§ 3.4 指數函數

圖3–16 : f (x) = tan⁻¹

(x− 1 x + 1

)

提醒讀者注意^: 本例之函數的導數雖與^tan−1(x)之導數幾乎相同⁽除了在點−1 ), 但由 於定義域並非一區間^, 故二者之差並非一常數函數^, 讀者不妨比較二者之圖形^, 以了解其

中之關鍵^. 

§ 3.4 指數函數

如果有人提問^: 當^a 與^b 皆為實數時^{, ab} 應如何界定^? 這個問題看似簡單^, 如果進一步思 考^, 我們將會發現類似 ^√2√3 之值的定義並非易事^. 我們嘗試由簡入深思考其定義^.

首先^, 若 ^{a = 0, b} 為正有理數時^, 我們規定 ^ab = 0, (a = 0, b = 0 或為負有理數時^{, ab} 無意義^). 故以下討論僅限 ^a̸= 0.

第一類^{: b} 為整數^.

1^◦ 若^{b = n}∈ Z+, 則令 ^{an =}







 a· · · a

| {z } n項

, 若ⁿ ∈ N,

1, 若^{n = 0,} [

aⁿ 讀為 ^a 之 ⁿ 次方 (a raised to the nth power), 而 ^a 稱為底 ^{(base), n} 稱為指數 (exponent), 以下同理^.]

2^◦ 若^{b =}−n, n ∈ N, 則令 ^{a−n= 1} aⁿ .

第二類^{: b = 1}

n (內ⁿ 為自然數^).

1^◦ 若ⁿ 為正偶數, a > 0, 則令 ^{ab = x,} 其中 ^x為滿足方程式 ^{xn= a} 之唯一非負實數^. ( a 不得為負數^).

3.4 指數函數 ¹⁰⁹ 2^◦ 若ⁿ 為正奇數^{, ( a}正負皆可^),則令 ^{ab = x,} 其中 ^x 為滿足方程式 ^{xn= a} 之唯一實數^. 第三類^{: b}∈ Q^∗.

1^◦ 若b > 0, b = m

n, 其中 ^{m, n} 為互質自然數^, 令 ^{ab = (a1/n)m, (}若 ⁿ 為偶數^{, a} 必須為 正^).

2^◦ 若^{b < 0,} 令^{ab = 1} a^−b.

第四類^: 若^b 為無理數時^{, ab} 則較為困難^, 如^√2√3, 該如何界定^? 如此界定又如何 『證明』 指數律 ^? 方法有好幾種 ^:

一^. 先界定自然對數函數

ln : (0, +∞) → R : ln x =

∫ _x

1

dt t .

再界定 ^{exp x = ln−1(x)} 以及指數 ^ab = exp(b ln a), 最後討論指數律^{. (}有些微積分教本 使用此一方法以為^ln 之定義^, 但必須先討論 『積分』^, 而我們在第六章才開始討論積分^).

二^. 先界定

a^b = lim

r→b,r∈Qa^r, e = lim

n→+∞

( 1 + 1

n )n

, 再界定^{exp x = ex,}以及 ^{ln x = exp−1(x),} 最後討論指數律^.

三^. 以微分方程式方法界定之^, 我們將採此種方法在以下四節中逐步探討^.

定義 ^3.15

若函數^{f :} R → R滿足 ^{(i) f′}(x) = f (x), ∀ x ∈ R, (ii) f(0) = 1, 則稱 ^f 為⁽自然⁾ 指數函數 (exponential function), 而寫為^exp, 亦即

exp : R → R 滿足 ∀ x ∈ R, exp^′x = exp x, 且 ^{exp 0 = 1.}

指數函數之圖形我們將在稍後繪製^. 與^{sin, cos} 之情形相似^, 如此定義必須檢討兩個問題^, (1) 存在性^: 在第八章中我們可以利用冪級數界定為

exp x = 1 + x + x²

2! +· · · +xⁿ

n! +· · · .

(2) 唯一性^: 我們應證明 「若函數^{f, g :} R → R滿足^f′(x) = f (x), g^′(x) = g(x), ∀ x ∈ R, 且f (0) = 1, g(0) = 1, 則^{f = g.}」

3.4 指數函數 ¹¹⁰ 1^◦ 先證 ^{: f (x)}̸= 0, ∀ x ∈ R, 為此令

ψ : R → R : ψ(x) = f(x) · f(−x),

因 ^{ψ′(x) = 0,} 知^ψ 為一常數^, 又因 ^{f (0) = 1,} 是以 ^{ψ(x) = 1,} 故^{f (x)} ̸= 0,

∀ x ∈ R.

