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寫給高中生的微積分簡介
第三版
A Brief Introduction to Calculus for Senior High School Students
third edition
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卓永鴻
中華⺠國 108 年
筆者多年來教授大一微積分，及寫作微積分教學，在與同學的互動中，深深覺得許多 人微積分這門學科表現之所以不理想，並非是天資極度不佳或學習態度不良，而是沒有 抓到其中精神，對其印象還停留在抽象符號操作，於是不得其門而入。而透過我的闡釋使 對方明白微積分中各個主題在做什麼後，對方往往恍然大悟，能變得開始上手。因此在⺠
國 101 年開始逐漸寫作微積分教學，希望幫助更多大一同學可以了解微積分在說什麼。
本文是從寫過的主題中，抽出與高中重疊的部分，改寫成可以給高中同學看的樣子，
希望也能對高中同學有幫助。本文並不是要完整涵蓋高中微積分所有題材及常考題型，而 是希望可以用淺顯易懂的方式，提供同學一些對微積分的感覺，對微積分的印象不再只 是操作無感的符號。在本文中會先說明微積分的用處、盡可能生動地介紹概念的由來、談 一點點微積分發展史、點出微積分學的精神，還有提供解釋詳細的解題步驟，讓同學對於 微積分可以有比較清楚的圖像。
光聽我自吹沒有用，請你自己好好細讀感受。若是讀完此文後，你覺得確實對你有幫 助，上大學後歡迎參考我寫的《白話微積分》，五南出版社。並可到我架設的網站觀看微 積分相關資源，網址是 http://CalcGospel.in 。
若是你希望能有關於高中微積分的課程，可以幫助你準備指考，歡迎來信：
[email protected]，上課地點位於台北市信義區。
卓永鴻 108 年 3 月
1. 微積分的用處與起源 1
2. 數列的極限 5
3. 連續函數與函數的極限 15
4. 微分學 25
4.1. 微分的定義 . . . 26
4.2. 微分的基本性質 . . . 30
4.3. 高階導數 . . . 38
5. 微分的應用 41 5.1. 求切線與法線 . . . 42
5.2. 函數的單調性 . . . 44
5.3. 函數的凹凸性 . . . 45
5.4. 函數的極值 . . . 46
5.4.1.一階檢定法 . . . 48
5.4.2.二階檢定法 . . . 49
6. 積分的定義與性質 51 6.1. 積分的定義 . . . 52
6.2. 積分的性質 . . . 55
7. 微積分基本定理 59 7.1. 微積分基本定理第一部分 . . . 60
7.2. 微積分基本定理第二部份 . . . 61
8. 積分的應用 63 8.1. 曲線間所圍面積 . . . 64
8.2. 求體積 . . . 67
9. 進階題材 71 9.1. 三⻆函數的導函數 . . . 72
9.2. 連鎖規則 . . . 73
9.3. 羅必達法則 . . . 75
9.3.1.羅必達法則的使用介紹 . . . 75
9.3.2.羅必達法則的誤用探討 . . . 77
9.4. 凹凸性、反曲點定義問題 . . . 80
9.5. 利用積分定義解極限 . . . 82
9.6. 旋轉體體積 . . . 84
9.6.1.圓盤法 . . . 84
9.6.2.剝殼法 . . . 86
9.7. 後記：大一微積分學些什麼？ . . . 87
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微積分的用處與起源
Richard Courant
微積分學，是人類思維的偉大成果之一。
這門學科乃是一種憾人心靈的智力、奮 鬥的結晶；這種奮鬥已經經歷了兩千五 百多年之久，它深深札根於人類活動的 許多領域之中
高中自然組同學在高三下會接觸到一點點微積分，而到了大學以後，大多數的生醫 理工科系、商管類科系的同學都必須修習大一微積分。微積分這一科已經近乎是大學生 的共同必修，且又是大多數同學的夢魘。究竟，微積分有什麼用，以致於這麼多人必須面 對它，以及它是如何產生的呢？
微積分學的發展與應用，影響了非常多的領域。舉凡金融精算、經濟學、商業管理、
醫藥、生物、機械、水利、土木、建築、航空及航海，特別是物理學，它的發展必須大量 使用到微積分。在微積分這門學問中，我們更多地認識了實數，促進我們對於函數更多 認識，我們學會如何求變化率、怎麼求極大極小值、怎麼求曲線的弧⻑及其所圍的面積、
怎麼求曲面的表面積及其所圍的體積、怎麼作近似計算等等。正如微積分的英文 calculus
1，它可以說是高等數學中的基本運算法則。微積分是一種革命性的數學思想，靠它可以 解決以往未解決的許多難題，也可以更輕易地對付已解決但不好處理的問題。除了微積 分本身可以直接應用在許多領域外，許多數學學科諸如統計學、微分方程、機率論、微分 幾何、傅立葉分析等等，皆奠基於微積分而發展，而它們也都被應用在許多其它領域。可 以毫不誇張地這麼說，沒有微積分，就沒有現代科學文明。
隨便舉些例子來說，電機系會學「訊號與系統」，而在這門課就大量地處理許多困難 的積分問題。對於物理系來說，計算作功、轉動慣量、磁通量等等，皆大量使用了微積分，
流體力學用到向量微積分與微分方程、相對論用到微分幾何。國企系、財金系、經濟系等 等，也會用到微積分的概念來研究金融與經濟，甚至在經濟系的高年級或研究所的同學，
