作圖問題之步驟

1^◦ 定義域^Df =?

2^◦ 對稱性、 週期性與連續性^;

• 對稱性 ^: 若 ^f 為偶函數^{, (}即 ^{f (}−x) = f(x), ∀ x ∈ Df), 則其圖形對稱於 ^Y 軸^. 若 ^f 為奇函數^{, (}即^{f (}−x) = −f(x), ∀ x ∈ Df), 則其圖形對稱於原點^. 具對稱性 之函數只需先繪出一半^, 其餘部分則複製之^.

• 週期性 ^: 若存在一正數^p 使得 f (x + p) = f (x), 則稱 ^p 為 ^f 之一週期 ^(period).

具週期性之函數只需先繪出一週期之部分^,其餘部分只需複製之^.

• 連續性 ^: 用以了解函數是否有斷點^. 3^◦ 漸近線^:

• 垂直漸近線 ^: 若 ^lim

x→p|f(x)| = +∞, 則稱直線 ^{x = p} 為 ^f 圖形之垂直漸近線 (vertical asymptote). (參閱圖 ^{4–15 ).}

圖^{4–15 :} 垂直漸近線

4.4 作圖 ¹⁶⁶

• 非垂直漸近線 ^: 我們稱直線 ^{y = mx + b} 為 ^f 圖形之非垂直漸近線 (non-vertical asymptote), 若其滿足

x→±∞lim (f (x)− (mx + b)) = 0. ^† 其中

m = lim

x→±∞

f (x)

x , b = lim

x→±∞(f (x)− mx).

因為

y = mx + b 為^f之非垂直漸近線

⇔def lim

x→±∞(f (x)− mx − b) = 0

⇔ b = lim

x→±∞(f (x)− mx)

⇒ lim

x→±∞

(f (x) x − m)

= lim

x→±∞

1

x(f (x)− mx) = 0

⇒ m = lim

x→±∞

f (x) x .

圖^{4–15 :} 非垂直漸近線

4^◦ 求一、 二階導數、 臨界點集及 ^Zf^′′ ;

5^◦ 製表 ^: 繪製一表以顯示函數在某區間之單調性及彎向^, 並由其中觀察極值點及反曲點等^. 6^◦ 繪圖 ^:利用上述討論將函數之圖形予以描繪^.

例^1. 試討論並作函數 f (x) = x + 1

x 之圖形^. 解 ^1◦ 顯然 ^Df =R^∗.

2^◦ 對稱性^. 因^{f (}−x) = −f(x), 故^f 之圖形對稱於原點^. 3^◦ 連續性^. 函數 ^x 及^1/x顯然均為連續^, 故^f 亦為連續函數^.

† lim

x→±∞ 係指 ^lim

x→+∞ 或 ^lim

x→−∞ 二者之一成立即可^.

4.4 作圖 ¹⁶⁷ 4^◦ 漸近線^. 由

lim

x→0⁺f (x) = +∞, lim

x→0⁻f (x) =−∞, 說明 ^Y 軸為 ^f 圖形之垂直漸近線^. 又^, 因

m = lim

x→±∞

f (x)

x = lim

x→±∞1 + 1 x² = 1, b = lim

x→±∞(f (x)− mx) = 0, 知 y = mx + b = x為 ^f 圖形之非垂直漸近線^. 5^◦ 求一、 二階導數及 ^Zf^′, Z_f′′. 由於 ∀ x ̸= 0,

f (x) = x + 1

x, f^′(x) = 1− 1

x², f^′′(x) = 2x⁻³.

是以方程式 ^{f′(x) = 0} 之解集合為{−1, 1}. 其次^,∀ x ∈ Df, f^′′(x)̸= 0.

6^◦ 製表及作圖 ^:

x −1 0 1

f (x) − +

f^′(x) + 0 − − 0 +

f^′′(x) − +

說 明 ↗ max ↘ ↘ min ↗

⌢ ⌣

圖形如下 ^:

圖^4–17 

4.4 作圖 ¹⁶⁸

4.4 作圖 ¹⁶⁹

4.5 近似函數值 ¹⁷⁰ 5^◦ 其圖形如下 ^:

圖^4–19 

§ 4.5 近似函數值

第一節定理 ^4.7 說明^, 利用 ^Taylor 定理可求得某函數於一點之優良近似多項式^. 在此我們

將利用^Taylor 定理以求函數值之近似值^.

設函數^f 於^Nδ(p) 為 ⁿ 階可微^, 則∀ x ∈ N_δ^∗(p), ∃ c ∈ (p, x) 或^{(x, p)} 使得 f (x) = f (p) + f^′(p)(x− p) + f^′′(p)

2! (x− p)² +· · · +f⁽ⁿ⁻¹⁾(p)

(n− 1)! (x− p)ⁿ⁻¹+f⁽ⁿ⁾(c)

n! (x− p)ⁿ.

