求解極值問題之步驟

(1) 先瞭解題目是屬於計算題或是應用題^. 如果是應用題必須先將題意轉換成計算題^,也就是 將所考慮的^“值^”表為^“某變數^”之函數^. 這是解應用題最重要的關鍵^.

(2) 求出臨界點集 ^Zf^′ ∪ (Df \D^◦f)∪ Sf. (3) 討論上述聯集之點有無極值^:

4.2 極值 ¹⁵⁸ 法一 ^: 繪表^.

法二 ^: 如果題目只要求解出最大值與最小值^, 且已知 ^f 連續於緊緻區間 ^Df 上^, 利用第 一章之極值定理^,比較 臨界點集 內各點函數值之大小^.

法三 ^: 利用二階以上導數^{, (}即本節之各定理^).

法四 ^: 利用配方法或不等式⁽如算幾不等式、 ^Cauchy 不等式等^).

例^1. 試求函數 ^{f :} R → R : f(x) = sin x − x + x³

3! 之極值^. 解 ^1◦ 先證 ^: 函數 ^{ϕ :} R → R : ϕ(x) = cos x − 1 + x²

2 僅於點 ⁰ 有最小值 ^0. 因為

∀ x > 0, x > sin x, (見第三章第二節^),所以

ϕ^′(x) =− sin x + x







< 0, 若^{x < 0,}

= 0, 若^{x = 0,}

> 0, 若^{x > 0,}

故知 ^ϕ 僅於點 ⁰ 有最小值 ^0.[ 註 ^: 我們省略了繪表^, 由上述 ^ϕ′ 之結果知^{, ϕ} 在區 間 ⁽−∞, 0] 為遞減^,而在區間 ^{[0, +}∞)為遞增^{. ]}

2^◦ 次求 ^f 之各階導數^. ∀ x ∈ R,

f^′(x) = cos x− 1 + x² 2!, f^′′(x) =− sin x + x, f^′′′(x) =− cos x + 1, f⁽⁴⁾(x) = sin x, f⁽⁵⁾(x) = cos x.

其次^, 由 ^1◦ 知^,

f^′(x) = 0 ⇔ cos x − 1 + x²

2! = 0 ⇔ x = 0, 亦即 ⁰ 為^f 之唯一臨界點^, 又因為

f^′(0) = f^′′(0) = f^′′′(0) = f⁽⁴⁾(0), f⁽⁵⁾(0) = 1.

是以知 ^f 於點 ^{0 (}及其他點⁾ 並無相對極值^. 

例^2. 若^a1 < a₂ < a₃ < a₄, 試求函數 ^{f (x) =} |x − a1| + |x − a2| + |x − a3| + |x − a4| 之 最小值^.

4.2 極值 ¹⁵⁹

4.3 函數凹凸性 ¹⁶⁰

§ 4.3 函數凹凸性

在第二章我們業已討論過一階導數之幾何意義^,若函數在某區間上之一階導數為正時^, 不僅 表示各切線之斜率為正^, 也說明了函數在該區間為遞增^. 至於二階導數^, 我們所知有限^, 本節我 們將探討二階導數與函數圖形的關係^.

界定在區間^{[a, c]} 之函數^{f ,} 其圖形⁽參見圖^{4–8 )} 在區間^{[a, b]} 是凹向下的^,而在^{[b, c]} 則 是凹向上的^. 當我們仔細觀察^{, f} 在^{[a, b]} 的圖形之所以說是凹向下^, 乃是因為連接圖形上任意 二點^(x1, f (x₁)), (x₂, f (x₂))之連線都在^f 圖形之下^. 反之^,在^{[b, c]}上任意二點^(x3, f (x₃)), (x₄, f (x₄)) 之連線都在^f 圖形之上^.

