由(3.4)可得偏振向量Ai( j)比例式
表1 符號之簡化
下 標 ij or kl
簡化後之下標 p or q
11 1 22 2 33 3 23 or 32 4
13 or 31 5 12 or 21 6
表2 PZT-5A 之材料常數
剛性係數 (GPa)
C11E C33E C12E C13E C44E
138.3 131.3 93.16 95.06 21.05 註：C66E =(C11E −C12E)/2
壓電係數 (C/m2) 介電係數 密度 (g/cm3) e 15 e 31 e 33 ε11S /ε0 ε33S /ε0
ρ
12.32 -4.019 16.58 917.2 844.4 7.75 註：真空中介電常數 ε0=8.854×10-12 F/m
表3 不同方法計算之壓電平板藍姆波相速度比較表
Phase velocity (mm µs) from simulation
Phase velocity (mm µs) from dispersion curves number of
electrodes mm/µs
A0 S0 A0 S0
Thickness mode 1.58 2.25 1.65 2.33 N=19 Thickness shear 1.62 NA 1.31 2.72
N=9 Thickness mode Thickness shear
1.56 1.53
2.25 2.81
1.65 1.31
2.33 2.72
註：NA：Not Available
圖1-1 (a) 垂直極化、(b) 水平極化壓電陶瓷平板表面 交指叉換能器及電性示意圖，(c) 交指叉電極上視圖
+ - + - + - +
-PZT-5A 1
x
x3
(a) P
+ - + - + - +
-PZT-5A 1
x
x3
P
w
Lt
L (b)
(c)
圖2-1 機電耦合基本型態
圖 2-2 兩種極化型式之 PZT 材料，P 為極化方向，
X、Y、Z 為材料主軸，＜x1x2x3＞為參考之正交座標系
x1
x3
x2
X
Z Y
P
x1
x3
x2
Z
X
Y
P
(a) (b)
Ex
Ex
Ex
Ex
S1
S2
S6
S4
x x
x x
y y
y y
z
Ex
S3
x y z
Ex
S5 x
y z
圖 2-3 (a) 厚度模式、(b) 厚度剪切模式之壓電平板表面 交指叉電極尺寸及極化方向示意圖
圖2-4 (a) 厚度模式、(b)厚度剪切模式之壓電平板電場示意圖 - + - + - +
h
- + - + - +
(a) (b)
x3 x3
x1 x1
h
x3
d33
h
x1
x3
d33
(a) (b)
L
B A
aL
Lt
Gap (N)
x1
z0
z1
20 40 60 80 100 Number of terms
0 0.0004 0.0008 0.0012 0.0016 0.002 0.0024
εallow
圖 2-5 (2.46)式允許誤差與項數之圖形
0 10 20 30 40 50 M (term)
0.48 0.5 0.52 0.54
φ(L/2,0)/Vo
圖2-6 厚度模式表面電極電位級數解累加至第 M 項的收斂情形
0 10 20 30 40 50 n (term)
-0.2 0 0.2 0.4 0.6
φn(L/2,0)/Vo
圖 2-7 厚度模式表面電極的電位級數解第 n 項級數大小之圖形
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 X1/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
圖2-8 厚度模式壓電平板的電位解析解之 (a) 三維透視圖、(b)等高線圖 (a)
(b)
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 X1/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
圖2-9 厚度模式壓電平板的電場流向圖
圖 2-10 厚度模式壓電平板電位級數解之常數Gn 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
a -2
0 2 4 6
Gn (Vo/L)
G0
G1
G2
G3
G4
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 X1/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
圖2-11 厚度剪切模式壓電平板的電位解析解之 (a) 三維透視圖、(b)等高線圖
(a)
(b)
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5 X1/L
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
-0.5 -0.25 0 0.25 0.5
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/h
x1/L x3/h
圖2-12 與圖 2-9 同，但為厚度剪切模式
圖 2-13 與圖 2-10 同，但為厚度剪切模式 G1
G2
G4 G3
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a
-1 0 1 2
Gn (Vo/L)
G0
-2 -1 0 1 2 x1/L
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8
φ(x1,0
) /Vo
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/hx3/h
x1/L
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
X1/L 0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
X3/hx3/h
x1/L
圖 2-14 厚度剪切模式壓電平板之
(a) 表面電位、(b) 電場分佈流向圖 (a)
(b)
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8 x1/L
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8
φ(x1,0
) /Vo
圖2-15 與圖 2-14(a)同，但是取前 M=30 項級數解
