學的時候，他主要是想解決運動學上的問題。如果你把以上的圖想成是 s− t 圖，也就是說，圖中的函數代表著位置函數。橫軸改看成t 軸，代表時間t（time）；縱軸 改看成s 軸，代表物體的位置。那麼，A點代表在某個時間，物體在某一個位置；B 點代 表另一個時間，物體在另一個位置。當我們拉出割線，並求出斜率m=∆s
∆t。用位置變化
（位移）除以時間變化，求出來的東西就是平均速度。
舉個比喻，你從嘉義開車到台南1，速度時快時慢。而如果你直接把開車的起點和終 點拉出距離，再除以開車時間，求出來的就是平均速度。平均速度只不過是平均而言，並 不代表每個當下都是這個速度。當你開車時一邊注意儀表板，就會看到每個當下的瞬時 速度。
那如果沒有儀表板怎麼辦呢？如何從 s− t 圖中看出瞬時速度呢？就是求切線斜率！
s− t 圖中的割線斜率代表平均速度；切線斜率代表瞬時速度。
如果再講得更一般一點，這是變化率的問題！平均斜率m=∆y∆x，這是y 方向的變化 除以 x 方向的變化。這就是一種變化率，y 對x 的變化率。平均而言，x 每增加1單位，
y 會增加m 單位。至於切線斜率，就是在那一瞬間的 y 對x 變化率。而就運動學上來說，
所謂速度其實就是位置對時間的變化率，位置變化除以時間變化。你也可以套在人口成
⻑的模型上，假設人口函數P (t )，那麼你在圖上拉割線斜率，就是人口對時間的變化率，
也就是人口增⻑率。
介紹完求切線斜率的動機，我們來看看切線斜率究竟要如何求出。如果我們在 A和 B 之間，多標幾個點，並且也都與A拉割線。可以看出，越靠近 A的點，拉出來的割線越 接近切線。
1我們假設一路上都是直線開的，以避免探討速度的方向性問題。
A
(a, f (a))
我們先將函數 y= x2+ 2套在 lim h→0
f (x+ h) − f (x)
h 做出另一個函數 y= 2x，接著再代點。
我們稱y= 2x這個函數為y= x2+2的導函數 ( derived function )，其意義就好像「切線斜 率函數」。想知道函數 y= x2+ 2在x= a 處的切線斜率？那就將x= a代入「切線斜率函 數」！至於 y= x2+2，我們可以說它是 y= 2x的 原函數 ( primitive function )，或是稱之為 反導函數 ( antiderivative )。將原函數y= x2+ 2求導，得到導函數 y= 2x。
同學常常搞不清楚導數和導函數有什麼分別。導數是一個數值，意義是切線斜率；導 函數是一個函數，意義上來說可稱之「切線斜率函數」。如果我們想求函數y= x2+ 2在 x= 2處的切線斜率，那就是求函數 y= x2+ 2在x= 2處的導數。我們可以先求出它的導 函數y= 2x，再代入x= 2，得到4，便得到我們要的導數。不過，有時還是會將「導函數」
簡稱為「導數」，或許這種簡稱方式是害初學者搞混的原因吧！
至於求出導函數這個動作，則叫求導（differientiate ），我們也常稱之為「微分」。不 過，「微分」這個詞，在中文口語中實在有點用途太廣：求導這個動作，我們可以說是微 分，將y= x2+ 2微分後得到導函數 y= 2x；我們也會將導函數說是微分，y= x2+ 2的微 分是y= 2x；還會把導數說是微分，y= x2+ 2在x= 2處的微分是4；甚至，還有另一個 概念，英文叫 differential，中文也叫微分！這個概念容後介紹。由於中文不分詞性，當你 說「微分」的時候，我們須藉由上下文，來得知你意指為何。
接下來介紹符號。符號的使用在數學發展上扮演著非常重要的⻆色。好的符號可以 讓我們更方便、更容易地去表達、理解、進行操作。舉個例子來說吧，下圖是元代數學家 李治，在其著作《測圓海鏡》中進行幾何的解題。大約清末⺠初以後，數學就全面西化，
不再使用古代數學的表示法了，是否覺得慶幸我們不必學習這種面貌的數學呢？
圖 4.1: 李治《測圓海鏡》
在微積分的發展歷史上，雖然因牛頓的名氣比較大，導致許多不了解的人偏向歸功 於牛頓而非萊布尼茲。但是論到微積分上所用的符號，萊布尼茲所使用的符號卻遠優於 牛頓的符號，相當好用。在十七世紀末，牛頓與萊布尼茲分別發表微積分的想法時，當時 英國由於對於牛頓的盲目崇拜，使他們有好一段時間堅持使用牛頓的符號，這竟使得英 國數學落後歐洲大陸一大截。等到十九世紀初英國人才開始醒過來，引入萊布尼茲符號。
y= f (x)，它的導函數，牛頓記為y˙，在y 的上面標一點。然而這樣的表示法，在我們
現代的數學較少使用！後來十八世紀的法國數學家拉格朗日 (
Lag ange
)，他使用的符號是f′(x)，在右上加一撇。這一撇也可以加在y 的右上，記為y′。至於萊布尼茲，他是將無窮 小的∆x記為 dx、無窮小的∆y 記為 dy。這是取拉丁文中的「差」differentia 第一個字⺟
d 。而 d 對應到希臘文，是δ，δ的大寫是∆。∆x和 dx都是表達x的差，其間區別是後 者是無窮小的差。而切線斜率，就是先寫出割線斜率 ∆y
∆x，再讓∆x趨近到0，從而∆y 也
會同時趨近到0。於是就寫成 dy