還學到高等微積分2以上來進一步研讀經濟理論。而近年很火紅的機器學習，同樣用到許 多高等數學，諸如微積分、線性代數、機率統計等等。
圖 1.1: 台大地理系「地殼變形原理與觀測」課程大綱
那麼，微積分又是如何被發展起來的呢？眾所周知，微積分是在十七世紀末，由牛頓 和萊布尼茲所發明的。其實這樣講，並不是說他們獨自從頭建立起整個微積分學說。事 實上，微積分的概念，早在古希臘時代便已萌芽。到了十七世紀時，數學逐漸開始高度發 展，有許多數學家致力於微分學與積分學的工作。後來由牛頓與萊布尼茲，集其大成、進 一步突破，而形成微積分學說。
微積分的思想源流，最早可推溯到公元前五世紀的希臘數學家
Eudox s
（Εὔδοξος），他發展了窮盡法，將圓視為圓內接多邊形的極限、將無理數視為有理數的極限。到後來公 元前三世紀的阿基米德（
Archimedes
Ἀρχιµήδης），也使用窮盡法來處理許多體積與面積的 問題，將窮盡法發揚光大。到了大約十六、十七世紀的時候，人們開始想對於物理問題，做一些定量的研究。在 此之前，流行的是亞里斯多德的物理學，對於物理問題是以定性的探討為主。而且當中有 很多描述，與我們現在物理學上的認知是有出入的。譬如說，物體的重量越大，其趨向天 然位置的傾向也越大，所以其下落的速度也越大；天體是由特殊質料構成的，具有特殊性 質。天體是神靈們的處所，所以天體的運動是沿著最完美的曲線，也就是圓周，且是以最
1這一詞來自拉丁文，其原意為計算用的小石子，羅馬人用 calculus 來進行計算與賭博。
2高等微積分是數學系大二的必修，將許多大一微積分所未談，或是講得很隨便的地方，作嚴格的探討。
如果大一微積分的難度是八千，那麼高等微積分起碼是十萬。
完美的速度，也就是等速運動來作運動。以上這些我們今日聽來荒謬，都是當時被奉為圭 臬的概念。大約十六世紀中期開始，興起了一股反對亞里斯多德學說的思潮，他們對於阿 基米德的方法大為崇拜。譬如說十六世紀末物理學家伽利略，他就希望能有別於這種定 性的、原因方面的探討，作些定量上3的、現象方面的描述。於是在比薩斜塔做了落體實 驗，發現重球與輕球看起來是同時落地的。這個時期，就是文藝復興時期的科學革命。在 此期間，科學研究開始快速發展。
在當時的物理與數學中，啟發微積分快速發展的，有四大問題：
1. 研究物理中的非等速運動 2. 作出曲線的切線與法線 3. 找出函數的極大值、極小值
4. 求曲線所圍出的面積，及曲線的弧⻑
我們先來看第四個問題。多邊形的面積我們都會計算，可是一但一個幾何形狀不是 由直線段圍成的，而是由曲線圍成的，那該怎麼辦呢？曲線所圍面積之中，最常見最基本 的例子就是圓的面積。如前所述，早在西元前六世紀的
Eudox s
和前三世紀的阿基米德，就用窮盡法來求圓周率及圓面積。後來西元三世紀，三國時代的劉徽也做了類似的事。他 用割圓術4逼近圓的面積，其內涵是透過內接正多邊形的方式來逼近圓。
正十六邊形
圖 1.2: 圓內接多邊形
我們在圖 1.2 可見，圓內接正16 邊形看起來就已經跟圓相當接近了。而實際上劉徽 用到正96邊形，到了南北朝的祖沖之，更是內接了正24576邊形5。我們用數學式子把 這件事寫下來：
性質 1.0.1
設 A為我們要計算的圓面積，A3為圓內接正三⻆形面積，A4為圓內接正方形面積。
以此類推，An 為圓內接正n 邊形面積。於是當n 越來越大、無止盡地大下去。換 句話說，當n 趨近於無窮大的時候，圓內接正n 邊形趨近到圓，An 便會趨近於圓 面積 A。這件事若用數學式子表示，便是：
nlim→∞An= A (1.1) 式子 (1.1) 是極限的數學寫法，將英文字 limit 去掉末兩個字⺟，然後掛在 An的左邊，
用以表示An的極限。下面標示n→ ∞6，用意是告訴讀者，足碼（index number ）是誰。
在這裡我們的足碼是n，接著表達這個極限是n 趨近無窮大，An會隨之趨近到何值。
3達文西：「人們的探討不能稱為是科學的，除非通過數學上的說明和論證。」
4劉徽：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。」
5祖沖之所估計的圓周率已經精確到小數點後七位，相當於千萬分之一的誤差，這已是相當難得的。
6羅馬人常用一千這數字來代表「多」。而在羅馬數字中，1000的其中一個寫法是C|Ɔ。後來十七世紀，
微積分先鋒之一的英國數學家John Wallis，他在其著作《無窮的算術》中，將C|Ɔ略作變形，寫成∞以表 示無窮大。
積分學就是源自求曲線下所圍面積的問題，其所用的就是這種類似割圓術的辦法。我 們這裡只是先作很粗略的介紹，先讓你看看積分學是在探討什麼問題，暫時不正式地去 討論積分。
接著我們來看第二個問題：求曲線的切線斜 率。如果在曲線中取兩個點，將兩點之間拉出一 條割線，那麼這條割線的斜率我們都會做，就是 寫下 ∆y
∆x。但如果是給定一個點當作切點，並作 過此切點的切線，應該如何求此切線的斜率呢？
我們先看一下右圖，若以圖中的 A點為切點，過 A 有一條切線。若將 A 點依序與B、C、D、E 分別都拉出割線，我們可發現這些割線越來越 靠近切線。
A
E D B C
圖 1.3: 割線逼近切線
這就是微分學的想法了，微分就是在做曲線上的切線斜率。其想法是，利用我們會算 的割線斜率，去趨近到切線斜率。如果切點的座標是(x1, y1)，然後先找附近一個點(x2, y2)， 拉出割線斜率 ∆y