圖^4–8 基於以上之觀察與討論^,我們作如下之定義 ^:

定義 ^4.11

設 ^I 為一區間^{, f : I} → R,

f 為一凸函數 ^(convex) 或凹向上 (concave upward)

⇔def (原始觀念⁾ 割線 ^h 皆在曲線之上 ⁽參閱圖^{4–9 )}

⇔ ∀ x1, x₂ ∈ I, x1 < x₂, ∀ x ∈ (x1, x₂), f (x) < h(x), (其中 ^{h : (x}1, x₂)→ R : h(x) = f (x₂)− f(x1)

x₂− x1

(x− x1) + f (x₁) )

⇔ ∀ x1, x₂ ∈ I, x1 < x₂, ∀ α ∈ (0, 1),

f (αx₁+ (1− α)x2) < αf (x₁) + (1− α)f(x2). (†)

4.3 函數凹凸性 ¹⁶¹ (†) 設^{α = x2− x}

x₂− x1

, 應有

αx₂− αx1 = x₂− x, 是以 ^{x = αx}1+ (1− α)x2, f (x) = f (αx₁+ (1− α)x2);

1− α = x− x1

x₂− x1

, 是以

h(x) = f (x₂)− f(x1) x₂ − x1

(x− x1) + f (x₁)

= x− x1

x₂− x1

(f (x2)− f(x1)) + f (x1)

= (1− α)(f(x2)− f(x1)) + f (x₁) = αf (x₁) + (1− α)f(x2).

圖^4–9 圖^4–10

與凸函數相對偶之觀念則為凹函數^, 仿照上述定義應有 ^:

定義 ^4.12

設 ^I 為一區間^{, f : I} → R,

f 為一凹函數 ^(concave)或凹向下 (concave downward)

⇔def (原始觀念⁾ 割線 ^h 皆在曲線之下 ⁽參閱圖^{4–10 )}

⇔ ∀ x1, x₂ ∈ I, x1 < x₂, ∀ x ∈ (x1, x₂), f (x) > h(x), (其中 ^{h : (x}1, x2)→ R : h(x) = f (x₂)− f(x1)

x₂− x1

(x− x1) + f (x1) )

⇔ ∀ x1, x2 ∈ I, x1 < x2, ∀ α ∈ (0, 1),

f (αx₁+ (1− α)x2) > αf (x₁) + (1− α)f(x2).

由於凹函數與凸函數為對偶觀念^,以下只討論凸函數之理論^,讀者只需稍加修改即可獲得凹 函數之各定理^.

4.3 函數凹凸性 ¹⁶² 引理 ^4.13

設 ^{f : I} → R 為一凸函數^,則對區間 ^I 之任一內點^p, 所作差商函數 f_p^∗: I\ {p} → R : f_p^∗(x) = f (x)− f(p)

x− p . 為遞增^.

證 ^1◦ 若 ^{p < x}1 < x2, (參閱圖 ^{4–11 ),} 令^{α = x2− x1}

x₂− p ,則 ¹− α = x1− p x₂− p,

圖 ^4–11

f 為凸函數 ⇒ f(x1) = f (αp + (1− α)x2) < αf (p) + (1− α)f(x2)

⇒ f(x1)− f(p) < (α − 1)f(p) + (1 − α)f(x2)

⇒ f (x₁)− f(p)

x₁ − p < (1− α)f(x2)− (1 − α)f(p) (1− α)(x2− p)

⇒ f_p^∗(x₁) < f (x₂)− f(p)

x₂ − p = f_p^∗(x₂).

2^◦ 若 ^x1 < p < x2, 或^x1 < x2 < p, 仿^1◦ 讀者自證之^.  定理 ^4.14

設 ^f 在區間 ^I 上為可微分^, 則 ^f 在^I 上為凸函數之充要條件為 ^f′ 為遞增^. 證 ^1◦ 若^f 為一凸函數^. 設^x1 < x₂,

x₃ 為二者之中點^, 則 f^′(x₁) = lim

x→x1

f_x^∗₁(x)

≤ fx^∗1(x₃) , (引理⁾

< f_x^∗₁(x2) , (引理⁾

= f_x^∗₂(x₁)

≤ lim

x→x2

f_x^∗

2(x) = f^′(x₂).