-8 -4 0 4 8
x1 (mm)
-0.8 -0.4 0 0.4 0.8
φ(x1,0
) /Vo
圖 2-16 有限數目交指叉電極之厚度模式壓電平板電位φ(x1,0)分佈圖
圖 2-17 厚度模式壓電平板的表面電場分量 (a) E1(x1,0)、(b) E3(x1,0)分佈圖
) mm
1( x
) mm
1 ( x
(a)
(b)
0 2 4 6 8 k (1/mm)
0 2 4 6
|φ (k,0)| (Vo)
圖2-18 厚度模式壓電平板表面電位φ(k,0)之響應
圖3-1 壓電平板上下表面之 (a)短路、(b)開路、(c)混合電性 邊界條件示意圖
圖3-2 (a)對稱、(b)反對稱藍姆波模態示意圖
h PZT-5A x1
x3
PZT-5A
(a) (b)
x1
x3
=0 φ
=0 φ
3=0 D
3 =0 D
x3
PZT-5A
(c)
x1
=0 φ
3=0 D
h h
☉
☉ ☉ x1
♁
(a) (b)
x3
x1
x3
u1
u2
u1
u1 u1
u2
u3
u3
u3
u2
u3
u2
0 2 4 6 8 k (1/mm)
0 2 4 6 8
Phase velocity (mm/µs)
圖3-3 厚度模式壓電平板藍姆波的頻散曲線，實線、虛線代表 短路、開路電性邊界條件的結果
0 2 4 6 8
k (1/mm) 0
2 4 6 8
Phase velocity(mm/µs)
圖3-4 與圖 3-3 同，但為厚度剪切模式壓電平板
圖3-5 厚度模式壓電平板表面位移響應之核函數 (a)u1(k,0,ω)、(b)u3(k,0,ω)的透視圖
(a)
(b)
圖3-6 厚度模式壓電平板藍姆波頻散曲線(實線)及表面位移響應 之核函數(a)u1(k,0,ω)、(b)u3(k,0,ω)的等高線
A0
S0
A1
S1
0 2 4 6 8 10
k (1/mm) 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frequency (MHz)
S0
S1
A0
A1
0 2 4 6 8 10
k (1/mm) 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frequency (MHz)
(b) (a)
-2 -1 0 1 2 k (1/mm)
0.5 1 1.5
Frequency (MHz)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-2 -1 0 1 2
k (1/mm) 0.5
1 1.5
Frequency (MHz)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
圖3-7 厚度模式壓電平板表面位移響應(a)u1(k,0,ω)、 (b)u3(k,0,ω)的灰階圖
(a)
(b)
圖3-8 厚度剪切模式壓電平板表面位移響應之核函數 (a)u1(k,0,ω)、(b)u3(k,0,ω)的透視圖
(a)
(b)
圖3-9 厚度剪切模式壓電平板藍姆波頻散曲線(實線)及表面位移 響應之核函數(a)u1(k,0,ω)、(b)u3(k,0,ω)的等高線
A0
S0
A1
S1
0 2 4 6 8 10
k (1/mm) 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frequency (MHz)
A0
S0
A1
S1
0 2 4 6 8 10
k (1/mm) 0
0.4 0.8 1.2 1.6 2
Frequency (MHz)
(a)
(b)
-2 -1 0 1 2 k (1/mm)
0.5 1 1.5
Frequency (MHz)
-40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20 25 30 35 40
-2 -1 0 1 2
k (1/mm) 0.5
1 1.5
Frequency (MHz)
-70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
圖3-10 厚度剪切模式壓電平板表面位移響應(a)u1(k,0,ω)、 (b)u3(k,0,ω)灰階圖
(a)
(b)
圖3-11 厚度模式壓電平板表面交指叉電極激發之藍姆波頻散曲線
圖3-12 與圖 3-11 同，但為厚度剪切模式 S0
S1
A0
A1
0 2 4 6 8
k (1/mm) 0
2 4 6 8
Phase velocity (mm/µs)
A0
S0
A1
S1
0 2 4 6 8
k (1/mm) 0
2 4 6 8
Phase velocity (mm/µs)
圖3-13 厚度模式壓電平板藍姆波頻散曲線，實線、虛線、破折線 代表短路、開路電性條件與圖3-11 的結果
圖3-14 與圖 3-13 同，但為厚度剪切模式，破折線代表圖 3-12 的結果
0 2 4 6 8
k (1/mm) 0
2 4 6 8
Phase velocity (mm/µs)
0 2 4 6 8
k (1/mm) 0
2 4 6 8
Phase velocity (mm/µs)
0 2 4 6 8 10 k (1/mm)
-8 -4 0 4 8
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
-40 -30 -20 -10 0 10 20
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
-150 -100 -50 0 50 100 150
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
圖4-1 厚度模式壓電平板藍姆波位移響應核函數u3(k,ω,0) (i) 0.85、(ii) 0.8、(iii) 0.75 MHz
(ii)
(iii) (i)
0 2 4 6 8 10 k (1/mm)
-5 0 5 10 15 20 25
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
-40 -30 -20 -10 0 10
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
-12 -8 -4 0 4 8 12
Amplitude (10e-6*mm2 *Vo)
圖4-2 同圖 4-1，但為厚度剪切模式，且(i) 0.7、(ii) 0.65、(iii) 0.6 MHz (i)
(ii)