∆x。接著我們將切點(x1, y1)固定不動，讓(x2, y2)趨近到切點(x1, y1)。於 是割線斜率就會越來越趨近到切線斜率了。我把這個想法整理如下：
性質 1.0.2
若P 點是y= f (x)上的一點，L是以P 當切點所作的切線，而P2是y= f (x)上的一 動點。如果
Plim2→p
∆y
∆x (1.2)
這個極限是存在的，其值等於m，那麼m就是切線L 的斜率。
這裡也只是先很粗略介紹什麼是微分，你看懂看不懂都無所謂，我們現在暫不實際 去求切線斜率。
總結以上，微分學來自求切線問題，而積分學則來自求面積問題。兩者看似截然不 同，但這當中卻隱含著重要的關係：
它們事實上是反問題！
當十七世紀數學家們不斷在微分學與積分學上有些突破時，慢慢開始有些人看出二 者間的關係，譬如說牛頓的老師
Issac Bar ow
。最後是由牛頓與萊布尼茲，他們都明確指出 微分與積分的互逆性，將微積分集大成。所以，大家公認是由他們倆發明微積分。在以上的介紹當中，微分與積分都牽涉到極限。極限的概念是微積分的基礎，所以市 面上各家大一微積分教科書，幾乎都是從極限開始作介紹7。讓讀者先明白何謂極限，並 且能自己動手計算極限，接著才繼續介紹微分以及積分。
7有一本書叫作 Calculus Without Limits : Almost，然而它還是用到極限了。
數列的極限
德國哲學家恩格斯
在一切理論成果中，未必再有什麼像 17 世紀後半葉微積分的發明那樣被看作人 類精神的最高勝利了。只有微積分學才 能使自然科學有可能用數學來不僅僅表 明狀態，並且也能表明過程。
將數字一個個地排成一列，就是數列。舉例來說，訪查班上同學家庭年收入，得到 155, 99, 238, 133, 175,··· （單位：萬元）這樣就是一個數列，顧名思義，只不過把數字排 成一列。
有時候，數列中的每一個數，可能會依循某種規律。譬如說等差數列
4, 7, 10, 13, . . . , 91 (2.1)
其規律就是第一項為4，後面每到下一項就增加3，一直列到91。像這種情況，通常我們 簡單列個幾項，別人就知道我們想表達的數列。但這件事如果要嚴格說起來，真是這樣 嗎？譬如說，我列出數列前四項為1, 4, 9, 16，你知道我的第五項是什麼嗎？你心想：「嘿 嘿！這豈不簡單！？不就25嗎？」此時我奸巧地回答：「哈哈！我的第五項是π啦！因為我 的一般式 是n2+(n− 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)(π − n2)
24 呀！」。
當書寫者非常確定讀者可以掌握規律，便簡單寫幾項。如果沒有這樣的把握，那麼在 寫下數列時，就會選擇寫清楚到底規律是什麼。其中一種標示規律的方法，就是給出一般 式。舉例來說，
〈an〉 = 3n + 1, 1 ≤ n ≤ 30 (2.2)
就很清楚地告訴人家，第一項 a1 就代n = 1得到4，a2代 n= 2得到7。總共有 30 項，
a30= 91。其實這個就是我上面列的那個等差數列 (2.1)，要認出並不困難，從3n 可看出，
當n 每增加1，一般項an就增加3，所以是等差數列，其公差為3。又代n= 1，得知首項 為4。
如果要列出等比數列，可能⻑得像這樣
an= 5 · 3n, 1≤ n ≤ 20 (2.3)
可以看出，當n每增加1，一般項an就變為3倍，所以是等比數列，公比為3。又代n= 1， 得知首項為15。
另一種標示規律的方法，是使用遞迴式。舉一例像是 {a1= 4
an= an−1+ 3 , 2 ≤ n ≤ 30 (2.4)
遞迴是層遞迴返的意思，想要寫出這個數列的某一項，須使用這個數列本身的前一項或 前幾項來計算其值。以此例來說，在第二項以後，每一項都是將前一項再加上3而得到。
當然也要注意，必須講清楚第一項 a1，才有辦法套用遞迴關係得到a2、a3、···，否則光 是知道這個前後項關係也沒用。
如果一個數列是用遞迴式定的，有時候可以找出它的一般式。像是我所給的遞迴式，
有看出來嗎，又是那個等差數列 (2.1) 了！但有時候也不好找，例如費布那西數列
a1= 1,a2= 2,an+2= an+1+ an, n∈ (2.5) 你能找出一般式嗎？一般式為
an= 1 p5
(1+p 5 2
)n
−
(1−p 5 2
)n
(2.6)
數列的項數不一定是有限項，也可能是無限多項，停不下來。這種數列稱之為無窮數 列。例如將等差數列(2.1)由30項擴寫為無窮數列，便成
〈an〉 = 3n + 1, n ∈ (2.7)
明顯地，這個數列會越來越大，無止盡地大下去。
數列的取值並不一定都無止盡地變大，也有可能無窮數列的趨勢是越來越接近一個 定值。這件事情，我們可以用極限式來表示。
定義 2.0.1 數列的極限
若n越來越大，以致於無窮大時，an便跟著越來越靠近L。那麼我們就說，當x→ ∞ 時，an→ L。若以極限式的寫法就是
xlim→∞an= L (2.8) 舉例來說，在《莊子·天下》裡有一句話：「一尺之棰，日取其半，萬世不竭。」所以我 們便有莊子數列：〈an〉 = 1
2n，這是一個公比為 1
2 的無窮等比數列。明顯地，隨著n 越來越 大，莊子數列的一般項an 應該會越來越小、越來越接近0。所以莊子數列的極限就是0。 在符號上，我們記為
n→∞lim an= 0 (2.9) 用以表達當n越來越大的時候，數列的一般項an，會趨近到0。
