8. 積分的應用 63
8.2. 求體積
一開始介紹積分時，都說它用來求曲線下面積。但積分的用途其實很廣，並不是只能 來拿求面積問題，有許多問題是一點一點地積累起來的，都可以用積分來表示。《荀子·大 略》：「夫盡小者大，積微成著，. . .」意思是說，微小的事物，經過⻑期積累，也會變得顯 著。後來清朝學者李善蘭，於 1859 年翻譯中國第一本微積分教科書時，據此1 而使用了
「微分」、「積分」等詞。像是求曲線弧⻑，ds便是「微」，微小的弧⻑。做積分
∫ b
a
ds
這便是積微成著：將許多微小的弧⻑積出一段曲線的弧⻑。
同理也可以用來求體積。我們先回想求面積的狀況，若要求曲線下的面積，我們之前 的作法是，切割成許多子區間，然後用許多⻑方形的面積和去做近似面積。接著又取極 限，讓每個⻑方形的寬度趨近到零。對此，我們可以用口語粗略地說，我們將一條一條線 去積出了面積。積分式子便是 ∫
b a
f (x) dx
而其中 f (x)其實是一段⻑度，是曲線 y= f (x)到x軸的距離，在此我姑且改寫成
A=
∫ b
a
L(x) dx
藉以強調我們將一條一條線的「線⻑函數」L(x)，積出了面積來。
那麼同樣道理，一個三維的物體，我們也可以先切割成許多「盤子」，將這些薄盤的 體積加總起來，得到近似的體積。
接著再取極限，讓每個盤子的厚度趨近到零。我們可以粗略地說，我們用一個一個 面，積出了體積。積分式子寫起來⻑這樣
V =
∫ b
a
A(x) dx
因此，若我們能夠分析出一個物體的「截面積函數」A(x)，便可以將體積給積出來了。截 面積函數A(x)是代表，在x= 3處，我們用一個垂直於x軸的平面與該物體相交，截出一 個面，其面積就是 A(3)。
舉一個具體的例子，我們知道錐體的體積公式，是 Ah
3 ，其中 A 是底面積而h 是高。
所以圓錐的體積便是 πr2h
3 ，那麼底圓半徑為2而高為4的圓錐，體積便是 4π
3 ，現在我們 試圖用積分來驗證它。
首先將圓錐的頂點設為原點，並且讓 x軸垂直底面。如果我們用一個個圓盤的體積 來加總，便會有近似的體積。接著再取極限後，圓盤們的厚度趨近到零，變成是用一片一 片的圓，它們面積積出圓錐體積。所以我們要設法寫出截面積函數 A(x)，這截面積函數 是我們用垂直於x軸的平面與圓錐相交，看看當x 是某值時，所相應截出的截圓面積會 是多少。而圓面積是r2π，所以我們可以先求截圓半徑函數r (x)：不同的x值所對應的截 圓半徑，於是A(x)= r2(x)π。
我們由側面往圓錐看過去，看起來是直⻆三⻆形，兩股邊分別為圓錐的底面半徑4及 高2。
1其實這只是猜測，李善蘭用詞的真正來源沒人能確定。
r(x) x
4
2 如上圖所分析，r (x)與x和圓錐側面，形成較小的
直⻆三⻆形。由於相似關係，我們可以列式 r (x)
x =2 4
再經過移項處理以後，便可得到r (x)=12x，於是截面積 函數 A(x)=14x2π。我們便可列出積分式
∫ 4
0
1
4πx2dx 這樣便可以積出 4π
3 來。
請導出球體積公式。
解
R
r(x) x
設球心為原點，半徑為 R。垂直 x軸的平面所截的截 面也是圓，因此仍然先求r (x)。根據畢氏定理，我們可知
r2(x)= R2− x2 所以 A(x)= r2(x)π =(
R2− x2)
π。於是
∫ R
−R
(R2− x2)
π dx =π
∫ R
−RR2dx− π
∫ R
−Rx2dx
=2πR3−2πR3
3 =4πR3 3 例題 8.21
金字塔高h，底面是邊⻑a 的正方形。求此金字塔體積。
解
設頂端為原點，面垂直x軸。垂直x軸的任意平面，會與金字塔截出正方形。因 此寫 A(x)= L2(x)，L(x)是所截出的正方形邊⻑。
L(x)
a x
h
若從側面看過去，一樣看起來是三⻆形。於是與前面的例子類似，利用相似關係列出 L(x)
x =a h 例題 8.22
所以可得到L(x)=ax
h ，於是 A(x)=a2x2
h2 。接著便可列出積分式
∫ h
0
a2x2
h2 dx=a2x3 3h2
¯¯¯h
0=a2h 3
若一物體的底面是在x− y 平面上的單位圓，垂直x軸的平面與此物體的 截面皆為斜邊在底面的等腰直⻆三⻆形，求此物體體積。
解
這敘述看來頗為怪異，這個物體事實上是⻑這樣
不過不知道它⻑相其實也沒關係，光靠題目敘述就已經有足夠資訊，知道該如何列式 了。在某個x值處，平面與物體的底面所截⻑度，設為L(x)。該處與物體的截面是等 腰直⻆三⻆形，所以截面積函數 A(x)=L2(x)
