§ 1.2 準備工作
當我們討論極限 lim
x→pf (x) = l 之前, 我們第一步工作是討論 Df 是否為一區間? p 是否為 Df 內之一點 ? 由上一節之範例中,
f : R∗ → R : f(x) = sin x x ,
Df =R∗ 並非一區間, 而x 所趨近之點 0 並不屬於 f 之定義域. 這是否意味點 p 與Df 完全 無關呢? 當然這也不行, 如果有人問
limx→2
√1− x2 =?
我們發現函數之定義域為 [−1, 1], 其內之 x 不可能趨近於 2, 此一極限毫無意義, 因此 p 必須 是定義域中 的 x 『能夠趨近』 之點, 這是討論極限的先決條件, 以下是一些準備工作, 初學者或 許會感到有點繁瑣, 但是省了它, 許多觀念便不易討論.
定義 1.1
設 p∈ R, ϵ > 0, 則集合 Nϵ(p) =
def{x ∈ R |x− p| < ϵ} = (p − ϵ, p + ϵ) 稱為 p 之ϵ 鄰近 (ϵ-neighborhood). 而集合 Nϵ∗(p) =
def Nϵ(p)\ {p} 稱為 p之 ϵ去心 鄰近 (deleted ϵ-neighborhood) . (參見圖 1–2).
圖1–2 註: 提醒讀者 :
x∈ Nϵ(p) ⇔ |x − p| < ϵ;
x∈ Nϵ∗(p) ⇔ 0 < |x − p| < ϵ.
1.2 準備工作 28
1.3 極限之定義 29
4◦ 其餘之點顯然非 A 之聚點.
例3. 設A =Q, 則A′ =R, (讀者自證之).
定義 1.3
設 A⊂ R, p ∈ R, 我們稱p 為 A 之一內點 (interior point), 如果 存在 δ > 0 使得 Nδ(p)⊂ A.
我們以 A◦ 表A 之所有內點所成之集合, 稱為 A 之內部(interior).
例4. 設A = [0, 1], 則A = (0, 1).◦ 例5. 設A = [0, 1]\ Q, 則A =◦ ∅.
§ 1.3 極限之定義
有了有關 『聚點』 之概念, 以下我們介紹 Cauchy-Weierstrass 極限之定義.
定義 1.4
設函數 f : Df → R, p ∈ (Df)′, 我們稱 f 在點 p 之極限 (limit) 為 l, 並表為
xlim→pf (x) = l ∗,如果
∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x)(
x∈ Nδ∗(p)∩ Df ⇒ f(x) ∈ Nϵ(l)) , 亦即
∀ ϵ > 0, ∃ δ > 0, (∀ x ∈ Df)(
0 <|x − p| < δ ⇒ |f(x) − l| < ϵ) .
如何由給定之正數 ϵ, 找到合用之 δ 是利用定義以推導極限之不二法門. 由圖 1–3 讀者可 能誤以為區間(l− ϵ, l + ϵ) 之 f 像原就是區間 (p− δ, p + δ). 不錯, 這是解題思考的方向, 但 未必如此, 以下我們將舉一些範例以說明如何找到δ.
∗ 定理 1.5 我們將證明極限之唯一性, 故吾人可用“等號”來表示極限值. 今後我們稱 f 在 點p 之極限存在,如果存在 l∈ R 使得 lim
x→pf (x) = l.
1.3 極限之定義 30
圖1–3
例1. 設常數函數f : R → R : f(x) = c,試利用 ϵ-δ 方法證明 lim
x→pf (x) = c, 其中 p 為任一實 數.
證 往證 :
∀ ϵ > 0, ∃δ > 0, (∀ x ∈ R)(
0 <|x − p| < δ ⇒ |f(x) − c| < ϵ) .
由於 |f(x) − c| < ϵ 為一恆真陳述, 故任何正數 δ 皆使上述表式為真.