必須強調一點，極限值與數列取值是不一樣的概念。我們說an 趨近到0，並不是在 說它會變成0。可能會，也可能不會，總之與極限值是不同概念。以莊子數列來說，我們 注意那句「萬世不竭」。雖說古人沒有分子的概念，以致這句話若是以物理的觀點來說其 實是錯的，你無法真的將物體一直切一半切不停。但其傳達的意思就是說，雖然是會一直 變小下去，小到越來越接近0，但其實它並沒有真正變0的一天。若從數學式上來看，無 論你對於n代入多少， 1
2n 都不會是0。
當數列的趨勢是越來越趨近到一個定值時，我們說它極限存在，這個數列是收斂的。
如果數列並沒有趨近到一個定值，我們就說它極限不存在，這個數列是發散的。所謂發 散，就是不收斂。發散有兩種情況，一種情況例如〈an〉 = (−1)n，其數列取值一直在1,−1 跳來跳去，並不趨近一個定值。另一種情況即趨近到無窮大。此時雖然算是極限不存在，
但這種情況我們依然可用極限式來表示。
定義 2.0.2 數列的極限
若n 越來越大，以致於無窮大時，an 便跟著也越來越大，以致於無窮大。那麼我們 就說，當n→ ∞時，an→ ∞。若以極限式的寫法就是
x→∞liman= ∞ (2.10)
求極限 lim n→∞7.2。 解
這個數列為
7.2, 7.2, 7.2, 7.2, . . . 數值永遠固定，若問它趨近何值，便是7.2。
例題 2.01
求極限 lim n→∞
1 n。 解
分⺟越大，整個數便越小。現在分⺟n會不斷地大下去，以致無窮。於是整個數 便無止盡地小下去，趨近到0。因此
n→∞lim 1 n = 0 例題 2.02
note
此例又一次顯示，極限值與數列的取值是不一樣的概念。無論你n代什麼數進去，1 都絕無可能是0。 n
求極限 lim n→∞
sin(nπ 3
)
n2 。
解
分⺟會跑到無限大，而且它還是二次方，跑得更快。然而分子卻是有限的（介於
−1到1之間），所以一般項趨近到0
nlim→∞
sin(nπ 3
) n2 = 0 例題 2.03
note
在前面的例子，極限值為0，但數列取值永遠不是0。在此例中，an 有時會等於0
（當n 為3的倍數時）。無論數列取值是永遠不等於極限值，還是有一些會等於極限 值，都有可能，畢竟兩者是不同概念。
求極限 lim n→∞
2n sin(n)+ 3。 解
分⺟介於2到4之間，分子則是跑到無窮大。那麼很明顯，整個數就是越來越大，
跑到無窮大。因此
nlim→∞
2n
sin(n)+ 3= ∞ 例題 2.04
目前為止，所介紹的數列求極限，都太簡單了，考試時九成九不會這樣考出來。接下 來來介紹一些沒那麼基本的極限題型，不過在此之前，必須先介紹收斂極限式的運算律。
性質 2.0.1 收斂極限式的基本性質 若 lim
n→∞an= α, lim
n→∞bn= β及c∈。那麼
1. 相加 lim
n→∞
(an± bn
)= lim
n→∞an± lim
n→∞bn= α ± β 2. 常數倍 lim
n→∞c· an= c · lim
n→∞an= c · α 3. 相乘 lim
n→∞
(an· bn
)= lim
n→∞an· lim
n→∞bn= α · β 4. 相除 lim
n→∞
an
bn =nlimlim→∞an
n→∞bn =αβ 條件是β,0
求極限 lim n→∞
3n2− 4n + 1 2n+ 3 。 解
當n趨近無窮大時，分子與分⺟都是趨近到無窮大，那麼結論是什麼呢？這種情 況，我們姑且以 ∞
∞ 表之。至於答案，光由表面的 ∞
∞ 看來，暫時不知道。可能無限大，
可能0，也可能非0的有限數，甚至極限不存在都有可能。若不進一步分析，光由表 面上的形式 ∞
∞ 是無法得知的。
這一題我們可以這麼想：分子是趨近無窮大，它是n 的二次式。當n 很大的時 候，看看領頭的二次項，它是很大的數乘上很大的數。然而分⺟的部份，它只是n 的 一次式。當n很大的時候，看看領頭的一次項，它是很大的數，但在分子面前，便相 形失色，人家比它變大，是快得多了。因此整個極限，是趨近無窮大。
想歸想，正式作答的時候該怎麼寫呢？可以分子分⺟同除以n
n→∞lim
3n2− 4n + 1 2n+ 3 = lim
n→∞
3n− 4 +
0 1 n
2+
0 3 n
這樣可以看出，分子是趨近無窮大，然而分⺟是趨近到2，因此此數列趨近無窮大。
亦可改同除以n2
n→∞lim
3n2− 4n + 1 2n+ 3 = lim
n→∞
3−
0
4 n +
70 1 n2
0
2 n +
70 3 n2 這樣同樣可以得到數列值趨近到無窮大的結論。
例題 2.05
求極限 lim n→∞
n2− 7n + 4 n3− 5n + 3。 解
此題同樣是 ∞
∞ 的形式。分子的次方是 2，分⺟的次方是3。因為現在n 是趨近 於無限大，那麼n2= n × n就會遠遠大於n；n3= n × n2就會遠遠大於n2。所以此題 例題 2.06
雖然分⺟與分子都會趨近於無限大，但顯然可見的是，分⺟會比分子還要大地多，因 此此題極限值是0。
正式在答題的時候你可以這麼做：將分子分⺟同除以n3，那將得到
nlim→∞
1 n − 7
n2+ 4
n3
1−n5+n32
=lim1
n− lim 7
n2+ lim 4
n3
lim 1− lim5
n+ lim 3
n2
=0+ 0 + 0 1+ 0 + 0= 0
實際上可以不寫出第二行來沒關係，我只是先詳細寫出來給你看。
求極限 lim n→∞
3n+ 4n 2n+ 5n。 解
n→∞lim
3n+ 4n 2n+ 5n= lim
n→∞
(3 5
)n
→0+(4 5
)n (2 →0
5
)n
→0+ 1 = 0 上下同除以5n
原則一樣是在眾多項趨近無限大中抓較大的來同除。
例題 2.07