2^◦ 令 ^{ϕ :} R → R : ϕ(x) = g(x) f (x), 則因 ϕ^′(x) = g^′(x)f (x)− f^′(x)g(x)

f²(x) = g(x)f (x)− f(x)g(x)

f²(x) = 0, ∀ x ∈ R, 知存在^C ∈ R使得^{C = ϕ(x) = g(x)}

f (x),又由原設 f (0) = g(0) = 1,是以知^{C = 1,} 即 g(x) = f (x), ∀ x ∈ R.

定理 ^3.16

∀ a, b ∈ R, exp(a + b) = (exp a)(exp b).

證 令^{f :} R → R : f(x) = exp(x) exp(a + b − x), 則

f^′(x) = exp(x) exp(a + b− x) − exp(x) exp(a + b − x) = 0, ∀ x ∈ R

⇒ f 為一常數函數

⇒ f(0) = f(a)

⇒ exp(a + b) = (exp a)(exp b). 

系 ^3.17

(1) exp(x) exp(−x) = 1, ∀ x ∈ R.

(2) exp x > 0,∀ x ∈ R. (故知 ^exp 為一遞增函數^).

(3) exp(x₁+ x₂+· · · + xn) = exp(x₁) exp(x₂)· · · exp(xn), ∀ x1,· · · , xn∈ R.

證 ⁽¹⁾ 易明^.

(2) ∀ x ∈ R, exp x = exp(x 2 + x

2 )

= (

expx 2

)2

≥ 0, 又由 ⁽¹⁾ 知 ^{exp x} ̸= 0, 故 exp x > 0, ∀ x ∈ R.

(3) 利用定理 ^3.16 及數學歸納法即可^. 

3.4 指數函數 ¹¹¹ 定義 ^3.18

指數函數 ^exp 在點 ¹之值 ^{exp 1,} 稱其為一^Euler 數 (Euler’s number), 並以羅馬字 母 ^e 表之^.

例^1. 試證 : 2 < e < 3.

證 ^1◦ 考慮 ^exp 在區間 ^{[0, 1],} 顯然它滿足微分均值定理之前提^, 故存在 ^p ∈ (0, 1) 使得

exp^′p = exp 1− exp 0

1− 0 , 即

e− 1 = exp^′p = exp p > exp 0, (因 ^exp為遞增^).

故 ^{e > 2.}

2^◦ e < 3 之證明須利用第四章之^Taylor 定理^,稍後再予研究^. 

利用第四章之 ^Taylor 定理^, 我們 可求得^e 之十五位小數的近似值為

2.71828 1828 45 90 45 .

有了^e之近似值^,我們可以繪製^exp之 圖形如右 ^:

圖 ^3–17

例^2. 試證 ^{: lim}

x→+∞exp x = +∞; lim

x→−∞exp x = 0.

解 ^1◦ 先證 ^: ∀x > 0, exp x > x + 1.

為此令 ^{f :} R → R : f(x) = exp x − x, 則 ∀ x > 0,

f^′(x) = exp x− 1 = exp x − exp 0 > 0, (因 ^exp為遞增⁾ 故知 ^f 於區間^{[0, +}∞) 為遞增^, 是以 f (x) > f (0) = 1, 亦即∀ x > 0, exp x− 1 > x.

3.4 指數函數 ¹¹²

3.5 自然對數函數 ¹¹³ 證 利用定理 ^3.16 及^ex 之定義^, 讀者自證之^. 

定理 ^3.22

指數函數 ^{exp :} R → (0, +∞) 為一對射^.

證 ^{1◦ exp} 為嵌射^,此因 ^exp′x = exp x > 0,∀ x ∈ R, 是以 ^exp為遞增^.

2^◦ 其次 ^exp 為蓋射^, 此因 ^exp 於區間 R 上為連續^, 故其值域必為一區間^, 此外^, 由本 節之例 ² 知

x→+∞lim exp x = +∞, lim

x→−∞exp x = 0,

且知 ∀ x ∈ R, exp x > 0, 故^exp 之值域為 ^{(0, +}∞). 