註: 或許有人覺得本例十分簡單,可以加以省略,但稍後許多定理及範例皆需用到, 故特別 予以介紹.此外,讀者亦應注意: 本例之δ可為任意正數, 而在以後各例及習題中皆非 如此, δ 常與 ϵ 有關.
例2. 試利用ϵ-δ 方法以求 lim
x→2x =?
解 令f (x) = x, 由觀察猜測極限可能為2 (參閱圖1–4), 故往證 :
∀ ϵ > 0, ∃δ > 0, (∀ x ∈ Df)(
0 <|x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 2| < ϵ) . 對於 ϵ > 0, 由
|f(x) − 2| < ϵ ⇔ |x − 2| < ϵ
⇐ 0 < |x − 2| < δ, (令δ = ϵ) 知 lim
x→2x = 2.
1.3 極限之定義 31
圖1–4
由給定之正數 ϵ, 以逆推方法以求 δ, 通常有平行法及分解法二種, 我們將在下例中予以介 紹.
例3. 試利用ϵ-δ 方法以求 lim
x→2x3 =?
圖1–5 解 令f (x) = x3, 往證:
∀ ϵ > 0, ∃δ > 0, (∀ x ∈ Df)(
0 <|x − 2| < δ ⇒ |f(x) − 8| < ϵ) .
1.3 極限之定義 32 法一 : 平行法 (或像原法, 參見圖1–5 ).
|x3− 8| < ϵ ⇔ −ϵ < x3− 8 < ϵ
⇔ 8 − ϵ < x3 < 8 + ϵ
⇔ (8 − ϵ)1/3 < x < (8 + ϵ)1/3
⇔ (8 − ϵ)1/3− 2 < x − 2 < (8 + ϵ)1/3− 2
⇐ |x − 2| < min{|(8 − ϵ)1/3− 2|, (8 + ϵ)1/3− 2}, (習題 0-8 )
⇐ 0 < |x − 2| < δ,
(令δ = min{|(8 − ϵ)1/3− 2|, (8 + ϵ)1/3− 2}. ) 法二 : 分解法.
|x3− 8| < ϵ ⇔ |(x − 2)(x2+ 2x + 4)| < ϵ
⇐ |x − 2| < ϵ/19 ∧ |x2+ 2x + 4| < 19
⇐ |x − 2| < ϵ/19 ∧ |x − 2| < 1, [⋆]
⇐ |x − 2| < min{ϵ/19, 1}
⇐ 0 < |x − 2| < δ, (令 δ = min{ϵ/19, 1} )
[⋆] |x − 2| < 1 ⇔ 1 < x < 3
⇒ (1 < x2 < 9 , 2 < 2x < 6)
⇒ 7 < x2 + 2x + 4 < 19.
例4. 設f (x) = x1/n, 試利用ϵ-δ 方法證明 : lim
x→pf (x) = p1/n, 其中 p∈ Df, n∈ N.
解 若n 為奇數,則 Df =R; 若n 為偶數, 則Df = [0, +∞), 又當 n 為偶數時, p = 0 及
p > 0 二情況之證明略有不同, 因此本題之證明應分以下三種情況 :
( i ) n為偶數且 p > 0;
(ii) n為偶數且 p = 0;
(iii) n為奇數 (不必分p = 0 及 p̸= 0 ).
我們只證 (i), 其餘二者讀者可仿之自證. 1◦ 若 0 < ϵ < p1/n,
|x1/n − p1/n| < ϵ ⇐ p1/n− ϵ < x1/n < p1/n+ ϵ
⇐ (p1/n− ϵ)n< x < (p1/n+ ϵ)n, (參閱圖1–6 )
⇐ (p1/n− ϵ)n− p < x − p < (p1/n + ϵ)n− p
⇐ |x − p| < min{|(p1/n− ϵ)n− p|, (p1/n+ ϵ)n− p}
⇐ 0 < |x − p| < δ,
(令 δ = min{|(p1/n− ϵ)n− p|, (p1/n + ϵ)n− p} ).
