第三章 單層壓電板藍姆波波傳行為
3.2 交指叉換能器激發之藍姆波
參考圖2-3所示，壓電平板表面的交指叉換能器承受交流電壓負載，將 激發藍姆波波傳響應。由於壓電平板上下表面邊界條件不一致，位移及電
∑
=ω
−
+ ς
= 3
1
) ( 4 3
4 cos 1
j
t kx j i
jBj x e
p
u
∑
=
ω
−
+ ς
= 3
1
) ( 3 4
4
sin 1
j
t kx i j j
jD x e
p i
u (3.19)
位等場變數無法直接分為對稱波及反對稱波型式。本節分兩種模式討論，
其一為厚度模式，另一為厚度剪切模式。壓電平板上表面的電位採用前ㄧ 章所求得之級數解，當作上表面電性邊界條件的連續解，假設電位僅在
[
/2, /2]
1 Lt Lt
x ∈ − 內有值。
假設交指叉電極沿x2無限延伸，所有的場變數獨立於x2，即∂ x/∂ 2 =0。 採用一維傅立葉積分轉換表示面內波動的位移與電位如下：
dk e
k u dk
e x k u t
x x
ui 1 3 i 3 i(kx1 t) ~i( ) i(kx1 x3 t) 2
) 1 , 2 (
) 1 , ,
( +ς −ω
∞
∞
− ω
∞ −
∞
−
∫
= π∫
= π (3.20)
其中，i =1、3、4，i =4之場變數，代表電位，k、ς分別為波向量(wave vector) 在x1、x3方向之分量，其定義與 3.1.1節同。兩種模式壓電平板之邊界條件 分別如下：
(1)厚度模式：
0
3 z
x =
,
T5 = T3 =0且
u4 =φ(x1,z0) 或T5 = T3 =0
且
u4 =φ(k,z0) (3.21a) x3 = z1,
T5 =T3 =u4 =0 或 T5 =T3 =u4 =0 (3.21b) (2)厚度剪切模式：x3 = z0
T5 = T3 =0
且
u4 =φ(x1,z0)或
T5 = T3 =0
且
u4 =φ(k,z0) (3.22a) x3 =z1T5 =T3 =D3 =0 或
T5 =T3 =D3 =0 (3.22b) 在厚度模式下，將(3.20)代入(2.16)、(3.2)、(3.3)，提出~( )~ ~ ( )
4
1 k u k
u ，可
得類似(3.4)的克里斯多福方程式，對應的矩陣係數與前一節之推導相同。
各特徵值及對應之特徵向量代表部分成分的波，疊加起來即為通解，(3.20) 可改為
u x x t
{
p C e p C e}
e dk利用克拉瑪法則，求出(3.28)中的C1± ~ C3±六個係數， 的位移響應落在藍姆波極點附近，因此顯現出奇異性(singularity)。圖 3-6 所示的實線是以波數-頻率表示的藍姆波頻散曲線，頻率曲線上的每一點代 表藍姆波的極點。圖3-6 的等高線圖是根據圖3-5的表面位移響應之核函數
透視圖所繪製，後者的波數-頻率解析度較前者差，因此無法觀察到後者透 視圖的稜線。但若提高計算解析度，則圖 3-6中原本為圖3-5之等高線應與 藍姆波頻散曲線更加接近。藍姆波之激發頻率一般較低，在0至2 MHz的 頻率範圍內，圖 3-5 的結果顯示波數在 10(1/mm)以內的位移響應較大。當 頻率小於 2MHz且波數超過 10(1/mm)時，沒有其他藍姆波模態存在，位移 響應函數值也較小。
圖3-7為表面位移響應之核函數大小的灰階圖，淺色部分的值較大，深 色部分的值較小。圖中的結果顯示表面位移響應u1(k,0)對於k =0呈對稱，
) 0 ,
3(k
u 則呈反對稱，瞭解核函數特性有助於簡化波數積分之運算。
厚度剪切模式之u1(k,0)、u3(k,0)亦有上述之特性，例如圖 3-8 所示，
頻率及波數同樣取到2 MHz及 10(1/mm)。同樣，將核函數之等高線圖與頻 散曲線做一對應，如圖 3-9。圖 3-10 所示為厚度剪切模式壓電平板表面位 移響應核函數特性，由圖中可知u1(k,0)對k =0呈反對稱型式，u3(k,0)則呈 對稱型式，與厚度模式情況剛好相反。而圖3-11、圖3-12 分別為厚度模式 與厚度剪切模式藍姆波速度對波數之頻散曲線。圖3-11、圖3-12所示的前 4個模態，分別為A0、S0、A1、S1，對照圖 3-6、圖3-9，當k→0，A0模態 的相速度c→0，S0模態的c為有限值。頻率 f = kc( )/(2π)，倘若固定k，因 為cS0 >cA0，故
0
0 A
S f
f > 。此外，因為
1
1 A
S c
c > ，故
1
1 A
S f
f > 。當k →0時，若 對應之 f 為有限值，則c→∞，圖 3-11、圖 3-12 之A1、S1模態對應之頻散 曲線可以決定。
圖 3-13 所示為厚度模式壓電平板在開路與短路電性邊界條件下，計算 所得之藍姆波頻散曲線。厚度模式壓電平板表面交指叉換能器的上下表面 電性條件與短路相同，其激發之藍姆波頻散曲線(破折線)應與短路電性條件 的結果(實線)一致，交指叉換能器表面電極的電位大小影響位移響應，不影 響藍姆波極點出現的位置。圖 3-14 則為厚度剪切模式壓電平板在開路、短 路及混合電性邊界條件下，藍姆波的頻散曲線的比較。厚度剪切模式壓電 平板表面交指叉換能器的上下表面屬於混合電性邊界條件，一邊為電位受 到限制，另一邊則電位移受到限制，計算得到之頻散曲線介於開路與短路
電性條件之間，基本模態的藍姆波頻散曲線比較接近短路電性條件的結果。