§ 3.5 自然對數函數

由定理^3.22 知指數函數 ^{exp :} R → (0, +∞) 為一對射^, 故其反函數必存在^, 而該反函數有 許多相當重要性質^, 用途極廣^, 本節中我們將深入討論^.

定義 ^3.23

指數函數 ^exp 之反函數

ln = exp⁻¹: (0, +∞) → R : ln x = y ⇔ exp y = x 稱為自然對數函數 (natural logarithmic function).

ln有兩種讀法^,其一是讀為natural log, 另一種則讀為 ^lawn. 此一符號乃美國加州大學柏 克萊校區之 Irving Stringham於¹⁸⁹³ 所創^.

指數函數與其反函數 『自然對數函數』 之圖形如下^,二者對稱於直線 ^{y = x.}

圖^3–18

3.5 自然對數函數 ¹¹⁴

3.5 自然對數函數 ¹¹⁵

3.6 一般指數函數 ¹¹⁶

§ 3.6 一般指數函數

定義 ^3.25

設 ^{a > 0,} 則函數 ^expa: R → (0, +∞) : expa(x) =

def exp(x ln a) 稱為以 ^a 為底之指 數函數 (exponential function with base a).

顯然^, 當 ^{a = e} 時^{, exp}e(x) = exp(x ln e) = exp x, 亦即函數 ^expe 與自然指數函數 ^exp 無異^. 其次^,不同之底當然指數函數之圖形亦相異^,以下僅繪出數種情況^.

圖 ^3–20

讀者是否注意到 ^{: exp}e 與 ^exp1/e 之圖形相對稱^? 而 ^expa 與 ^exp1/a 之圖形是否也對稱 呢^?

定理 ^3.26

(1) exp_a0 = 1, exp_a1 = a.

(2) exp_ax > 0, ∀ x ∈ R.

(3) exp_a(x₁+· · · + xn) = exp_a(x₁)· · · expa(x_n), ∀ x1,· · · , xn ∈ R.

(4) ∀ x ∈ R, D(expax) = (ln a) exp_ax.

證 ⁽¹⁾ 由定義立即可得 ^. (2) 因 ^exp之值恆正^.

3.6 一般指數函數 ¹¹⁷ (3) 利用系 ^3.17,

exp_a(x₁+· · · + xn) = exp[

(x₁ +· · · + xn) ln a]

= exp(x1ln a +· · · + xnln a)

= exp(x₁ln a)· · · exp(xnln a)

= exp_a(x₁)· · · expa(x_n).

(4) D(exp_ax) = D exp(x ln a) = (ln a) exp(x ln a) = (ln a) exp_ax. 

定理 ^3.27

∀ a > 0, ∀ r ∈ Q, a^r = exp_ar .

證 讀者可仿照定理^3.19 自證之^. 

定義 ^3.28

設 a > 0, b∈ R, 我們規定 ^: (1) a^b =

def exp_ab = exp(b ln a) = e^{b ln a}; (2) 0^a =

def 0.^†

或許有人會問 ^: 本定義到底有何用途^? 稍早^, 我們曾提出 『^{√2√3 =?} 』 的問題^, 利用本定 義^,

√2

√3

= exp(√ 3 ln√

2) = exp (√3

2 ln 2 )

.

在第四章中^,我們利用 ^Taylor 定理可以解決 ^{ln x} 及^{exp x} 之近似值問題^, 因此 ^√2√3 之近似 值問題亦因而獲得解決^. 此外^{, f (x)g(x)} 也是我們常會遇到的問題^,利用本定義^,

f (x)^g(x) =

{exp[g(x) ln(f (x))], 若f (x) > 0,

0, 若^{f (x) = 0} 且g(x) > 0.

† 關於 ⁰⁰ 之定義^, 部分數學家界定 ^{00 = 1,} 但另外一些數學家^, 以極限理論主張不應如此 界定^, 因此在本書中^, 我們視⁰⁰ 為無意義^.

3.6 一般指數函數 ¹¹⁸ 定理 ^{3.29 [}指數律 (laws of exponent) ]

(1) a^x· a^y = a^x+y ; (2) a^x

a^y = a^x−y ; (3) (a^x)^y = a^xy ; (4) (ab)^x = a^xb^x ; (5) (a/b)^x = a^x/b^x .