1.4 常用之極限定理 33
圖1–6 2◦ 若 ϵ≥ p1/n,只需取 ϵ0 = p1/n
2 所對應之 δ0 即可. 因為由1◦ 知, 0 <|x − p| < δ0 ⇒ |x1/n− p1/n| < ϵ0 = p1/n
2 < ϵ.
註: 1. 上述證明中, 若不分為 1◦ 及2◦, 當 ϵ > p1/n 時, 1◦ 之第四個逆推 “ ⇐ ” 不真, 反例 : 設n = 2, p = 1, ϵ = 4, 則(p1/n− ϵ)n− p = (1 − 4)2− 1 = 8 不為負. 2. 有些人質疑 √x 在點 0 只有右極限,而無左極限, 因此極限不存在, 其實, 在定義
極限之時, 我們已明白規定, 變數 x 所趨近之點 p 不必為定義域之內點, 只需為 定義域之 『聚點』 即可, 因此, lim
x→0
√x = 0 完全符合定義.
§ 1.4 常用之極限定理
上節中我們舉了一些範例, 發現利用極限定義 ϵ-δ 方法, 以求極限是件十分辛苦的事, 解決 之道是先證明一些定理,然後再以之解決極限之問題. 以下各定理,如無特別聲明, p必須為 『結 論中』 之函數的定義域之一聚點.
定理 1.5 (極限之唯一性)
若一函數在某一點之極限存在,則其必為唯一.
證 假設 f 於點 p 有二相異極限l1 及l2, 設l1 < l2. 次令 ϵ = 12(l2− l1), 因l1 為f 在點 p之極限, 故存在δ1 > 0, 使得
∀ x ∈ Nδ∗1(p) ⇒ |f(x) − l1| < ϵ ⇒ f(x) < l1 + ϵ. ⃝1 又因 l2 為f 在點 p之極限, 故存在δ2 > 0, 使得
∀ x ∈ Nδ∗2(p) ⇒ |f(x) − l2| < ϵ ⇒ l2− ϵ < f(x). ⃝2
1.4 常用之極限定理 34
1.4 常用之極限定理 35 定義 1.7
設f 為一函數, 我們稱f 為有界(bounded) , 如果f 之值域為有界. 其次, 設點
p∈ Df ∪ (Df)′. 我們稱 f 在點 p 為局部有界 (locally bounded), 如果存在點 p 之 一鄰近 N (p) 使得 f (Df ∩ N(p)) 為有界.
局部有界觀念一如字面上之意義,函數 f 在點p 之 『局部』(即於點p 之某一鄰近)為一有 界函數. 顯然一有界函數於任意點 p∈ Df ∪ (Df)′ 必為局部有界,但其逆不真, 反例如下 : 例2. 函數f : R → R : f(x) = x之值域為 R,故不為一有
界函數. 但 f 在任意點 p 顯然皆為局部有界.
例3. 函數 f : R∗ → R : f(x) = 1
x 在任意點 p ̸= 0 皆為 局部有界, 但在點 0 則不為局部有界. 此外 f 之值域 為R∗, 故知 f 亦不為一有界函數.
圖1–7 定理 1.8 (趨零定理)
設f 與g 為二函數,點p為Df∩Dg 之一聚點. f 在點p為局部有界且lim
x→pg(x) = 0, 則 lim
x→p(f g)(x) = 0.
證 1◦ 因 f 在點 p 為局部有界,故存在 δ1 > 0, M > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗1(p) ⇒ |f(x)| < M.
2◦ 因 lim
x→pg(x) = 0, 故對於ϵ/M > 0, 必存在 δ2 > 0 使得
∀ x ∈ Dg∩ Nδ∗2(p) ⇒ |g(x)| < ϵ/M.