4 。至於L(x)也不難求出，先寫出單位圓 是 y= ±p1− x2，馬上就知道L(x)= 2p1− x2。所以列出積分式
∫ 1
−1
4(1− x2) 4 dx=
∫ 1
−11− x2dx=4 3 例題 8.23
進階題材
清代數學家李善蘭
由是，一切曲線、曲線所函面、曲面、曲 面所函體，昔之所謂無法者，今皆有法；
昔之視為至難者，今皆至易。嗚呼！算術 至此觀止矣，蔑以加矣。
9.1 三角函數的導函數
dxcsc(x)= −cot(x)csc(x)
證
sin(x) cos(h)+ sin(h)cos(x) − sin(x)
h 和⻆公式
=cos(x)· cos(x) − sin(x)(
− sin(x)) cos2(x)
=cos2(x)+ sin2(x)
cos2(x) = 1
cos2(x)= sec2(x)
已知某運動中物體的位置函數為s(t )= A sin(ωt)（A,ω為常數），求其加 速度函數並驗證
d2s
dt2+ ω2s= 0
解
速度函數
v(t )= ds
dt = Aωcos(ωt) 加速度函數
a(t )= d
dtv(t )= d2s
dt2 = −Aω2sin(ωt) 故
d2s
dt2+ ω2s= −Aω2sin(ωt) + ω2A sin(ωt) = 0 例題 9.12
9.2 連鎖規則
有些⻑得比較複雜一點的函數，譬如說sin(x2)，該怎麼求它的導函數呢？這種函數 是合成函數，我們這裡就要專門討論處理它的方式：連鎖規則 ( chain rule ) 。
定理 9.2.1
若y= f (u)及u= g(x)皆是可導函數，則合成函數y= f( g (x))
也可導，並且 d
dx [
f( g (x))]
= f′( g (x))
· g′(x)
其中 f′(g (x))的意思是：將外層的 f 求導完之後，裡面要代 g (x)，而非x。
d
dxsin(x2) 錯解 1
△
!外層cos求導後變成sin，內層x2求導後是2x，所以答案是cos(x)·(2x)。 錯解 2
△
!例題 9.21
求導外層，內層照代x2，得到cos(x2)。 解
求導外層，內層照代x2，內層x2求導後是2x，所以答案是cos(x2)·( 2x)
。
連鎖規則可以看成是：f 先對u 求導，接著u 再對x求導。這樣看就很明顯 f′裡面
該代u，也就是g (x)。若以萊布尼茲的記號，我們可以簡單地將連鎖規則視為
dy dx = dy
du· du dx
想像等號右邊是兩個分數相乘，將 du約分掉後得到等號左邊。這樣子想，連鎖規則就會 變得很好記了。當然這不是什麼嚴謹手法，但數學家已經幫我們做好嚴謹論證，早已確定 結果正確，所以我們大可放心地採用此種理解方式。
至於如果有三層函數合成在一起，像是 f(g (h(x)))，又怎麼辦呢？做數學的時候，常 常都是化繁為簡、用已知解未知。我們先看g (h(x))作是單單一個函數，先忘記它也是合 成函數，於是套連鎖規則
d
dxf ( g (h(x)) )= f′( g (h(x)) )· d
dxg (h(x))
接著再就g (h(x))本身去套連鎖規則
d
dxg (h(x)) = g′(h(x))h′(x) 再代回去，就成了
f′(g (h(x))· g′(h(x))· h(x) 若以萊布尼茲的符號，就是
dy dx = dy
dv· dv du· du
dx
連鎖規則並沒有什麼難的，同學會發生的問題主要就是沒做熟。經常外層求導完了 忘了內層也要求導，或是忘了裡面要代u= g(x)，代成x。
y=√
1+ tan(x2)，求 y′ 解
y= 1
2√
1+ tan(x2)· sec2(x2)· (2x) 例題 9.22
y= x2sin2( 2x2)
，求y′。 解
y′= 2x sin2( 2x2)
+ x2( 2 sin(
2x2)
· cos( 2x2)
·( 4x)) 例題 9.23
9.3 羅必達法則
所以原極限
xlim→0
sin(x) x = 1
請注意，上一題這樣寫，其實只是演示一次給你看而已。實際上如果在考試的時候，
是不可以這樣寫的！
這個方法需要將sin(x)求導得到 cos(x)，但我們怎麼知道 sin(x)的導函數是cos(x) 呢？就是必須使用導數的定義
hlim→0
sin(x+ h) − sin(x) h
這樣作下去，過程中就必須使用到
x→0lim sin(x)
x = 1
才有辦法得到結果是cos(x)。這樣便形成了循環論證，我們必須先知道 lim x→0
sin(x)