證 我們只證 ^(1), 其餘讀者自證之^.

a^x· a^y = exp_ax· expay = exp_a(x + y) = a^x+y. 

定理 ^3.30

設 ^r∈ R, 則

(1) Dx^r = rx^r−1, ∀ x > 0 ;

(2) Da^x = a^xln a,∀ a > 0, ∀ x ∈ R . 證 ⁽¹⁾ 由指數之定義知 ^xr = exp(r ln x), 故

Dx^r = D exp(r ln x) = r

xexp(r ln x) = r

xx^r = rx^r−1.

(2) 由定理 ^3.26 立即可得

Da^x = D exp_ax = (ln a) exp_ax = a^xln a. 

例^1. 試微分函數^{f (x) = xx.}

解 顯然 ^Df = (0, +∞), 當∀ x > 0 時, f (x) = x^x = exp(x ln x), 是以

f^′(x) = exp(x ln x)· (ln x + 1) = x^x(1 + ln x). 

定理 ^3.31

∀ a > 0 且^a̸= 1, expa:R → (0, +∞) 為一對射^.

3.7 一般對數函數 ¹¹⁹ 證 因^expax = exp(x ln a),故可視其乃為線性函數 ^{x ln a}與^exp之合成函數^. 又因上述線 性函數與 ^exp 皆係對射^, 故其合成函數亦為對射^. 

例^2. 試微分^{y = 2cos−1x.}

解 設^{f (x) = 2cos−1x= exp(cos−1x}· ln 2), 顯然 ^Df = [−1, 1].

1^◦ ∀ x ∈ (−1, 1),

f^′(x) = exp(cos⁻¹x· ln 2) · √− ln 2

1− x² =−2^cos−1x· ln 2

√1− x².

2^◦ 若 ^{x = 1,}則因 ^lim

x→1⁻f^′(x) =−∞, 知^f 在點 ¹ 不為可微^. 在點 −1 同理亦不為可 微^.

是以

f^′: (−1, 1) → R : f^′(x) =−2^cos−1x· ln 2

√

1− x². 

§ 3.7 一般對數函數

在電子計算機發明之前^, 數千年來^, 人類對於繁複的數字計算一直在尋找最佳的解決方法^, 尤其是天文學家為然^.在這方面^, 對數的發明使得人們能利用以下公式 『以加法運算解決乘法問 題』^, 而 『以乘法運算解決指數問題』

log_a(xy) = log_ax + log_ay, log_ax^k = k log_ax.

此一偉大的構思應歸功於十七世紀蘇格蘭人John Napier.

由定理^3.31 知^, 當a > 0, a̸= 1 時^expa 為對射^, 故為可逆^.

定義 ^3.32

設 a > 0, a̸= 1, 則指數函數 ^expa 之反函數

log_a = exp⁻¹_a : (0, +∞) → R : logax = y ⇔ (a^y =) exp_ay = x 稱為以 ^a 為底之對數函數 (logarithmic function with base a).

3.7 一般對數函數 ¹²⁰

圖^{3–21 : log}a 之圖形

定理 ^3.33

設 a > 0, a̸= 1.

(1) ∀ x > 0, logax = ln x ln a ; (2) log_a1 = 0, log_aa = 1 ; (3) ∀ x ∈ R, loga(a^x) = x ; (4) ∀ x > 0, a^logax= x ;

(5) ∀ x, y > 0, loga(xy) = log_ax + log_ay ; (6) ∀ x > 0, k ∈ R, logax^k= k log_ax ; (7) ∀ x > 0, D(logax) = 1

x ln a . 證 ⁽¹⁾ 設 ^{y = log}ax,則 ^expay = x, 故

ln x = ln(exp_ay) = ln(exp(y ln a)) = y ln a, 因 ^{ln a}̸= 0, 是以 ^logax = y = ln x

ln a. (2) 由 ⁽¹⁾ 立得^.

(3) 由於 ^loga 與 ^expa 互為反函數^, 是以 ^loga(a^x) = log_a(exp_ax) = x . (4) a^logax = exp_a(log_ax) = x .

(5) log_a(xy) = ln(xy)

ln a = ln x

ln a +ln y

ln a = log_ax + log_ay .

3.8 指數與對數之應用 ¹²¹

在文檔中 陳珍漢、 黃德華、 顏國勇合著之微積分學 (頁 108-121)