求極限 lim n→∞
(
3n+ 4n+ 5n)1
n。 解
此題為∞0的形式。千萬不可以為：任何數的零次方都是1呀，所以答案就是1！ 當我們說一個極限是 ∞
∞ 的形式時，意指分⺟與分子皆趨向無限大。同樣地，所謂∞0 並非次方真的是0，而是：底數趨向無限大、次方趨向 0。底數與次方賽跑，底數要 跑到無限大、次方要跑到0，看誰跑得快。如果底數跑得比次方快，結果就會趨近無 限大；如果次方跑得比底數快，結果就會趨近1；如果兩者跑得差不多快，結果就是 趨近某個非零常數C。所以請記得，∞0的形式亦是一種不定式。
n→∞lim
(3n+ 4n+ 5n)1
n 將5n 拉出括號
= lim
n→∞
( 5n[(3
5 )n
+(4 5
)n + 1])n1
= lim
n→∞
(5n)1
n((3 5
)n +(4
5 )n
+ 1 )1
n = 5 · (0 + 0 + 1) = 5 例題 2.08
求極限 lim n→∞
pn2+ 3n −p
n2− 2n + 3
n 。
解
這裡同樣是無法一望即知極限值，須作些處置：
n→∞lim
pn2+ 3n −p
n2− 2n + 3 n
= lim
n→∞
pn2+ 3n −p
n2− 2n + 3) · (p
n2+ 3n +p
n2− 2n + 3) n· (p
n2+ 3n +p
n2− 2n + 3) 反有理化
= lim
n→∞
(n2+ 3n) − (n2− 2n + 3) n(p
n2+ 3n +p
n2− 2n + 3)
= limn→∞ 5n− 3 n(p
n2+ 3n +p
n2− 2n + 3) 同除以n
= lim
n→∞
5− 3 n (p
n2+ 3n +p
n2− 2n + 3)= 0 例題 2.09
note
遇到有根號相減，常可使用反有理化，乘完整理式子以後，便可消去n。
有時候直接將極限值求出，是不太容易的事情。以下再介紹一個有力工具，讓我們可 以間接地得出極限值。
定理 2.0.1 夾擠定理
若數列〈an〉,〈bn〉,〈cn〉在n≥ k （k為某正整數）時，恆滿足 an≤ bn≤ cn
且
n→∞lim an= lim
n→∞cn= L 則有
n→∞lim bn= L
求極限 lim n→∞
n!
nn。 解
先將原式寫成
1 n×( 2
n )×( 3
n
)× ··· ×(n −1 n
)×(n n ) 例題 2.010
很明顯，每一個括號都小於等於1、每一項大於等於0。因此 0≤ 1
n ×( 2 n
)×( 3 n
)× ··· ×(n −1 n
)×(n n
)≤ 1 n 而顯然 lim
n→∞0= 0 = lim
n→∞
1
n，所以由夾擠定理，我們知道 lim n→∞
n!
nn = 0。
求極限 lim n→∞
100n n! 。 解
先將原式寫成 [100
1 ×100
2 × ··· ×100 99
]×(100 100
)×(100 101
)× ··· ×( 100 n− 1
)×100 n 注意每個小括號都小於等於1，而中括號的部份雖然很大，但也就定值 10099
99! 。所以寫
100n
n! ≤10099 99! ×100
n 因為 lim
n→∞
100
n = 0，所以 lim n→∞
100n n! = 0。
像這樣寫，就錯了！許多同學會這樣寫，但這並不是夾擠定理。夾擠定理須將上 下界都寫出來才可以！應該改成
0≤100n
n! ≤10099 99! ×100
n 因為 lim
n→∞0= 0 = lim
n→∞
100n
n! ，所以由夾擠定理，我們知道 lim n→∞
100n n! = 0。 例題 2.011
原 數 列 一 般 項 大 於 等 於 0 雖 然 很 理 所當然，卻不 能省略！
求極限 lim n→∞
sin(n)
n 。
解
分子是有界的，介於−1到1之間。分⺟趨向無限大，因此一看就知道數列極限 值為0。若要寫正式過程，可以寫
−1 ≤ sin(n) ≤ 1 ⇒ −1
n ≤sin(n) n ≤ 1
n 因為
nlim→∞−1
n = 0 = lim
n→∞
1 n 所以由夾擠定理，我們知道
n→∞lim sin(n)
n = 0 例題 2.012
求極限 lim n→∞
p 1
n2+ 1+ p 1
n2+ 2+ ··· + p 1 n2+ n。 解
如果將每一項都改成最小的那一項，便是下界；每一項都改成最大的那一項，便 是上界。所以寫
p 1
n2+ n+ ··· + 1
pn2+ n ≤ 1
pn2+ 1+ ··· + 1
pn2+ n ≤ 1
pn2+ 1+ ··· + 1 pn2+ 1
而
nlim→∞
p 1
n2+ n+ ··· + 1
pn2+ n = lim
n→∞
p n
n2+ n = 1
n→∞lim p 1
n2+ 1+ ··· + 1
pn2+ 1= limn→∞ n
pn2+ 1= 1
所以由夾擠定理，我們知道
nlim→∞
p 1
n2+ 1+ 1
pn2+ 2+ ··· + 1
pn2+ n = 1 例題 2.013
note
初學者對於這題的常見誤解是：這每一項都趨近於 0嘛！那麼許多0加起來也是 0！在收斂極限式的基本性質當中，寫的是兩個收斂的數列相加後的極限，會等於 各自極限值相加。雖然我們可以以此類推至三個、四個、五個收斂的數列相加，但 不能隨意「類推」到無限多項相加！因為你不知道這無限多個無窮小，會不會逐漸 累積成一個可觀的數。譬如說 lim1
n+ ··· +n1，有 n 個 1