x = 1，才能
知道sin(x)導函數是cos(x)。然後又用sin(x)導函數是cos(x)這件事來計算出 lim x→0
sin(x) x = 1， 有如女兒把老媽生了出來。所以遇到這一題時，我們還是要乖乖地用夾擠的方法寫！
另一件須注意的事情是，請好好看清楚羅必達法則的敘述邏輯。是須先
x→alim f′(x) g′(x)= L 才能推論到
xlim→a
f (x) g (x)= L
而不是說這兩個必然會同時存在，我們不能反過來作推論。舉一例子，我們知道
x→∞lim
x+ sin(x)
x = 1
它也是不定式沒錯，但上下各自求導以後得到
xlim→∞
1+ cos(x) 1
這個極限不存在！並非1！所以原極限與上下求導後的極限，不可以說是相等，應該說後 者先存在以後，才保證前者也存在，並且兩者極限值相等。（或者同為正負無窮大）
因此，我建議在寫算式的時候，如果你使用了羅必達法則，不要純粹寫個等號，因為 原極限與上下求導以後的極限不見得相等。最好在等號上面寫個 L，表示你在這裡使用了 羅必達法則（L’Hôpital’s rule）。你只是因為上下求導以後有求出極限值，才使得你也知道 原極限值與之相等。另一個好處是，這樣寫也給閱卷者方便，知道你做了什麼事變成那 樣。要記住，給閱卷者方便就是給你自己方便！
求極限 lim x→1
x2− 1 x− 1。 解
此題為不定式，因此 例題 9.32
limx→1
3. 須上求導後的極限存在（或為無窮大），才能保證原極限也存在並且相等（或同為
以及
9.4 凹凸性、反曲點定義問題
這裡探討些有關數學定義的事。
首先針對反曲點的定義，為什麼不說左右兩側凹凸性改變就好，還要加上連續性呢？
這件事若認真考察一下各個微積分教科書，還會發現不同作者使用的定義不甚相同。有 些作者是除了兩側凹凸性改變外，還要求該點有切線。這兩種定義是不等價的，例如下 圖，函數圖形在x= 0兩側凹凸性不同，在原點連續但沒有切線。
y
x
圖 9.1: 連續，但無切線，凹凸性改變
其實很多數學定義是人為的，是我們有一些具體需要，選擇這樣子定，或是在許多不 同的定法中，去作討論、抉擇，選一個比較有好處、比較能和其它定義與性質相容的。例 如0!為什麼定為 1？因為我可以滿足1!= 1 × 0!，又可以滿足C05=0!5!5! = 1，還能相容排列 數：0個相異物排列一共0!= 1種方法，實在是舒服！
另外一例如00，此例在國內外的網路討論區都有熱烈的討論，許多人傾向讓它維持 無定義，因為由指數律00=01
01 是無定義的。又有不少人認為定義00= 1好，例如 Donald Knuth：1992 ‘Two Notes on Notation’Mathematical Association of AmericaVolume5, pp 403 - 422. 2 列舉了他認為00應該是1的理由。順帶一提，此文作者 Donald Knuth 是計 算機界的大神級人物，本文寫作所用的 LATEX 排版語言即是 Donald Knuth 於 1977 年設計 的。由於不同的定法各有其優缺點，所以00目前沒有一個公認的定義。
還有一例是負數的有理次方。高中數學教材會說有理次方的底數須為正數，所以像 是(−8)13 是沒有定義的。但是如果我們找一些計算機來嘗試，有些會顯示結果為−23，有 些為顯示為1+p3i 4，為什麼會這樣呢？其實這也同樣是依據每個人自己需求，認為如何 定法對他來說比較方便，就選擇那樣定。畢竟每個定法皆有其優缺點，於是數學家沒有去 統一定義。你會看到某些書在開頭先言明：本書規定(−8)13= −2。這部分欲深入閱讀，可 參考 Dina Tirosh and Ruhama Even:1997 ‘To Define or Not to Define: The Case of(−8)13’, Educational Studies in MathematicsVolume 33, pp 321 - 330.5
又有一例是統計中的四分位數。可參考建中繆友勇老師所寫的＜淺談百分位數＞，文 中探討了四分位數兩種定義的不同之處。在最後一頁中老師提到「統計教學是很輕鬆愉 快的，不要太斤斤計較細微數值的差距，或花費時間停留在追求絕對標準答案中。」
又有一例是統計中的四分位數。可參考建中繆友勇老師所寫的＜淺談百分位數＞，文 中探討了四分位數兩種定義的不同之處。在最後一頁中老師提到「統計教學是很輕鬆愉 快的，不要太斤斤計較細微數值的差距，或花費時間停留在追求絕對標準答案中。」