(iii)
圖4-3 波數積分路徑圖
圖4-4 波數積分示意圖，依精度要求，由(a)至(c)細分積分區間 k1 k2 kn
k1 2 −
−k kn
−
L L
) Re(k )
Im(k
ε ε
Poles of Lamb waves
) (α1 g
2 ) (α1+α1 g
) (α2 g
α1 2
2 1+α α
α2
−1 0 1
k ξ
(a)
) 1 (
J1 J2(1) (2)
J1 J2(2)J1(2)J2(2)
(c) (b)
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 0 20 40 60 80 100
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Frequency (MHz)
0 0.01 0.02 0.03
Amplitude (nm)
圖4-5 厚度模式壓電平板於場距6l處之表面位移u3頻域響應 (i)ε=10−8、(ii)ε=10−5、(iii)ε=10−3、(iv) ε=10−1( 1/mm)
(ii)
(iii) (i)
(iv)
0 4 8 12 16 0 4 8 12 16 0 400 800 1200 1600
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2 Frequency (MHz)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
Amplitude (nm)
圖4-6 與圖 4-5 同，但為厚度剪切模式 (ii)
(i)
(iii)
(iv)
8 10 12 14 time (µs)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Amplitude (V0)
0 1 2 3 4 5
Frequency (MHz) 0
2 4 6 8 10
Amplitude (V0)
圖4-7 Hanning 函數的(a)歷時曲線、(b)頻譜 (a)
(b)
0 40 80 120 time (µs)
-1 0 1 2
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
0 40 80 120
time (µs) -1
0 1 2
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
圖4-8 厚度模式壓電平板近場表面位移u3之時域響應，
場距為l ~1.5l(l =9.5mm)
0 40 80 120 160 time (µs)
-1.6 -0.8 0 0.8
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
0 40 80 120 160
time (µs) -1.6
-0.8 0 0.8
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
圖4-9 與圖 4-8 同，但為厚度剪切模式
0 40 80 120 time (µs)
-0.8 0 0.8
Amplitude (nm)
5l 10l
15l
0 40 80 120
time (µs) -0.8
0 0.8
Amplitude (nm)
5l 10l
0 40 80 120
time (µs) -0.8
0 0.8
Amplitude (nm)
5l 10l
15l
圖4-10 厚度模式壓電平板遠場表面位移u3之時域響應，
場距為5l ~15l(l =9.5mm)
0 40 80 120 160
time (µs) -0.4
0 0.4
Amplitude (nm)
5l 10l 15l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.4
0 0.4
Amplitude (nm)
5l 10l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.4
0 0.4
Amplitude (nm)
5l 10l 15l
圖4-11 與圖 4-10 同，但為厚度剪切模式
0 40 80 120 time (µs)
-2 -1 0 1
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
0 40 80 120
time (µs) -2
-1 0 1
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
圖4-12 厚度模式壓電平板近場表面位移u3之時域響應，
場距為l ~1.5l(l =4.5mm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.8
0 0.8 1.6
Amplitude (nm)
l 1.1l 1.2l 1.3l 1.4l 1.5l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.8
0 0.8 1.6
Amplitude (nm)
圖4-13 與圖 4-12 同，但為厚度剪切模式
5l 10l 15l
0 40 80 120
time (µs) -0.8
0 0.8
Amplitude (nm)
5l 10l 15l
0 40 80 120
time (µs) -0.8
0 0.8
Amplitude (nm)
圖4-14 厚度模式壓電平板遠場表面位移u3之時域響應，
場距為5l ~15l(l =4.5mm)
5l 10l 15l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.4
0 0.4
Amplitude (nm)
5l 10l 15l
0 40 80 120 160
time (µs) -0.4
0 0.4
Amplitude (nm)
圖4-15 與圖 4-14 同，但為厚度剪切模式
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a
0.3 0.4 0.5 0.6 0.7
Amplitude (nm)
圖4-16 厚度模式壓電平板時域響應振幅與電極寬度之關係(場距10l)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 a
0.2 0.3 0.4 0.5
Amplitude (nm)
圖4-17 與圖4-16 同，但為厚度剪切模式