n，很明顯加起來是1，所以 lim 1= 1。如果是limn1+···+n1，有n2個 1
n，加起來是n，所以lim n= ∞。而如果是 limn12+···+n12，有n個 1
n2，加起來是 1n，所以limn1= 0。所以我們的結論是，光由
「無窮多項無窮小」這件事，我們看不出什麼。
連續函數與函數的極限
Riemann
只有在微積分發明之後，物理學才成為 一門科學。只有在認識到自然現象是連 續的之後，構造抽象模型的努力才取得 了成功。
函數的連續性在數學上是很重要的課題，它會影響到許多性質、定理的成立，因此也 是非常有必要討論的。然而函數怎麼樣叫做連續呢？且讓我們先做點直觀上的討論。
圖 (a) 看起來就連續不斷。至於圖 (b) 出現一個斷點，它在x= 2時是無定義的。所以 在x= 2時不連續，在其它地方連續。圖 (c) 中在x= 0及x= 2處是有定義的，但很明顯 發生斷裂，也是不連續。至於圖 (d) 在靠近x= 0時不斷來回震盪，所以也是不連續。
(a)
2
(b)
2
(c)
2
(d)
圖 3.1: 連續與否的幾種情況
看起來，連續與否似乎是能夠很直觀地去判斷的。但是學習數學，直觀雖說重要，卻 不可過度依賴。數學上常常會有與直觀相悖的事實出現，或者是直觀無法完全說明的事。
例如上圖(d) 或許也有人覺得看起來很連續呀，但是我覺得並不連續，那你覺得誰才是對 的？或是像
y=
{1 , x∈ 0 , x∈\
有人說它處處都有斷開，所以處處不連續。也有人說因為有理數是稠密的，所以畫出圖 來後，那些 y= 1應該是看起來很連續的。無理數也是稠密的，所以那些y= 0應該也都 很連續呀！如果你知道他說錯了，你要怎麼反駁他呢？甚至，這些還是考慮函數圖形的情 況，沒給你圖，你能幫我判斷 f (x)= ∑∞
n=00.78ncos(3nπx)是否連續嗎？
事實上，在微積分剛發展時，由於大多時候處理的都是連續函數，所以數學家們似是 不曾想過，也沒必要去在意這個問題。直到十八世紀時，開始在物理問題上出現一些不連 續函數，迫使數學家們在微積分的應用上必須面對函數可能不連續的問題。為了不訴諸 直觀、造成爭議的發生，數學家們逐漸在數學中使用形式化的定義取代口語的定義。雖然 形式化的定義會讓同學覺得好像很難讀，但其好處是可以幫助我們精確地下判斷。
從對於圖組 3.1 幾種情況的觀察中，我們對於連續下這樣的結論：如果函數 y= f (x) 在x= a處連續，那麼首先必須函數值 f (a)是有定義的，再來是在x= a的附近，函數值 的趨勢必須是越來越靠近(a, f (a))這個點。以上若不成立，就是不連續。如果以這個當作 判斷法則，就可以正確地區分出連續與否。然而，這就牽涉到了函數極限的概念。
定義 3.0.1 函數的極限
如果函數y= f (x)在x= a附近有定義，並且隨著x越來越靠近、無限地靠近a 時，
函數值 f (x)隨之越來越靠近、無限地靠近某個值L，則稱L為函數在x趨近到a時
的極限。符號上可以記作：當x→ a，f (x)→ L。或者是使用lim符號：
xlim→af (x)= L
有了極限的概念以後，現在可以正式對連續下定義。
定義 3.0.2 連續的定義
函數y= f (x)在x= a處連續，若且唯若
xlim→af (x)= f (a)
而如果函數y= f (x)在區間I 上的每個點都連續，則稱 f (x)在區間I 上連續。如果 函數y= f (x)在整個實數 上連續，則稱 f (x)處處連續（continuous everywhere）。
別小看這一條式子，表面看似一條，其實是三個條件要成立：
1. 函數值f (a)有定義 2. 極限 lim
x→af (x)存在 3. 上述兩者相等
當然嘛，你要說A= B，先決條件 A 和B 要先存在，才談得上相等與否。而既然連續的條 件是三者成立，那麼只要其中一個不成立，便是不連續了。例如圖(b) 中的x= 2處是函數 值不存在；圖(c) 中的x= 0處函數值存在但極限不存在；圖(c) 的x= 2處則是函數值與極 限都存在，但兩者不相等；至於圖(d) 的x= 0處，那也是極限不存在。
為了方便，我們對於不連續點進行分類。如果極限值 lim
x→af (x) 存在，則無論函數
值 f (a) 不存在，或是雖存在但與極限值不相等，我們皆稱之為 可去間斷點（removable
discontinuity ）。如此命名，乃是因為我們可以透過重新定義函數值，或者在函數無定義 處補上函數值定義，來使其成為連續點。例如圖(b) 中的x= 2處，我們只要補上 f (2)，它 就變得連續了。以及圖(c) 的x= 2處，我們改變 f (2)的值，使其與 lim
x→af (x)相等，就變得 連續。至於圖(c) 中的x= 0處與圖(d) 的x= 0處，無論我們怎麼定義 f (2)，都仍會是不連 續，這種不連續點我們稱之為 不可去間斷點（irremovable discontinuity ）。
目前對於連續的定義，算是大概有點概念了，但是現在要先花時間探討函數的極限。
待我們對於求函數極限更為熟習之後，才有辦法進行關於函數連續以及其它課題的探討。
求極限 lim x→21
解 常數函數y= 1是處處連續的，所以
x→2lim1= 1
2
例題 3.01
求極限 lim x→2x2 解
畫出拋物線 y= x2，因為拋物線處處連續，在 x= 2處也連續，所以
limx→2x2= 4
2 (2,4)
例題 3.02