3◦ 取 Nδ∗(p) = Nδ∗
1(p)∩ Nδ∗2(p), 則有
∀ x ∈ Df ∩ Dg ∩ Nδ∗(p) ⇒
{x∈ Df ∩ Nδ∗1(p) 且 x∈ Dg∩ Nδ∗2(p)
⇒
|f(x)| < M 且
|g(x)| < ϵ M
⇒ |f(x)g(x)| < ϵ.
1.4 常用之極限定理 36 此即證得 lim
x→p(f g)(x) = 0.
定理 1.9 (函數積之極限定理)
設 f 與 g 為二函數, 點 p 為 Df ∩ Dg 之一聚點. lim
x→pf (x) = a, lim
x→pg(x) = b, 則
xlim→p(f g)(x) = ab.
證 1◦ 先證 : f 與 g 在點 p 皆為局部有界. 設 ϵ = 1, 因 lim
x→pf (x) = a, 是以存在 δ > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − a| < ϵ = 1
⇒ a − 1 < f(x) < a + 1, 故知 f (Df ∩ Nδ(p)) 為有界. g 在點 p之局部有界性同理. 2◦ 利用函數和之極限定理 :
xlim→pf (x)g(x) = lim
x→p
[
(f (x)− a)(g(x) − b) + a(g(x) − b) + b(f(x) − a) + ab]
= lim
x→p(f (x)− a)(g(x) − b) + lim
x→pa(g(x)− b) + lim
x→pb(f (x)− a) + ab
= 0 + 0 + 0 + ab = ab, [⋆]
[⋆] 因 lim
x→p(f (x)− a) = 0, 而由 1◦ 知函數g− b 在點 p 為局部有界, 故
x→plim(f (x)− a)(g(x) − b) = 0;
第二、 三項同理.
定理 1.10 (線性性質)
設 f 與 g 為二函數, 點 p 為 Df ∩ Dg 之一聚點, α, β ∈ R. 若 lim
x→pf (x), lim
x→pg(x) 皆存在, 則
xlim→p(αf (x) + βg(x)) = α lim
x→pf (x) + β lim
x→pg(x).
證 利用定理 1.6 及 1.9 立即可得.
1.4 常用之極限定理 37 定理 1.11 [保號定理 (sign-preserving theorem) ]
設 lim
x→pf (x) = l̸= 0,
(1) 若l > 0, 則存在點 p 之一去心鄰近 N∗(p) 使得
∀ x ∈ N∗(p)∩ Df ⇒ f(x) > l 2. (2) 若l < 0, 則存在點 p 之一去心鄰近 N∗(p) 使得
∀ x ∈ N∗(p)∩ Df ⇒ f(x) < l 2. 證 (1) (參閱圖 1–8 ),設 ϵ = l
2, 因 lim
x→pf (x) = l, 是以存在 δ > 0使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗(p) ⇒ |f(x) − l| < ϵ
⇒ l − ϵ < f(x) < l + ϵ
⇒ l
2 < f (x).
圖1–8 (2) 仿 (1), 令ϵ = |l|
2 =− l
2 即可證得.
本定理之所以稱為 『保號』 定理乃是由於其結論可知 : 若極限值 l 為正時, 則靠近 p 之點 x 之函數值 f (x) 皆為正,二者同號,如圖 1–8 所示. l 為負時亦同理.
定理 1.12 (函數商之極限定理)
設 f 與g 為二函數, 點p 為 Df ∩ Dg\ Zg 之一聚點. 若 lim
x→pf (x) = a,
xlim→pg(x) = b̸= 0, 則 lim
x→p
f (x) g(x) = a
b.
1.4 常用之極限定理 38
定理 1.13 [保序定理 (order-preserving theorem) ] 設
1.4 常用之極限定理 39 註: 如果事前已知極限 lim
x→pf (x) 及 lim
x→pg(x) 皆存在時, 本定理之結論方為有效. 例如 : f : R∗ → R : f(x) = sin1
x , 則以下之推論是錯誤的:
(∀ x ∈ Df, f (x)≤ 1) ⇒ ( lim
x→0f (x)≤ lim
x→01 = 1 ).