= P_n−1(x) + R_n(x).

本來我們稱 ^Pn−1(x) 為^f 在點 ^p 之 ⁽ⁿ− 1) 次^Taylor 多項式^,而稱 ^Rn(x)為 ⁿ 階餘項^. 但 應用於近似值時^, 我們視^Pn−1(x) 為^{f (x)} 之一近似值^, 而視 ^Rn(x) 為其誤差^.

例^1. 試求 ^e 之近似值使誤差之絕對值小於 ^10−6.

解 由本章第一節例一知^{, exp}之 ^Maclaurin展開式為 exp x = 1 + x + x²

2! +· · · + xⁿ⁻¹

(n− 1)! + e^c

n!xⁿ. ⃝¹

其中 ^x∈ R^∗, c 介於 ⁰與 ^x 之間^.

1^◦ 先證 ^{: e < 3 ‡.} ⃝1 式中令 x = 1, n = 3, 則 e = exp 1 = 1 + 1 + 1

2!+e^c 3! ,

‡ 此乃第三章第四節之例¹ 所欲證之結果 : 2 < e < 3.

4.5 近似函數值 ¹⁷¹

4.6 牛頓迭代法 ¹⁷²

§ 4.6 牛頓迭代法

由於電子計算機能以高速處理重複迭代計算工作^, 在求解可微分函數方程式之問題^,牛頓迭 代法乃為最方便而有效的求近似值之方法^.

設^{f : I} → R為一可微分函數^,其中 ^I 為一區間^,吾人欲求方程式 ^{f (x) = 0}之近似根^. 首 先^, 若 ^{f (a)}· f(b) < 0, 由 ^Bolzano 定理知存在 ^r ∈ (a, b) 使得 ^{f (r) = 0,} 換言之^{, (a, b)} 之內 必有方程式之一根^. 在區間^{(a, b)} 內取 ^r 附近之點 ^x1, 並於曲線^f 上過點^(x1, f (x₁)) 做切線^, 交^X 軸於點 ^x2,顯然有

x₂ = x₁− f (x₁) f^′(x₁).

圖 ^4–20

其次過點 ^(x2, f (x₂)) 做切線^,得 ^x3, 如此繼續下去得 ^x4, x₅, · · · , 如果 ^x1 離^r 甚近^, 則 這些點將越來越接近 ^r, 如圖 ^4–20 所示^.

若欲解方程式 ^{f (x) = 0} 之一近似根至小數第 ^k 位^. 1^◦ 先求 ^{f′(x) ;}

2^◦ 令^{g(x) = x}− f (x) f^′(x) ;

3^◦ 利用 ^Bolzano 定理或繪圖法^, 估計欲求之根 ^r 的大略位置^, 令之為 ^x1.其次求

x2 = g(x1), 至小數 ^{k + 1} 位^, x₃ = g(x₂), 至小數 ^{k + 1} 位^,

...

x_n+1= g(x_n), 至小數 ^{k + 1} 位^, 直至 ^xn+1 與 ^xn 之前 ^{k + 1} 位小數相同時停止^.

4.6 牛頓迭代法 ¹⁷³ 4^◦ 由上述^xn 以四捨五入法求出^k 位小數之近似值^{s .}

5^◦ 驗算^: 令^{ϵ = 10−k/2,} 若^{f (s + ϵ)} 與^{f (s}− ϵ)異號^, 則 ^s 確為吾人所需^. 理由為 s− ϵ < r < s + ϵ ⇔ −ϵ < r − s < ϵ ⇔ |r − s| < ϵ = 10^−k

2 .

牛頓迭代法並非萬靈^,如果起始點 ^x1 設定不當^, 可能導致序列 {x1, x₂, . . .} 不為收斂^, 因 此我們需要一些理論以支持牛頓迭代法之有效執行^.

定理 ^{4.17 [}牛頓迭代法 (Newton’s iteration) ] 設

( i ) r 為方程式 ^{f (x) = 0} 之一解^, (ii) f^′(r)̸= 0,

(iii) f^′′ 於點 ^r 為連續^,

則 ∀ϵ ∈ (0, 1), ∃ δ > 0, 使得 ∀ n ∈ N, |xn− r| ≤ 2ϵⁿ⁻¹δ. 其中 x₁ ∈ (r − δ, r + δ), xn+1= x_n− f (x_n)

f^′(xn).

證 參見附錄六^. 

註^: 本定理說明^: 在定理之三前提下^,由牛頓迭代法所得之序列{xn}n必將收斂於^{f (x) = 0} 之根 ^{r, (}有關序列及收斂觀念可參閱第八章第一節^).

例^1. 試以 ^Newton 迭代法求方程式x sin x + cos x = 0 之最小正根之近似值至第四位小數^.