目前你可能還不服氣：「你跟我說連續函數要用極限來定義，現在求極限又說因為連 續所以知道極限值！」以下介紹如何更解析地（analytically ）求極限值。不過在此之前，還 須再介紹多點關於連續函數。
一旦認識連續的定義 lim
x→af (x)= f (a)，那麼做極限時只要判定函數是連續的，就可以
直接代入，非常方便！哪些函數是連續的呢？基本常見的函數差不多都是連續的：
1. 冪函數xa a 可以是任意實數 2. 三⻆函數sin(x)和cos(x)
3. 指數函數ax 4. 對數函數logax
再配合以下這些基本性質：
性質 3.0.1 連續函數的基本性質
若 f (x)與g (x)皆在x= a處連續，c 為一常數，則以下函數也在x= a處連續：
1. f (x)± g(x) 2. c· f (x) 3. f (x)· g(x)
4. f (x)
g (x) g (a),0 5. f (g (x))
有了以上這些基本性質，我們就認識了更多連續函數！
求極限 lim
x→1x4− 5x3+ 2 解
因為 y= x4, y= x3 與 y= 2皆是處處連續的，所以將他們作線性組合後所得之 y= x4− 5x3+ 2也是處處連續的。因此
xlim→1x4− 5x3+ 2 = 1 − 5 + 2 = −2 例題 3.03
求極限 lim
x→π3tan(x) 解
y= sin(x)與 y= cos(x)皆是處處連續的，相除後所得之y= tan(x) = sin(x)
cos(x) 在分⺟
cos(x)不為0處（x,2k+12 π）都是連續的。因此
x→limπ3tan(x)= tan(π 3
)= p 3 例題 3.04
求極限 lim x→1
x2− 1 x− 1
解 例題 3.05
y= x2−1與y= x −1皆是處處連續的，相除後所得之y=x2− 1
x− 1 在分⺟x−1不為
0處…咦？題目正是問x→ 1，會使分⺟為0之處，所以現在沒辦法直接代入得到極 限值。這種情況，只好對函數作些處理：
y=x2− 1
x− 1 因式分解
=(x+ 1)(x− 1)
x− 1 如果x− 1,0，就可以消去
=x + 1
我們得到結論，原來的函數其實就是
y=
{x+ 1 , x,1 無定義 , x= 1 所以
xlim→1
x2− 1 x− 1 = lim
x→1x+ 1 = 2
2
1
note
函數 y=x2− 1
x− 1 與函數y= x + 1並不相等，前者在x= 1處無定義，後者在整個 上
都有定義。當我們寫 lim x→1
x2− 1 x− 1 = lim
x→1x+ 1。並不是函數相等的意思，而是極限相等。
因為我們是在處理x→ 1時的極限，就是在看，當x 從不是1的地方越來越靠近1 時，函數值 y是否隨之趨近到一個定值。而函數 y=x2− 1
x− 1 在x不是1時，其取值又 完全等於函數y= x + 1，那麼 lim
x→1 x2− 1
x− 1 就會等於 lim
x→1x+ 1了。
求極限 lim x→3
x2+ 14x − 51 x3− 5x2+ 4x + 6
解
xlim→3
x2+ 14x − 51
x3− 5x2+ 4x + 6= lim
x→3
XXXX(x− 3)(x + 17) XXXX(x− 3)(x2− 2x − 2)
= lim
x→3
(x+ 17)
(x2− 2x − 2)= (3+ 17)
(32− 2 · 3 − 2) = 20 例題 3.06
note
不必擔心因式分解的問題，一個多項式代x= 3得到0，表示一定有(x−3)這個因式，
這是高一所學的因式定理。已知有因式(x− 3)了，剩下再做除法便可出來。
求極限 lim x→0
p4+ x − 2 x
解 例題 3.07
xlim→0
p4+ x − 2
x = lim
x→0
( p4+ x − 2)( p
4+ x + 2) x( p
4+ x + 2) = lim
x→0
4+ x − 4 x( p
4+ x + 2)
= lim
x→0
Zx Zx( p
4+ x + 2) = lim
x→0
p 1
4+ x + 2= 1
p4+ 0 + 2=1 4
做 極 限 遇 到 根 號 相 減 的 不定式，通常 使 用 反 有 理 化。
求極限 lim x→2
x+ 5 (x− 2)2
解
分⺟趨近0，會無止盡地小下去。然而分子不是同時趨近0，而是趨近7。這種情 況是函數值會無止盡地變大，所以寫
xlim→2
x+ 5 (x− 2)2= ∞ 例題 3.08
note
∞並不是一個數，它只是一個用以示意的符號。極限為無限大，意指函數值會無止 盡地變大，不趨向一個定值，所以是極限不存在的一種情況。
求極限 lim x→2[x]
解
高斯函數 y = [x]⻑相如右圖，當 x 趨近到 2時，
函數值是否會趨向一個定值呢？仔細一瞧，當x 由2的左邊趨近到2時，函數值是趨向1；當x由 2的右邊趨近到2時，函數值卻是趨向2。這說明 了，當x 由2的附近趨近到2時，函數值並不趨 向一個定值，所以此題是極限不存在。
例題 3.09
由上一題的討論，我們可以引進單側極限的概念，在解極限問題時是很好用的。
定義 3.0.3 單側極限
如果函數 y= f (x)在x= a 的右側附近有定義，並且隨著x由a 的右側無限地靠近
a 時，函數值 f (x)隨之無限地靠近某個值L，則稱L 為函數在x趨近到a時的右極 限。符號上可以記作：當x→ a+，f (x)→ L。或者是使用lim符號：
x→alim+f (x)= L 類似地可定義左極限，符號上記作
xlim→a−f (x)= L
認識了單側極限，便可以介紹下面這個有用的性質。
