第四章 數值分析與討論
4.1 壓電平板藍姆波之頻譜響應 .1 核函數特性
壓電平板表面交指叉換能器激發的藍姆波頻率響應是經由一維波數積 分計算之結果，本節探討之波數積分核函數為壓電平板表面之垂直位移 u3。由圖2-18可知節距L=1mm，IDT 激發之波數在π(1/mm)附近，與藍姆 波波數k=2π/λ一致，其中激發波長λ=2L。對應至圖 3-6、圖 3-9 所示的 厚度模式與厚度剪切模式之A0板波頻散曲線，激發頻率分別為0.8240 MHz、 0.6533 MHz。圖 4-1 所示為頻率 0.75-0.85MHz，厚度模式壓電平板表面位 移u3的核函數，圖4-2則為厚度剪切模式的表面位移核函數，兩者都是N=19 時，交指叉換能器激發的響應。該核函數之虛部數值遠小於實部，故圖中 所顯示僅為實數部分，由圖4-1 及4-2中可發現存在奇異值，且落在藍姆波 極點(Lamb poles)上，參考圖3-6、圖3-9，先後出現的兩個藍姆波極點分別 為S0及A0藍姆波。因為波數k =ω/c，在固定頻率下，S0藍姆波相速度較A0 快，故S0藍姆波極點出現在波數較小處。當觀察頻率接近激發頻率時，A0之 波數愈接近π(1/mm)，核函數的數值應為最大。在圖 4-1(i)中，k ≈0.5 (1/mm)時，還存在著另一個模態，如圖中以圓圈標示的部分，對應圖 3-6 的頻散曲線，應為A1藍姆波極值出現處。
4.1.2 波數積分
藍姆波頻域響應的波數積分之通式如下：
L T
ikx dk I I
e x k g x
x
I ω =
∫
∞ ω = +∞
−
) 1
, , ( )
, ,
( 1 3 3 (4.1)
其中，核函數g(k,x3)即為本文計算之u1(k,x3)、u3(k,x3)。波數積分之困難在 於波數之指數函數為高度振盪(oscillation)的函數，且核函數含有藍姆波的極
點(pole)，因此數值積分之精確度及效率的要求極為重要。
此處，核函數gs(k,ω)=gs(ξ,ω)，K = A2eiA1x1，X = A2x1，核函數的近似式可
error n
p m
n m n
p
J J J
ε
<
−
∑
= +
) ( 2
1 ) 1 ( )
(
(4.12)
直到達到(4.12)收斂，J之上標代表分割次數，下標代表在某次分割中所佔 之區域。此積分之優點在於，當覺得分割次數不夠需繼續分割時，原來分 割點之數值均有保留，僅需計算新的分割點即可，故可節省計算時間；但 在遠離極點處之核函數數值均較小，故可能造成浪費計算資源在遠離極點 處；總之，選擇適當之收斂誤差εerror，即可達到精準收斂的目的。
4.1.3 表面位移之頻域響應
在壓電平板表面交指叉換能器以外的場點(field point)上，位移的頻譜響 應是以波數積分計算得到。數值積分的路徑係採避點積分分式，在波數的 複數平面上，沿著正向波傳之藍姆波極點的下方ε偏量(單位為 1/mm)的路徑 進行數值積分。故ε之選定亦決定積分之準確性，若ε太小，積分路徑太靠 近極點，核函數的奇異性會造成數值計算的誤差隨之增大；若ε太大，則積 分路徑太遠離該點，亦會造成數值誤差。圖 4-5 所示數值積分結果屬於交指 叉電極數目 N=19，場點與電極原點的距離 6 倍於交指叉電極總長的半寬(即
Lt
x1 =3 )，選取不同的ε值所計算之厚度模式表面位移u3頻率響應。圖中結 果顯示ε=10−3(1/mm)與ε=10−5(1/mm)所得之頻率響應較為接近，前者較後 者平滑，後者的峰值附近呈現跳動的數值雜訊。積分路徑ε=10−10(1/mm)太 靠近藍姆波極點，導致計算不穩定，使得數值結果偏大而不正確；積分路 徑ε=10−1(1/mm)太遠離極點，導致積分結果太小而錯誤；積分路徑ε=10−3 (1/mm)的頻譜響應平滑，在轉換至時域響應時，不會出現非預期的高頻雜 訊，故避點積分路徑選偏移ε=10−3(1/mm)，進行計算。
在圖 4-5 所示的表面位移頻譜響應圖上，2 MHz 以下具有三個較大的響 應，分別出現在 0.85、1.15、1.6 MHz 附近，在此場點上觀測的時域訊號應 該會有三個明顯的模態存在。壓電平板表面交指叉換能器的節距為 1 mm，
因此交指叉換能器激發的藍姆波以波數k =π (1/mm)最為顯著。參考圖 3-6
之藍姆波頻散曲線，當k =π (1/mm)時，在頻率 0.85、1.15、1.6 MHz 附近 分別對應著Ao、So、A1藍姆波，映證圖 4-5 中較大的表面位移頻譜響應為 前述的三個藍姆波模態。
圖 4-6 所示為不同ε值計算之厚度剪切模式壓電平板表面位移u3的頻率 響應，在 0.65、1.3、1.85 MHz 附近也分別出現三個較大的響應。對照圖 3-9 所示之混合電性邊界條件下，厚度剪切模式壓電平板的藍姆波頻散曲線，
當k =π時，在上述三個頻率附近，依序出現Ao、So、A1三個模態的藍姆波。