解 令 f (x) = x sin x + cos x. 在未開始解題之前^, 我們先看看所求之根 ^r 之大略位置^, 由 於^f 之圖形不易繪出^,而 ^x∈ {kπ | k ∈ N}顯然不是方程式之一解^, 故

x sin x + cos x = 0 ⇔ x = − cot x,

是以所求之解為曲線 ^{y =} − cot x 與 ^{y = x} 最接近原點之交點的 ^x 坐標^. 從圖 ^4–21 中 我們可以看出^{, r < π} 且在 ^π 附近^.

1^◦ 首先^{, f} 之導數為 ^{: f′}(x) = sin x + x cos x− sin x = x cos x.

2^◦ 令 ^{g(x) = x}− f (x)

f^′(x) = x−x sin x + cos x

x cos x = x− tan x − 1 x .

4.6 牛頓迭代法 ¹⁷⁴ 3^◦ 令 ^x1 = 3 (參見圖 ^{4–21 ),} 利用計算

器或電腦可求得

x₂ = g(x₁) = 2.80921, x₃ = g(x₂) = 2.79843, x₄ = g(x₃) = 2.79839, x5 = g(x4) = 2.79839,

停止^, 因 ^x4 與 ^x5 之前 ⁵ 位小數相 同^.

4^◦ 上述 ^x5 之小數第五位四捨五入得 s = 2.7984 .

5^◦ 驗算 ^: 因

{f (2.79835) = 9.499· 10⁻⁵ > 0,

f (2.79845) =−0.0001685 < 0, 故知 ^{s = 2.7984} 為 ^r 之四位小數之

近似值^.  圖 ^4–21

例^2. 設曲線 ^{y = sin x} 與^{y = exp(}−x) 於最接近原點之交點為 ^(x0, y₀). 試求 ^x0 之近似值至 小數五位^.

解 二曲線 ^{y = sin x} 及^{y = exp(}−x)之圖形如圖 ^4–22.

圖 ^4–22 1^◦ 設f (x) = sin x− e^−x,則 ^f′(x) = cos x + e^−x . 2^◦ 令

g(x) = x− f (x)

f^′(x) = x− sin x− e^−x cos x + e^−x.

4.6 牛頓迭代法 ¹⁷⁵ 3^◦ 由圖中我們可看出^{sin x = e−x} 之最小正根 ^x0 應在 ⁰ 與¹ 之間^,取 ^x1 = 0.5, 則

x2 = g(x1) = 0.585644, x₃ = g(x₂) = 0.588529, x₄ = g(x₃) = 0.588533, x5 = g(x4) = 0.588533, 4^◦ 上述 ^x5 之小數第六位四捨五入得 s = 0.58853 .

5^◦ 驗算 ^: 因f (0.588525) < 0, f (0.588535) > 0,故知 ^x0 之近似值為 ^0.58853. 

利用^Newton迭代法以求某方程式之近似根值^,在選擇起始近似值^x1 宜小心處理^, 否則可

能造成{x1, x₂, x₃,· · · , xn,· · · } 不會收斂或收斂於其他根值^. 以下我們舉一個範例以說明之^. 例^3. 設 ^{f (x) = 4x}

x²+ 3,顯然 ^{r = 0} 為方程式 ^{f (x) = 0} 之唯一根^. 令

g(x) = x− f (x)

f^′(x) = x−

4x x²+ 3 4(x²+ 3)− 8x²

(x²+ 3)²

= x−x(x²+ 3) 3− x² .

(1) 若取 ^x1 = 1, 則

x₂ = g(x₁) = −1, x₃ = g(x₂) = 1, x₄ = g(x₃) = −1,

...

x_n = g(x_n−1) = (−1)ⁿ⁺¹,

顯然不會有結果^{, (}參見圖 ^{4–23 ).} 圖 ^4–23 (2) 若取 ^x1 = 1.1, 則

x₂ = g(x₁) = −1.4872, x₃ = g(x₂) = 8.3437, x₄ = g(x₃) = 17.838, 顯然 ^xn 離開真正之根 ⁰越來越遠^{, (}參見圖^{4–24 ).}

圖 ^4–24

4.7 不定型之極限 ¹⁷⁶ 足^. 原創始人 Johann Bernoulli 係Guillaume de l’Hospital 之老師^.

定理 ^4.18 [ l’Hospital 規則 I (l’Hospital’s rule I) ]

4.7 不定型之極限 ¹⁷⁷

4.7 不定型之極限 ¹⁷⁸

定理 ^4.20 [ l’Hospital 規則 II (l’Hospital’s rule II) ] 若

4.7 不定型之極限 ¹⁷⁹

4.7 不定型之極限 ¹⁸⁰

4.7 不定型之極限 ¹⁸¹

4.7 不定型之極限 ¹⁸²

4.7 不定型之極限 ¹⁸³

第四章習題 ¹⁸⁴

第 四 章 習 題

在文檔中 陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學 (頁 165-184)