知^f′ 為遞增^.

圖^4–12 三直線之斜率分別為 f^′(x1), f_x^∗₁(x3), f^′(x2)

4.3 函數凹凸性 ¹⁶³ 2^◦ 若 ^f′ 為遞增^. 設 ^x1 與 ^x2 為 ^I 中之任意二點而且 ^x1 < x₂, 而函數 ^h 表連接

(x₁, f (x₁))與 ^(x2, f (x₂))之直線段^. 今需證明 ∀ x ∈ (x1, x₂), h(x) > f (x).

設 ^{g : [x}1, x₂]→ R : g(x) = f(x) − h(x). 顯然 ^g(x1) = g(x₂) = 0. 我們將利 用矛盾證法以證明 : g(x) < 0, ∀ x ∈ (x1, x₂).

∃ x0 ∈ (x1, x₂), 使得 ^g(x0)≥ 0

⇒ ∃c ∈ (x1, x₂), 使得 ^g 在點 ^c有非負之最大值^{, (}∵ g 為連續⁾

⇒ g^′(c) = 0 ∧ g(c) ≥ 0

⇒ g^′(x) > g^′(c) = 0, ∀ x ∈ (c, x2], (∵ g^′ = f^′− h^′ 為遞增⁾

⇒ g 在區間 ^{(c, x}2] 上為遞增

⇒ 0 = g(x2) > g(c)≥ 0.

顯然矛盾^,是以知 ∀ x ∈ (x1, x₂), g(x) < 0,亦即 ∀ x ∈ (x1, x₂), h(x) > f (x). 

定理 ^4.15

設 ^f 在區間 ^I 上為二階可微^, 則

(1) 若∀ x ∈I, f^{◦ ′′}(x) > 0, 則 ^f 於^I 上為凸函數^. (2) 若^f 於^I 上為凸函數^, 則∀ x ∈ I, f^′′(x)≥ 0.

證 以^f′ 代微分均值定理之系三中之^{f ,} 並利用定理^4.14 立即可得證^.  為便於記憶^,我們以下列二關係圖^,表示函數之二階導數與函數凹凸性之關係 ^:

註^: 上述關係圖中 ^f′ ↗ 及^f′ ₋↗ 分別表 ^f′ 為遞增及不減少^.

定義 ^4.16

設 ^p為 ^Df 之一內點^,若 (1) f 在點 ^p 為連續 ^;

(2) f 在點 ^p 之兩側之彎向相反^{. (}兩側指區間 ^(p− ϵ, p) 及(p, p + ϵ).) 則稱 ^{(p, f (p))} 為 ^f 圖形之一反曲點 (point of inflection).

4.3 函數凹凸性 ¹⁶⁴

圖 ^4–13

例^1. 設f : [0, 2π]→ R : f(x) = cos x, 則因 ^{f′(x) =}− sin x, f^′′(x) = − cos x, 顯然 f^′′(x) = 0 ⇔ x ∈{π

2,3π 2

} . 由於

x 0 π/2 3π/2 2π

f^′(x) − 0 + 0 −

說 明 ^⌢ 反曲 ^⌣ 反曲 ^⌢

故知點^(π 2, 0

)及點 ^(3π 2 , 0

)皆為 ^f 圖形之反曲點^{, (}參閱圖^{4–14 ).}

圖 ^4–14 

註^: 有人以為 ^{f′′(p) = 0} 時必有反曲點^, 這是錯的^, 反例 ^{: f :} R → R : f(x) = x⁴, 顯然 f^′′(0) = 0,但 ^(0,0) 並非 ^f 之一反曲點^.

下一節有關函數圖形之製作中^, 將有一些反曲點之範例^,故本節中不再舉例^.