性質 3.0.2
若x= a為函數 f (x)定義域中的內點，換句話說，函數 f (x)在x= a的兩側附近有
定義。則
x→alimf (x)= L 若且唯若 lim
x→a−f (x)= lim
x→a+f (x)= L
若 f (x)=
{ x , x≤ 1
−(x − 2)2+ 2 , x > 1 ，求極限 lim
x→1f (x)。 解
這個分段定義函數如右圖，當 x由1的左邊趨 近2時，函數值是趨向1；當x由1的右邊趨近 2時，函數值也是趨向1。用剛剛介紹的性質來 寫就是：因為
x→1lim−f (x)= lim
x→1−x= 1
x→1lim+f (x)= lim
x→1+
[− (x − 2)2+ 2]
= 1 左右極限皆存在，並且兩者相等，所以 lim
x→1f (x)= 1。 例題 3.010
若 f (x)={ −x
, x≤ 0 sin
(1 x
)
, x> 0 ，求極限 lim
x→0f (x)。 解
這個分段定義函數如右圖，因為當 x由0的 右邊趨近0時，函數值是不斷來回振盪，並 不趨向一個定值的。所以右極限 lim
x→0+f (x)不 存在，從而極限 lim
x→0f (x)不存在。
例題 3.011
求極限 lim x→1
2x+ 6 x− 1。 解
乍看之下這題會想回答 lim x→1
2x+ 6
x− 1 = ∞，但是考慮左右極限
x→1lim+ 2x+ 6
x− 1 = ∞ lim
x→1−
2x+ 6 x− 1 = −∞
兩者分別趨向正無窮大與負無窮大，不是一起趨向正無窮大，所以這題要回答極限不 存在比較好。
例題 3.012
在數列的極限中我們學過夾擠定理，而函數的極限同樣有夾擠定理。
定理 3.0.1 夾擠定理
如果在x= a的附近（可以不包含x= a本身）滿足g (x)≤ f (x) ≤ h(x)，且
xlim→ag (x)= lim
x→ah(x)= L 則有
xlim→af (x)= L
求極限 lim
x→0x2sin(1 x
)。
解
那個sin(1
x)看起來不太好處理，所以試圖找上下界來使用夾擠定理。首先因為
−1 ≤ sin( 1 x
)≤ 1
所以
−x2≤ x2sin( 1 x
)≤ x2
而顯然
limx→0−x2= 0 = lim
x→0x2 所以由夾擠定理，我們知道
xlim→0x2sin( 1 x
)= 0 例題 3.013
note
那個麻煩的sin(1 x
)，助我們想到夾擠定理。直接處理原極限式是不可行的，但估個 上下界以後，上下界並不含sin(1
x
)，便容易處理了。
求極限 lim
x→0x sin(1 x
)。
解
仿照上題，因為
−1 ≤ sin( 1 x
)≤ 1
所以
−|x| ≤ x sin( 1 x
)≤ |x|
例題 3.014
而顯然
x→0lim−|x| = 0 = lim
x→0|x|
所以由夾擠定理，我們知道
xlim→0x sin( 1 x
)= 0
這 裡 要 注 意 的 是 必 須 加 絕對值，因為 x 會 正 負 兩 側趨向0。
y = |x|
y = −|x|
(a)y= x sin( 1 x )
y = x2
y = −x2 (b)y= x2sin( 1
x )
圖 3.2: 夾擠
微分學
伏爾泰
微積分是精確的計算和度量某種無從想 象其存在的東西的藝術。
4.1 微分的定義
在一條曲線y= f (x)上取A、B 兩點，並且拉出線段AB，這條線便叫割線。如果想求 割線的斜率，這是很容易的。只須拉出水平變化∆x和鉛直變化∆y，再相除後得到m=∆y∆x
A
B
A
B
∆y
∆x
如果是切線呢？有沒有辦法求出它的斜率？如下圖是以 A 點為切點的切線：
A
像這種問題，是有其具體意義的，並非只是數學家單純想要在幾何問題上求知。在牛 頓發展微分學的時候，他主要是想解決運動學上的問題。如果你把以上的圖想成是 s− t 圖，也就是說，圖中的函數代表著位置函數。橫軸改看成t 軸，代表時間t（time）；縱軸 改看成s 軸，代表物體的位置。那麼，A點代表在某個時間，物體在某一個位置；B 點代 表另一個時間，物體在另一個位置。當我們拉出割線，並求出斜率m=∆s
∆t。用位置變化
（位移）除以時間變化，求出來的東西就是平均速度。
舉個比喻，你從嘉義開車到台南1，速度時快時慢。而如果你直接把開車的起點和終 點拉出距離，再除以開車時間，求出來的就是平均速度。平均速度只不過是平均而言，並 不代表每個當下都是這個速度。當你開車時一邊注意儀表板，就會看到每個當下的瞬時 速度。
那如果沒有儀表板怎麼辦呢？如何從 s− t 圖中看出瞬時速度呢？就是求切線斜率！
s− t 圖中的割線斜率代表平均速度；切線斜率代表瞬時速度。
如果再講得更一般一點，這是變化率的問題！平均斜率m=∆y∆x，這是y 方向的變化 除以 x 方向的變化。這就是一種變化率，y 對x 的變化率。平均而言，x 每增加1單位，
y 會增加m 單位。至於切線斜率，就是在那一瞬間的 y 對x 變化率。而就運動學上來說，
所謂速度其實就是位置對時間的變化率，位置變化除以時間變化。你也可以套在人口成
⻑的模型上，假設人口函數P (t )，那麼你在圖上拉割線斜率，就是人口對時間的變化率，
也就是人口增⻑率。
介紹完求切線斜率的動機，我們來看看切線斜率究竟要如何求出。如果我們在 A和 B 之間，多標幾個點，並且也都與A拉割線。可以看出，越靠近 A的點，拉出來的割線越 接近切線。
1我們假設一路上都是直線開的，以避免探討速度的方向性問題。