稍後我們將證明 lim
x→0f (x) 並不存在, (參見例6 及圖 1–12. ) 定理 1.14 [三明治原理或夾擠定理 (sandwich principle) ]
設
(1) lim
x→pf (x) = lim
x→ph(x) = l, (2) 點p 為 Dg 之一聚點,
(3) 存在 p 之一去心鄰近 Nδ∗(p) 使得 ∀ x ∈ Nδ∗(p)∩ Dg, f (x)≤ g(x) ≤ h(x), 則 lim
x→pg(x) = l.
圖1–9 證 對於 ϵ > 0,
1◦ 因 lim
x→pf (x) = l, 知存在 δ′ > 0 使得
∀ x ∈ Df ∩ Nδ∗′(p) ⇒ l − ϵ < f(x) < l + ϵ. ⃝1
1.4 常用之極限定理 40
1.4 常用之極限定理 41 定理 1.16 (制限之極限)
設 lim
x→pf (x) = l, 若p 為 A 之一聚點且A⊂ Df, 則 lim
x→pf|A(x) = l.
註: 設函數f : Df → B, A為Df 之非空子集,則函數g : A→ B : g(x) = f(x), 稱為f 在A 上之制限 (restriction), 並寫為f|A. (參見圖1–11).
證
xlim→pf (x) = l ⇒ ∀ ϵ > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ Nδ∗(p)∩ Df ⇒ |f(x) − l| < ϵ
⇒ ∀ ϵ > 0, ∃δ > 0, ∀ x ∈ Nδ∗(p)∩ A ⇒ f|A(x)− l < ϵ
⇒ lim
x→pf|A(x) = l.
圖 1–11
註: 本定理之主要用途: 用以證明極限不存在. 對於一函數 f , 若存在 Df 之二子集 A 與 B 且p∈ A′∩ B′,使得
limx→pf|A(x)̸= lim
x→pf|B(x), 則由本定理知 lim
x→pf (x) 不存在.
例6. 試求 lim
x→0sin1 x =?
解 設
f : R∗ → R : f(x) = sin1
x, (參見圖 1–12 ) A =
{ 1 π
2 + 2kπ
k ∈ Z+
} , B =
{ 1 kπ
k∈ N
} ,
1.4 常用之極限定理 42
圖 1–12 則
∀ x ∈ A ⇒ 1 x ∈{π
2 + 2kπ k ∈ Z+}
⇒ sin 1 x = 1;
∀ x ∈ B ⇒ 1
x ∈ {kπ | k ∈ N} ⇒ sin 1 x = 0;
0∈ A′ 且0∈ B′; 故
xlim→0f|A(x) = lim
x→01 = 1; lim
x→0f|B(x) = lim
x→00 = 0,
二者不等, 是以 f 在點 0 之極限不存在. 註: 證明一極限不存在時,我們常使用上述方法, 讀者是否發現集合 A 與 B 皆非區間,如
果在界定極限時, 我們規定: (i)定義域須為一區間且(ii) 『被趨近之點』 p必須為定義 域內之一點, 則本例之解法完全不能使用,這也是我們界定極限時,僅要求p為定義域 之一聚點的原因.
定義 1.17
設 A = {x ∈ Df | x > p}, 若 lim
x→pf|A(x) 存在, 則稱其為 f 在點 p 之右極限 (right-hand limit) 並記為 lim
x→p+f (x) 或 f (p+). 同理可界定左極限.
讀者在高中時已學過 『極限存在之充要條件為左右極限存在且相等』, 這還不夠用, 我們以 下介紹一個功能更強的定理,它不僅僅考慮從左右兩方分別趨近目的點 p .
定理 1.18
設f 為一函數,若集合A與B 為Df 之子集, A∪B = Df, p ∈ A′∩B′,則lim
x→pf (x) 存在之充要條件為
xlim→pf|A(x)與 lim
x→pf|B(x) 均存在且相等. 此時, 上述三極限皆相等.